1.8. Siklik Reprodüktif Aktivitenin Kontrolü
1.8.1. Hormonal Olmayan Metodlarla Kontrol
A maioria dos trabalhos acadêmicos utiliza a seguinte família de funções perda:
2
0
1 , n i i i , i n LF X w X X n
(4.1)Onde é o vetor de parâmetros do modelo, X é o vetor de dados de mercado i (prêmios das opções e/ou volatilidades implícita) a serem calibrados, e Xi
é o vetor com os dados do modelo. Os pesos w geralmente são escolhidos de modo a i atribuir maior relevância às opções no dinheiro (at-the-money) cujos spreads são normalmente mais estreitos. Por sua vez, a função
, 0
penaliza os maioresdesvios em relação aos valores iniciais . Neste trabalho, optou-se por não utilizar 0 pesos ou penalizações na amostra devido à quantidade limitada de dados. Como as opções negociadas no call são, em sua maioria, opções no dinheiro, também não se optou por retirar nenhum dado da amostra.
31 Conforme apresentado em Fusai (2008), várias métricas podem ser encontradas nos trabalhos acadêmicos expondo suas vantagens e desvantagens. No entanto, conforme a fórmula (4.1), a LF mais aplicada é o erro quadrático médio (mean squared error - MSE). Segundo o autor, utilizando prêmios de mercado, essa métrica tem a característica de atribuir grandes pesos às opções de maior valor dentro da amostra (opções in-the-money com maturidades longas) e, conseqüentemente, poucas opções efetivamente acabam contribuindo para a função perda. Outra métrica também utilizada é o percentual médio do erro quadrático (percentage mean squared error - PMSE), porém, alguma instabilidade numérica pode ocorrer caso o preço de uma opção se aproximar de zero (no caso de out-of-the-money e maturidades curtas), conforme apresentado por autor.
A eficiência dessas métricas depende, também, de quais dados serão calibrados. A calibração minimizando as volatilidades implícitas tem a vantagem de representar um conjunto homogêneo de dados, independente dos preços de exercícios, além de manter o procedimento de calibração mais estável por ser menos sensível a pequenas perturbações.
Deste modo, para calibrar o modelo optou-se por comparar as seguintes métricas:
;
1 n
i
i
2, i n MSE X X X n
(I)
2 1 ; n i i , i n i X X PMSE X n X
(II)
;
1 n i
i, i n MAE X X X n
(III)Onde (I) é a função do erro quadrático médio, (II) é o erro quadrático percentual médio e (III) é o erro absoluto médio. Para efeito de análise, essas métricas foram comparadas calibrando o modelo com os prêmios das opções e, em seguida, com as volatilidades implícitas.
32 No processo de calibração optou-se por aceitar como parte da amostra os valores médios dos prêmios de compra e venda, e o valor médio das volatilidades implícitas, para as opções não negociadas. Assim, a aceitação dos parâmetros ótimos do modelo deve passar pelo filtro aplicado nos dados de modelo para que esses mantivessem a seguinte relação:
2
2 0 n n i i i i i i i n i w X X w compra venda
(4.2)Onde compra e i vendairepresentam a compra e a venda (spread) do i-ésima dado de
mercado. Essa relação faz com que o valor gerado pelo modelo não precise coincidir exatamente com o valor médio, mas que o processo de modelagem produza as estimativas necessárias dentro de um nível de tolerância. Portanto, o conjunto de parâmetros do modelo só foi aceito se a soma dos quadrados das diferenças entre os valores do modelo e de mercado não seja maior que a soma dos quadrados dos intervalos das ofertas. Caso essa relação não seja respeitada, o dado da i-ésima opção
que individualmente não manteve a relação
2
2i i i i
X X compra venda deverá ser retirada da amostra.
Assim, para resolver o problema inverso deve-se minimizar o erro entre os dados do modelo e os dados de mercado, uma vez escolhida a métrica. No caso dos dados aqui analisados, a função minimizada foi o erro quadrático médio conforme segue:
2 min ; min n i i i i n MSE X w X X
(4.3)Vale mencionar alguns pontos importantes levantados no processo de minimização: Achar o mínimo de
; X
e, principalmente assegurar que este seja omínimo global da função é uma tarefa complicada e depende muito do método de otimização utilizado;
Uma solução única de (4.3) pode não existir, e o algoritmo utilizado pode encontrar somente o mínimo local da função. Isso pode ter implicações sobre a
33 estacionariedade dos valores dos parâmetros, importantes nestes tipos de modelo, conforme discutido em Moodley (2005).
Neste trabalho, a calibração foi realizada através do método de mínimos quadrados não lineares, facilmente encontrado no Matlab com o nome de LSQNONLIN10. Esse algoritmo minimiza o valor da função com base nos valores iniciais dos parâmetros ( ), utilizando o método de Newton. 0
Por ser um otimizador local, não é possível saber se a solução encontrada atingiu um mínimo local ou global. No entanto, como o tempo gasto na construção de uma superfície de volatilidade foi priorizada, optou-se também por algoritmos que mantivessem a qualidade dos resultados com baixo custo computacional.
Como pode ser visto em Moodley (2005), métodos heurísticos, e.g., o método de minimização global de Monte Carlo (Simulated Annealing - SA), apesar de estatisticamente garantir que o mínimo global seja encontrado, o tempo gasto com o processo de calibração pode levar horas. Além disso, o autor também demonstra que o erro minimizado por LSQNONLIN ou até mesmo pelas ferramentas solver do Excel são bem satisfatórios se comparados com SA. Vale ressaltar que a decisão pelo melhor algoritmo deve levar em conta a dependência dos algoritmos de minimização local aos parâmetros iniciais do modelo, o que não ocorre com o algoritmo SA.
