Esta Tese est´a organizada da seguinte maneira. Os Cap´ıtulos 2, 3 e 4 contˆem uma re- vis˜ao dos temas relevantes para a compreens˜ao, proposi¸c˜ao e implementa¸c˜ao da abordagem proposta, que ser´a detalhada e analisada nos demais cap´ıtulos. Mais especificamente:
• No Cap´ıtulo 2 ser˜ao apresentados os conceitos relacionados `a otimiza¸c˜ao multi- objetivo, o uso de algoritmos gen´eticos para esse tipo de otimiza¸c˜ao e os algoritmos gen´eticos multi-objetivo relacionados a este trabalho.
• No Cap´ıtulo 3 ser˜ao detalhados os conceitos b´asicos de agrupamento, apresentados os algoritmos e t´ecnicas de valida¸c˜ao que ser˜ao utilizadas e introduzido o tema de agrupamento semi-supervisionado.
• No Cap´ıtulo 4 ser˜ao apresentadas as abordagens recentes que procuram superar al- gumas limita¸c˜oes da an´alise de agrupamento tradicional: ensemble de agrupamentos e agrupamento multi-objetivo.
• No Cap´ıtulo 5, que apresenta uma das contribui¸c˜oes originais deste trabalho, ser˜ao detalhados os problemas que motivaram a abordagem e apresentadas as metas que se deseja atingir com o framework proposto. Ser´a ainda apresentada a parte central desse framework, que ´e o algoritmo MOCLE. A outra parte original do framework, que ´e o m´etodo de visualiza¸c˜ao, ser´a detalhada no Cap´ıtulo 6.
• O Cap´ıtulo 7 cont´em uma descri¸c˜ao dos conjuntos de dados utilizados, dos experi- mentos realizados e dos m´etodos empregados na avalia¸c˜ao dos resultados.
• Os resultados dos experimentos ser˜ao apresentados no Cap´ıtulo 8, mostrando que o
framework atinge as metas estabelecidas.
• No Cap´ıtulo 9 ser˜ao apresentadas as conclus˜oes do trabalho, com os principais re- sultados obtidos, as contribui¸c˜oes e limita¸c˜oes do trabalho, al´em da indica¸c˜ao de trabalhos futuros.
Cap´ıtulo
2
Algoritmos Gen´eticos Multi-objetivo
Baseados em Pareto
2.1
Considera¸c˜oes Iniciais
Com a proposta desta Tese motivada e resumida no Cap´ıtulo 1, este cap´ıtulo revisa o primeiro t´opico relevante para seu detalhamento e implementa¸c˜ao, que s˜ao os algoritmos gen´eticos multi-objetivo.
Inicialmente, na Se¸c˜ao 2.2, ser˜ao introduzidos os conceitos gerais relacionados a otimiza- ¸c˜ao multi-objetivo. Em seguida, na Se¸c˜ao 2.3, ser˜ao apresentados os principais aspectos dos algoritmos evolutivos, incluindo os algoritmos gen´eticos, e discutidas as caracter´ısti- cas necess´arias para a utiliza¸c˜ao dos algoritmos evolutivos em problemas multi-objetivo. Nessa se¸c˜ao ser´a ainda comentada a aplica¸c˜ao de algoritmos gen´eticos a problemas de agrupamento. Finalmente, na Se¸c˜ao 2.4, ser˜ao apresentados os algoritmos gen´eticos multi- objetivo de interesse para este trabalho.
2.2
Otimiza¸c˜ao Multi-objetivo
O problema de otimiza¸c˜ao multi-objetivo pode ser definido como: dado um vetor de vari´aveis de decis˜ao y = {y1, y2, ..., ys}, de dimens˜ao s, no espa¸co de solu¸c˜oes Y , encontrar um vetor solu¸c˜ao y∗
que minimize um conjunto de m fun¸c˜oes objetivo, z(y∗ ) = {z1(y∗
), z2(y∗
), ...zm(y∗
)} (Zitzler et al. 2004; Konak et al. 2006). Assim, neste trabalho, est´a sendo assumida a minimiza¸c˜ao dos objetivos, sem perda de generalidade, uma vez que qualquer objetivo que deva ser maximizado pode ser convertido em um problema de mini- miza¸c˜ao pela sua multiplica¸c˜ao por -1 (Handl and Knowles 2004). z(y) mapeia Y em Rm, com m≥ 2. Em geral, nos problemas reais de otimiza¸c˜ao, h´a v´arios objetivos conflitantes
que devem ser otimizados, isto ´e, objetivos em que melhoras em um freq¨uentemente causam pioras em outro (Zitzler 1999). Assim, geralmente n˜ao h´a uma ´unica solu¸c˜ao que minimize todas as fun¸c˜oes objetivo simultaneamente. Em lugar de uma ´unica solu¸c˜ao ´otima, como na otimiza¸c˜ao de um ´unico objetivo, a solu¸c˜ao para o problema de otimiza¸c˜ao multi-objetivo ´e dada por um conjunto de solu¸c˜oes com diferentes compromissos para os objetivos. Essas solu¸c˜oes s˜ao ´otimas no sentido de que n˜ao h´a outras solu¸c˜oes no espa¸co de busca que sejam superiores a elas ao se considerar todos os objetivos, ou seja, n˜ao s˜ao dominadas por outras solu¸c˜oes (Zitzler 1999).
