4. BULGULAR VE YORUM
4.1. Bileşik Kesrin Diğer Kesirlere Dönüştürülmesi Sırasında
4.1.2. Bileşik kesrin Ondalık kesire Dönüştürülmesi Sırasında Ortaya Çıkan
4.1.2.1. İşlem Bilgisi (Kural)(Kısayol) (Algoritma)
Katılımcı öğrenciler arasıda K2, K4, K7 ve K8’in bu soruyu sınıfta öğretmen tarafından öğretiliş biçimi olan kurallar yardımıyla modelledikleri işlemsel bilgilerini (Payı paydaya bölerek yapma) kullanarak cevaplandırdıkları tespit edilmiştir. Bunun yanı sıra yine işlem bilgisi (kural) kategorisine alabileceğimiz katılımcıların kendileri tarafından zihinlerinde mekanikleştirdikleri ve hemen hemen her soruda benzer şekilde karşımıza çıkan ifadeleri tespit edilmiştir. Bu tespit edilen ifadelerde onların zihinsel modellerini yansıtmaktadır.
Bir bileşik kesrin ondalık sayıya dönüştürülmesinde “işlem bilgisi (kural)” kategorisini oluşturan katılımcıların zihinsel modellerini gösteren ifadeleri Tablo EK 11.2’de verilmiştir. Bunları tek tek örneklerle açıklayacak olursak;
a) Payı paydaya bölerek yapma (Kural)
Şekil 4.15’deki işlem ve açıklamalar katılımcıların aşağıdaki açıklamaları ile birlikte incelendiğinde K2, K4, K7 ve K8’in bir bileşik kesrin ondalık sayıya dönüştürme işini sınıfta öğretmeninin öğrettiği “Payı paydaya bölme” işlem bilgisi (kural) modelini kullanarak gerçekleştirdikleri görülmektedir.
K2 K4
K7 K8
Şekil 4. 15: Bileşik kesrin ondalık sayıya dönüştürülmesinde “işlem bilgisi (kural)” Kullanan K2, K4, K7 ve K8’e ait açıklama ve işlemler
K2 ile gerçekleşen diyalog incelendiğinde, K2’nin sonucu yazarken farklı iki yol denediğini görmek mümkündür.
K2:
6 16
kesirini ilk önce 16’da 2 tam olduğu için direkmen 2 tamımı yazdım. Daha sonra 16’da 4, 6’yı 2 ile çarptım 12 oluyor. 16’dan da 12’yi çıkarttığımda ise 4 kalıyor. bu da yüzde 4 olarak yan yana geçiyor yani, iki tam yüzde dört (2,04).
K2: Eeea! Bu işlemde daha önce dikkat etmemiz gereken şeylerde var. Paydanın 10, 100
ve 1000 olmasına dikkat etmeliyiz. Bir de bu işlemde ilkönce 6’yı 100’e eşitledim. Ondan sonra yazdım. Ve daha sonra kalan sayıyı yazıp işlemimi bitirdim.
A: Senden, 16’yı 6’ya bölme işlemini nasıl yaptığını tekrar açıklamanı istesem
gösterebilir misin?
K2: 16’yı 6’ya bölüyoruz. 16’da 6? 2 kere var, 2 kere 6? 12, çıkardığımızda 4 kalıyor. A: Peki burada kalan kısmında 16’dan 12’yi çıkardın kalan 004 yazdın, bu 04 senin için
ne anlam ifade ediyor?
K2: Zaten burada 16, 12 var. 16 bu ikili sayı bu, 16, 1 ile 6 yan yana geliyor ikili sayı
16. biz ikili sayılara “yüzle” hitap ediyoruz. 4’ün yanında bi tane daha kalanı olmadığı için de, eea! eeea! 04 yazıyoruz.
Burada K2’nin bölme işleminden sonra yaptığı işlemler işlem bilgisi (kural) kategorisinin “g” şıkkında ayrıca ele alındığı için bu kadarlık bir açıklama ile yetinilmiştir.
K4 ise, verilen bileşik kesri ondalık kesre iki yoldan çevireceğini ifade etmiştir. Birinci yol olarak K4 payı paydaya bölme şeklinde işlemini gerçekleştirmiştir.
