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A aplicação e desenvolvimento das atividades de ensino na intervenção metodológica do presente estudo tem como referencial teórico o Construtivismo, o qual tem suas origens nos trabalhos e pesquisas de Jean Piaget (1896-1980) e seus colaboradores.

O Construtivismo, ao contrário do ensino tradicional que se baseia na transmissão direta do conhecimento do professor para o aluno, tem como base que o conhecimento é derivado da experiência, ou seja, que o conhecimento é estruturado pela atividade mental do aluno apoiado nas experiências do trabalho.

A concepção sobre o ensino de matemática que apresenta a supervalorização da teoria em detrimento à prática tem sua origem no pensamento grego, notadamente em Platão (século

IV a.C.). Para Platão o mundo da realidade concreta nada mais era senão um mundo de aparências. Os objetos do mundo físico seriam representações imperfeitas das entidades verdadeiramente reais que estariam no mundo das Formas ou Idéias, estes seriam os modelos ideais dos objetos ou das situações e existiam independentemente da percepção sensível. O homem para alcançar esse mundo das Formas só poderia, para Platão, por meio da razão. O conhecimento do mundo inteligível ― onde estaria os verdadeiros objetos ― possibilitaria à compreensão de todo o resto. Dessa forma, Platão vê na Matemática um papel fundamental nesse processo, pois para ele os entes matemáticos têm uma existência objetiva, que estão fora da mente dos matemáticos, mas que também não se encontram no mundo empírico (MACHADO, 2001).

Foi com Platão que surgiu a primeira proposta de inserir o estudo da Matemática desde o nível elementar, na educação grega, e não apenas no ensino superior, como acontecia até então.

O estudo da Matemática no nível elementar seguia a idéia das escolas dos escribas egípcios: as crianças deveriam estudar os primeiros conhecimentos matemáticos através de problemas práticos retirados da via e dos negócios. Mas, esses estudos não deveriam ficar apenas na sua aplicação prática, Platão via na Matemática “uma virtude formadora mais profunda” (MARROU, 1975 apud MIORIM, 1998). Para os outros níveis seriam feitas seleções dos mais “bem-dotados”, que se formariam os futuros filósofos e governantes. Estes estudariam a Matemática profundamente, de modo totalmente racional, sem nenhum vestígio de experiência sensível. Dessa forma, seria a Matemática que definiria os “espíritos mais talentosos”, apresentando-se, pela primeira vez, como o elemento fundamental para a “seleção dos melhores” (MIORIM, 1998).

O ensino de Matemática passou por grandes reformas ao longo do tempo, mas ainda privilegiava seu caráter nobre, com todo seu simbolismo. A partir do final da década de 70 e início da década de 80, o ensino de Matemática passou a ter novas características, além dos aspectos cognitivos, os aspectos sociais, culturais, lingüísticos passaram a ter importância na aprendizagem matemática. Surgiu então a Educação Matemática, uma disciplina autônoma que visa contribuir para o ensino da matemática desenvolvendo pesquisas em diversos campos. Uma das preocupações dos educadores matemáticos era, e continua sendo procurar formas de possibilitar que os alunos desenvolvam uma capacidade matemática.

As pesquisas desenvolvidas para o ensino da matemática tiveram forte influência da Psicologia. A Psicologia, na imagem de muitos pesquisadores, procurou conhecimentos que ajudassem a compreender a aprendizagem matemática. Desses estudos se destacaram duas

grandes escolas de pensamento: a aprendizagem por associação, na qual a aprendizagem matemática efetua-se através de associações ou conexões entre estímulos e respostas; e a aprendizagem cognitiva, que vê a aprendizagem como uma reorganização de percepções. A primeira teve como principais representantes Thorndike e Skinner, enquanto que, na segunda o seu maior representante foi Jean Piaget (MATOS & SERRAZINA, 1996).

Piaget aborda o tema aprendizagem fazendo uma íntima conexão com o desenvolvimento cognitivo. Ele concebe o desenvolvimento cognitivo como uma sucessão de estágios e sub-estágios caracterizados pela forma em que os esquemas, de ação ou conceptuais, se organizam formando estruturas. Cada um dos estágios marca o início de uma etapa de equilíbrio, uma etapa de organização das ações e operações do sujeito, através de uma estrutura lógico-matemática. O conhecimento é visto como uma estrutura flexível de conceitos e relações entre conceitos, a qual vai evoluindo de acordo com a experiência de vida de cada indivíduo.

Em seus estudos e pesquisas, Piaget estabeleceu uma distinção fundamental entre três tipos de conhecimentos, segundo suas fontes básicas e sua estruturação: conhecimento físico, conhecimento lógico-matemático e conhecimento social (ou convencional) (KAMII, 2002).

O conhecimento físico é o conhecimento dos objetos de uma realidade externa. O tamanho e espessura, por exemplo, são características físicas observáveis nos objetos na realidade externa. Já o conhecimento lógico-matemático consiste na coordenação de relações, feita internamente. Para Piaget, em sua teoria, a abstração da espessura de um dado objeto, que é uma propriedade, é diferente da natureza da abstração de estabelecer relações como igual, diferente ou maior, por exemplo. Por fim, o conhecimento social é o conhecimento transmitido pela sociedade como regras, leis, normas, definições, etc. Assim, Piaget reconhecia fontes internas e externas do conhecimento.

