Uma nova fase de estudos foi aberta quando o Efeito Hall Quântico, EHQ, em duas dimensões foi descoberto experimentalmente na década de 80 por von Klitzing, Dorda e Pepper. Eles mediram a Tensão Hall de um gás bidimensional, em uma junção de semicondutores, quando este estava à baixa temperatura e sujeito a um forte campo magnético. Isso os permitiu observar que a Condutância Hall desses materiais aparecia em platôs, com valores múltiplos inteiros de e2/h,
σxy = ne2/h, (3.18)
onde n é um inteiro. Ainda observou-se que, mesmo aumentando o valor da tensão de gate, a corrente elétrica na direção do campo elétrico externo aplicado se anula nesses platôs, como podemos observar na figura 3.4.
Figura 3.4: A figura mostra a quantização da Tensão Hall, UH/mV , em relação à tensão de
gate, Vg/V . Superposto à curva de UH/mV tem-se a medida da tensão longitudinal da amostra.
Podemos observar que para valores de VG/V correspondentes à platôs na UH/mV a tensão é nula,
o que indica que a densidade de corrente longitudinal também é zero. No entanto, a densidade de corrente era diferente de zero durante a transição do valor de UH/mV entre dois platôs. Na figura
foi inserido um esboço de como as medidas foram realizadas nessas amostras, indicando a posição das sondas utilizadas na aquisição dos dados [83].
A explicação para essa quantização da Condutância Hall pode ser feita em termos das órbitas formadas pelos elétrons na presença de campo magnético externo aplicado [84]. O Hamiltoniano de uma partícula carregada nesse sistema mencionado é: H = 1 2m∗ h ~p− e cA~ i2 + eE0y, (3.19)
onde E0 é o módulo do campo elétrico perpendicular à amostra, m∗ a massa
efetiva do elétron, ~p o momento e ~A, o potencial vetor definido pelo calibre de Landau:
~
A = H0yˆx. (3.20)
O termo H0 é o módulo do campo magnético e a função de onda solução da
equação 3.19 é dada por:
sendo φn(y− y0) a solução do oscilador harmônico: " 1 2m∗py 2+ 1 2m∗ eH0 c 2 (y− y0)2 # φn= Enφn. (3.22)
Portanto, temos que os Φn’s são autoestados do oscilador harmônico com
energia igual à: En = n + 1 2 ~ωc, (3.23)
O parâmetro ωc = eBm é a frequência de ciclotron. Esse conjunto de níveis
de energia, correspondente a cada n diferente, é conhecido como níveis de Landau.
A solução da equação de Schrödinger de um sistema com bordas, no entanto, apresenta peculiaridades cujas consequências são bastante interes- santes, como: a existência de estados localizados no volume e a existência de canais de condução de cargas elétricas nas bordas do material. Isso pode ser analisado calculando o valor esperado da corrente nas quinas e em re- giões distantes delas. Como nos estados de volume as cargas elétricas estão em órbitas, formando os níveis de Landau, por causa da presença do campo magnético, a função de onda dos elétrons é simétrica em relação ao eixo azi- mutal, implicando em uma corrente elétrica líquida igual a zero. Essa sime- tria é quebrada para funções de onda correspondentes à estados localizados na borda, pois o cálculo do valor esperado da corrente elétrica é diferente de zero, indicando o movimento de cargas nas bordas [85].
Figura 3.5: a) Influência das bordas do material nos níveis de Landau. O eixo das coordenadas representa o número de quanta de energia do oscilador harmônico, Em,ν/~ωc, correspondente a cada
valor específico de rm, representado no eixo das abscissas. A posição rm é a posição do centro da
órbita de cada portador de carga, assim como r1e r2são as posições das bordas [85]. b) mostra que
as órbitas dão origem à corrente jxcom com direção oposta nas duas bordas. As órbitas de volume
Cada nível de Landau gera um canal de condução nas quinas do material. A energia dos estados correspondentes à esses canais é maior que a energia dos estados localizados no volume por causa da assimetria na função de onda dos estados de borda, como podemos observar na figura 3.5.
Tais características de localização de estados de volume e surgimento de canais de condução nas bordas são indicativos de fase topológica. Isto é o que diferencia o estado Hall quântico do isolante trivial, onde o nível de Fermi se posiciona no gap entre as bandas de condução e de valência.
Figura 3.6: . a)-b) mostra o estado isolante trivial. Em a) é a representação de um isolante atômico de volume, onde b) é o modelo da estrutura de bandas desse sistema. c)-d) representa o estado quântico Hall. Aqui, c) mostra o movimento ciclotron dos elétrons, enquanto em d) temos a representação dos níveis de Landau [87].
Assim como nos isolantes triviais os elétrons circulam em órbitas (figura 3.6a) ao redor dos átomos, formando uma estrutura de bandas igual à da figura 3.6b; nos materiais com EHQ os elétrons também possuem um movi- mento ciclotron devido a ação da força de Lorentz (figura 3.6c). No entanto, eles não preenchem bandas de energia, como no caso dos isolantes triviais, mas níveis discretos de Landau (figura 3.6d). Uma vez que a topologia é diferente, transformações suaves no Hamiltoniano não são capazes de trans- formar estados isolantes triviais em estados Hall quânticos: o número de Chern de ambos são diferentes.
O fato do número de Chern sempre ser um inteiro, não variando sob transformações suaves, implica que sua mudança sempre envolve o apare- cimento de degraus em gráficos que o têm como função [71]. No caso do EHQ, a grandeza física que possui essa propriedade é a condutância Hall,
σxy, que apresenta valores múltiplos inteiros e2/h. A robustez de σxy é expli-
cada por essa relação com o invariante topológico correspondente ao número de Chern [88].
Os estados de bordas que aparecem entre as bandas de valência e con- dução são consequência da topologia. Esses estados são bem conhecidos na interface entre os estados Hall quânticos e o vácuo [89], e dão origem ao mo- vimento dos portadores de carga e spin, quando esses, em órbitas ciclotron, se chocam e quicam ao longo das bordas. A figura 3.7a nos dá uma boa ideia de como esse fenômeno acontece.
Figura 3.7: A figura acima mostra as propriedades de um estado Hall quântico. Em a) as órbitas ciclotrons dos elétrons “quicando” ao longo da borda entre um isolante trivial e um estado Hall quântico cria um estado de borda protegido. b) mostra a estrutura de bandas com um estado localizado na borda desse isolante, conectando as bandas de valência e de condução [87,93].
Vimos que a robustez dos estados Hall quânticos está ligada à topologia pelo número de Chern, mas também podemos interpretar isso observando a estrutura de bandas desses materiais. Na figura 3.7b percebe-se que os estados de borda cruzam a superfície de Fermi somente uma vez, portanto não há estados disponíveis para o retro espalhamento.