K4:
6 16
, hımm! Bu sefer bu bir birleşik kesir? Şimdi bunu tamsayılı kesire de dönüştürebiliriz, ya da direk 16’yı 6’ya bölebiliriz. Yoksa direk
6 16
’da yapabiliriz. İki yolda gösteririm. İlkönce
6 16
’yı ondalık kesire çevirebilmek için iki yolu da kullanabiliriz. 16’yı 6’ya bölersek, 16’da 6 2 defa var, 2 kere 6? 12, kalan 4, 4’te 6 yok, buraya (4’ün yanına) bir 0 atarım, buraya da (bölüme) bir virgül koyarım. 40’ta 6? 6 defa var, 6 kere 6? 36, çıkarttım yine 4 oldu. Bu yine böyle gider. Burada (kalanda) yine 4 kalmıştı. Buraya (bölümde) 6’nın yanına bir 0 atarım. Burası (bölümde) bi daha 6 çıkar. Yani bu böyle gider 60606 şeklinde.
İşlem sonucunda K4’ün bu ifadelerinde de görüldüğü gibi, bölme işleminde devreden sayıdan bahsetmese de bölme işlemine devam ettikçe virgüllü kısımdan sonraki kısmın süreklilik göstereceğinin farkında olduğu tespit edilmiştir. K4’ün ilköğretim birinci kademe öğrencisi olduğu göz önünde bulundurulduğunda bu durumun göz ardı edilemeyecek kadar önemli olduğu görülmektedir.
K7 ve K8’e ait aşağıdaki ifadeler ise, her iki katılımcınında işlem sürecini eksiksiz bir şekilde yerine getirdiğini ve devreden sayı kavramının farkında olduklarını göstermektedir.
K7:
6 16
aynı şekilde yapalım. 6 16
bileşik kesirdir. 16’yı 6’ya bölersek, 2 kere, 2kere 6? 12, 40 ta 6? 6 kere, 40 eksi 36? Ha! 2 virgül 6 devirli (2,66666…) okunuşu da 2,6 = 2 tam onda altı, devreden sayı altı. Altı devrediyor.
K8:
6 16
kesrinin paydası 6’dır ve 6, 10 ve 10’un katları biçiminde yazılamaz. Ancak, 3 8
şeklinde sadeleştirilebilir. 8’i 3’e bölersek 2,6 6 sonsuza kadar devam eder. Böyle sayılarda 6’nın üzerine bir çizgi çekeriz ve bu devirli bir ondalık kesirdir.
6 16
kesrinin paydasını 10 ve 10’un katı biçiminde yazamayacağımız için, onun için
6 16 kesrini sadeleştirip 3 8
payını paydasına böldüm 8’de 3? 2 defa, 2 kere 3? 6, kalan 2, 20’de 3? 6 defa, bu böyle devam eder.
K1’e ait “16’yı 6’ya böleriz. 16’nın içinde 6? 2 kere var, 2 kere 6? 12, çıkartırız 4, 4’ten
de 4’ü çıkartırız 0. sonuç sıfır tam onda dört (0,4) olur.” Açıklamasına dikkat
edildiğinde K1’in de, kurala uygun olarak payı paydaya bölmeyi düşündüğünü görmekteyiz. Ancak K1’in bu ve diğer sorulardaki durumu incelendiğinde işlem bilgisinin tam oturmadığı açıkça anlaşılmaktadır. K1’in verisi ayrı bir kategori altında ele alındığı için burada sadece mevcut durumundan kısaca bahsedilmiştir.
b) Bileşik kesri önce tamsayılı kesre dönüştürme, sonra tamsayılı kesirde tam kısmı yazıp basit kesir kısmını payı paydaya bölmek yoluyla ondalık sayı olarak yazma ( 6 16 = 6 4 2 = 1+1+ 6 4 =2+ 6 4 = 2, + 0, 66 = 2, 66 2,6 veya 2,7 alırız)
Böyle birzihinsel model tanımlaması K3’te karşımıza çıkmakla beraber K4’ün ikinci yol olarak çözümünde de görülmektedir.
