Işın Yolu ve Yayılım Zamanı Hesaplanması

Bazı yerel deprem tomografisi çalışmaları, ters çözüm sonuçlarını sınırlandıran, son derece basit ışın izleme yöntemleri kullanırlar. Aki ve Lee (1976), homojen ortam içinden geçen ışınları doğrusal-çizgi olarak tanımlamıştır. Ancak bu yaklaşımla, ardışık çözüm ve kalıntılarının azaltılmasını sağlayamamıştır. Walck ve Clayton (1987) tarafından bu sorun, ışın izleme için başlangıçta tabakalı bir yapı kullanılarak çözülmeye çalışılmış, fakat yeterince başarılı olunamamıştır. Thurber ve Ellsworth (1980), yerel tabakalı ortam içinde ışınların ve zamanların hesaplanması için bir yaklaşık ışın izleme yaklaşımı geliştirmişlerdir. Bu yaklaşım, tabakalı yapılarda iyi sonuçlar verirken, yatay kırılan ışınların güçlü olmadığı ortamlarda sorun yaşamıştır. Tekdüze olmayan bir yerkabuğu modeli üzerinde kaynak ve alıcı arasındaki ışın yollarının ve yayılım zamanlarının çabuk ve doğru hesaplanması tomografinin temel sorunlarından biridir. Işın yollarının ve yayılım zamanlarının tanımlanmasında yaygın olarak kullanılan yöntemlerden bazıları, atış ışın izleme (shooting ray- tracing), eğme ışın izleme (bending ray-tracing), yaklaşık ışın izleme (approximate ray tracing=ART) ve sonlu farklar ışın izleme (finite-difference ray tracing) olarak sıralanabilirler.

Işın izleme bir “iki-nokta” sınır değer problemidir ve kaynak ve alıcı konumları belirlenerek, yayılım yollarının tanımlanması esasına dayanır. Atış ışın izleme yöntemleri bu iki-nokta sınır değer problemini, sabit bir kaynaktan çeşitli çıkış açılarında ışınlar göndererek ve bu ışınlardan biri alıcıya ulaşıncaya kadar yinelemeli çözüm yapar (Koch, 1985; Lin ve Roecker, 1990 ve Sambridge ve Kennett, 1990). Wesson (1971), Julian ve Gubbins (1977) ve Pereyra ve diğ. (1980) tarafından önerilen eğme ışın izleme yöntemi ise bu sorunu, ışının kaynaktan çıkış ve alıcıya geliş konumlarını sabit tutarak, aradaki ışın yolu, Fermat ilkesine dayanarak

belirlenmeye çalışılır (Şekil 2.5). Burada amaç, kaynak ve alıcı arasındaki en kısa yayılım zamanına sahip ışın yolunu belirlemektir.

Şekil 2.5 Işın izleme yöntemi olarak kullanılan iki temel yaklaşımın gösterimi. Atış ışın izleme yöntemi (üstte) ve eğme ışın izleme

yöntemi (altta) gösterilmiştir (Thurber, 1993’den düzenlenmiştir).

Yaklaşık ışın izleme yöntemi ilk kez, Thurber ve Ellsworth (1980); Horie (1980) ve Thurber (1980) tarafından ortaya konulmuştur. Bu yaklaşım, yaklaşık 50km’den daha yakın mesafeler için kullanıldığında iyi sonuçlar vermektedir. Bundan daha fazla mesafeler için doğru sonuçlardan sapma artmaktadır. Bu durum yaklaşık ışın izleme yöntemlerinin geniş alanlarda kullanılmasını sınırlamaktadır. Yaklaşık ışın izleme yöntemlerinin kullanılması hesaplamalarda zaman avantajı sağlarken, hesaplanan seyahat zamanları hatalı olacağından, yayılım zamanı artıklarının ve hız modelinin kısmi türevlerinin de hesaplanmasında hatalar olacaktır. Bunun sonucunda, ışının kaynaktan çıkış yönü ve ışın yolu doğru olmayacaktır. Um ve Thurber (1987) yeni bir yaklaşık ışın izleme yöntemi önermişlerdir. Yalancı ışın izleme (pseudo bending) yöntemi olarak adlandırılan bu yöntem, daha hızlı bir çözüm ortaya koymaktadır ve her episantır uzaklığı için kullanılabilmektedir (Şekil 2.6).

Şekil 2.6 Yalancı eğme ışın izleme yönteminin gösterimi (Zhao ve diğ. 1992’den düzenlenmiştir).

