Çözünürlülük Testleri

Çözünürlülük testleri, deprem tomografisi çalışmalarında, çözüm kalitesinin ve yapılacak yorumun anlamlılığı ve güvenilirliği konusunda önemli sonuçlar ortaya koymaktadır. Bu testler, çözüm gücünün belirlenmesinde önemli bir yere sahiptir. Çözüm gücünün değerlendirilmesi için geliştirilen bazı yaklaşımlar vardır. Bunlar, geleneksel ve gelişmiş yaklaşımlar olarak sınıflandırılabilirler. Geleneksel yaklaşımlar kullanılarak model parametreleri ve kullanılan algoritma, veri setinin çözüm gücü test edilebilir. Bunun için, model çözünürlülük matrisinin incelenmesi gerekmektedir. Buradan yola çıkarak geliştirilen geleneksel yaklaşımlar, model çözünürlülük matrisinin köşegen elemanları (ÇKE), ağırlıklandırılmış türevlerin toplamı (ATT), dama tahtası ve iğnecik duyarlılık testi olarak sıralanabilir. Işın yoğunluğu tensörü (Kissling 1988), çözünürlülük matrisinin yayılım fonksiyonu (Toomey ve Foulger 1989; Michelini ve McEvilly 1991) ve tüm çözünürlülük matrisinin çözünürlülüğü kontürleri (Reyners ve diğ. 1998) gibi yaklaşımlar ise gelişmiş yöntemler arasında sayılabilir (Dinç 2003).

2.7.1 Dama tahtası modeli (Checkerboard veya chess-board model)

Dama tahtası modeli, tomografi çalışmalarında çözünürlülüğü test etmek için kullanılan en yaygın yapay test modeldir (Spakman ve diğ. 1993; Zhao ve diğ. 1992; Benz ve diğ. 1996; Zelt 1998). Bu model, bazı çalışmalarda “chess-board model” olarak da anılmaktadır. Bu çalışmada, “dama tahtası modeli” olarak kullanılacaktır. Dama tahtası modeli, birbirini izleyen düşük ve yüksek hız anomalilerinden oluşur ve yayılım zamanları bu modele göre hesaplanır. Hesaplanan bu yayılım zamanları, Gauss dağılımına sahip bir gürültü eklenerek bozulur. Yapay yayılım zamanlarının ürettiği hız modeli sanki bilinmiyormuş gibi düşünülür, yeni bir başlangıç modeli kullanılarak ters çözüm işlemi gerçekleştirilir. Bu şekilde, başlangıçta kullanılan dama tahtası modeli elde edilmeye çalışılır (Dinç 2003).

2.7.2 İğnecik duyarlılık testi

İğnecik duyarlılık testi, dama tahtası yöntemine benzeyen bir yaklaşımdır (Spakman ve Nolet 1988; Bijwaard ve diğ. 1998). Bu testte, her yönde pozitif ve negatif işaretli anomali veren hız hücreleri oluşturulur ve dama tahtası testindeki benzer işlemler tekrarlanır. Her iki yöntemde veri seti tarafından çözülebilen alanlar iyi bir şekilde belirlenebilmektedir ancak hız modelindeki anomalinin şeklinin tam olarak üretilmesi mümkün olmamaktadır (Dinç 2003).

2.7.3 Geri dönüşüm çözünürlülük testi (Restore Resolution Test)

Geri dönüşüm çözünürlülük testi uygulanırken, yapay yayılım zamanları, ters çözüm sonrası elde edilen hız modeli kullanılarak hesaplanır (Zhao ve diğ. 1992). Yapay yayılım zamanlarına Gauss dağılımlı gürültü eklenir ve ters çözüm işlemi tekrarlanır. Bunun sonucunda, yapay yayılım zamanlarından elde edilen sonuç ile gürültü eklenmiş veri setinden elde edilen sonuç karşılaştırılır. Bu karşılaştırma sonucunda, veri setinin geri-dönebilme kapasitesi hakkında bilgi edinilir (Dinç 2003).

2.7.4 Işın yoğunluğu ve sayısı

Bu yöntem, çözünürlülüğün belirlenmesinde kullanılan en basit yaklaşımdır. Bazı algoritmalar ışın yoğunluğu yaklaşımını kullanırken, bazıları da ışın sayısı yaklaşımını kullanmaktadır. Bu çalışmada kullanılan algoritmada, ışın yoğunluğu dağılımı kullanılmaktadır. Tanımlanmış olan her bir griden geçen ışın sayısı bu yoğunluğu belirlemektedir. Işın yoğunluğu ile ilişkili olarak, yeterli yoğunluğa sahip gridler için güvenilir yorum yapılabilmektedir. Işın yoğunluğunun yeterli düzeyde olmadığı girdlerin tanımladığı bölgeler için güvenilir sonuçlar beklenmemelidir. Işın yoğunluğu yaklaşımı ile, içinden ışın geçmeyen veya az sayıda ışın geçen, dolayısıyla çözümün güvenilir olmadığı gridler belirlenmektedir. Böylece, yapılacak yorumun kalitesi ve güvenilirliği arttırılmaktadır.