Uma solu¸c˜ao y1 domina outra solu¸c˜ao y2 (y1 ≻ y2), se e somente se zi(y1) ≤ zi(y2) para i = 1, ..., m e zj(y1) < zj(y2) para pelo menos uma fun¸c˜ao objetivo j. Uma solu¸c˜ao ´e um ´otimo de Pareto se ela n˜ao ´e dominada por nenhuma outra solu¸c˜ao no espa¸co de solu¸c˜oes (Konak et al. 2006). Um ´otimo de Pareto n˜ao pode ser melhorado em rela¸c˜ao a algum objetivo sem piorar pelo menos um outro. O conjunto de todas as solu¸c˜oes n˜ao dominadas em Y (todos os ´otimos de Pareto) ´e chamado de conjunto ´otimo de Pareto (Pareto optimal set). Os valores das fun¸c˜oes objetivo para as solu¸c˜oes do conjunto ´otimo de Pareto comp˜oem o fronte de Pareto ´otimo (Pareto optimal front) (Konak et al. 2006). O ideal para um algoritmo de otimiza¸c˜ao multi-objetivo seria identificar todas as solu¸c˜oes do conjunto ´otimo de Pareto. Entretanto, para muitos problemas reais complexos, n˜ao ´e poss´ıvel encontrar todas as solu¸c˜oes ´otimas (Zitzler 1999; Konak et al. 2006). Com isso, a abordagem pr´atica para a otimiza¸c˜ao multi-objetivo busca por uma aproxima¸c˜ao do conjunto ´otimo de Pareto, que o represente da melhor forma poss´ıvel.
As principais dificuldades na resolu¸c˜ao de um problema de otimiza¸c˜ao multi-objetivo est˜ao no processo de otimiza¸c˜ao ou busca, em que um espa¸co de busca grande e complexo torna a busca dif´ıcil e impede o uso de m´etodos de otimiza¸c˜ao exata, e no processo de decis˜ao, em que a sele¸c˜ao da solu¸c˜ao com o compromisso mais adequado dentre as do conjunto ´otimo de Pareto depende do especialista humano (Zitzler 1999). Considerando esses dois processos, a otimiza¸c˜ao multi-objetivo pode considerar a tomada de decis˜ao antes, durante ou depois da busca (Zitzler 1999).
Na decis˜ao antes da busca, os objetivos do problema s˜ao agregados em um ´unico obje- tivo que inclui implicitamente as preferˆencias do especialista. Nesse caso, as estrat´egias de otimiza¸c˜ao de um ´unico objetivo podem ser utilizadas diretamente. Entretanto, essa abor- dagem requer um conhecimento profundo do dom´ınio, o que raramente est´a dispon´ıvel.
A tomada de decis˜ao depois da busca evita essa desvantagem, mas faz com que a complexidade do espa¸co de busca seja maior, pois a busca ´e feita sem as considera¸c˜oes do especialista que ajudam a limitar esse espa¸co. Outro problema desse caso ´e a visualiza¸c˜ao e apresenta¸c˜ao das solu¸c˜oes para o especialista no caso da existˆencia de muitos objetivos. A tomada de decis˜ao integrada ao processo de busca une as vantagens das outras
2.2 Otimiza¸c˜ao Multi-objetivo
abordagens. Nesse caso, a cada passo da otimiza¸c˜ao, v´arias solu¸c˜oes alternativas s˜ao apresentadas ao especialista. Com base nessas solu¸c˜oes, ele ajusta suas preferˆencias para guiar o processo de busca.
