Um sistema bin´ario de estrelas consiste de um par de estrelas que giram em torno de seus pr´oprios eixos, ao mesmo tempo que orbitam em torno do centro de massa do sistema. Nem sempre os eixos de rota¸c˜ao intr´ınseca e o orbital est˜ao alinhados desde o in´ıcio do processo de forma¸c˜ao, assim como a ´orbita come¸ca, em geral, com uma excentricidade significativa e com as estrelas componentes n˜ao sincronizadas com a velocidade orbital. Entretanto, devido `as for¸cas de deforma¸c˜ao que aparecem, o sistema tende a alinhar os eixos, sincronizar as componentes na velocidade de rota¸c˜ao orbital por ocasi˜ao da passagem pelo periastro e, finalmente, a circularizar a ´orbita. Quando os per´ıodos de rota¸c˜ao e de revolu¸c˜ao s˜ao iguais, dizemos que se trata de um sistema bin´ario sincronizado. Dessas duas estrelas, geralmente, uma delas, chamada de prim´aria, ´e maior e mais quente que a outra (chamada de secund´aria), tanto em tamanho quanto em massa. Dependendo do est´agio evolutivo das componentes, muitas vezes a de maior massa n˜ao ´e a estrela maior ou a de temperatura efetiva mais alta. Nesses casos, ´e sempre necess´ario especificar o que se entende por componente “prim´aria”, se a de maior massa (o que ´e o mais comum quando se trata de sistemas bin´arios espectrosc´opicos) ou se a de Teff mais alta (o que
´e o mais comum quando se trata de sistemas eclipsantes). Devido aos efeitos de rota¸c˜ao e de mar´e causados pela presen¸ca da companheira, as componentes do sistema bin´ario tornam-se distorcidas rotacionalmente e por for¸cas de mar´e.
A estrutura de equil´ıbrio de estrelas com rota¸c˜ao e estrelas em sistemas bin´arios n˜ao apresenta simetria esf´erica. Enquanto as for¸cas rotacionais distorcem a configura¸c˜ao da estrela que roda, em rela¸c˜ao `a forma originalmente esfericamente sim´etrica de uma estrela parada (Fig. 3.1), as for¸cas de mar´e, causadas pela atra¸c˜ao gravitacional de uma com- panheira, distorcem a configura¸c˜ao de uma estrela em um sistema bin´ario (Fig. 3.1). No caso de estrelas com rota¸c˜ao em um sistema bin´ario tanto as for¸cas rotacionais quanto as de mar´e distorcem sua forma.
O estudo anal´ıtico do problema de determinar os efeitos combinados das for¸cas de rota¸c˜ao e mar´e nas estruturas de equil´ıbrio de estrelas ´e bastante complexo. M´etodos alternativos tˆem sido geralmente usados na literatura para estudar estes efeitos.
Kopal (1972, 1974) desenvolveu em detalhes o conceito de equipotenciais de Roche e coordenadas de Roche para estudar os problemas de estrelas distorcidas rotacionalmente e por efeitos de mar´e em sistemas bin´arios. Kippenhahn & Thomas (1970), daqui pra frente KT70, propuseram um m´etodo para determinar a estrutura de equil´ıbrio de modelos estelares em que rota¸c˜ao e distor¸c˜oes por efeitos de mar´e est˜ao presentes. Este m´etodo tem a vantagem de possibilitar, a partir de um c´odigo de estrutura estelar esf´erica, obter- se facilmente um modelo de estrutura n˜ao esf´erica. Uma descri¸c˜ao detalhada do m´etodo pode ser vista na Se¸c˜ao (3.4).
Para se obter a estrutura interna de uma esfera gasosa distorcida por for¸cas rotacionais e de mar´e, o sistema de Eqs. (3.31) tem que ser numericamente integrado, sujeito `a condi¸c˜oes de contorno adequadas. Neste caso, o c´alculo da superf´ıcie equipotencial real ´e um problema complicado. KT70 propuseram que as superf´ıcies equipotenciais reais da estrela distorcida poderiam ser substitu´ıdas pelas superf´ıcies equipotenciais de Roche apropriadas (ver Eq. 3.19).
Ao inv´es de usar o potencial de Roche, preferimos seguir o tratamento mais refinado dado por Endal & Sofia (1976) para a fun¸c˜ao potencial, acrescido de um potencial pertur- bativo devido `as for¸cas de mar´e. Usando a expans˜ao de Clairaut-Legendre para o potencial gravitacional de um corpo auto-gravitante (Kopal 1959), introduzimos termos adicionais ao potencial total referentes `as partes cilindricamente sim´etrica e assim´etrica do potencial gravitacional devido `as distor¸c˜oes rotacionais e de mar´e, respectivamente. A Eq. (3.72) representa o potencial total usado neste trabalho. Uma descri¸c˜ao detalhada (a) da im- plementa¸c˜ao dos efeitos de distor¸c˜ao por rota¸c˜ao e for¸cas de mar´e e (b) do c´alculo te´orico das constantes de movimento apsidais pode ser vista na Se¸c˜ao (3.5). Como consequˆencia da presen¸ca destes potenciais perturbativos, a in´ercia rotacional da estrela muda. Sendo assim, uma nova express˜ao para esta grandeza foi derivada na Se¸c˜ao (3.5.4).
