Kısıt İçeren Optimizasyon

Birçok mühendislik tasarım optimizasyon probleminde amaç fonksiyonunu minimize eden tasarım değişkenlerinin bulunması işlemi gerçekleştirilirken aynı zamanda verilen kısıt şartlarının sağlanması gerekmektedir. Kısıt içeren standart bir optimizasyon modeli aşağıdaki gibidir:

Amaç fonksiyonu;

  



f  ₁, ₂,..., (3.31)

Eşitlik kısıtları;

 





j x h x x x

h (3.32)

Eşitsizlik kısıtları;

( ) ( ) (3.33) Sınır kısıtları;

(3.34) Burada; p eşitlik kısıtlarının toplam sayısını, m eşitsizlik kısıtlarının toplam sayısını ve D sınır kısıtlarının toplam sayısını ifade etmektedir. Sınır kısıtları eşitsizlik kısıtlarından olmasına rağmen burada ayrı olarak ele alınmıştır. Çünkü sınır kısıtları hem hemen hemen tüm optimizasyon problemlerinde ortaya çıkmakta hem de eşitsizlik kısıtlarına nazaran daha kolay ele alınıp çözümlenebilmektedirler.

Kısıtlar arama uzayını bölümlere ayırarak DE`nin ve DEBVs`nin global optimum noktaya ilerlemesini zorlaştırmaktadırlar. Özellikle fazla sayıda kısıt içeren problemlerde arama uzayında adacıklar oluşabilmekte, bu durumda eğer global optimum nokta bu ada üzerinde bulunuyor ise problem daha zor bir hale dönüşmektedir.

92

Bu durumda kısıtların sağlanmadığı bölgelerde de fark vektörlerinin oluşmasına imkan veren yöntemler kullanmak oldukça kullanışlı olmaktadır. Birçok mühendislik alanındaki tasarım optimizasyon problemi, yukarıda verilen standart modele dönüştürülerek çözülmektedir. Kısıt içeren tasarım optimizasyon problemlerinin kısıt içermeyen forma dönüştürülüp çözülmesi çok sık kullanılan bir yöntemdir.

3.10.1 Sınır kısıtları

Sınır kısıtları gerçek optimizasyon uygulamalarının hemen hemen hepsinde ortaya çıkmaktadır. Gerçek uygulamalarda fiziksel bileşenler kullanıldığından ve onların belirli ölçülerde olmaları gerektiğinden doğal olarak tasarım değişkenleri belirli sınırlar dâhilinde tanımlı olmaktadır. Örneğin fiziksel bileşene sahip hiçbir tasarım değişkeni negatif olamaz. Problemin kendisi kısıtsız bir problem olsa bile tasarım değişkenlerinin alt ve üst limitleri olabilmektedir.

Hem DE`de hem de DEBVs`de tüm popülasyon bireyleri belirlenen sınırlar dahilinde oluşturulmaktadır. Belirtilen sınırların aşılması ancak mutasyon operasyonunda olasıdır.

DE`de bu olasılık daha yüksektir, çünkü geliştirilen DEBVs algoritmasında yönelim en iyi bireye doğru olduğundan çoğunlukla mutasyon sonucunda arama uzayının sınırlarının aşılması olmamaktadır. Dolayısıyla sadece mutasyon sonucunda bireylerin sınır kısıtlarını aşıp aşmadığı kontrol edilmesiyle işlem zamanından tasarruf sağlanabilmektedir.

Sınır kısıtlarının aşıldığı durumlarda genellikle iki temel yaklaşım ile çözüme gidilmektedir. Birinci yaklaşımda sınır kısıtlarını sağlamayan parametreler cezalandırılarak sınır kısıtlarını sağlayacak bölgelere doğru yönlendirilmesi sağlanır ve tüm sınır kısıtları sağlanıncaya kadar cezalandırma işlemine devam edilir. İkinci yaklaşımda ise sınır kısıtlarını sağlamayan parametreler sınır kısıtlarını sağlayacak şekilde tekrar üretilir. (Price ve ark. 2005).