As abordagens mais tradicionais para a otimiza¸c˜ao multi-objetivo agregam os objetivos em uma ´unica fun¸c˜ao objetivo parametrizada, em analogia `a tomada de decis˜ao antes da busca (Zitzler 1999). Entretanto, os parˆametros dessa fun¸c˜ao s˜ao variados sistematica- mente durante v´arias execu¸c˜oes, em vez de serem determinados pelo especialista. Alguns exemplos dessas abordagens s˜ao: m´etodo de pondera¸c˜ao (weighting method ), m´etodo de restri¸c˜ao (constraint method ) e abordagem minmax (Zitzler 1999; Coello 1999). A prin- cipal vantagem desses m´etodos ´e que o problema pode ser resolvido por algoritmos para otimiza¸c˜ao de um ´unico objetivo j´a bastante estudados, incluindo algoritmos gen´eticos (AGs). Os principais problemas de v´arias dessas abordagens s˜ao:
• Sensibilidade `a forma do fronte de Pareto.
• Exigˆencia de conhecimento do problema para estabelecer a fun¸c˜ao a ser otimizada. • Necessidade de v´arias execu¸c˜oes do algoritmo de otimiza¸c˜ao para a obten¸c˜ao de uma
aproxima¸c˜ao do conjunto ´otimo de Pareto.
Uma alternativa a esses m´etodos cl´assicos s˜ao os algoritmos evolutivos, principalmente as abordagens baseadas em Pareto (Coello 1999). Os algoritmos evolutivos s˜ao bastante apropriados para resolver problemas de otimiza¸c˜ao multi-objetivo pois lidam simultanea- mente com um conjunto de poss´ıveis solu¸c˜oes (popula¸c˜ao), que permitem encontrar ao menos uma aproxima¸c˜ao do conjunto ´otimo de Pareto em uma ´unica execu¸c˜ao do algo- ritmo (Coello 1999). Al´em disso, os algoritmos evolutivos s˜ao menos sens´ıveis `a forma ou continuidade do fronte de Pareto. Mesmo assim, em muitas aplica¸c˜oes complexas, n˜ao ´e poss´ıvel gerar o conjunto ´otimo de Pareto completo. Com isso, ´e importante que, para a otimiza¸c˜ao de um problema multi-objetivo, sejam perseguidas as seguintes metas conflitantes (Zitzler 1999; Konak et al. 2006):
• A aproxima¸c˜ao obtida deve ser t˜ao pr´oxima quanto poss´ıvel do fronte de Pareto ´otimo. Idealmente, a aproxima¸c˜ao do conjunto de ´otimo Pareto deve ser um sub- conjunto do conjunto de ´otimo Pareto.
• As solu¸c˜oes na aproxima¸c˜ao devem estar uniformemente distribu´ıdas sobre o fronte de Pareto ´otimo.
• A aproxima¸c˜ao do fronte de Pareto deve capturar todo o espectro do fronte de Pareto ´otimo, incluindo solu¸c˜oes nos extremos do espa¸co das fun¸c˜oes objetivo. Em outras palavras, a aproxima¸c˜ao deve ter o maior espalhamento poss´ıvel.
Existe uma grande variedade de algoritmos evolutivos multi-objetivo que exploram diferentes caracter´ısticas, como c´alculo da aptid˜ao, diversidade da popula¸c˜ao e elitismo, para atingir essas metas (Zitzler 1999; Konak et al. 2006). A seguir, os conceitos b´asi- cos relacionados aos algoritmos evolutivos ser˜ao descritos, juntamente com os aspectos necess´arios para a sua aplica¸c˜ao aos problemas multi-objetivos para que atinjam essas metas.
2.3
Algoritmos Evolutivos
Os Algoritmos Evolutivos (AEs) simulam o processo de evolu¸c˜ao natural. De maneira bastante simplificada, evolu¸c˜ao ´e o resultado da intera¸c˜ao entre a cria¸c˜ao de novas in- forma¸c˜oes gen´eticas e sua avalia¸c˜ao e sele¸c˜ao (B¨ack et al. 1997). Nesse processo, um indiv´ıduo de uma popula¸c˜ao ´e afetado por outros indiv´ıduos e pelo ambiente. Quanto me- lhor um indiv´ıduo se sai nessas condi¸c˜oes, maior suas chances de sobreviver por um longo per´ıodo e de gerar descendentes, que herdam informa¸c˜oes gen´eticas dos pais. No curso da evolu¸c˜ao, isso faz com que as informa¸c˜oes gen´eticas de indiv´ıduos com aptid˜ao acima da m´edia sejam introduzidas na popula¸c˜ao. A natureza n˜ao determin´ıstica da reprodu¸c˜ao leva a uma produ¸c˜ao permanente de novas informa¸c˜oes gen´eticas e, portanto, a cria¸c˜ao de novos indiv´ıduos.
