Exploramos a evolu¸c˜ao de sistemas m´ultiplos como o de Plut˜ao, seguindo a migra¸c˜ao planet´aria proposta por L08, em que Urano e Netuno tˆem, ap´os o ´ultimo encontro pr´oximo entre eles, ´orbitas com excentricidades significativas. Esta hip´otese ´e consistente com os resultados obtidos em muitas das simula¸c˜oes num´ericas do modelo de Nice para a evolu¸c˜ao dinˆamica de J´upiter, Saturno, Urano e Netuno. O modelo apresentado em Tsiganis et al. (2005) reproduz numericamente a evolu¸c˜ao que o sistema Solar externo pode ter passado ap´os a fase de disco gasoso ter terminado. Neste modelo, a baixa inclina¸c˜ao orbital inicial e as ´orbitas quase-circulares dos planetas gigantes (Morbidelli et al. 2009) evoluem em semi- eixo maior como uma consequˆencia da intera¸c˜ao com os planetesimais do disco primordial para conservar o momento angular do sistema. Como dissemos anteriormente, o disco foi assumido ter ∼35 massas da Terra com a borda externa em ∼34 UA, assumindo que os planetas ✕J´upiter, Saturno, Urano e Netuno ✕apresentavam uma configura¸c˜ao mais compacta com a variando de ∼5,5 - 14 UA. Depois de aproximadamente 875 milh˜oes de anos de migra¸c˜ao em uma taxa lenta, J´upiter e Saturno cruzam a RMM m´utua 1:2. Quando J´upiter e Saturno est˜ao nesta configura¸c˜ao de ressonˆancia, as excentricidades dos dois planetas se tornaram maiores do que as observadas, e consequentemente as excentrici- dades de Urano e Netuno tamb´em assumiram valores maiores do que as atuais. O per´ıodo que segue este evento ´e caracterizado por encontros pr´oximos entre os planetas, pelo espalhamento dos gigantes de gelo para ´orbitas mais distante dos Sol, e pelo amortecimento das excentricidades dos planetas em alguns milh˜oes de anos devido `a
fric¸c˜ao dinˆamica exercida pelos pr´oprios planetesimais do disco. A migra¸c˜ao planet´aria p´ara quando a maioria das part´ıculas do disco ´e removida.
A fim de avaliarmos se encontros do tipo que ocorreram durante a fase de migra¸c˜ao dos planetas no sistema Solar externo poderia romper um sistema como o de Plut˜ao (mais detalhes em 4.2.1) realizamos simula¸c˜oes num´ericas tendo como premissa a rodada-B de L08 e utilizamos o pacote H´ıbrido do integrador de N-corpos Mercury 6.2 (Chambers 1999). Integramos um conjunto inicial de 60.000 part´ıculas-teste (sem massa); destas, metade pertence ao disco interno e a outra metade ao externo. A divis˜ao em interno e externo ocorre em termos de valores que as part´ıculas assumem para a, e e i. As part´ıculas foram distribu´ıdas em ´orbitas com semi-eixo maior variando uniformemente de 20 a 34 UA, com excentricidades e inclina¸c˜oes selecionadas aleatoriamente entre 0 e emax
e 0◦
e imax, respectivamente. As condi¸c˜oes iniciais do disco s˜ao sumarizadas na Tabela 4.
Estas condi¸c˜oes seguem os resultados apresentados pelo modelo de Nice, em que o disco externo ´e mais “frio”.
Parˆametro disco interno disco externo
a (UA) 20-29 29-34
e 0,0-0,3 0,0-0,15
i (graus) 0-10 0-5
Tabela 4: Elementos orbitais iniciais do disco de planetesimais em rela¸c˜ao ao Sol.
