Gri İlişkisel Analiz (GRA)

Gri ilişki Analizi, 1982 yılında J. Deng tarafından geliştirilmiştir (Deng,1982). Gri sistem teorisinin alt başlıklarından birisi olarak bilimsel çalışmalarda yerini almış olup bir derecelendirme, sınıflandırma ve karar verme tekniğidir (Lin ve diğ. 2004).

Faktörler arası karmaşık ilişkilerin bulunduğu karar problemlerine uygulanabilen bir çözüm yöntemidir. Nicel veri setlerinde uygulanabildiği gibi dilsel değişkenlerin kullanıldığı nitel veri setlerine de uygulanabilir.

Gri sistem teorisinde renklerin koyuluğu genelde bilginin belirginliğinin derecesini ifade etmektedir (Liu ve Lin 2006). Siyah bilinmeyen bilgi, beyaz bilinen bilgi, gri ise kısmen bilinen ve kısmen bilinmeyen bilgi olmaktadır. Böylece kesin olarak bilinmeyen bilgiyle sistemler siyah sistemler, kesin olarak bilinen bilgiyle sistemler beyaz sistemler, kısmen bilinmeyen ve kısmen bilinen bilgiyle sistemler ise gri sistemler olarak tanımlanırlar (Lin ve diğ. 2004: Liu ve Lin 2006).

28

Tablo 3.15: Siyah, beyaz ve gri sistemlerin karşılaştırılması (Liu ve Lin 2006)

GRA Yönteminin Adımları

GRA yöntemi kullanarak alternatifler arasında kıyaslama ve sıralama yapmak için aşağıdaki adımlardan oluşan çözüm yöntemi kullanılmalıdır. Bu adımlar (Wu 2002):

 Veri setinin hazırlanması ve karar matrisinin oluşturulması  Referans serisinin ve karşılaştırma matrisinin oluşturulması

 Karar matrisinin normalize edilmesi ve normalizasyon matrisinin oluşturulması

 Mutlak değer tablosunun oluşturulması  Gri ilişkisel katsayı matrisinin oluşturulması  Gri ilişkisel derecelerin hesaplanması adımlarıdır.

Adım 1: Veri setinin hazırlanması ve karar matrisinin oluşturulması

Karar problemine ait, karşılaştırmaya konu olacak m adet faktör serisi belirlenir.

x_i=(x_i(j),…, x_i(n)), i=1,2,…,m j =1,2,…,n

(3.1)

ÇKKV problemlerinde alternatifler xi’ler ile alternatiflerin her bir kriter için

aldığı değerler ise xi(j)’ler ile gösterilmektedir. m adet seri oluşturulduktan sonra X

matrisi üzerinde gösterilecek karar matrisi oluşturulmuş olur.

Siyah Gri Beyaz

Bilgi bakımından Bilinmiyor Tam değil Biliniyor

Görünüm bakımından Karanlık Gri Aydınlık

Süreç bakımından Yeni Geçiş dönemi Eski

Özellik bakımından Düzensiz Kompleks Düzenli

Yöntem bakımından Olumsuz Değişken Olumlu

Davranış bakımından Hoşgörü Tolerans Katı

29 𝑋 = [ x₁(1) x₁(2) ⋯ x₁(n) x₂(1) x₂(2) ⋯ x₂(n) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ xm(1) xm(2) ⋯ xm(n) ] (3.2)

Adım 2: Referans serisinin ve karşılaştırma matrisinin oluşturulması

Karar probleminde faktörleri kıyaslamak üzere belirlenecek referans seri, x0=(x0(j)) j=1,2,…,n (3.3)

şeklinde gösterilir. Burada 𝑥0(𝑗), j. Kriterin normalize değerler içindeki en

büyük değerini göstermektedir. Referans serisi bir önceki adımda oluşturulan karar matrisine ilk satır olarak eklenerek karşılaştırma matrisine dönüştürülür.

Adım 3: Karar matrisinin normalize edilmesi ve normalizasyon matrisinin

oluşturulması

Karar probleminde kullanılan serilerin farklı ölçeklerde ve farklı birimlerde değerlendirildiği düşünüldüğünde verilerin aynı birime dönüştürülmesi serilerin karşılaştırılabilir olması için zorunlu olmaktadır. Serinin çok geniş aralıklarda değerler aldığı verilerin daha küçük aralıklara çekilmesine olanak sağlayan bu dönüştürme işlemine normalizayon işlemi adı verilmektedir. Normalizasyon yapılarak verilerin karşılaştırılabilir seviyelere getirilmesi işlemi gri teoride gri ilişkisel oluşum olarak da ifade edilmektedir.

Normalizasyon işlemi serinin amaç fonksiyonuna etki noktasında gösterdiği özelliğe göre 3 farklı şekilde yapılmaktadır. Normalizasyon işleminde farklı yöntemlerin izlenmesinin önünde serinin özelliği bulunmaktadır.

