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O isolante topológico 2D também é conhecido como um isolante Hall de Spin. Esse material é um isolante de volume que possui estados metálicos de borda protegidos pela SRT, diferentemente do que acontece nos isolantes HQ, onde esses estados de bordas não-triviais só aparecem mediante à quebra dessa simetria. A existência dos estados SHQ é possível devido à forte inte- ração spin-órbita, e uma boa forma de entendermos essa classe de materiais com essas novas propriedades é analisando as regras da SRT em sistemas de partículas com spin-1/2.

Nesses sistemas, a reversão temporal é representada pelo operador anti- unitário Θ = eiπSy~ K, onde S

y é o operador de spin e K toma o complexo

conjugado das constantes que multiplicam os estados representados por auto- estados, ou simplesmente ket’s. Uma importante consequência dessa simetria é que os autovalores do Hamiltoniano são pelo menos duplamente degenera- dos.

Figura 3.11: A figura mostra a dispersão eletrônica entre dois pontos de Kramer degenerados em Γa= 0 e Γb = π/a. Em a) os estados de borda cruzam o nível de Fermi um número par de

vezes, enquanto em b) cruzam um número ímpar. Um número ímpar de cruzamentos, leva à estados de borda topologicamente protegidos. [87].

Os pontos onde o teorema de Kramer exige estados degenerados são pon- tos invariantes à SRT e são também chamados de TRIM, referente à sua sigla em inglês “time-reversal invariant momenta”. A figura 3.11 mostra a dispersão dos estados de borda invariantes à SRT, para um isolante topoló- gico 2D, em função do momento cristalino, ~k. Somente metade da primeira zona de Brillouin é mostrada, pois SRT requer que a outra metade seja um espelho da primeira. Pode-se perceber que os pontos Γa = 0 e Γb = ±π/a

são os TRIM ’s, onde aparecerá a degenerescência exigida pelo teorema de Kramer. Na região entre esses pontos, a degenerescência entre as bandas dos estados de borda é aberta pelo acoplamento spin-órbita. Entretanto, os

estados podem ser conectados de duas maneiras diferentes em cada TRIM. A figura 3.11a mostra os pares de Kramer em ambos os pontos com inva- riância à SRT conectando bandas iguais, enquanto na figura 3.11b os pares conectam bandas diferentes.

Na figura 3.11a, os estados de borda cruzarão o nível de Fermi um número par de vezes. Através de pequenas deformações, os estados do gap podem desaparecer simplesmente sintonizando o nível de Fermi entre dois pares de banda. No caso mostrado na figura 3.11b, as bandas interceptam o nível de Fermi um número ímpar de vezes. Além disso, não é possível, sob pequenas deformações no Hamiltoniano fechar o gap entre as bandas de valência e condução. Ambas as situações podem ser distinguidas usando um invariante análogo ao número de Chern. Esse invariante para sistemas com SRT é chamado de Z2.

Em duas dimensões, um único invariante Z2 distingue a fase isolante

Hall de Spin quântica, da fase isolante trivial. Esse invariante pode ser determinado conhecendo a paridade das bandas com estados ocupados em quatro TRIM’s, Γi, na primeira zona de Brillouin. Especificamente, esses

invariantes Z2 podem ser determinados pelas seguintes quantidades [15]:

δi = N

Y

m=1

ξ2m(Γi). (3.25)

Aqui, ξ2m(Γi) =±1 é o autovalor da paridade da 2m-ésima banda de energia

ocupada no TRIM Γi, onde o produtório envolve as N bandas degeneradas.

O invariante Z2que distingue entre as fases isolante trivial e SHQ, com os seus

respectivos valores ν = 0, 1, é calculado, em duas dimensões, pelo produto dos quatro δi’s: (₋₁₎ν = 4 Y i=1 δi. (3.26)

O Isolante Topológico 2D: poços quânticos no HgCdTe

Levando em conta todas essas propriedades, alguns materiais foram con- siderados como candidatos a isolantes topológicos 2D. Claramente, os mais prováveis seriam materiais com forte acoplamento spin-órbita, constituídos de átomos pesados. Dessa forma, poços quânticos foram os primeiros siste- mas considerados, abrindo caminho para a observação experimental desses materiais isolantes Hall de Spin. As primeiras estruturas utilizadas foram os poços quânticos de HgCdTe [100].

A estrutura de bandas do CdTe é similar à de outros semicondutores; os estados de borda da banda de condução possuem simetria do tipo s, en- quanto os da banda de valência possuem estados com simetria do tipo p. Diferentemente, o HgTe possui os níveis tipo p acima dos com simetria tipo S, levando à uma estrutura de bandas invertida. Nesse poço quântico, o HgTe era crescido entre dois filmes espessos de CdTe com uma certa espessura d (figura 3.12).

Figura 3.12: Na figura acima, temos um poço quântico formado por um filme de HgTe entre dois filmes de CdTe. Os dois canais de condução são formados por estados SHQ quando a espessura do filme é maior que a espessura crítica dc. [100].

Quando essa espessura for menor que um valor crítico de transição dc,

d < dc = 6.3 nm, os estados eletrônicos de borda no poço quântico terão

uma estrutura eletrônica normal. Entretanto, o aumento da espessura do filme de HgTe intensifica o acoplamento spin-órbita, aproximando o fundo da banda de valência do topo da banda de condução, extinguindo o gap quando d = dc. Para d > dc, há uma inversão de bandas, com a banda de valência

passando a ser tipo s a banda de condução tipo p ( figura 3.13a). Como essas bandas possuem paridades opostas, há, portanto, uma mudança na paridade da banda de valência preenchida, que irá alterar o sinal em um dos termos da a equação 3.25, mudando o valor do invariante topológico ν dado pela equação 3.26 e, consequentemente, a topologia do sistema. Dessa forma, estados de borda topologicamente protegidos são formados no material, como pode ser notado na figura 3.13b.

Figura 3.13: a) Inversão de bandas em função da espessura crítica dcpara um poço quântico

bidimensional. b) Estados SHQ são mostrados nas bordas do material. Figura modificada da ref. [87].