K3
K4
Şekil 4. 16: K3 ve K4’ün Bileşik kesri önce tamsayılı kesre sonra ondalık kesre dönüştürme ile ilgili açıklamaları
K3’te karşımıza çıkan bu model aşağıdaki diyalogda betimlenmeye çalışılmaktadır.
K3:
6 16
önce, bu bir bileşik kesir. 6’yı 16’ya bölcez. Şimdi 6’ da 16 olmadığı için buraya bir sıfır koyuyoruz, 60 tutar mı? tutmuyor , o zaman 3 diyelim mesela, 3 kere 16, 48 ediyor. Imm! Benim biraz kafam karıştı.
6 16
bunu içinde 2 tane tam vardır.
A: 2 tane tam varsa niçin sıfır virgüllü bir şey yazdın? Ne dersin? K3: Yanlış yapmışım derim. Doğrusunu yapmak için
6 16
’ yı tam sayılı kesire çevirmem gerekir ya da bunu sadeleştirebilirim. Sadeleştirmek zor.
6 16
’ yı tam sayılı kesire çeviririm. 16’ yı 6’ ya bölerim. 16’ da 6 2 defa var, 2 kere 6 12, kalan 4
6 4 2 . Bunu ( 6 4
2 ) ondalık sayı olarak yazmak için 2 tamı önce yazarım 2, olur, 6 4
kısmı için 4’ ü 6’ ya bölsem? 4’ te 6 yok, 40’ ta 6, 6 kere 6 kere 6 36. küsuratlı bir şey çıkacak 0,666…2
virgül ve 0 virgül oldu, toplarsak 2 virgül olacak 2, devam eden kısmı 2,66….. devam ediyor. De! Şimdi şekil üzerinde nasıl yapcaz.
Şekil 4.16’da K3’e ait açıklamalar incelendiğinde, K3’ün önce paydayı paya bölmeye çalıştığı daha sonra yanlış yaptığını anlayarak bileşik kesri önce tamsayılı kesire çevirdiği ve daha sonra, tamsayılı kesirin tam kısmını yazarak virgül koyup, kesirli kısmında payı paydaya bölerek ondalık sayıya ulaştığı ve bunu 2 tam kısmı ile birleştirerek 2, 66 şeklinde yazdığı tespit edilmiştir. Burada K3’ün 6’nın sürekli devam edeceğini ifade ederek çıkan sayıyı nasıl ifade edeceğinde kararsızlık yaşadığını görmekteyiz. Ancak K3’e ait “Bi sefer biz hani daha böyle devam edenleri öğrenmeden bir tane
bölme işlemi yapıyorduk öğretmen tahtayı doldurdu ettikçe etti, ettikçe etti yanii!” ifadesi benzer bir durumla daha önce karşılaştıklarını ve öğretmenlerinin sınıf seviyesinin üstünde ekstra bir bilgi olarak bölme işleminde devirli sayıya dikkat çektiğini göstermektedir.
K4 ile araştırmacı arasında geçen diyalogta ise, K4’ün bileşik kesri ondalık sayıya dönüştürmede “bileşik kesri önce tamsayılı kesre sonra tamsayılı kesri ondalık sayıya dönüştürme” işlemini ikinci bir yol olarak gerçekleştirdiği görülmektedir.
K4: İkinci yol:
6 16
’yı tamsayılı kesire çeviririz. 6 16
, burada 6 iki defa var tamı 2 olur, sonra, burada 4 kalır, başta olduğu gibi 4’ü paydaya yazarız. Paydayı (6’yı da) aynen yazarız.
A: peki! Niçin 2 tamdan sonraki kısımda 4’ü paya, 6’yı paydaya yazdın? Tersini
yazsaydık olmaz mıydı?
K4: Iıııı! Olmazdı. O zaman 3 tama gider. Çünkü, bileşik kesir
4 6
, 1 tam daha eder. 6 payda olduğu için 2 tam ediyor, 2 kere 6? 12, 16’dan 12’yi çıkardım 4 kalıyor. 4, buraya paya geliyor.