Fayda Durumu: Seri değerinin daha büyük olması amaca olumlu katkı sağlıyorsa normalizasyon işlemi aşağıdaki eşitliğe göre yapılır.

x_i*=

xi(j)- min_j xi(j)

max

j xi(j) - minj xi(j)

30

Maliyet Durumu: Seri değerinin daha küçük olması amaca olumlu katkı sağlıyorsa normalizasyon işlemi aşağıdaki eşitliğe göre yapılır.

x_i*₌ maxj xi(j) -xi(j)

max

j xi(j) - minj xi(j)

(3.5)

Optimal Durumu: Seri değerinin belirlenen bir optimal değere göre normalizasyon aşağıdaki eşitliğe göre yapılır.

x_i*₌ |xi(j)- xob(j)|

max

j xi(j) -xob(j)

(3.6)

Eşitlik 6’da yer alan xob(j), belirlenen optimal değer olup j. kriterin hedef

değeridir ve max

j xi(j) ≥ xob(j)≥ minj xi(j) aralığında yer almaktadır.

Normalizasyon adımlarının ardından karar matrisi normalizasyon matrisine dönüştürülmüş olur ve X* _{ile gösterilir.}

X*= [ x₁*_{(1) x} 1 *_{(2) ⋯ x} 1 *_(n) x₂*(1) x₂*(2) ⋯ x₂*(n) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ xm*(1) xm*(2) ⋯ xm*(n)] (3.7)

Adım 4: Mutlak değer tablosunun oluşturulması

x0* ile xi* arasındaki mutlak farkın değeri ∆0𝑖 (j) Eşitlik 3.8 yardımıyla

hesaplanır. ∆0i=|x0*(j),…, xj*(j)| i=1,2,…,m j =1,2,…,n (3.8) ∆0i= [ ∆01(1) ∆01(2) ⋯ ∆01(n) ∆02(1) ∆02(2) ⋯ ∆02(n) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∆0m(1) ∆0m(2) ⋯ ∆0m(n) ] (3.9)

31

Gri ilişkisel katsayı matrisinin elemanları Eşitlik 10 kullanılarak hesaplanır.

γ_0i(j)= ∆min+ ζ∆max ∆0i(j)+ ζ∆max (3.10) ∆max= max i maxj Δ0i(j) ∆_min= min i minj Δ0i(j) (3.11)

Eşitlik 10’da yer alan ζ parametresi, ayırıcı katsayı olup [0,1] aralığında değerler alır. Ayrıca katsayı bazı kaynaklarda zıtlık kontrol katsayısı olarak da ifade edilmektedir. ζ ayırıcı katsayısının kullanılmasında amaç, ∆_0i ile ∆_maxarasındaki farkı ayarlamaktır. Matematiksel ispatından hareketle ζ ayırıcı katsayısının [0,1] aralığından alacağı değerin oluşan gri ilişkisel derecenin sıralamasını değiştirmeyeceği ifade edilir. ζ =1 için ayırıcılık en üst seviyede iken, ζ=0 için zıtlığın olmadığı bir ortam oluşur. Veri farkının fazla olduğu durumlarda zıtlığı azaltmak ζ ayırıcı katsayısı olarak 0’a yakın değerler kullanılmaktadır. Literatürde çeşitli disiplinlerde yapılan çalışmalarda ayırıcı katsayı olarak ζ= 0,5 kullanıldığı görülmektedir (Baş 2010).

Adım 6: Gri ilişkisel derecelerin hesaplanması

Gri ilişkisel derece, gri bir sitemdeki 𝑥_𝑖∗ _{serisi ile 𝑥}

0∗ referans serisi arasındaki

geometrik benzerliğin bir ölçüsü olup serilerin karşılaştırılmasına imkân tanımaktadır. Gri ilişkisel derecenin büyüklüğü x_i* serisi ile 𝑥₀∗ referans seri arasındaki ilişkinin kuvvetli olduğunu göstermektedir, öyle ki gri ilişkisel derece 1 olduğu durumda karşılaştırılan serilerin aynı olduğu sonucuna varılır. Hesaplanan gri ilişkisel derece ile karşılaştırılan 𝑥_𝑖∗ _{serisi ile 𝑥}

0∗ referans serisine ne derece benzer olduğu görülebilir

(Yılmaz ve Güngör 2010).

Gri ilişkisel dereceler kriterlerin eşit öneme sahip olmasına ya da farklı önem derecelerini göstermek üzere ağırlıklandırılmasına bağlı olarak iki farklı şekilde hesaplanır. r0i= 1 n∑ γ0i(j) n j=1 i=1,2,……,m (3.12)

32

Eşitlik 12’de 𝑟_0𝑖, 𝑖. serinin gri ilişkisel derecesini göstermektedir ve kriterlerin eşit öneme sahip olduğu durumu ifade etmektedir. Fakat kriterler farklı ağırlıklara (önem dercesine) sahipse,

r0i= ∑[wi(j).γ_0i(j)] n

j=1

i =1,2,……,m (3.13)

Eşitliğinden faydalanılır. Eşitlik 13’de wi(j), j. kriterin ağırlığını

göstermektedir.

Gri ilişkisel derecelerin hesaplanmasının ardından gri ilişkisel dereceler referans seriye olan geometrik benzerliği göstermek üzere büyükten küçüğe doğru sıralanır. En yüksek gri ilişkisel dereceye sahip alternatif, karar problemi için en iyi alternatif olarak belirlenmiş olur.