Tuğla duvar ceza yönteminde sınır kısıtlarını sağlamayan bireyin amaç fonksiyonuna amaç fonksiyon değeri çok uzakta olan bir değer eklenerek bir sonraki nesilde seçilmesi zorlaştırılmaktadır. Bu yöntemde global optimum noktanın sınırlara yakın bölgelerde olduğu durumlarda arama yavaşlamaktadır; çünkü sınır kısıtlarının sağlanmadığı

93

bölgelere yakın bireylerin hayatlarını sürdürmeleri bu ceza yöntemi kullanıldığında zorlaşmaktadır.

Uyarlamalı ceza yönteminde sınır kısıtlarının sağlanmadığı parametre sayısı oranınca bireyler cezalandırılmaktadır. Böylece tuğla duvar ceza yönteminin aksine sınıra yakın bölgelerdeki aramalar kolaylaşmaktadır.

Ceza yöntemlerinde sınır kısıtlarını sağlamayan parametreler yeniden oluşturulmak yerine sonraki nesillerde seçilemeyecek düzeyde kötüleştirilmektedirler. Bunun sonucunda arama yavaşlamakta ve istenilen sonuca ulaşılması için gereken nesil sayısı artmaktadır. Bunu engellemek için sınır kısıtlarını sağlamayan parametreler sınır kısıtlarını sağlayacak şekilde tekrar üretilmektedir.

Rastgele parametre üretme yönteminde adından anlaşılacağı üzere sınır kısıtlarını sağlamayan birey ile sınır kısıtlarını sağlayacak şekilde rastgele üretilmiş yeni birey yer değiştirilir (Lampinen ve Zelinka 1999). Bu yöntemde yine sınırlara yakın bölgelerde mevcut bulunan global optimum noktanın yakalanmasının zorluğu sınır kısıtlarını sağlamayan bireylerin tamamen değiştirilmesi nedeniyle devam etmektedir.

Geliştirilen algoritmada da kullanılan ve yukarıda bahsedilen tüm olumsuzlukları içermeyen “kendini toparlama” yönteminde rastgele parametre üretme yöntemine benzer olarak sınır kısıtlarının birini veya tümünü sağlamayan bireyler sınır kısıtlarını sağlayan bireyler ile güncelleştirilmektedir. Ancak burada güncelleştirme veya değiştirme işleminde yeni birey rastgele üretilmeyip sınır kısıtlarını sağlamayan bireyin mutasyon işlemindeki temel vektörüne sınır kısıtını sağlamadığı parametrenin sınır değerden olan farkı eklenerek sınır bölgelere yakın ve sınır kısıtlarını sağlayan yen bireyler oluşturulur (Şekil 3.53). Kendini toparlama yöntemi kullanıldığında sınıra yakın bölgelerde bireyler rahatlıkla oluşturulabildiğinden bu bölgelerde mevcut bulunan global optimum nokta rahatlıkla yakalanabilmekte ve arama süresince herhangi bir yavaşlama söz konusu olmamaktadır (Price ve ark. 2005).

94

Şekil 3.53 DEBVs`de sınır kısıtlarını sağlamayan birey için kullanılan kendini toparlama yönteminde yeni bireyin oluşturulması

3.10.2 Eşitlik kısıtları

Eşitlik kısıtları aşağıdaki formda yazılabilmektedir:

 





j x h x x x

h (3.35)

Burada; h eşitlik kısıt fonksiyonunu, x tasarım değişkenlerini ve p eşitlik kısıtlarının toplam sayısını belirtmektedir. Eğer koşullar izin veriyorsa eşitlik kısıtları amaç fonksiyonunda ele alınabilmektedir. Bu şekilde değişkenlerden bir veya birkaçı elimine edilerek kısıt sayısı azaltılır veya problem tamamen kısıtsız forma dönüştürülebilir.

Bunun için eşitlik kısıtındaki bir değişken diğer değişkenler cinsinden ifade edilecek şekilde bir bağıntıya dönüştürülmekte ve amaç fonksiyonunda o değişken yerine elde edilen bağıntı yazılmaktadır.