Estas implementa¸c˜oes foram introduzidas no c´odigo ATON2.3, com a finalidade de obter estimativas mais realistas para as constantes de movimentos apsidais (kj, j=2, 3
e 4) e compar´a-las com os valores obtidos a partir de dados observacionais. Na Se¸c˜ao (3.1) n´os apresentamos as express˜oes usadas nos c´alculos observacionais destas constan- tes. Na Se¸c˜ao (3.6) apresentamos novos modelos evolutivos incluindo valores te´oricos das constantes de estrutura interna e raio de gira¸c˜ao (Eq. 3.83) para quatro conjuntos de modelos: padr˜ao, distorcido por rota¸c˜ao, distorcido por for¸cas de mar´e e distorcido por ambos efeitos. Os modelos cobrem o intervalo de massas que vai de 0,09 a 3,8 M⊙. O
o eixo de rota¸c˜ao) e seu centro de gira¸c˜ao1.
Os modelos distorcidos apresentam valores de k2 menores que os modelos padr˜ao,
ou seja, valores mais pr´oximos aos obtidos observacionalmente. Como os valores de k2
dispon´ıveis na literatura foram obtidos com modelos padr˜ao fizemos uma compara¸c˜ao entre estes e as nossas estimativas para esta grandeza para o caso padr˜ao. Comparamos modelos de mesma composi¸c˜ao qu´ımica inicial e αMLT que cada modelo precisa usar para
reproduzir o raio solar na idade atual e percebemos que nossos valores concordam com os anteriomente publicados (Hejlesen 1987, Claret & Gim´enez 1989a, Claret & Gim´enez 1992), sendo que os nossos valores est˜ao mais de acordo com os observados que os modelos acima.
Usamos os modelos distorcidos por for¸cas de mar´e e rota¸c˜ao para analisar um in- teressante sistema bin´ario eclipsante de linha dupla, EK Cep, com o objetivo de testar nossas modifica¸c˜oes. Para a investiga¸c˜ao do estado evolutivo da estrela, usamos a mesma aproxima¸c˜ao que Claret (2006). Adotamos como vinculo para nossos modelos a raz˜ao das temperaturas efetivas, ao inve´s de usar seus valores individuais. Usando trilhas correspon- dentes `as massas determinadas dinamicamente, conseguimos reproduzir os raios das estre- las e a raz˜ao das temperaturas efetivas (n˜ao seus valores individuais) na mesma is´ocrona (17, 2 ± 0.4 M anos), com (X,Z)=(0,67, 0,012) e α=1,5. A fra¸c˜ao de l´ıtio, log(Li/H), prevista pelos modelos de 1,124 M⊙, referentes `a secund´aria, na idade de 17, 2 ± 0.4 × 106
anos, concorda com o valor medido por Mart´ın & Rebolo (1993). A partir dos valores in- dividuais de k2 estimados pelos modelos referentes a cada uma das massas determinadas,
obtivemos o valor m´edio te´orico desta grandeza e calculamos o valor previsto para a taxa de movimento apsidal do sistema ( ˙ω). Uma compara¸c˜ao entre ˙ωte´orico e ˙ωobservado (Claret
2006), mostra que nossas previs˜oes concordam com as observa¸c˜oes e as diferen¸cas est˜ao dentro dos erros.
7.4
C´alculo te´orico do N´umero de Rossby
Atividade magn´etica em estrelas como o Sol abrange um grande n´umero de fenˆomenos, tais como manchas estelares, ciclos de atividade, aquecimento de camadas atmosf´ericas externas, emiss˜ao em raios-X e muitos outros. Geralmente, estes fenˆomenos s˜ao atribu´ıdos ao d´ınamo estelar, que ´e um mecanismo que resulta da intera¸c˜ao entre rota¸c˜ao diferencial e os movimentos convectivos no envelope externo das estrelas. Do ponto de vista te´orico, existem indica¸c˜oes de que o campo magn´etico de estrelas parecidas com o Sol, na sequˆencia principal, ´e gerado e amplificado na tachocline, uma fina camada que roda diferencialmente entre a zona convectiva e o interior radiativo. Para estrelas de tipo espectral entre F e M, acredita-se que a rota¸c˜ao e a atividade s˜ao controladas por um mecanismo do tipo α-Ω (Mohanty & Basri 2003). J´a para o caso de estrelas completamente convectivas, como estrelas de baixa massa na pr´e-sequˆencia principal, esta teoria n˜ao pode ser aplicada, uma vez que elas n˜ao possuem a tachocline. No entanto, elas apresentam fenˆomenos t´ıpicos de atividade magn´etica e espera-se que outro tipo de d´ınamo, como o d´ınamo tipo α2 que
depende de movimentos turbulentos, opere neste tipo de estrela e gere o campo magn´etico respons´avel pela atividade estelar observada (K¨uker & R¨udiger 1999). Uma quantidade muito importante no estudo de atividade magn´etica estelar ´e o N´umero de Rossby, Ro.
