Fiber eleman analojisi 32

Günümüzde, bilgisayar yazılımlarındaki gelişmelere paralel olarak, çeşitli teorilerin analiz modellerine uygulanması amacıyla yeni elemanlar geliştirilmiştir. Bu yeni elemanlardan biri olan fiber (lif) elemanlardan yararlanarak, doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin kesit ve sistem üzerinde yayılı olması hali gözönüne alınabilmektedir. Bu bağlamda, doğrusal olmayan sistemlerin hesabında yaygın olarak kullanılan ve doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin belirli kesitlerde toplanması varsayımına karşı gelen plastik mafsalların yerini yeni geliştirilen fiber elemanlar almaktadır. Bu bölümde, fiber elemanlar hakkında ayrıntılı bilgi verilecektir.

Zaman tanım alanında doğrusal olmayan analiz yapabilen bazı bilgisayar programlarında [8, 10] düzlem çubuk elemanlar fiber (lif) adı verilen elemanlar ile oluşturulmaktadır [34]. Fiber elemanlar beton ve donatı için ayrı ayrı olarak atanabilmektedir, Şekil 2.22.

Şekil 2.22 : Fiber eleman ile kesit modellemesi

Fiber eleman analojisinde, yapı sistemini oluşturan elemanlar boyuna doğrultuda fiber adı verilen alt elemanlara bölünmektedir. Her bir fiber elemanın Bernoulli- Navier hipotezine uygun şekilde davrandığı kabul edilmektedir. Her fiber eleman bir beton veya donatı alanını temsil etmektedir. Bu beton veya donatı liflerine çevrimsel yüklemelere uygun malzeme bilgileri atanabilmektedir. Genellikle, sargılı ve sargısız betonlar için farklı beton modelleri seçilmekte, kabuk bölümü sargısız beton modeli,

çekirdek bölümü ise sargılı beton modeli ile temsil edilmektedir. Sargılı betonun gerilme–şekildeğiştirme diyagramı program tarafından otomatik olarak çizilmektedir. Her fiber eleman üzerinde, ardışık iki integrasyon boyu arasındaki malzeme gerilmesinin sabit olduğu varsayılmaktadır. Aşağıda fiber elemanların avantajları ve dezavantajları hakkında bilgi verilecektir.

Fiber elemanların avantajları

1) Her fiber eleman için, başlangıçta eğilme momenti – eğrilik analizi yapılmasına gerek olmamaktadır.

2) Çevrimsel etkiler malzeme özelliklerinden alınmaktadır ve bu etkilerin ayrıca tanımlanmasına gerek yoktur.

3) Değişken eksenel yükün dayanım ve rijitlik üzerindeki etkileri doğrudan doğruya modellenebilmektedir.

4) İki eksenli yüklemelerin tanımlanması tek eksenli yüklemelerin tanımlanması kadar kolaydır. Ayrıca bunların her birinin eğilme dayanımı ile etkileşimi de gözönüne alınabilmektedir.

5) Malzemenin şekildeğiştirme kapasitesinin azalımından veya göçmesinden kaynaklanan limit durum dayanım azalması doğrudan doğruya modellenebilir.

6) Sargılı çekirdek betonu kullanıcı tarafından tanımlanabilmekte, ayrıca enine donatının etkisi de program tarafından hesaplanabilmektedir.

Fiber elemanların avantajlarının yanında bazı dezavantajları da bulunmaktadır 1) Fiber elemanlar sadece bileşik eğilme etkisi incelenirken kullanılabilinmektedir. Kesme etkisi fiber elemanlar ile genelikle modellenmez.

2) Eğilme sünekliği ve kesme dayanımı arasındaki etkileşim fiber elemanlar ile modellenememektedir.

3) Birleşim bölgelerindeki kayma şekildeğiştirmeleri ancak fiber olmayan özel elemanlar ile modellenebilir.

4) Kesitteki dönmelerin ve doğrusal yerdeğiştirmelerin elde edilmesi için, fiber elemanların eğriliklerinin integrasyonunda, plastik mafsal hipotezindeki plastik

mafsal boyuna benzer özellikteki bir kritik fiber boyu (2.18) formülüne göre tanımlanmalıdır.