Com base nesse modelo de evolu¸c˜ao, pode ser definida uma estrutura geral para os AEs. A id´eia geral ´e manter um conjunto de solu¸c˜oes candidatas que s˜ao manipuladas por operadores gen´eticos e passam por um processo de sele¸c˜ao ao longo de uma s´erie de itera¸c˜oes (B¨ack et al. 1997). O conjunto de solu¸c˜oes candidatas ´e chamado popula¸c˜ao e cada uma das solu¸c˜oes corresponde a um indiv´ıduo. Cada itera¸c˜ao ´e chamada de gera- ¸c˜ao. Assim, Pt ´e a popula¸c˜ao de nP indiv´ıduos na gera¸c˜ao t. A sele¸c˜ao determina quais indiv´ıduos v˜ao se reproduzir, gerando descendentes para a pr´oxima gera¸c˜ao. Para isso, ´e empregada uma fun¸c˜ao que mede a qualidade de cada indiv´ıduo, denominada aptid˜ao, que ´e baseada na fun¸c˜ao objetivo, espec´ıfica para cada problema. Os indiv´ıduos com maior valor de aptid˜ao s˜ao selecionados para reprodu¸c˜ao. A estrutura geral de um AE ´e dada por (B¨ack et al. 1997; Zitzler 1999; Rezende 2003):
1. Inicializa o n´umero da gera¸c˜ao: t = 0. 2. Inicializa Pt com nP indiv´ıduos.
3. Calcula a aptid˜ao de cada indiv´ıduo de Pt. 4. t = t + 1.
2.3 Algoritmos Evolutivos
6. Aplica os operadores gen´eticos a Pt (os mais comuns s˜ao os operadores de recombi- na¸c˜ao e muta¸c˜ao).
7. Se o crit´erio de parada n˜ao foi satisfeito, volta ao passo 3.
Existem pelo menos trˆes categorias principais de AEs: algoritmos gen´eticos (AGs), programa¸c˜ao evolutiva e estrat´egias de evolu¸c˜ao (B¨ack et al. 1997). Dessas categorias, foram derivadas in´umeras varia¸c˜oes. As principais diferen¸cas entre uma abordagem e outra est˜ao na representa¸c˜ao dos indiv´ıduos, no projeto dos operadores gen´eticos ou nos mecanismos de sele¸c˜ao e reprodu¸c˜ao (B¨ack et al. 1997).
Na maioria das aplica¸c˜oes reais, o espa¸co de busca ´e constitu´ıdo por entidades reais ou indiv´ıduos relacionados ao problema (B¨ack et al. 1997). No contexto desta Tese, por exemplo, esses indiv´ıduos s˜ao as parti¸c˜oes do conjunto de dados. As caracter´ısticas ou parˆametros que definem esses indiv´ıduos e que est˜ao sujeitas a otimiza¸c˜ao comp˜oem o espa¸co de fen´otipos (B¨ack et al. 1997). No exemplo, o fen´otipo englobaria o n´umero de
clusters da parti¸c˜ao e a distribui¸c˜ao dos itens de dados (referidos nas demais se¸c˜oes como
objetos) nos clusters. Por outro lado, os operadores gen´eticos freq¨uentemente lidam com entidades matem´aticas que representam as entidades reais. Essas representa¸c˜oes comp˜oem o espa¸co dos gen´otipos (B¨ack et al. 1997). Com isso, faz-se necess´aria a utiliza¸c˜ao de uma fun¸c˜ao de mapeamento ou codifica¸c˜ao que mapeie o fen´otipo de uma entidade no seu gen´otipo e outra que decodifique o gen´otipo em fen´otipo (B¨ack et al. 1997).
