Ferman

A reologia é a ciência que estuda a deformação e fluxo/escoamento de um corpo sob a ação de tensões. Os corpos podem ser sólidos ou fluidos (líquido e gás). Os sólidos ideais sofrem deformação elástica, isto é, a energia requerida para a deformação é completamente recuperada quando a tensão é removida. Enquanto que os fluidos ideais, líquidos e gases, deformam-se contínua, irreversivelmente e fluem. Quando a tensão é removida, a energia requerida para a deformação é dissipada sob a forma de calor e não pode ser recuperada. Os corpos reais não são nem sólidos ideais e nem fluidos ideais. Os sólidos reais também podem se deformar irreversivelmente e fluírem sob a ação de uma força adequada. Enquanto que, a maioria dos líquidos apresenta um comportamento reológico que os classifica entre líquidos (viscosos) e sólidos (elásticos), por isso, são chamados de viscoelásticos (SCHRAMM, 2006). Isaac Newton foi o primeiro a propor a lei básica de viscosidade descrevendo o comportamento de fluxo de um líquido ideal. De acordo com essa lei, a tensão de cisalhamento (τ ) é igual ao produto da taxa de cisalhamento ( ) e a viscosidade do fluido

(µ). O modelo de duas placas paralelas, de áreas A, separadas entre si por uma distância dy,

contendo um fluido submetido ao cisalhamento sob aplicação de uma força F auxilia na definição da tensão de cisalhamento e da taxa de cisalhamento. A placa inferior está fixa, enquanto a superior se desloca a uma velocidade constante, provocando uma variação de velocidade, em regime estacionário laminar, no interior do fluido. A camada de fluido próxima da placa inferior está parada, enquanto a camada próxima da placa superior se move com a mesma velocidade da placa. A velocidade máxima do fluxo (vmáx) está na placa superior e a velocidade diminui até chegar a zero (v = 0) na placa inferior (Figura 3.8) (SCHRAMM, 2006; CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Figura 3.8 – Fluido entre placas, cisalhado por uma força aplicada na placa superior

Fonte: Adaptado de (CHHABRA; RICHARDSON, 2008)

Neste caso, a tensão de cisalhamento é o resultado da aplicação de uma força F tangencialmente em uma área A (Equação 4), que é a interface entre a placa superior e o líquido abaixo, gerando um fluxo na camada líquida. Esta tensão é solicitada pela resistência ao escoamento do fluido, portanto é necessária para manter o seu escoamento (MACHADO, 2002; SCHRAMM, 2006). 2 F N [Newton] τ = = = Pa [Pascal] A m (4)

No fluxo laminar, a taxa de cisalhamento é definida como o deslocamento relativo de camadas infinitamente fina de partículas ou planos de fluidos em relação à distância entre elas. A taxa de cisalhamento é também denominada de grau de deformação ou gradiente de velocidade e pode também ser definida através de uma diferencial (velocidade pela distância y). Na literatura científica, a taxa de cisalhamento é descrita como . O ponto acima de indica que a taxa de cisalhamento é derivada do tempo da deformação causada pela ação da tensão de cisalhamento sobre a lâmina de um líquido (Equação 5) (MACHADO, 2002; SCHRAMM, 2006). 1 x dV m/s 1 = = = = [s ] dy m s  ₍₅₎

A velocidade do fluxo que pode ser mantida com uma força constante é controlada pela resistência do fluido ao cisalhamento, isto é, por sua viscosidade. Para os fluidos viscosos ideais, a tensão de cisalhamento (τ) é proporcional à taxa de cisalhamento ( ), onde a constante de proporcionalidade é, por definição, a viscosidade dinâmica do fluido (µ), conforme mostra a Equação 6 (SCHRAMM, 2006)):

x dV τ = = dy        (6)

A lei de Newton da viscosidade pode ser expressa pela Equação 7 (SCHRAMM, 2006):

τ

= (7)

Em que, a unidade da viscosidade dinâmica µ é o “Pascal.segundo” [Pa.s]. A unidade “mili

Pascal.segundo” [mPa.s] também é usada.

A viscosidade dos fluidos viscosos pode ser influenciada por diferentes parâmetros, especialmente, a natureza físico-química do polímero, temperatura, pressão, concentração do polímero, massa molar, qualidade do solvente, conformação da cadeia do polímero, taxa de

cisalhamento (KULICKE; CLASEN, 2004; SCHRAMM, 2006; CHHABRA;

RICHARDSON, 2008).

O comportamento de fluxo ou reológico de soluções poliméricas (fluidos viscosos) pode ser determinado atráves da análise da relação entre a tensão de cisalhamento e da taxa de cisalhamento, para uma determinada condição de temperatura e pressão (MACHADO, 2002). Este comportamento é mostrado graficamente em um diagrama de tensão de cisalhamento na ordenada e taxa de cisalhamento na abscissa. Este diagrama é denominado curva de fluxo. Outro diagrama muito comum para mostrar o comportamento reológico de soluções poliméricas é o da viscosidade versus taxa de cisalhamento. Este diagrama é chamado de curva de viscosidade. A curva de viscosidade corresponde à curva de fluxo. As medidas de viscosidade resultam inicialmente em uma curva de fluxo. Os resultados experimentais são

rearranjados matematicamente para que a curva de viscosidade possa ser gerada (SCHRAMM, 2006).