Inclu´ımos os quatro plantas gigantes com as seguintes condi¸c˜oes iniciais: J´upiter com a = 5,2 UA e Saturno com a = 9,6 UA, com baixas inclina¸c˜oes e excentricidade (10−3
); Urano com a = 17,5 UA e e = 0,2, e Netuno com a = 29,0 UA e e = 0,3. Assumimos inclina¸c˜oes iguais 1◦
para Urano e Netuno. A migra¸c˜ao dos gigantes de gelo foi imple- mentada inserindo for¸cas fict´ıcias na rotina mfo–user do Mercury 6.2, de acordo com as seguintes f´ormulas (e.g. Malhotra, 1993; Levison et al. 2008):
a = af − ∆a exp(−t/τa)
e = e0 exp(−t/τe)
em que os ´ındices 0 e f indicam inicial e final, respectivamente; ∆a = (af - a0), t representa
o tempo na integra¸c˜ao num´erica e τ ´e o tempo de expans˜ao em que o usu´ario pode ajustar de maneira a ter a configura¸c˜ao final dos planetas desejada. Em nosso caso assumimos τa = 3 × 106 e τe = 1 × 106. Somente Urano e Netuno tiveram os semi-eixo maiores e as
excentricidades evolu´ıdos desta maneira.
N˜ao aplicamos for¸cas fict´ıcias para controlar a varia¸c˜ao da inclina¸c˜ao dos planetas. No entanto, para evitar que a evolu¸c˜ao dos gigantes de gelo fosse ca´otica, inclu´ımos a seguinte for¸ca em nosso integrador (Levison et al. 2008):
fU N =
GMNMU
(x2
U N + ǫ2)3/2
xU N (23)
em que MU and MN se referem as massas de Urano e Netuno, respectivamente, xU N ´e
o vetor posi¸c˜ao relativa entre ambos, e ǫ = 0, 8 UA. De outra maneira, verificamos que ambos apresentam evolu¸c˜ao ca´otica.
O parˆametro de precis˜ao adotado nas integra¸c˜oes num´ericas foi de 10−12
, com passo de 200 dias e por um tempo total de 108 anos dividido em trˆes etapas: migra¸c˜ao radial
e decaimento da excentricidade dos planetas, somente migra¸c˜ao radial, e evolu¸c˜ao orbital sem migra¸c˜ao ou decaimento de excentricidade. A primeira etapa durou aproximada- mente 1 milh˜ao de anos. Neste per´ıodo ocorre o decaimento das excentricidades de Urano e Netuno, no entanto, eles continuam migrando “para fora” at´e 10 milh˜oes de anos ✕ se- gunda etapa. Ao final das etapas que envolvem migra¸c˜ao, integramos numericamente o sistema planetas–part´ıculas por mais 9 × 107 anos a fim de eliminarmos part´ıculas que
poderiam estar inst´aveis no Cintur˜ao de Kuiper, entre 35 e 60 UA. Ap´os este intervalo de tempo os planetas ainda podem estar migrando (p. ex., Nesvorn´y & Morbidelli 2012). Procedimento similar foi adotado por L08, no entanto sua ´ultima etapa durou 1 bilh˜ao de anos.
Ao final de nossa integra¸c˜ao num´erica de 108anos, os planetas envolvidos tˆem posi¸c˜oes
finais muito similar `as observadas atualmente. Os valores de a de J´upiter e Saturno ao final da integra¸c˜ao s˜ao os mesmos valores do in´ıcio, no entanto, para Urano e Netuno os novos valores s˜ao aU ∼= 19, 1 UA e aN ∼= 30, 3 UA, respectivamente. O semi-eixo
maior final de Urano e Netuno diferem por ∆aU = 0, 1 AU e ∆aN = 0, 2 AU, respec-
tivamente, dos valores atuais; enquanto que as excentricidades finais s˜ao: eJ = eS =
eU = 0,01 e eN = 0,005 (os ind´ıces J, S, U e N s˜ao indicativos dos planetas). As in-
clina¸c˜oes se mantiveram praticamente iguais aos valores iniciais durante todo o processo. A crit´erio de compara¸c˜ao, os valores reais s˜ao: aU = 19,2 UA, aN = 30,1 UA, eU = 0,05 e
eN = 0,001 (Murray & Dermott 1999). As part´ıculas foram eliminadas quando ultrapas-
saram a distˆancia de 60 UA do Sol ou quando colidiram fisicamente com um dos planetas. Apresentamos a evolu¸c˜ao dos semi-eixo maiores, excentricidades e inclina¸c˜oes dos qua- tro planetas gigantes nas Figuras 11, 12 and 13:
Figura 11: A evolu¸c˜ao de cada planeta ´e representada por trˆes curvas: af´elio, semi-eixo maior e peri´elio.
