Objetivos: Construir retângulos utilizando a régua e apresentar a medida de sua área utilizando a fórmula ; encontrar as medidas das figuras através das informações dadas, sem a utilização da régua.
Material necessário: Papel ofício, régua, lápis e borracha. Procedimento:
Parte 1: Desenhar dois retângulos, utilizando a régua, as medidas são dadas em centímetros. Em seguida calcular as áreas deles, procurando uma forma sem precisar quadricular.
Parte 2: São apresentados dois retângulos, pede-se para medir suas dimensões, calcular a área e o perímetro de cada um deles.
Parte 3: Encontrar as dimensões das áreas coloridas, utilizando os valores fornecidos. Comparar qual a maior área.
Parte 4: É apresentado o desenho de uma piscina, porém os valores fornecidos são as medidas reais delas. Pergunta-se a área de cada cerâmica utilizada para cercar a piscina e quais as medidas do lado da piscina e a área ocupada por ela.
Formação dos grupos:
Grupo 1: Tau, Deneb e Tarazed; Grupo 2: Izar, Maia e Zeta; Grupo 3: Polaris, Saiph e Procyon; Grupo 4: Alhena, Nêmesis e Keid; Grupo 5: Capella, Sigma e Tamiris; Grupo 6: Eta, Evanescence e Heka; Grupo 7: Mira, Rigel e Lacaille; Grupo 8: Lalande e Sol; Grupo 9: Elnath e Sirius; Grupo 10: Altair, Dubhe e Iota.
Desenvolvimento:
Os grupos de alunos que trabalharam nesta atividade foram praticamente os mesmos que se formaram para a Atividade 1. Compareceram, neste dia, 28 alunos. A primeira parte da atividade foi realizada sem grandes dificuldades. Era necessário desenhar, no item
(a), um quadrado de lado 1,5cm e, no item (b), um retângulo de 2cm de comprimento e 5cm de altura. Uma aluna do grupo 1, Tarazed, expressou sua dificuldade em desenhar um quadrado de lado 1,5cm, pois não sabia como medir na régua 0,5cm, o que indica sua falta de habilidade com representação de medidas decimais. Porém, os outros membros do seu grupo ajudaram-na na utilização da régua.
O item (c) desta primeira parte pedia a medida das áreas das figuras dos itens anteriores, seis grupos aplicaram a fórmula , os outros quatro grupos quadricularam as figuras para em seguida utilizar o processo de contagem. O cálculo da medida da área do quadrado de lado 1,5cm foi complicado tanto para os que fizeram por contagem, quanto para os que utilizaram a multiplicação. Pois os grupos que preferiram quadricular em quadrados de 1cm encontraram dificuldades por não terem medidas inteiras. Todos estes grupos solicitaram ajuda para o cálculo desta área, só após nossa intervenção, os alunos perceberam que poderiam quadricular, obtendo:
Depois da nossa mediação, dois desses quarto grupos obtiveram respostas corretas para este item, encontrando o valor 2,25cm2.
Os grupos que trabalharam com a fórmula sentiram dificuldades pelo fato de não lembrarem como realizar a multiplicação de números decimais. Quatro dos seis grupos que utilizaram este procedimento obtiveram respostas corretas. Todos os grupos apresentaram corretamente a área do item (b), como sendo 10, mas apenas quatro grupos apresentaram a resposta juntamente com a unidade de medida de área (10cm2).
Na segunda parte foram apresentados um retângulo e um quadrado, onde se pedia aos alunos que medissem suas dimensões e apresentassem a medida da área e o perímetro de cada um deles. Apenas quatro grupos obtiveram corretamente as medidas pedidas nesta parte, dois destes grupos quadricularam os retângulos e obtiveram respostas corretas para a área e perímetro. O grupo 7 foi um destes grupos, o procedimento utilizado por eles, pode ser visto na abaixo.
Os alunos mediram, utilizando a régua, os lados do retângulo, encontraram 3,5cm e 2,5cm. Em seguida, quadricularam o retângulo utilizando quadrados de 1cm de lado, encontrando apenas seis quadrados inteiros. Como as medidas não eram inteiras sobrou espaços, e este foi dividido em 5 retângulos de 1cm por 0,5cm, e um pequeno quadrado de 0,25cm de lado. Somando então, os seis quadrados de 1cm2 e os cinco quadrados de área 0,5cm2, obtém-se 8,5cm2, somado ao quadrado de 0,25cm2 de área da exatamente a 8,75, como mostrado no protocolo do grupo.
Podemos observar que alguns grupos, apesar de estarem trabalhando com a fórmula para cálculo de áreas, utilizaram-na como regras sem atribuir significados. Como é o caso do grupo 8, que sempre, ao calcular a área de um retângulo, aplicava os dois procedimentos, o da contagem, através da malha quadriculada, assim como a fórmula para cálculo de áreas. Obtendo assim respostas sem sentido, como se pode perceber no protocolo da figura 20.
Figura 19: Protocolo do grupo 7 para o cálculo da área de retângulos
Este grupo, ao calcular a área, quadriculou o quadrado, utilizando quadrados menores que 1cm. Ao explicar como raciocinou a aluna Sol, afirmou que obteve 16 quadradinhos de área. Como havia medido com a régua os lados da figura, encontrou 2cm de lado, obtendo, com relação a essa medida, 8cm de perímetro. Em seguida, apresentou a fórmula da área, aplicando no lugar da medida da base a quantidade de quadradinhos (16) e o perímetro (8 cm) no lugar da medida da altura.
Devido ao tempo disponível neste dia para aplicação da atividade (apenas uma hora/aula), alguns grupos deixaram em branco esta segunda parte. As partes três e quatro ficaram para o nosso próximo encontro.