2.7.5 Ağırlıklandırılmış türevlerin toplamı (ATT)

Bu yaklaşımda, bir düğüm noktasının etki alanındaki hacim içerisinden geçen ışınların geometrik ağırlıklarının (düğüm noktasına olan uzaklıklarının) toplamı dikkate alınır. Yüksek ATT değeri, çözünürlüğün yüksek olduğunu ifade etmektedir. Bu durum, dolaylı olarak ışınların boylarını hesaba kattığından, ışın sayısı yaklaşımına göre daha fazla bilgi içermektedir (Dinç 2003).

2.7.6 Çözünürlülük matrisinin köşegen elemanları yaklaşımı (ÇKE)

Bu yaklaşım, ters çözüm sonrası elde edilen model çözünürlülük matrisinin köşegen elemanlarının değerlendirilmesi esasına dayanır. Ters çözümde temel denklem sistemi, Δd=GΔmise, çözünürlülük matrisi, R₌G−1G _{ile hesaplanır. Burada G}−1_,

G matrisinin genelleştirilmiş tersidir (Menke 1984). Aynı zamanda model ayrımlılık vektörü olarak da bilinen çözünürlülük matrisinin her bir satırı, ilgili olduğu model parametresinin diğer parametrelere olan bağımlılığını göstermektedir. Tekil değer olması durumunda, çözünürlülük matrisi birim matrise eşittir ve parametreler arasında doğrusal bir bağımlılık yoktur. Standart bir tomografi çalışmasında, çözünürlülük matrisi gösterimi imkansız sayıda eleman içermektedir. Bu nedenle, çözünürlülük matrisinin sadece köşegen elemanları model parametrelerinin çözünürlüğünün değerlendirilmesinde kullanılmaktadır. Tomografik çalışmalarda, model ayrımlılık matrisinin köşegen elemanları, her bir düğüm noktası için tek tek değerlendirilmek yerine yüksek değerlerin yoğun olduğu alanlar bir bütün olarak değerlendirilmektedir. Burada önemli olan, bir düğüm noktasının çözümünden çok, geniş bir alanın ne kadar yüksek doğrulukla çözüldüğüdür. Köşegen elemanları, seçilen sönümlenme katsayısına bağımlıdır. Yüksek çözümlenme katsayısıyla birlikte çok sayıda model parametresinin olması çözümü tekil çözüm olmaktan uzaklaştırmaktadır (Eberhard-Philips ve Reyners 1997; Toomey ve Foulger 1989).

Sadece, çözünürlülük matrisinin köşegen elemanları, ışın sayısı ve ağırlıklandırılmış türevlerin toplamı yaklaşımlarının birlikte analiz edilmesi ile güvenilir bir çözünürlülük değerlendirilmesi yapılabilir. Ancak bu yaklaşımların hiçbiri, model parametrelerinin birbirlerine olan bağımlılıkları hakkında bilgi vermemektedir. Bu

bilgi ancak, çözünürlülük matrisinin bütün elemanlarının değerlendirilmesiyle elde edilebilir. Parametrelerin birbirlerine olan bağımlılıklarını incelemek zordur. Bu nedenle daha basitleştirilmiş olan, yayılım fonksiyonu kullanılmaktadır (Toomey ve Foulger 1989; Michelini ve McEvilly 1991). Yayılım fonksiyonu, köşegen elemanlara karşılık gelen uzaklıklarla ağırlıklandırılmış ayrımlılık vektörünün bütün elemanlarının toplamıdır ve,

⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =

∑

bağıntısıyla gösterilir. Burada, skj, ayrımlılık matrisinin j. satırının elemanlarını, s j

aynı satırın L2 normunu ve Djk j. ve k. model parametreleri arasındaki km cinsinden

mesafeyi göstermektedir. Modelde, bir parametrenin diğer parametrelere olan bağımlılığı yüksek ise, yayılım değeri düşük olacaktır. Bu durumda çözünürlülük yüksek olacaktır. Yayılım fonksiyonu, sönümlenme katsayısına ve model parametre sayısına bağlıdır. Bir parametrenin yayılım değeri, bu parametrenin hangi parametrelere bağlı olduğu konusunda bilgi vermemektedir (Dinç 2003).