0.022 ( in MPa) 0.15 ( in ksi)

SP ye bl ye SP ye bl ye

L = f d f L = f d f (2.18)

5) Eğer fiber dilimindeki eğilme momenti dilimin merkezinde tayin edilmiş ise, yapının kapasitesi gerçek kapasitesinden daha büyük olarak hesaplanır. Çünkü kritik kesitteki eğilme momenti, genellikle dayanımın belirleneceği fiber dilim merkezindeki eğilme momenti değerini aşmaktadır. Ancak bu durum analiz aşamasında düzeltilebilir. Kritik dilim sınırlarının (örneğin kolon-kiriş bileşim bölgelerinde kiriş yüzü) belirlenmesinde, Gauss integrasyon noktaları gerçek sınır noktaları ile çakıştırılabilir.

6) Fiber eleman kullanılarak modellenen sistemlerin bilgisayar ile analizi, plastik mafsal hipotezi kullanılarak modellenen sistemlerin analizine göre çok daha uzun süre almaktadır.

Sonuç olarak, fiber elemanların kullanılması doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin eleman üzerinde yayılı olması halinin modellenebilmesi açısından yararlı bir gelişmedir [35]. Ancak sistem hesaplarında her eleman modelinde fiber kullanılması hem analiz sonuçlarının yaklaşıklığı açısından hem de zaman ekonomisi bakımından uygun olmayabilir. Model hazırlanırken doğrusal-elastik bölgede kalması beklenen elemanların saptanması ve bunların modellenmesinde fiber eleman kullanılmaması hesap süresini önemli ölçüde kısaltabilmektedir.

Fiber elemanın çalışma prensibi:

Fiber eleman kullanarak herhangi bir kesitin eğilme momenti-eğrilik ilişkisinin belirlenmesinde iki farklı yöntem kullanılabilir. Bunlar Yerdeğiştirme kontrolü ve Kuvvet kontrolü yöntemleridir.

Yerdeğiştirme kontrolü yönteminde, x ve y eksenlerindeki χx, χy eğrilikleri tahmini

olarak atanır ve bunlara karşı gelen eğilme momenti değerleri hesaplanır. Merkezi bilinen her bir fiber elemanda tahmini olarak atanan eğrilik değerlerine bağlı olarak şekildeğiştirmeler hesaplanabilir. Bu hesaplarda Bernoulli-Navier hipotezi geçerlidir. Kesitin koordinat merkezi olan (0,0) noktasına göre rölatif olarak belirlenen bu şekildeğiştirme εa olarak isimlendirilir. Şekil 2.23 den görüldüğü gibi, (0,0) koordinat

merkezinin kesitin merkezi ile çakıştırılması, eksenel yüklerin dışmerkez etkilerinin oluşmaması açısından uygun olmaktadır.

Şekil 2.23 : Fiber eleman geometrisi

Her fiber elemandaki şekildeğiştirmelerin (2.19) formülü yardımıyla hesaplanması ve malzeme modellerindeki gerilme-şekildeğiştirme ilişkilerinin bilinmesi durumunda her fiber elemandaki gerilme değeri bulunabilir. Her fiber dilimi için hesaplanan bu gerilmeler enkesit alanları ile çarpılarak fiberlerdeki Fi kuvvetleri elde edilir.

i i i a y i x i

ε (x , y ) = ε - xφ + φy (2.19)

Toplam eksenel kuvvet ve x ve y asal doğrultularındaki eğilme momenti değerleri de, Fi kuvvetlerine bağlı olarak (2.20) formülleri ile hesaplanırlar.

i x i i y i i

i i i

P=

∑

∑

∑

Her fiberdeki toplam eksenel kuvvetin kesite etkiyen eksenel kuvvete eşit olmaması halinde, kesitin geometrik merkezine etkitilen gerilme değeri değiştirilerek ardışık yaklaşım yapılır ve fiber elemanlardaki toplam eksenel kuvvetlerin etkitilen eksenel kuvvete eşit olması sağlanır. Bu eşitlik sağlandıktan sonra eğrilik değeri arttırılır ve yukarıda tanımlanan işlemler tekrarlanır.