Ao terminar esta aula, percebemos que, apesar das atividades para cálculo de área e perímetro de figuras, muitos alunos ainda não tinham uma compreensão clara destes conceitos. Outra dúvida que sempre surgia era sobre qual unidade de medida utilizar, o cm ou cm2, a diferença entre unidade de medida de comprimento e unidade de medida de superfície era algo dificilmente percebido pelos alunos.
Portanto, na aula seguinte, ao invés de iniciarmos com a Atividade II, resolvemos retomar alguns conteúdos através de explanação oral com o uso do quadro, e aplicamos uma atividade extra, para uma melhor compreensão destes conteúdos que, de certa forma, estavam dificultando o avanço para as demais atividades. A aula foi iniciada com a retomada dos conceitos de área e perímetro. Para melhor visualização por parte dos alunos, foram levados retângulos de cartolina, em uma malha quadriculada, para retomar a ideia da contagem e assim tentar conseguir uma generalização para o cálculo da área de retângulos. Foram retomadas também as idéias de unidades e unidades quadradas, para as medidas de comprimento e superfície.
Com esta explanação, chegamos, juntamente com os alunos, a uma generalização para o cálculo de áreas de retângulos. Alguns alunos, como por exemplo, Tarazed, não conseguiram perceber a relação entre a quantidade de quadrados com o resultado da multiplicação entre as dimensões do retângulo. Então, trabalhamos individualmente com esta aluna de forma que ela pudesse chegar à conclusão de que . Esta aluna sempre demonstra sérias dificuldades de compreensão dos conceitos, devido à falta de conhecimentos prévios, neste caso a operação de multiplicação.
Após este momento, aplicamos uma atividade, chamada de Atividade Extra5 I, que consistia em uma tabela na qual os alunos deveriam apresentar as medidas de retângulos
5 Durante a intervenção foi necessária a inclusão de três atividades que não faziam parte inicialmente do módulo
diferentes, de forma a obter 24cm2 de área e em seguida calcular os valores dos perímetros destes retângulos. Para resolução desta atividade foi solicitado que os alunos trabalhassem individualmente, para que utilizassem sua estratégia pessoal para investigar quais valores de base e altura obteriam retângulos de 24cm2 de área. Esta atividade foi bastante produtiva, os alunos, em sua maioria, se dedicaram na busca destes valores e aproveitaram o momento para retirada das dúvidas sobre a diferença entre área e perímetro de uma figura.
Ao término da Atividade Extra I, retornamos para a Atividade 2, trabalhando com as partes 3 e 4. Percebemos muitas dificuldades por parte dos alunos em resolver estas etapas. Todos os grupos solicitaram a nossa ajuda, pois não sabiam como poderiam iniciar a resolução da atividade.
Na terceira parte, foram apresentados dois quadrados que representavam duas plantas de uma mesma escola, cada uma com uma opção para construção de um pátio. Foram solicitadas as medidas do pátio de cada planta (Fig. 21) e, em seguida perguntava-se qual das duas plantas teria uma maior área reservada para construção do pátio.
Como se pode perceber, as informações dadas no problema eram suficientes para encontrar as medidas das duas áreas coloridas. Os alunos apresentaram diversas dificuldades ao iniciar esta etapa, foi necessária uma breve explanação do que pedia o problema, mostrando que a medida do lado do quadrado da Planta 1, era o que faltava para completar 4,5cm, que era o lado do desenho completo. Com esta noção os alunos conseguiram concluir esta atividade, porém, ainda encontramos um grupo que, apesar de parecer ter compreendido, apresentou uma resposta incorreta (Fig. 22).
Na quarta parte, foi dado o desenho de uma piscina, cujo tamanho do desenho não corresponde ao seu tamanho real. As medidas eram dadas no enunciado do problema. Inicialmente, para responder às questões, os alunos utilizavam a régua para medir a figura apresentada. Foi necessária, portanto, a nossa intervenção, a fim de esclarecer que devia se trabalhar com as medidas reais da piscina. Outra problemática que apareceu nesta questão foi relativa às operações com números decimais, já que a medida dada para cada cerâmica da piscina era de 0,5m. Os alunos apresentaram dificuldades nas operações, fornecendo respostas incorretas, como se pode ver destacadas nas figuras 23 e 24. Para responder ao item (c), era necessário multiplicar a quantidade de cerâmicas pela área ocupada por cada uma delas, ou seja, 28 0,25m2, que daria resultado igual a 7m2, porém o grupo 5 apresentou:
O grupo 4 também demonstrou incompreensão no cálculo com números decimais:
Vale ressaltar o fato de que apenas o grupo 3 obteve respostas corretas para todos os itens desta parte, é o que se pode observar na figura 25. Os outros grupos, que apresentavam respostas para os itens (d) e (e), afirmavam que cada lado da piscina media 4m, levando em consideração a quantidade de cerâmicas que havia em cada lado, não percebendo que a piscina só possuia 6 cerâmicas em cada lado e, portanto, 3m de comprimento, ocupando uma área de 9m2, e não 16m2, como encontrado nos protocolos de outros grupos.
Figura 22: Resposta dada ao item (a) grupo 9
Figura 23: Dificuldades na operação de multiplicação
Outro fator que dificultou o entendimento das atividades foi a questão da leitura e da interpretação dos enunciados. A nossa mediação era sempre solicitada, para facilitar a compreensão do aluno daquilo que era pedido. Os alunos liam rapidamente e logo afirmavam não terem entendido, não conseguiam interpretar o que era solicitado e, portanto, não conseguiam responder à questão. Nestes momentos, solicitava-se aos grupos uma leitura mais atenta, lembrando que eles deveriam perceber sobre o que falava a atividade; em seguida, quais as informações que eram dadas no texto para, então, chegar à conclusão do que era de fato solicitado para a resolução da mesma.