K4:
6 16
, şimdi, yaptığım işlemde çıktı zaten, bi daha ilerletmeye gerek yok ondalık sayı olarak yazmayı…
6 16
= 2,606 yazayım yeter.
K4’e ait bu ifadeler K4’ün soruyu sürecin her aşamasında bilinçli bir şekilde ele alıp bileşik kesri tamsayılı kesire dönüştürme ve elde ettiği tamsayılı kesri ondalık sayıya dönüştürme olarak ikinci bir yol ile kurala uygun olarak açıkladığını göstermektedir.
K6 içinde benzer bir durumdan bahsedebiliriz. K6’da verilen bileşik kesri tamsayılı kesir olarak yazmış ve daha sonra ondalık sayıya dönüştürmeye çalışmıştır. Ancak K6’da tamsayılı kesiri ondalık sayıya dönüştürme aşamasında belirgin bir farklılık ortaya çıktığı için K6’nın durumu c şıkkı olarak ayrıca ele alınmıştır
c) Paydayı 10 ve katları şeklinde yazma, payda 10 ve 10’un katı olmazsa ondalık yazamayız
Şekil 4.17 gözönünde bulundurularak K6’ya ait aşağıdaki ifadeler incelendiğinde, K6’nın verilen bileşik kesri tamsayılı kesir olarak yazdığı fakat daha sonra tamsayılı kesirin kesir kısmını ondalık sayıya dönüştürmek için kesrin paydasını 10, 100, 1000 şeklinde 10 ve 10’un katları şeklinde yazmak gerektiğini ve bunu yapamayınca da ondalık olarak yazamayacağı düşüncesine sahip olduğunu görmekteyiz.
Şekil 4. 17: K6’nın bileşik kesri tamsayılı kesire dönüştürmeye ilişkin açıklamaları
K6:
6 16
6, 6 12, 6’nın katlarına baktım! 16’nın içinde 2 tane 6 var, 6 4
2 , ondalık
olarak 2 tam var zaten 2, ama 6 4
yı yazamıyorum. Bunu da, eşitleyemiyorum çünkü, 10’un katlarına, 10 veya 10’un katlarına.
A: Peki!
6 4
’yı ondalık sayı olarak yazmanın başka yolu var mıdır?
K6: Benim hep bildiğim yolu buydu, onun için!
Bu ve diğer benzer sorularda K6’ya ait benzer ifadeler göz önüne alındığında K6’nın kesrin paydasını 10 ve katları şeklinde yazamayınca kesrin ondalık sayıya dönüştürülemeyeceği şeklinde bir zihinsel yapıya sahip olduğunu söyleyebiliriz.
d) Ondalık sayı virgüllü olması gerekiyor, verilen bileşik kesrin payını virgülden önce, paydası virgülden sonra yazılır
K5 ile araştırmacı arasında geçen aşağıdaki diyalog incelendiğinde, K5’in ondalık sayı kavramından anladığı tek şeyin yazılımında “virgüllü” içeren bir sayı olduğu görülmektekdir.
K5: Yine deminkiler gibi yaparım!
6 16 = 16,6 olur. A: 6 16
ve 16,6 bunların okunuşlarını söyleyebilir misin?
K5:
6 16
, “on altı bölü altı”
K5’in diğer sorularda da görüldüğü gibi zihninde sadece ondalık sayının yazılımında virgül bulunan bir sayı olacağı fikri burada yansımaktadır. K5’in ondalık sayının virgül içermesi gerektiğini düşündüğünden verilen bileşik kesirde paydaki sayıyı virgülden önce, paydadakini ise virgülden sonra yazarak oluşturduğu ve ondalık sayının verilen bileşik kesire eşit olduğunu yazdığı görülmektedir. Ayrıca, araştırmacı kendisinden verilen bileşik kesri ve yazmış olduğu ondalık sayını okumasını istediğinde bile iki sayının biririne eşit olmadığını fark edemediği tespit edilmiştir.
e) Ondalık sayı sadece “0, …” şeklinde olur, başka olamaz, “1, ..” olamaz
K1’e ait veriler incelendiğinde, zihninde ondalık sayı deyince “sıfır virgüllü olacak” şeklinde zihinsel bir model olduğundan söz edebiliriz. K1 ile araştırmacı arasında geçen aşağıdaki diyalogta bu zihinsel model yapısı açıkça görülmektedir.