Eğriliklerin arttırılması işlemine, malzeme istem limitine ulaşıncaya kadar devam edilir. Betonarme elemanlar için tanımlanan limit dayanım, donatının kopması veya betonun ezilmesi durumuna karşı gelmektedir.

Kuvvet kontrolü yönteminde ise, kuvvetler (veya momentler) malzeme limit durumuna erişinceye kadar arttırılır. Bu yöntemde, her bir adım için teğet kesit

rijitliğini kullanarak iterasyon yapılmaktadır. Bu iterasyon Newton-Raphson tipi iterasyon olarak isimlendirilir [36].

Fiber eleman modellemesinin bir kesit üzerinde nasıl oluşturulduğu Şekil 2.24 te örnek olarak gösterilmiştir.

Şekil 2.24 : Fiber eleman modeli

2.3.2 Doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin belirli kesitlerde toplanması hali Malzeme bakımından doğrusal olmayan bazı yapı sistemlerinde, doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin belirli kesitlerde toplandığı, sistemin geri kalan diğer bölümlerinin ise doğrusal-elastik davrandığı varsayımı yapılabilir [28].

2.3.2.1 Plastik mafsal hipotezi

Doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin küçük bir bölgeye yayıldığı ve toplam şekildeğiştirmelerin doğrusal şekildeğiştirmelere oranı olarak tanımlanan süneklik oranının büyük olduğu yapı sistemlerinde, doğrusal olmayan eğilme şekildeğiştirmelerinin plastik mafsal (plastik kesit) adı verilen belirli kesitlerde toplandığı, bunun dışındaki bölgelerde ise sistemin doğrusal-elastik davrandığı kabul edilebilir. Bu hipoteze, plastik mafsal (plastik kesit) hipotezi adı verilir.

Çelik yapılar ve bazı koşullar altında betonarme yapılar gibi yeterli düzeyde sünek davranış gösteren sistemlerde, plastik mafsal hipotezi yapılarak sistem hesapları önemli ölçüde kısaltılabilmektedir. Bu hipotezin bir çubuk eleman üzerinde nasıl uygulanacağı Şekil 2.25 de şematik olarak gösterilmiştir.

Şekil 2.25 : Kiriş elemanında plastik mafsal bölgeleri

Doğrusal olmayan malzemeden yapılan bir düzlem çubuk elemanın gerçek eğilme momenti-eğrilik bağıntısı Şekil 2.26 da verilmiştir. Bu elemanın belirli bir bölgesine ait eğilme momenti diyagramı ile toplam eğilme şekildeğiştirmeleri ve doğrusal olmayan şekildeğiştirmeler Şekil 2.27 üzerinde görülmektedir.

Şekil 2.26 : Eğilme momenti - eğrilik diyagramı

Plastik mafsal hipotezinde, çubuk elemanın üzerinde lp uzunluğundaki bir bölgede

sürekli olarak yayılan plastik şekildeğiştirmelerin

p p l

ds

şeklinde, plastik mafsal olarak tanımlanan bir noktada toplandığı varsayılmaktadır. Burada, φp plastik mafsalın dönmesini göstermektedir.

Plastik mafsal hipotezinin uygulanması, gerçek eğilme momenti-eğrilik bağıntısının aşağıdaki bağıntılarda görüldüğü iki doğru parçasından oluşacak şekilde idealleştirilmesine karşı gelmektedir, Şekil 2.28.

, p P p maks M M = M için EI M = M için χ χ χ = → (2.22) (2.23)

Şekil 2.28 : İdealleştirilmiş bünye bağıntısı

Artan dış yükler altında, plastik mafsalın dönmesi artarak dönme kapasitesi adı verilen bir sınır değere ulaşınca, meydana gelen büyük plastik şekildeğiştirmeler nedeniyle kesit kullanılamaz hale gelebilir. Yapı sisteminin bir veya daha çok kesitindeki plastik mafsal dönmelerinin kendilerine ait dönme kapasitelerine ulaşması halinde ise, yapı sisteminin kullanım dışı kaldığı varsayılır.