Figura 13: Evolu¸c˜ao temporal da inclina¸c˜ao de cada um dos quatro planetas. As Figuras 14 e 15 apresentam a por e e i para o tempo de 108anos, respectivamente,
das part´ıculas-teste capturadas como objetos do Cintur˜ao de Kuiper. A configura¸c˜ao final do Cintur˜ao de Kuiper pos n´os obtida n˜ao reproduz bem a distribui¸c˜ao determinada por observa¸c˜oes e classificadas por Gladman et al. (2008). Em termos da distribui¸c˜ao a-e (Fig. 14) o disco se estende at´e ∼ 46 UA, enquanto que a borda externa do Cintur˜ao Cl´assico ´e a RMM 2:1 com Netuno (em ∼ 48 UA). Tamb´em podemos notar que as RMM 5:4 e 4:3 com Netuno est˜ao populosas, o que tamb´em est´a em desacordo com dados observacionais. Finalmente, como pode ser visto na Fig. 15, n˜ao reproduzimos a classe dos objetos espalhados do KB, mesmo j´a tendo sido demonstrado (p. ex., Levison et al. 2008) que esses objetos s˜ao associados com o espalhamento gravitacional por Netuno. Ainda na Fig. 15 podemos notar tamb´em que a regi˜ao de 40 a 42 UA n˜ao est´a vazia para inclina¸c˜oes baixas como esperado (p. ex., Duncan et al. 1995, Morbidelli et al. 1995).
De fato, temos a presen¸ca de diversas part´ıculas pr´oximas as RMM de primeira, se- gunda e terceira ordem com Netuno (Figuras 14 e 15). Por exemplo, as RMM 3:2, 5:3, 7:4, assim como ´e descrito na literatura (e.g. Malhotra 1995, Lykawka & Mukai 2008), s˜ao particulamente populosas. Para a ressonˆancia 3:2, as excentricidades das part´ıculas variam de ∼0,1 a ∼0,3, enquanto que a inclina¸c˜ao varia de 0 a ∼20 graus. Portanto, a distribui¸c˜ao obtida atrav´es de nossa simula¸c˜ao num´erica est´a em boa concordˆancia com os valores obtidos atrav´es de observa¸c˜oes desta popula¸c˜ao (p. ex., Gladman et al. 2008, Kavelaars et al. 2009).
O objetivo principal neste trabalho ´e reproduzir a distribui¸c˜ao apresentada pelos Pluti- nos, para utilizar este conjunto de posi¸c˜oes/velocidades como condi¸c˜ao inicial para uma an´alise subsequente. Gostar´ıamos de ressaltar que este tipo de integra¸c˜ao num´erica com N -corpos ´e dispendiosa computacionalmente. Embora tenhamos particionado o disco ini-
cial em m´ultiplos discos, cada simula¸c˜ao num´erica necessita de um per´ıodo longo de tempo de significativo processamento computacional, o que dificulta muitas vezes a realiza¸c˜ao de diversos testes simultˆaneos.
Figura 14: Semi-eixo maior por excentricidade das part´ıculas-teste. As linhas verticais s´olidas indicam ressonˆancias de movimento m´edio com Netuno.
Figura 15: Semi-eixo maior por inclina¸c˜ao das part´ıculas-teste. As linhas verticais s´olidas indicam ressonˆancias de movimento m´edio com Netuno.