O projeto de um AE espec´ıfico para a solu¸c˜ao de um determinado problema, em geral, pode seguir duas abordagens. A primeira delas corresponde a escolha de um dos algo- ritmos padr˜ao para ser utilizado e o projeto de uma fun¸c˜ao de codifica¸c˜ao/decodifica¸c˜ao apropriada. Essa abordagem oferece como vantagem a utiliza¸c˜ao de representa¸c˜oes e ope- radores j´a extensamente utilizados e com resultados te´oricos demonstrados (B¨ack et al. 1997). A desvantagem est´a nas fun¸c˜oes de codifica¸c˜ao/decodifica¸c˜ao: “uma fun¸c˜ao de codifica¸c˜ao complexa pode introduzir n˜ao linearidades e outras dificuldades matem´aticas que podem retardar substancialmente o processo de busca” (B¨ack et al. 1997). A segunda abordagem consiste do projeto de uma representa¸c˜ao do indiv´ıduo t˜ao pr´oxima quanto poss´ıvel de seu fen´otipo e a constru¸c˜ao de operadores gen´eticos que trabalhem sobre essa representa¸c˜ao (Michalewicz 1996; B¨ack et al. 1997). Essa abordagem para uma repre- senta¸c˜ao “natural” e operadores espec´ıficos, al´em de evitar a necessidade das fun¸c˜oes de codifica¸c˜ao/decodifica¸c˜ao, constitui uma abordagem promissora para solu¸c˜ao de muitos problemas (Michalewicz 1996; B¨ack et al. 1997).
Em agrupamento, que ´e o contexto de aplica¸c˜ao dos EAs nesta Tese, h´a diversos trabal- hos que empregam AGs. A maioria dessas abordagens utilizam AGs para a otimiza¸c˜ao de um ´unico objetivo. Dos trabalhos encontrados, apenas os de Handl e Knowles (Handl and
Knowles 2004; Handl and Knowles 2005a; Handl and Knowles 2005b; Handl and Knowles 2006a) utilizam AGs para a otimiza¸c˜ao de v´arios objetivos. Falkenauer (1998) e Cole (1998) fazem uma revis˜ao das formas de representa¸c˜ao e operadores comumente emprega- dos em problemas de agrupamento. Nesta Tese n˜ao ser˜ao discutidas essas abordagens, pois se optou por usar uma representa¸c˜ao diretamente relacionada ao conceito de parti¸c˜ao e operadores especiais adequados. A principal raz˜ao est´a no centro da abordagem proposta que consiste da uni˜ao da abordagem de agrupamento multi-objetivo com o ensemble de agrupamentos feita por um operador de recombina¸c˜ao especial que trabalha diretamente sobre parti¸c˜oes. Al´em disso, considerou-se a facilidade de se trabalhar diretamente so- bre o conceito utilizado, sem a necessidade de fun¸c˜oes de codifica¸c˜ao/decodifica¸c˜ao. Mais ainda, essa representa¸c˜ao atende a v´arios aspectos importantes de uma boa representa¸c˜ao. Em primeiro lugar, ela evita o problema de redundˆancia dos indiv´ıduos (v´arios indiv´ıduos diferentes representando uma mesma solu¸c˜ao). Juntamente com o operador de recombi- na¸c˜ao proposto, evita-se a necessidade de corre¸c˜ao dos cromossomos para garantir que o indiv´ıduo seja v´alido. Al´em disso, qualquer solu¸c˜ao ´e poss´ıvel de ser representada, ou seja, a representa¸c˜ao ´e completa.
Como j´a mencionado, os AEs s˜ao bastante apropriados para a otimiza¸c˜ao de m´ultiplos objetivos. Os principais pontos a serem considerados no projeto de algoritmos evolutivos multi-objetivo que atinjam as trˆes metas apresentadas na Se¸c˜ao 2.2 s˜ao (Zitzler 1999; Konak et al. 2006):
C´alculo da fun¸c˜ao de aptid˜ao e sele¸c˜ao: diferentemente da otimiza¸c˜ao de um ´unico objetivo, em que a fun¸c˜ao objetivo e a fun¸c˜ao de aptid˜ao freq¨uentemente s˜ao idˆenti- cas, nos AGs multi-objetivo, tanto o c´alculo da fun¸c˜ao de aptid˜ao, quanto a sele¸c˜ao, devem considerar as v´arias fun¸c˜oes objetivo a serem otimizadas. As trˆes principais alternativas gerais para calcular a fun¸c˜ao de aptid˜ao e realizar a sele¸c˜ao s˜ao:
• Sele¸c˜ao por meio da alternˆancia dos objetivos: a cada vez que um indiv´ıduo ´e selecionado, uma fun¸c˜ao objetivo diferente ´e empregada. Essa tipo de abor- dagem ´e f´acil de ser implementada, por´em faz com que a popula¸c˜ao convirja para solu¸c˜oes que podem ser muito boas em rela¸c˜ao a um objetivo, mas muito ruins em rela¸c˜ao a outros.