Dönme kapasitesi şu şekilde hesaplanır:

,

p p p maks

maksϕ =l χ (2.24)

Burada lp plastik bölge uzunluğunu (plastik mafsal boyunu) göstermektedir ve

yaklaşık olarak aşağıdaki bağıntı ile hesaplanabilir. 0.5 ( :enkesit yüksekliği)

p

l ≅ d d (2.25)

Betonarme yapı sistemlerinde dönme kapasitesi çeşitli etkenlere bağlıdır. Bunların başlıcaları

a) betonarme betonu ve beton çeliğinin σ-ε diyagramlarını belirleyen εcu ve εsu sınır

birim boy değişimleri

b) betonarme betonunun εcu birim boy değişmesini etkileyen sargı donatısının

miktarı, şekli ve yerleşim düzeni

c) plastik bölge uzunluğunu etkileyen enkesit boyutları

Diğer taraftan, performansa dayanan tasarım ve değerlendirme yöntemlerinde, yukarıdaki bu faktörlerin yanında, yapıdan beklenen performans düzeyi de dönme kapasitesinin belirlenmesinde etken olmaktadır.

Yukarıda ayrıntılı olarak açıklanan plastik mafsal hipotezinin esasları aşağıda özetlenmiştir.

1- Bir kesitteki eğilme momenti artarak Mp plastik moment değerine eşit olunca, o

kesitte bir plastik mafsal oluşur. Daha sonra, kesitteki eğilme momenti Mp değerinde

sabit olarak kalır ve kesit serbestçe döner. Plastik mafsaldaki φp plastik dönmesi

artarak dönme kapasitesine (maks φp) erişince kesit kullanılamaz duruma gelebilir.

2- Plastik mafsallar arasında sistem doğrusal-elastik davranır.

3- Kesite eğilme momenti ile birlikte normal kuvvetin de etkimesi halinde, Mp plastik

momenti yerine, kesitteki N normal kuvvetine bağlı olarak akma koşulundan bulunan indirgenmiş plastik moment (Mp’) değeri kullanılır.

2.4 Binaların Deprem Etkisi Altında Davranışı

Binalar kendilerine etkiyen deprem yer hareketleri nedeniyle ivmelenmekte, bu ivmelenme ise, yapıda kesit zorları meydana getiren, kütle ile doğru orantılı eylemsizlik kuvvetleri oluşturmaktadır, [37]. Depreme dayanıklı yapı tasarımının temel ilkesi, binaların servis depremi adı verilen ve daha sık oluşan küçük depremleri elastik sınırlar içinde kalarak, orta büyüklükteki tasarım depremlerini elastik sınırların ötesinde ancak taşıyıcı sistemde onarılabilecek düzeyde hasar oluşarak ve can güvenliği sağlanarak karşılayabilmesi, çok seyrek olarak meydana gelen büyük depremlerde ise önemli ölçüde hasar meydana gelmesine karşın göçmenin önlemesidir. Yapıların deprem etkileri altındaki elastoplastik davranışı, yönetmeliklerde elastik ivme spektrumu ile belirlenen deprem yüklerine bir azaltma katsayısının uygulanması ile gözönüne alınmaktadır. Diğer bir deyişle, yönetmeliklere uygun olarak boyutlandırılan binaların sınırlı düzeyde elastik ötesi davranış gösterecekleri varsayılır. Sonuç olarak, binaların yönetmelik koşullarına uygun olarak tasarlanmış olması, onların deprem etkileri altında hiç hasar görmeyeceği anlamına gelmemektedir. Bu nedenle özellikle yüksek binaların

analizinde, elastik ötesi sistem davranışı ve yerdeğiştirme kontrollü analiz yöntemleri büyük önem kazanmaktadır.