A fim de determinar quais part´ıculas foram capturadas na RMM 3:2 com Netuno, n´os selecionamos, primeiramente, aquelas part´ıculas cuja distˆancia ao semi-eixo maior ressonante era menor que 0,5 UA, e que possu´ıssem e > 0,1 e i > 5◦
. Queremos tratar planetesimais dinamicamente “quentes”, assim como Plut˜ao. A seguir, analisamos a li- bra¸c˜ao do seguinte ˆangulo ressonante:
φ = 3λ − 2λp− ̟ (24)
em que λp e λ s˜ao as longitudes m´edias de Netuno e da part´ıcula, respectivamente, e ̟ ´e a
longitude do pericentro da part´ıcula. Ao final, uma part´ıcula ´e considerada capturada na ressonˆancia 3:2 se o ˆangulo ressonante (φ) libra durante os ´ultimos 50 milh˜oes de anos da integra¸c˜ao num´erica. Somente 106 part´ıculas satisfizeram o crit´erio acima (na sequˆencia deste texto podemos nos referir a essas part´ıculas como part´ıculas pr´e-selecionadas), as quais s˜ao 5% da popula¸c˜ao final do KB que obtivemos. Ainda que a eficiˆencia de reten¸c˜ao ´e pequena, as integra¸c˜oes num´ericas neste trabalhao tˆem como objetivo principal possibilitar a verifica¸c˜ao dos efeitos da implanta¸c˜ao de um sistema semelhante ao de Plut˜ao no KB atrav´es do espalhamento devido a Netuno, e n˜ao reproduzir fielmente a configura¸c˜ao final do disco transnetuniano. Assim, n˜ao consideramos a fra¸c˜ao de reten¸c˜ao pequena um problema neste momento. Trujillo et al. (2001) afirmam que a popula¸c˜ao em RMM com Netuno corresponde a aproximadamente 10% da popula¸c˜ao do KB, enquanto que Kavelaars et al. (2008) prevˆeem que cerca de 20% dos objetos do KB est˜ao na RMM 3:2.
Nosso resultado ´e mais consistente com Trujillo et al.
De 106 planetesimais, 26 vieram do disco interno e 80 do disco externo. L08 tamb´em afirma que part´ıculas vinda do disco externo est˜ao ligeiramente em maior n´umero na distribui¸c˜ao final dos Plutinos. A crit´erio de compara¸c˜ao de acordo com Murray-Clay & Schlichting (2011) h´a 101 objetos conhecidos na RMM 3:2, sendo que 26 destes tem i < 5◦
, ou 75 tem i > 5◦
, o que ´e compar´avel aos nossos resultados pelo menos em ordem de magnitude. Na Figura 16 apresentamos a libra¸c˜ao do ˆangulo ressonante de um planetesimal. A libra¸c˜ao ´e, em geral, em torno de 180◦
.
Figura 16: Libra¸c˜ao do ˆangulo ressonante 3:2 de um planetesimal do disco em fun¸c˜ao do tempo.
Na Figura 17 apresentamos a varia¸c˜ao temporal da distˆancia heliocˆentrica para uma part´ıcula capturada na RMM 3:2 com Netuno. O semi-eixo maior final desta part´ıcula ´e cerca de 40 UA, a grande separa¸c˜ao entre as curvas que representam o peri´elio e o af´elio ´e um indicativo da alta excentricidade da ´orbita, uma vez que selecionamos part´ıculas com e > 0,1 ap´os 108 anos. Esta figura mostra a migra¸c˜ao contr´aria ao Sol da part´ıcula.
Figura 17: Evolu¸c˜ao orbital de um part´ıcula capturada na RMM 3:2 com Netuno. Trˆes curvas s˜ao mostradas de cima para baixo: af´elio, semi-eixo maior e peri´elio. A linha horizontal s´olida indica a localiza¸c˜ao nominal da RMM 3:2 de acordo com a posi¸c˜ao final de Netuno obtida em nossa simula¸c˜ao da migra¸c˜ao planet´aria.
Durante a migra¸c˜ao dos planetas gigantes, n´os guardamos as posi¸c˜oes e velocidades dos planetesimais e do planeta a cada vez que o planetesimal passou a uma distˆancia de 1,3 UA de cada planeta (a crit´erio de compara¸c˜ao, 1,3 UA corresponde a aproximadamente 1,5 raios de Hill de Netuno). Cada part´ıcula pode ter v´arios encontros pr´oximos com um ´unico planeta, assim temos um hist´orico completo de encontros para cada part´ıcula pr´e-selecionada passando a menos da distˆancia pr´e-definida de qualquer um dos quatro planetas ao final dos 108 anos.