Ancak bir değişkenin çekilerek o eşitlik kısıtından uygun bir bağıntı elde etmek her zaman mümkün olmamaktadır. Bu nedenle eşitlik kısıtlarını eşitsizlik kısıtlarına dönüştüren yöntemler geliştirilmiştir. Bunun için önceden belirlenen bir hata değeri ( ) mertebesinde eşitlik kısıtını ihmal etmeye izin verilir:

Sınır kısıtlarını sağlamayan vektör Ölçeklendirilmiş fark

vektörü: 𝐹 (𝐱_{𝑠𝚤𝑛𝚤𝑟} 𝐱_{𝑒𝑛𝑖𝑦𝑖}) 𝐱

𝐱

𝑓(𝑥 𝑥 ) fonksiyonunun eşyükselti çizgileri

Parametre Sınırları

𝑥 _𝑚𝑖𝑛 𝑥 _{𝑚𝑎𝑘𝑠}

𝑥 𝑚𝑖𝑛

𝑥 _{𝑚𝑎𝑘𝑠}

1

2 3

4 6 5

𝐱_{𝑒𝑛𝑖𝑦𝑖}

𝐱_𝑟

Yeni vektör:

𝐱_{𝑦𝑒𝑛𝑖} 𝐱_{𝑒𝑛𝑖𝑦𝑖} 𝐹 (𝐱_{𝑠𝚤𝑛𝚤𝑟} 𝐱_{𝑒𝑛𝑖𝑦𝑖})

95

| ( )| < (3.36) Bu şekilde eşitlik kısıtı ( ) < ve ( ) > olacak şekilde iki adet eşitsizlik kısıtına dönüştürülmüş olmaktadır. Burada hata değeri , ne kadar küçük seçilirse eşitlik kısıtı o derece sağlanmış olmaktadır, ancak bu durumda problemin zorluk derecesi katlanarak artmaktadır.

3.10.3 Eşitsizlik kısıtları

Eşitsizlik kısıtları aşağıdaki form kullanılarak ele alınmaktadır:

( ) ( ) (3.37) Burada; g eşitsizlik kısıt fonksiyonunu, x tasarım değişkenlerini ve m eşitsizlik kısıtlarının toplam sayısını belirtmektedir. Eşitsizlik kısıtları çoğunlukla kısıtları sağlamayan bireylerin amaç fonksiyon değerlerine kötü değerler eklenmesi şeklinde uygulanan cezalandırma işlemi ile ele alınmaktadır.

Ceza fonksiyonu yöntemleri, temel optimizasyon problemini alternatif formülasyonlara dönüştürürler öyle ki sayısal çözümlere bir dizi kısıtlanmamış minimizasyon probleminin çözümüyle elde edilen sonuçlar kullanılarak ulaşılır. Kısıt içeren bir problemde kısıtların her terimi ağırlıklandırılmış bir ceza katsayısı ( ) ile çarpılır ve elde edilen sonuç amaç fonksiyonuna eklenir. Böylece kısıt içeren fonksiyon kısıt içermeyen bir fonksiyona dönüştürülür:

( ) ( ) ∑ ( )

(3.38)

Cezalandırma işleminde kullanılan ağırlık katsayıları ( ) tüm ceza terimlerini normalize ederek aynı düzeyde amaç fonksiyonuna etki etmelerine yardımcı olmaktadır.

Yukarıda genel formu verilen ceza fonksiyonu formülasyonları, iç ve dış yöntemler olarak iki kategoriye ayrılmaktadır. İç formülasyonlarda optimum noktaya kısıtların sağlandığı uygun bölgelerden yaklaşılmaya çalışılmakta, dış formülasyonlarda ise optimum noktaya kısıtların sağlanmadığı uygun olmayan yasak bölgelerden

96

yaklaşılmaya çalışılmaktadır. İç ceza fonksiyonlarında kısıt fonksiyonları bariyer veya logaritmik bariyer fonksiyonları şeklinde tanımlanır (Carrol 1961):

( )

( ) ( ) ( ( ))

(3.39)

Dış ceza fonksiyonu formülasyonları için kullanılan ( ) fonksiyonlarından bazıları aşağıdaki gibidir:

( ) [ ( )]

( ) { [ ( )]}

(3.40)

İç yöntemlerde, oluşturulan yeni fonksiyonun kısıtlanmamış minimum değeri uygun bölgede yer alırken dış yöntemlerde, kısıtlanmamış minimum değer uygun olmayan bölgede yer almaktadır.