1O centro de gira¸c˜ao de um corpo ´e definido como o ponto no qual toda a massa do corpo poderia estar concentrada (teoricamente) sem alterar seu momentum de in´ercia.
Ro ´e definido como sendo a raz˜ao entre o per´ıodo de rota¸c˜ao e a escala de tempo de movimentos convectivos, τc. Na teoria de d´ınamo, o N´umero de Rossby est´a relacionado
com a taxa de crescimento do campo magn´etico. Para estrelas na sequˆencia principal, Ro tem sido usado para estudar a rela¸c˜ao entre emiss˜ao em raio-X e campos magn´eticos (Flaccomio et al. 2003c, Feigelson et al. 2003).
Neste trabalho apresentamos c´alculos auto-consistentes de N´umeros de Rossby e tem- pos de escala convectico (do inglˆes, convective turnover time) para uma s´erie de modelos de estrelas de baixa massa e que levam em conta a rota¸c˜ao estelar. O comportamento destas grandezas durante a pr´e-sequˆencia principal foi analizado, discutido e comparado com os resultados de trabalhos anteriores.
O “convective turnover time” local foi calculado a uma distˆancia de metade do com- primento de mistura, αHp/2, acima da base convectiva. O N´umero de Rossby ´e calculado
atrav´es da rela¸c˜ao Ro = Prot/τc. O “convective turnover time” global ´e definido como a
integral do inverso da velocidade convectiva local ao longo de toda a regi˜ao convectiva. Geramos trilhas evolutivas que v˜ao de 0,6 M⊙ `a 1,2 M⊙, com composi¸c˜ao qu´ımica
inicial solar e αMLT=1,5. Em zonas convectivas usamos rota¸c˜ao de corpo r´ıgido e em
regi˜oes radiativas a rota¸c˜ao ´e diferencial.
Como pode ser visto na Fig. (4.6), para um dado valor de massa o “convective turnover time” global diminui durante a contra¸c˜ao de Hayashi e atinge seu valor m´ınimo quando a contra¸c˜ao termina. Permanece, ent˜ao, constante at´e que a estrela atinge uma configura¸c˜ao de estrela na sequˆencia principal. Ro segue o mesmo comportamento de τc durante a con-
tra¸c˜ao de Hayashi, mas, depois disso, aumenta, como j´a era de se esperar, uma vez que o per´ıodo de rota¸c˜ao tamb´em aumenta. Usando as trilhas evolutivas, construimos tamb´em, is´ocronas para as idades de 0,2, 0,5, 0,7, 1,0, 2,0, 4,55 (idade do Sol), 10 e 15 bilh˜oes de anos. No lado esquerdo da Fig. (4.8), mostramos a varia¸c˜ao do “convective turnover time” global com a temperatura efetiva e a idade. Como as curvas s˜ao is´ocronas, um aumento de temperatura pode ser entendido como um aumento na massa. No lado direito desta mesma figura, temos o τc global em fun¸c˜ao do per´ıodo de rota¸c˜ao. A varia¸c˜ao do per´ıodo
de rota¸c˜ao com a temperatura efetiva ´e mostrada na Fig. (4.9). Se supusermos que os efeitos da rota¸c˜ao s˜ao tratados corretamente, podemos usar esta figura para determinar unicamente a massa e a idade de uma estrela atrav´es de dados observados de sua tem- peratura efetiva e per´ıodo de rota¸c˜ao. Na Fig. (4.10) mostramos o N´umero de D´ınamo, Ro−2
, em fun¸c˜ao da temperatura efetiva e a idade. Depois de estabelecer uma rela¸c˜ao emp´ırica entre Ro−2 e os ´ındices de atividade magn´etica, pode-se usar a Fig. (4.10) para
determinar a massa e a idade da estrela a partir da temperatura efetiva e um ´ındice de atividade.
Pelo que sabemos, o presente trabalho ´e o segundo na literatura a apresentar c´alculos te´oricos de tempos de escala convectivos e N´umeros de Rossby para estrelas com rota¸c˜ao na sequˆencia principal. Os primeiros a realizarem tais c´alculos foram Kim & Demarque (1996). Nossos resultados est˜ao de acordo com os obtidos por estes autores principal- mente no que se refere ao comportamento geral de τc e Ro (Figs. 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8,
4.9, 4.10). A principal diferen¸ca se refere aos valores de Ro: em alguns casos, nossos valores s˜ao at´e duas ordens de magnitude menores que os de Kim & Demarque (1996). A principal causa desta diferen¸ca est´a possivelmente relacionada com a taxa de rota¸c˜ao inicial usada nos modelos. Acreditamos que esse conjunto de resultados possam dar uma contrapartida te´orica ´util `a estudos observacionais de atividade estelar na pr´e-sequˆencia principal, podendo tamb´em ser usados para testar os modelos com as observa¸c˜oes.