Separamos inicialmente conjuntos de encontros para os quais as distˆancias m´ınimas part´ıcula-planeta eram menores que 1 UA, 0,5 UA e 0,1 UA (para qualquer um dos 4 planetas). Decidimos analisar, neste trabalho, somente casos em que a distˆancia relativa part´ıcula-planeta < 0,5 UA (ou o equivalente a cerca de 3.000 RN ou 2 900 RU), pois
as trajet´orias destas part´ıculas podem ser significativamente curvadas pelo efeito grav- itacional do planeta envolvido no encontro, diferentemente do que ocorre para aqueles encontros cuja distˆancia m´ınima est´a em torno de 0,9 UA. A crit´erio de compara¸c˜ao o raio de Hill de Netuno ´e ∼0,8 UA e de Urano ´e ∼ 0,5 UA.
Na Figura 18 apresentamos uma situa¸c˜ao t´ıpica: a mesma part´ıcula tem v´arios encon- tros pr´oximos com Netuno. Os pontos pretos marcam o in´ıcio de cada encontro pr´oximo para part´ıculas passando a menos de 0,5 UA de distˆancia deste planeta. Estes pontos
funcionar˜ao como condi¸c˜oes iniciais para montarmos bin´arios tipo Plut˜ao-Caronte, ao buscarmos em cada uma dessas distˆancias os vetores posi¸c˜ao e velocidade das part´ıculas.
Figura 18: Exemplo de uma hist´oria de encontros pr´oximos de uma part´ıcula capturada na RMM 3:2 com Netuno ap´os 108 anos. Os pontos pretos marcam o in´ıcio de cada
aproxima¸c˜ao para part´ıculas passando a menos de 0,5 UA do planeta. As linhas em cinza mostram as distˆancias em rela¸c˜ao a Netuno em fun¸c˜ao do tempo.
Netuno ´e o planeta que concentra o maior n´umero de encontros com as part´ıculas pr´e-selecionadas. No total, temos 106 hist´oricos de encontros pr´oximos com Netuno, e 23 com Urano. N˜ao houve encontros pr´oximos entre J´upiter ou Saturno e esse conjunto de part´ıculas. Na Figura 19 apresentamos histogramas do n´umero de encontros em cada hist´oria de encontro pr´oximo considerando a separa¸c˜ao m´axima entre planetesimal pr´e- selecionado e planeta de 0,5 UA. Como as medianas indicam, metade das part´ıculas tem menos de uma dezena de encontros com Urano ou Netuno.
# encontros < 0.5 ua # par tículas 0 20 40 60 80 100 120 0 5 10 15 20 # encontros < 0.5 ua # par tículas 0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70
Figura 19: `A esquerda: histograma do n´umero de encontros para cada part´ıcula pr´e- selecionada que ocorreu a menos de 0,5 UA de Urano; `a direita: histograma do n´umero de encontros para cada part´ıcula pr´e-selecionada que ocorreu a menos de 0,5 UA de Netuno. As linhas verticais pontilhadas s˜ao as medianas das distribui¸c˜oes.
Na Figura 20 apresentamos a evolu¸c˜ao temporal da distˆancia part´ıcula-planeta para uma passagem pr´oxima e a varia¸c˜ao da energia da ´orbita el´ıptica da part´ıcula. Vemos que a part´ıcula precisou de aproximadamente 15 anos para completar a passagem pela esfera de influˆencia do planeta. Em geral, esse ´e o tempo necess´ario para todas as passagens. Com rela¸c˜ao a varia¸c˜ao da energia da part´ıcula, quanto menor ´e a distˆancia final do encontro mais efetiva ´e a varia¸c˜ao da energia em rela¸c˜ao ao Sol. No exemplo apresentado (Fig. 20) a varia¸c˜ao ´e percept´ıvel, pois a separa¸c˜ao m´ınima ´e de aproximadamente 0,4 UA.
Figura 20: `A esquerda: encontro pr´oximo com Netuno de uma part´ıcula pr´e-selecionada; `a direita: energia em fun¸c˜ao do tempo da part´ıcula pr´e-selecionada em rela¸c˜ao ao Sol durante o encontro pr´oximo.
4.1.2 Evolu¸c˜ao de sistemas bin´arios similares ao de Plut˜ao durante encon-