Dessa forma, os parâmetros inicialmente propostos por Fusai (2008) também foram aqui utilizados. Para a variância de longo prazo e para a volatilidade da volatilidade , utilizou-se a variância e a volatilidade implícita média da amostra do dia a ser calibrado, respectivamente. Para o coeficiente de reversão a média utilizou-se 2, e para o coeficiente de correlação igual a 0,4.
No próximo capitulo é apresentado o processo de calibragem do modelo e analisado o comportamento dos parâmetros dado as escolhas iniciais dos parâmetros propostos.
10 Para mais informação sobre lsqnonlin, método de Newton (interior-reflective Newton method) e critério de otimização, consultar (Coleman & Li 1994 e 1996).
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5 CALIBRANDO O MODELO
Uma vez escolhidos os dados de mercado, a função perda e o algoritmo de otimização, calibrou-se o modelo de Heston para cada dia conforme segue:
(1). Inicialmente utilizou-se o modelo de Black-Scholes para poder extrair as volatilidades implícitas dos prêmios coletados. Com isso, pode-se calibrar o modelo tanto em função dos prêmios quanto em função das volatilidades implícitas;
(2). Uma vez escolhido o conjunto de parâmetros iniciais do modelo
0= 0, θ , , ,ρ0 0 0 0
, calculou-se os prêmios das opções pela fórmula de Heston e, em seguida, mediu-se o erro entre os valores do modelo e os de mercado. O mesmo foi feito com as volatilidades implícitas de mercado e as volatilidades implícitas do modelo
(3). Com a função perda e o algoritmo de otimização escolhidos, o processo descrito em (2) é iterado até que a função seja minimizada (tanto para os prêmios quanto para as volatilidades implícitas).
(4). Uma vez obtidos os parâmetros ótimos do modelo no passo (3), calculou-se os prêmios das opções para todos os vencimentos e preços de exercícios, bem como as volatilidades implícitas dos prêmios usando o modelo de Black- Scholes (1973), garantindo que a superfície de volatilidade implícita contenha valores para todos os deltas e vencimentos.
O processo de calibração aplicado no dia 17 de Abril de 2009, e os respectivos resultados para as diferentes métricas são apresentados na Tabela 2 abaixo:
Tabela 2 - Funções perda para diferentes métricas e targets11 com dados de17 de Abril de 2009
Preços Vol Implícita
MAE MSE PMSE MAE MSE PMSE
σ 0,0355 0,0355 0,0326 0,0353 0,0347 0,0345 θ 0,0506 0,0517 0,0471 0,0530 0,0552 0,0589 K 1,0761 1,0008 1,1232 1,3078 1,4556 1,1527 vol 0,6236 0,6309 0,6503 0,7422 0,8316 0,7731 ρ 0,4933 0,4750 0,4672 0,4413 0,4037 0,4098 11
Targets: prêmios e volatilidades implícitas.
35 A variância instantânea, representada por , está abaixo da volatilidade de longo prazo, , em todas as métricas, condizente com a inclinação positiva da estrutura de volatilidade a termo e com as volatilidades implícitas das opções de maior maturidade. O coeficiente de reversão à variância de longo prazo, , variou entre valores positivos de 1 a 1,45, indicando uma lenta reversão da volatilidade ao seu valor de longo prazo. O coeficiente do termo estocástico da equação de difusão da variância, ou volatilidade da volatilidade, , se manteve em valores altos entre 0,62 e 0,83. Por fim, a difusão da variância se mostrou positivamente correlacionada com o preço da opção, variando entre 0,4 e 0,5.
No gráfico da Figura 2 abaixo se pode observar o erro relativo entre os prêmios calculados pela calibração do modelo, representados pela cruz, e aqueles observados no mercado, representados por círculos, para os dados do dia 17 de Abril de 2009
Figura 2 - Diferença entre prêmios do modelo e de mercado de 17 de Abril de 2009
Por não termos utilizado nenhum peso que “punisse” as opções fora do dinheiro, os erros relativos do modelo não foram maiores para essas opções, mantendo-se consistentes ao longo da amostra. Apesar da calibração para as demais datas da amostra apresentar erros relativos maiores que os observados em 17 de Abril de 2009, os parâmetros do modelo se mantiveram estáveis e dentro das expectativas iniciais. Com isso, o modelo se mostra aceitável para o grau de liquidez do mercado brasileiro de opções de dólar e, conseqüentemente, para a proposta inicial da construção de uma superfície de volatilidade para esse mercado. O comportamento dos parâmetros do
36 modelo ao longo do período de teste, compreendido entre 5 de Março a 24 de Julho de 2009, pode ser analisado nos gráficos da Figura 3 abaixo:
Figura 3 - Estatísticas diárias dos parâmetros do modelo de Heston no período testado
Dentro desse período, a volatilidade de curto prazo para o dólar ficou no patamar de 20% ao ano, porém com algumas datas de grande volatilidade diária. Uma conseqüência desse fato pode ser observada no comportamento da variância instantânea alterando mais que a variância de longo prazo . O coeficiente de reversão também se mostrou volátil, variando entre 1 e 5. O coeficiente que representa a volatilidade da volatilidade se manteve alto em toda a amostra, com valor médio de 0,85. Por sua vez, o parâmetro de correlação entre os processos de difusão que descrevem o preço e a volatilidade se manteve estável, variando 0,40 e 0,60.
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