K1: 16’yı 6’ya böleriz. 16’nın içinde 6? 2 kere var, 2 kere 6? 12, çıkartırız 4, 4’ten de
4’ü çıkartırız 0. sonuç sıfır tam onda dört (0,4) olur.
A: Neden 0,4 yazdın peki?
K1: ondalık kesir olduğu için ilk başa sıfır gelir.
A: Neden 0 geldi de, orada 0’dan başka 2 var, 4 var, bunlar niye gelmedi?
K1: Bence öyle olmaz. Sıfır gelir bence ondalık kesir olduğu için. Şunu da (kafasından
yazıp çıkardığı 4’ü göstererek) yazarız.
A: Peki! Sence, 0,4 ondalık kesir midir? K1: Evet!
A: Peki! 1,4 ondalık kesir midir? K1: Hayır!
A: Neden hayır?
K1: önüne hep sıfır geldiği için. A: Peki sen bunu nereden öğrendin? K1: Bence öyle! Kural.
K1’in “önüne hep sıfır geldiği için” sözlerinden 1,4’ü ondalık kesir olarak kabul etmemesi onun basit kesirlerin ondalık sayı olarak yazılması çalışmalarında ulaştığı genellemelerin bir sonucu olarak karşımıza çıkmış olabilir. Bunu diğer kesir çeşitleri içinde geçerli görüyor olması veya kesir çeşitleri arasındaki farklılıkları kavrayamamış olmasından kaynaklanmış olabilir.
f) Ondalık sayı kavramı geçtiğinde ilk başa “0, ….” getirme
K1 ile araştırmacı arasında geçen e şıkkında yer verilen diyalog incelendiğinde, K1’in bileşik kesri payını paydasına bölmek yoluyla ondalık sayıya çevirmeye çalıştığı ve bunu yaparken “ondalık kesir olduğu için ilk başa sıfır gelir.” düşüncesiyle bölme işleminin sonucunu sıfır yapmaya çalıştığı görülmektedir. Araştırmacının “Neden 0 geldi de, orada 0’dan başka 2 var, 4 var, bunlar niye gelmedi?” sorusu karşısında ısrarla başa sıfır geleceğini belirtmesi, burada, K1’in “Ondalık sayı kavramı geçtiğinde ilk başa sıfır ve virgül gelir şeklinde bir zihinsel modele sahip olduğu yorumunu yapmak yanlış olmayacaktır.
g) Verilen bileşik kesirde ( 6 16
) pay iki basamaklı sayı olduğu için ondalık sayıda virgülden sonra iki basamak olacak
K2 ile yapılan söyleşiden alınan aşağıdaki ifadeler bize, K2’nin verilen bileşik kesirde paydaki sayının basamak sayısını göz önüne alarak virgülden sonraki sayının önüne sıfır koyma düşüncesinde olduğunu göstermektedir.
K2’nin “Zaten burada 16, 12 var. 16 bu ikili sayı bu, 16, 1 ile 6 yan yana geliyor ikili sayı 16. biz ikili sayılara “yüzle” hitap ediyoruz. 4’ün yanında bi tane daha kalanı olmadığı için de, eea! eeea! 04 yazıyoruz” ifadesi “
6 16
bileşik kesirinde pay iki basamaklı sayı olduğu için ondalık sayıda virgülden sonra iki basamak olacak” şeklinde basamak değeri ile ilgili bir zihinsel modele sahip olduğunu ortaya koymaktadır. Yine burada, K2’nin “Eeea! Bu işlemde daha önce dikkat etmemiz gereken şeylerde var. Paydanın 10, 100 ve 1000 olmasına dikkat etmeliyiz. Bir de bu işlemde ilkönce 6’yı 100’e eşitledim. Ondan sonra yazdım. Ve daha sonra kalan sayıyı yazıp işlemimi bitirdim.” şeklindeki ifadeleride, paydadaki 6 sayısını (belki de hayalinde) 100’e eşitlemiş olarak düşünmesinden kaynaklanıyor olabilir.