• Sele¸c˜ao por meio de agrega¸c˜ao: os objetivos s˜ao agregados em uma ´unica fun¸c˜ao objetivo parametrizada, sendo os parˆametros variados sistematicamente du- rante a execu¸c˜ao do algoritmo. Com isso, a sele¸c˜ao ´e feita de maneira tradi- cional, como nos AGs com um ´unico objetivo. A implementa¸c˜ao dessa abor- dagem tamb´em ´e bastante f´acil, uma vez que os AGs com um objetivo podem ser empregados. A principal desvantagem ´e que essa abordagem tem difi-
2.3 Algoritmos Evolutivos
culdades em encontrar solu¸c˜oes uniformemente distribu´ıdas em um fronte de Pareto ´otimo n˜ao convexo.
• Sele¸c˜ao por meio de ranks baseados em Pareto: o c´alculo da fun¸c˜ao de aptid˜ao e a sele¸c˜ao s˜ao feitos explicitamente utilizando o conceito de dominˆancia de Pareto. A popula¸c˜ao ´e ordenada de acordo com uma regra de dominˆancia e o valor da aptid˜ao de um indiv´ıduo ´e calculado com base no seu rank dentro da popula¸c˜ao, em vez de considerar diretamente os valores das fun¸c˜oes objetivo. As t´ecnicas baseadas em Pareto s˜ao as mais populares na otimiza¸c˜ao multi- objetivo, e ´e a alternativa que os algoritmos considerados nesta Tese empregam. Diversidade da popula¸c˜ao: manter a diversidade na popula¸c˜ao ´e importante nos AGs multi-objetivo para gerar solu¸c˜oes uniformemente distribu´ıdas sobre o fronte de Pareto ´otimo (Konak et al. 2006). Dois dos m´etodos empregados para isso s˜ao:
• Fitness sharing: essa abordagem ´e empregada para encorajar a busca em regi˜oes n˜ao exploradas do fronte de Pareto reduzindo artificialmente a aptid˜ao dos indiv´ıduos em ´areas densamente povoadas. Essa abordagem ´e a mais fre- q¨uentemente utilizada. Ela tem o objetivo de gerar e manter nichos est´aveis e se baseia na id´eia de que indiv´ıduos que est˜ao em um nicho, compartilham os recursos dispon´ıveis. Assim, quanto mais indiv´ıduos est˜ao na vizinhan¸ca de um certo indiv´ıduo, mais sua aptid˜ao ´e degradada (Zitzler 1999). Uma desvantagem dessa abordagem ´e a necessidade de ajuste de mais um parˆametro espec´ıfico para esse fim.
• Crowding distance: essa abordagem tem o objetivo de obter um espalhamento uniforme de solu¸c˜oes ao longo do melhor fronte de Pareto conhecido, sem a necessidade do parˆametro utilizado na abordagem fitness sharing. Nessa abor- dagem, os indiv´ıduos novos substituem indiv´ıduos similares na popula¸c˜ao. Elitismo: nos AGs com um ´unico objetivo, o elitismo diz respeito a manuten¸c˜ao do(s)
indiv´ıduo(s) com maior aptid˜ao na popula¸c˜ao. Nos AGs multi-objetivo, todas as solu¸c˜oes n˜ao dominadas s˜ao consideradas como solu¸c˜oes de elite. A implementa¸c˜ao do elitismo nos AGs multi-objetivo n˜ao ´e t˜ao simples e direta como no caso de um ´
unico objetivo, principalmente devido ao grande n´umero de solu¸c˜oes de elite (Konak et al. 2006). Existem duas estrat´egias b´asicas para implementar o elitismo nos AGs multi-objetivo, que podem inclusive ser combinadas:
• Manter as solu¸c˜oes elitistas na popula¸c˜ao: Uma implementa¸c˜ao direta do elitismo nos AGs multi-objetivo seria copiar todas as solu¸c˜oes n˜ao domina- das na popula¸c˜ao da pr´oxima gera¸c˜ao e preencher o restante dos indiv´ıduos