Para a abstração das propriedades a partir dos objetos, Piaget utilizou o termo abstração empírica (ou simples), para a construção de relações entre os objetos, ele usou o termo abstração reflexiva.

Nas palavras de Piaget designou-se por abstração empírica “a que se apóia sobre os objetos físicos ou sobre os aspectos materiais da própria ação, tais como movimentos, empurrões, etc.”, enquanto que a abstração reflexiva “apóia-se sobre as atividades cognitivas do sujeito (esquemas ou coordenações de ações, operações, estruturas, etc.), para delas retirar certos caracteres e utilizá-los para outras finalidades (novas adaptações, novos problemas, etc.)” (PIAGET, 1995). Quando o sujeito está observando um objeto e focaliza certa propriedade desse objeto e a identifica, como a cor verde, por exemplo, ele está abstraindo

essa característica que está no objeto; mas quando o sujeito compara um objeto de cor verde com outro de cor amarela, por exemplo, e identifica uma diferença entre eles, esta diferença não está nos objetos, mas na mente do sujeito que estabeleceu a relação entre os dois objetos, quer dizer, a abstração da relação de diferença entre os objetos é interna. É o sujeito quem estabelece as relações. As propriedades sobre as quais se refere a abstração empírica já existiam no objeto antes mesmo de qualquer constatação por parte do sujeito.

Tendo feito a distinção entre esses dois tipos de abstração, Piaget ressalta que, no âmbito da realidade psicológica do sujeito, essas abstrações coexistem, ou seja, não é possível que uma das duas abstrações exista sem a presença da outra. Não é possível, por exemplo, o sujeito estabelecer a relação de “maior que” se não observar essa propriedade de desigualdade entre os objetos. Da mesma forma, o sujeito não poderia construir o conhecimento físico se não tivesse uma estrutura lógico-matemática que lhe possibilitasse estabelecer relações com o conhecimento já existente.

A preocupação de Piaget era com a construção do conhecimento e a formação de habilidades, não com as questões relacionadas à educação de crianças no nível ensino- aprendizagem. No entanto, o resultado de suas pesquisas proporcionou uma ampla resposta, respaldada por um considerável suporte empírico, ao problema de como se constitui o conhecimento científico e suas idéias enriqueceram e renovaram o pensamento pedagógico contemporâneo.

A teoria construtivista na educação teve origem nas idéias dos trabalhos de Piaget. O Construtivismo tem como base dois princípios: (i) que o conhecimento é ativamente construído pelo sujeito cognoscente e não passivamente recebido do meio, e (ii) conhecer é um processo de adaptação que organiza o mundo derivado da experiência do sujeito, e não de um mundo independente, exterior à mente do sujeito. Nesse processo a estrutura lógico- matemática está presente todo o tempo.

Relacionando-se ao ensino-aprendizagem, no ensino tradicional é acentuada a transmissão direta do saber do professor para o aluno, a aprendizagem é tida como uma impressão na mente dos alunos das aulas apresentadas; enquanto que no ensino baseado na teoria construtivista, ensinar é muito diferente de treinar, ou seja, não existe transmissão de conhecimento do professor para o aluno, este último é ator na construção de seu conhecimento. As aulas de matemática, no ensino tradicional, se constituem em explanações sobre temas do programa de matemática, ou qualquer outra disciplina, onde o professor é o detentor do conhecimento e, para ensinar bem, basta dominar a matéria, o erro é tido como uma incapacidade do aluno de assimilar o conteúdo exposto.

Ao contrário do ensino tradicional, as aulas na teoria construtivista mostram uma constante interação entre o conhecimento, o aluno e o professor. Dentro dessa interação, o aluno pode apresentar concepções erradas sobre o conteúdo que está sendo abordado e essas concepções podem fornecer um caminho para o pensamento do aluno, cabendo ao professor saber identificar essas concepções, corrigí-las e usá-las para ajudar o aluno a construir seu próprio conhecimento (FOSSA, 2001). Essa nova postura do professor, enquanto mediador do conhecimento e não seu detentor único, implica que o professor tem apenas o conhecimento indireto sobre as construções do aluno, constatando que cada aluno tem diferentes tempos e ritmos de aprendizagem.

Em relação ao ensino de matemática, as teorias de Piaget sobre a aprendizagem de conceitos matemáticos modificaram toda uma estrutura de concepção sobre seu ensino. Para que o ensino de matemática alcançasse os objetivos propostos pela teoria construtivista, ou seja, uma construção de conceitos com compreensão, dando ao aluno habilidades e conhecimentos úteis que o preparasse para a resolução de problemas diários, foi necessária a utilização de uma metodologia que valorizasse os conhecimentos dos alunos e a ação do professor (MENDES, 2006).

No ensino de matemática, o construtivismo delineia a função do professor como aquele que estabelece o ambiente matemático. Dessa forma, a construção do conhecimento matemático depende das situações que o aluno deve vivenciar para trabalhar suas construções. O uso de materiais manipulativos em atividades estruturadas, principalmente nas séries iniciais, pode gerar um ambiente cognitivo rico, onde os alunos podem estabelecer relações entre o observável e as construções já existentes em suas mentes.