En çok bilinen ve yaygın olarak kullanılan ışın izleme yöntemlerinden biri de, Husen ve Kissling (2001) tarafından önerilen “Fat ray” ışın izleme yöntemidir. Sismik tomografideki düz çözüm problemini doğru olarak ortaya koymak için, tamamen üç- boyutlu dalga teorisinin uygulanması gerekmektedir. Bilinen yerel deprem tomografisinde bunu gerçekleştirmek mümkün değildir. “Fat ray” yaklaşımında, dalgaların Fresnel hacmine olan benzerliği nedeniyle, daha karmaşık fakat fiziksel olarak birbirine daha uygun, doğru düz çözüm yapılabilmektedir. Husen ve Kissling tarafından Fatomo olarak adlandırılan, yerel deprem tomografisinde “fat ray” lere dayanan yeni bir yaklaşım ortaya koymuşlardır. Bu yaklaşımda, ışın ve dalga teorisi yaklaşımlarının her ikisi de kullanılarak yerel depremler için düz çözüm yapılmaktadır. Yayılım zamanları, eikonal eşitliklerinin sonlu farklar (finite- difference) yaklaşımı ile hesaplanmaktadır (Podvin ve Lecomte, 1991). Yayılım yolları ve kısmi türevler “fat ray” ler kullanılarak hesaplanmaktadır. “Fat ray” ler, belirli bir frekans için birinci Fresnel hacmi ile benzerlik göstermektedirler. Genişliği sıfır olmayan ışınların, ışınlar ve dalgalar arasındaki boşlukta köprü olarak kullanılması fikri Hagedoorn (1954)’ e dayanmaktadır. Hagedoorn, ışınları ve dalgaları bir yayılma alanı ile ilişkilendirmiştir ve bu alan, birinci Fresnel hacmi içinde bir bölge olarak tanımlanmaktadır. Bir sismik dalganın birinci Fresnel hacmi,

sismik enerjinin yapıcı girişim yaptığı en iç bölge olarak tanımlanmaktadır. Böylece, birinci Fresnel hacmi içndeki her bir saçılma, alıcı tarafından kaydedilen sinyali güçlendirici yönde etki etmektedir. Gerçek yayılım zamanları, birinci Fresnel bölgesinde yayılan sismik enerjiyi yansıtmaktadır. “Fat ray” yaklaşımının basit bir gösterimi Şekil 2.7’de gösterilmiştir.

Kaynak ve alıcı arasındaki yayılma zamanları, sonlu farklar yaklaşımı ile hesaplanmaktadır. Bunların toplamı “fat ray” in tanımlanmasında kullanılmaktadır. Toplam yayılma zamanı, tKA+T/2’ den daha az olmalıdır. Burada, tKA= kaynaktan

alıcıya kadar geçen yayılma zamanı, T = baskın dalga peryodudur.

Şekil 2.7 “Fat ray” yaklaşımının basit bir gösterimi (Husen ve Kissling (2001)’den düzenlenmiştir).

Işın izleme problemi için son yıllarda iki farklı yaklaşım geliştirilmiştir. Bunlar, Vidale (1990) tarafında ortaya koyulan ve daha sonra Podvin ve Lecomte (1991) tarafından geliştirilen sonlu farklar yöntemi ve Moser (1991) tarafından önerilen ağ teorisi yöntemleridir. Her iki yöntem de küresel minimum zaman yollarını hesaplayabilmeleridir. Vidale (1990), sonlu farklar çözümünü, giriş yayılım zamanını ortaya koymak için üç-boyutlu bir grid üzerinde Eikonal eşitlikleri ile çözmeye çalışır ve Huygens kuramını kullanır. Sonlu farklar ışın izleme yönteminde istasyon kaynak olarak düşünülebilir ve bu istasyon ile ilişkili tüm grid noktalarında seyahat zamanları hesaplanabilir. Bu durumda, istasyondan kaynağa olan seyahat zamanları ile kaynaktan istasyona olan seyahat zamanları eşit olacaktır. Her istasyon için bu yayılım zamanları hesaplandıktan sonra, bir kaynaktan istasyona olan seyahat zamanı, bu olayın yakın çevresindeki sekiz adet komşu grid kullanılarak üçlü interpolasyon ile hesaplanabilir. Bu yöntem, diğer ışın izleme yöntemlerine göre

daha etkili bit yöntemdir. Moser ise geliştirdiği yöntemde, küresel en az seyahat zamanlarını bulmak için ağ kuramını kullanır.