KADIN SIĞINMAEVLERİNİN TARİHÇESİ

No século XIX, a Álgebra voltou-se para o que se considera hoje em dia a essência de seu objeto de estudo, as estruturas algébricas por si mesmas. Nesse

15 _{Se (G,*) é um grupo e se a operação * satisfaz o axioma (lei ou propriedade comutativa) G4: quaisquer que}

sejam x e y em G, tem-se x * y = y * x, diremos que G é um grupo comutativo ou abeliano (MONTEIRO, 1973, p. 154).

período, romperam-se os padrões clássicos da Álgebra, dedicados à teoria das equações, em especial a resolução de equações de terceiro e quatro graus, numa situação relativamente concreta, por meio do emprego de letras para designar as incógnitas, subentendendo-se que estas letras representavam números (naturais, inteiros, racionais, etc). A partir de então, a Álgebra direcionou-se para critérios cada vez mais abstratos, enfatizando o estudo das operações algébricas, independentemente da natureza dos objetos aos quais elas se aplicam. A aplicação desses critérios possibilitou a criação de novos entes, ampliando em grau considerável o campo da álgebra.

Os vetores destacam-se dentre os entes que contribuíram para a criação de novas álgebras. Embora fossem utilizados, nos fins do século XVII, na composição de forças e de velocidades pelos tratadistas da mecânica, somente começou a chamar a atenção dos matemáticos a partir dos trabalhos de Gauss, o qual utiliza implicitamente a soma vetorial em sua representação geométrica dos números complexos no plano (BABINI, 1967).

Novos tipos de Álgebra foram estudados por matemáticos como George Peacock, Augustus De Morgan, George Boole, Arthur Cayley, William Rowan Hamilton, dentre outros (BOYER, 1996).

George Peacock, tentando esclarecer os fundamentos da Álgebra, publicou em 1830, a obra intitulada “Treatise on Álgebra”, em que buscou dar à Álgebra uma estrutura lógica comparável aquela dada à geometria nos “Elementos” de Euclides. Esta obra marcou o início do pensamento axiomático em Álgebra. Peacock foi um dos primeiros matemáticos a perceber que um cálculo formal poderia ser realizado sem considerar a natureza dos entes com os quais se trabalha, sendo suficiente preocupar-se com as operações entre estes, conforme regras prefixadas (MILIES, 1987).

O matemático inglês Augustus De Morgan, juntamente com Peacock, auxiliaram na formação de uma escola inglesa de matemática, auxiliando na formação da “British Association for the Advancement Science”, em 1831. De Morgan contribuiu para o desenvolvimento da Álgebra abstrata, embora ainda utilizasse axiomas abstraídos da Aritmética. Foi o matemático Hamilton que

procedeu ao desenvolvimento da Álgebra, independente da experiência Aritmética.

Hamilton foi um matemático irlandês que se ocupou dos vetores, utilizando o termo “vetor” com um sentido algébrico moderno, ou seja, como a diferença entre dois pontos no espaço. Hamilton também criou um sistema de números complexos de quatro unidades o qual denominou por “quaternions”. De modo geral, Hamilton tratou os quatérnions como vetores e basicamente mostrou que formam um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais. Definiu a adição de quatérnions e introduziu a noção de dois tipos de produtos, obtidos multiplicando um vetor por um escalar ou por outro vetor respectivamente; observando que o primeiro é associativo, distributivo e comutativo, ao passo que o segundo é apenas associativo e distributivo. Trata-se do primeiro e único exemplo de corpo não comutativo no campo dos números reais. Sua principal obra, “Lectures on quaternions” foi publicada em 1853, dez anos após sua descoberta (BABINI, 1967). Conforme observou Boyer, mais do que o desenvolvimento de um novo tipo de álgebra, a descoberta revelou a “tremenda liberdade que tem a matemática de construir álgebras que não precisam satisfazer às restrições impostas pelas ditas ‘leis fundamentais’”, que até então tinham sido invocadas sem exceção [grifo do autor] (1996, p. 405).

Depois de Hamilton, outro matemático inglês, Artur Cayley, contribuiu para o progresso da álgebra no século XIX. Cayley desenvolveu, em 1858, o estudo da álgebra das matrizes e lhes deu esse nome.

Em meados do século XIX, a álgebra invade o campo da lógica. George Boole interessou-se pela matemática e lógica. Em 1854, publicou “Investigations on the laws of Thought”, a qual estabelecia ao mesmo tempo a lógica formal e uma nova álgebra. A álgebra de Boole é hoje a álgebra dos conjuntos e encontra aplicações em diversos campos: probabilidades, teoria da informação, análise, problemas de seguros, etc. (MILIES, 1987).

Após 1870, pode-se assinalar um novo progresso perante a estrutura geral das álgebras com a obra do matemático americano Benjamin Pierce (1809-1880), sobre as álgebras lineares associativas. Estabeleceram-se ali os conceitos de

elementos nilpotentes e idempotentes, cujo estudo teve início em 1864 e foi publicado após a morte do autor, em 1881.

Um ano após a descoberta dos quatérnions por Hamilton, em 1844, o matemático polonês Hermann Günther Grasssmann, publicou a obra denominada “Teoria da extensão” (Ausdehnungslehre), cujo título referia-se a “uma nova disciplina matemática exposta e aclarada mediante aplicações”. A maneira inusitada e excessivamente “filosófica” de apresentação da obra fez com que esta passasse despercebida pelos matemáticos da época. Somente mais tarde, quando o autor já havia falecido, reconheceu-se a ampla generalidade e abstração deste cálculo algébrico-geométrico em um espaço de n dimensões, com importantes aplicações, onde aparecem conceitos básicos de cálculo vetorial (BABINI, 1967, p. 35). Seus trabalhos, precursores do primeiro sistema axiomático completo dos Espaços Vetoriais, guiaram os matemáticos a várias noções hoje utilizadas na Álgebra Linear (MILIES, 1987, p.18).

As novas álgebras, cujo desenvolvimento se iniciou no século XIX, mantiveram durante esse século um traço comum com as geometrias não- euclidianas, posto que nelas se nota a contribuição para a eliminação de conceitos intuitivos e hábitos mentais ainda arraigados nas idéias matemáticas. Enquanto que a álgebra liberou-se de sua dependência da aritmética, as geometrias não-euclidianas fizeram com que os matemáticos percebessem que as propriedades geométricas não dependiam da intuição espacial ou física dos entes matemáticos em si.