Cezalandırma yöntemleri fazla sayıda kısıt içeren problemlerde iyi sonuç vermeyebilmektedirler. Çünkü ağırlık katsayılarının arama başlamadan önce probleme çok uyumlu bir şekilde seçilmesi gerekmektedir. Özellikle evrimsel algoritmalarda cezalandırma işlemi yakınsamayı yavaşlatmakta veya uygun olmayan çözümlere erken yakınsamaya neden olabilmektedir. Çünkü kısıtlar arama uzayında birbirinden bağımsız adacıklar şeklinde optimum bölgeler oluşturabilmekte ve cezalandırma ile bu bölgelere erişim zorlaşmaktadır. Ayrıca ağırlık katsayılarının uygun seçilemediği durumlarda bir ceza terimi baskın olmakta ve diğer ceza terimlerinin amaç fonksiyonunda öneminin azalmasına neden olunabilmektedir. Ağırlık katsayılarının yeterince büyük seçilemediği durumlarda uygun olan bölgelerdeki amaç fonksiyon değerleri uygun olmayan bölgelerdeki amaç fonksiyon değerlerinden yeterince küçük olamamakta hatta büyük olabilmektedir. Bunun sonucunda popülasyon uygun olmayan bölgelerde yakınsamaya başlamaktadır.

Direkt kısıtları ele alan yöntemlerde, ceza fonksiyonu uygulayan yöntemlerdeki ağırlık katsayıları bulunmadığından ağırlık katsayılarının uygun değerlerini bulmak için yapılan ek hesaplamalara gerek kalmamaktadır. Kısıtları sağlamayan bireyleri

97

cezalandırma işleminin tersine kısıtları direkt ele alan yöntemlerde ilk nesillerde kısıtlar biraz gevşetilerek ileriki nesillerde kısıtları sağlayan bireylerin oluşmasına imkân verilmektedir. Nesil ilerledikçe kısıtlar sıkılaştırılmakta ve belli nesilden sonra tüm kısıtların sağlanması beklenmektedir.

Lampinen (2002) hızlı yakınsama sağlayan yeni bir direkt kısıtları ele alan yöntem geliştirmiştir. Bu yöntemde sadece amaç fonksiyon değerleri değerlendirmeye dâhil edilmeyip kısıt fonksiyon değerleri de değerlendirmede dikkate alınmaktadır. Yeni nesle aktarılacak birey seçilirken aşağıdaki ölçütler dikkate alınmaktadır:

 Seçilecek ve hedef bireyler tüm kısıtları sağlamaktadırlar ancak seçilecek bireyin amaç fonksiyon değeri hedef bireyin amaç fonksiyon değerinden daha düşüktür veya ona eşittir.

 Seçilecek birey tüm kısıtları sağlamaktadır ancak hedef birey en az bir kısıtı sağlamamaktadır.

 Hem seçilecek birey hem de hedef birey en az bir kısıtı sağlamamaktadır ancak seçilecek birey hedef bireyden daha az sayıda kısıtı sağlamamaktadır.

Geliştirilen DEBVs algoritmasında yukarıda çalışma prensibi açıklanan direkt kısıtları ele alan yöntem kullanılmıştır. Böylece kısıtları sağlamayan bölgelerden kısıtları sağlayan global optimum bölgeye ulaşma imkânı bulunmaktadır. Ayrıca kısıtları sağlama derecelerine göre bireyler sınıflandırılarak global optimum noktaya hızlı bir şekilde yakınsama gerçekleştirilmektedir. Ayrıca ceza fonksiyonlarındaki ağırlık katsayısı gibi herhangi bir parametrenin en uygun değerinin bulunmasına gerek duyulmaması hesaplama sayısını düşürmektedir.