A metodologia da vazão mínima, com sete dias de duração e tempo de retorno de dez anos (Q7,10 ) estimada pelas distribuições de Gumbel e Log-Normal, é
descrita nos próximos subtópicos, tomando como base o livro de Hidrologia Estatística (NAGHETTINI; PINTO, 2007).
9.2.1.1 Metodologia Q7,T
Com os valores das vazões diárias observados nas estações calculam-se as médias-móveis das vazões em sete dias consecutivos de toda série de dados Q7, e
desta nova série temporal retira-se o valor mínimo para cada ano de registro, obtendo assim as vazões mínimas para cada ano, denotados por Q7,m.
Para se obter , a série Q7,m contendo n valores é ajustada a uma
distribuição de probabilidades, no caso, serão utilizadas as distribuições: Gumbel e Log-Normal.
Para cada período de retorno T desejado, a vazão será expressa pela média dos subtraída pela variação dada pelo produto do desvio padrão Sq por
um fator de frequência que depende da distribuição de probabilidade, isto é:
(1)
Onde: é a média amostral das vazões mínimas; é o desvio padrão amostral e o fator de frequência.
Para fazer o ajuste dos dados a uma distribuição de probabilidade é necessário ordenar os valores das vazões mínimas em ordem crescente atribuindo postos às vazões, por exemplo, atribui-se 1 a menor vazão, 2 a segunda menor e assim sucessivamente até a n-ésima vazão mínima.
Em seguida, estima-se o tempo de retorno para cada vazão, a média e o desvio padrão de acordo com as seguintes equações:
(2)
onde: - Tempo de retorno; - Número de elementos da amostra e – a posição que a vazão ocupa.
e (3)
onde, e são respectivamente, a média e o desvio padrão das vazões de Q7; - Vazões de Q7 e - Número de elementos da amostra.
9.2.1.2 Distribuição de Gumbel (Mínimos)
A distribuição de Gumbel (mínimos) é uma distribuição muito utilizada na análise de frequência de eventos hidrológicos mínimos anuais. Quando ela é empregada em caso de valores mínimos, refere-se à forma assintótica limite para um conjunto de N variáveis aleatórias originais independentes e igualmente distribuídas conforme um modelo assintótica a esquerda exponencial.
A função acumulada da distribuição de Gumbel (mínimos) é dada por (4) Onde é parâmetro de escala e é parâmetro de posição.
A função densidade da distribuição de Gumbel (mínimos) é dada por
(5)
A esperança e a variância são, respectivamente,
(6)
(7)
A inversa da função distribuição acumulada de Gumbel (mínimos), ou função de quantis, é expressa por
(8) Onde F representa a probabilidade anual de não superação.
A inversa da função distribuição acumulada de Gumbel (mínimos) também pode ser expressa em função do tempo de retorno.
(9)
Figura 14: Densidade Gumbel
Fonte: Dados da Pesquisa
Para fazer o ajustamento da vazão mínima através da distribuição de Gumbel utiliza-se o tempo de retorno , obtido pela equação 2. Após, calcula-se a variável reduzida de Gumbel dada pela equação abaixo:
(10)
Sendo, - Variável reduzida de Gumbel e - Tempo de retorno.
Depois, obtém-se as médias e desvios padrões de seguindo a mesma estrutura de formulação das equações em 2. E, então se aplica a equação 5 para encontrar o fator de frequência.
(11)
onde, - Fator de frequência, - Variável reduzida de Gumbel, e - média e desvio padrão de .
Por fim, calcula-se o valor de vazão estimada através da equação:
(12)
Em que, - vazão estimada, - média das vazões de Q7, - desvio padrão
das vazões de Q7 e - fator de frequência.
9.2.1.3 Distribuição Log-Normal
Vamos supor que exista uma variável aleatória contínua X resultante da ação multiplicativa de um grande número de componentes aleatórios independentes , ou seja, . Nesse caso, a variável aleatória
suficientemente grande, decorre do teorema do limite central, que Y irá tender a uma variável Normal, com parâmetros e . Sob tais condições, diz-se que a variável X segue uma distribuição Log-Normal, com parâmetros e .
A função densidade de uma variável log-normal X é dada por
(13)
O valor esperado e a variância de uma variável log-normal X são, respectivamente,
(14)
(15)
Para realizar o ajuste da variável observada por uma distribuição Log-Normal primeiramente é necessário aplicar logaritmo neperiano nas séries de vazões mínimas, obtendo-se para cada ano um . Destes dados, calcula-se a média e desvio padrão seguindo a mesma estrutura de formulação da equação 3.
Na distribuição Log-Normal, conforme Naghettini e Pinto(2007), o fator de frequência é igual à variável normal central reduzida Z que é dada por
(16)
onde,
A seguir, aplica-se a equação 17 e 18 para obtenção da vazão estimada. (17)
sendo, - Logaritmo neperiano da vazão estimada, z - Variável normal padronizada, - média do logaritmo das vazões mínimas e - Desvio padrão do logaritmo das vazões mínimas.
(18)
O próximo passo na escolha da distribuição teórica que melhor se ajusta à distribuição empírica é a verificação do ajuste por meio de testes de aderência e análise visual dos gráficos de probabilidades.
0 ln 2 1 exp 2 1 2 ln ln ln , x σ (x)-μ π xσ (x) f (X) (X) (X) X
A adequação do ajuste probabilístico pode ser avaliada visualmente, comparando-se a curva ajustada aos pontos observados. A análise visual dos gráficos de probabilidade nada mais é do que plotar o gráfico tendo como variável no eixo das ordenadas as vazões observadas e as vazões estimadas pelas distribuições teóricas, no caso as distribuições Gumbel e Log-Normal das séries históricas e no eixo das abscissas os seus respectivos tempos de retorno. A distribuição que melhor se ajusta a série será a que ficar mais próxima dos dados observados. Também é utilizado o coeficiente de correlação entre as vazões calculadas e as vazões observadas para verificar a distribuição que melhor se ajusta a série.
Os Testes não-paramétricos como o teste de Kolmogorov-Smirnov, o teste de aderência do Qui-Quadrado e o teste de Filliben que verificam a aderência dos valores calculados com os valores observados, também fornecem subsídio para julgamento do ajuste realizado.