Fundamentalmente, os fluidos são classificados em Newtonianos e não-Newtonianos. Um fluido Newtoniano apresenta uma curva de fluxo que é uma reta interceptando o encontro dos eixos cartesianos e a viscosidade é constante, resultante da inclinação da reta e independente da taxa de cisalhamento. Um fluido não-Newtoniano apresenta uma curva de fluxo não linear ou que não inicia a partir da origem dos eixos cartesianos, isto é, a relação entre tensão de cisalhamento e taxa de cisalhamento não é constante a uma dada temperatura e pressão, mas é dependente das condições de fluxo, tais como, taxa de cisalhamento. Os fluidos não-Newtonianos encontram-se divididos em três categorias: os independentes do tempo, os dependentes do tempo e os viscoelásticos (MACHADO, 2002; CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Os fluidos independentes do tempo são denominados de pseudoplásticos, dilatantes, pseudoplástico com limite de escoamento = líquido plástico e Binghamiano ou plástico ideal (Figura 3.9) (MACHADO, 2002; CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Figura 3.9 – Curvas de fluxo e de viscosidade de fluido: Newtoniano (1), pseudoplástico (2), dilatante (3),

pseudoplástico com limite de escoamento = líquido plástico (4) e Binghamiano ou plástico ideal (5)

Fonte: Adaptado de (SCHRAMM, 2006; CHHABRA; RICHARDSON, 2008)

Quando a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de cisalhamento, não se pode falar apenas em viscosidade. Usa-se o termo viscosidade aparente

(η). A viscosidade aparente (η) é a viscosidade que o fluido teria se fosse Newtoniano,

cisalhamento. A viscosidade dos fluidos não-Newtonianos não é única e varia com a magnitude da taxa de cisalhamento (MACHADO, 2002).

Os fluidos pseudoplásticos sofrem uma diminuição de viscosidade com o aumento da taxa de cisalhamento e, geralmente, esses fluidos são conhecidos como shear thinning (SCHRAMM, 2006). Em taxas de cisalhamento muito baixas e em taxas de cisalhamento extremamente altas, os fluidos pseudoplásticos se comportam similarmente aos fluidos Newtonianos. A viscosidade aparente em muito baixas e extremamente altas taxas de cisalhamento é chamada de viscosidade a cisalhamento zero (η0) e viscosidade de

cisalhamento infinita (η∞), respectivamente. Assim, a viscosidade aparente de um fluido

pseudoplástico diminui de η0 para η∞ com o aumento da taxa de cisalhamento (MACHADO, 2002; CHHABRA; RICHARDSON, 2008). Como exemplos típicos de materiais pseudoplásticos, podemos citar: polímeros fundidos, produtos farmacêuticos e polímeros em solução. Em particular, considerando uma solução polimérica contendo longas cadeias entrelaçadas e enoveladas em repouso, as cadeias do polímero mantêm uma ordem interna irregular e considerável resistência interna ao fluxo, ou seja, uma alta viscosidade. Por outro lado, com o aumento da taxa de cisalhamento, os entrelaçamentos entre as cadeias poliméricas em solução podem ser desfeitos, as moléculas se alinham e se orientam na direção do fluxo, superando o movimento Browniano das moléculas, permitindo um escoamento mais rápido a uma determinada tensão de cisalhamento e diminuição da viscosidade. Para a maioria dos materiais líquidos pseudoplásticos, o efeito do cisalhamento é reversível, mas exige um determinado tempo para que a alta viscosidade original seja recuperada quando o cisalhamento é reduzido ou interrompido. As cadeias do polímero retornam ao seu estado original de não-orientação devido ao movimento Browniano. A curva de fluxo de um fluido pseudoplástico sem limite de escoamento em função de uma taxa de cisalhametno crescente, a curva superior é sobreposta à curva inferior com taxa de cisalhamento decrescente. Elas estão exatamente uma em cima da outra, e somente uma pode ser visualizada (SCHRAMM, 2006).

Para representar o comportamento de fluidos pseudoplásticos, encontrado na região pseudoplástica, vários modelos matemáticos são descritos na literatura (CHHABRA; RICHARDSON, 2008). Dentre estes modelos, a lei de potência ou modelo de Ostwald de Waele pode ser representada pela relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento em coordenadas logarítmicas, que pode ser aproximadamente uma linha reta em uma faixa limitada de taxa ou tensão de cisalhamento. Nesta região da curva de fluxo, o modelo de Ostwald de Waele pode ser expresso através da Equação 8 (MACHADO, 2002; CHHABRA; RICHARDSON, 2008):

n

τ = K _{ }

 

(8)

Onde, τ é a tensão de cisalhamento (Pa), é a taxa de cisalhamento (s-1

), K é o índice de consistência do fluido (Pa.sn) e n é o índice de comportamento de fluxo (grandeza adimensional).

A Equação 8, em coordenadas logarítmicas, produzirá uma reta log τ = log K + n log . O valor de n será determinado a partir da inclinação de log τ, enquanto que o valor de K será definido no ponto de interseção do eixo vertical com a reta, quando a taxa de cisalhamento for igual a 1 (MACHADO, 2002).

Para os fluidos pseudoplásticos, n pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. Quanto menor o valor de n (n < 1), maior é o grau de pseudoplasticidade. Para um fluido dilatante, n é maior do que 1. Quando n for igual a 1, o fluido descreve o comportamento de um fluido Newtoniano (CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Outra forma de interpetrar o comportamento do fluido de potência consiste em analisar a variação de sua viscosidade aparente com a taxa de cisalhamento, combinando as Equações (7) e (8) para gerar a Equação (9) (MACHADO, 2002; CHHABRA; RICHARDSON, 2008):

n - 1

= K _{ }

 

(9)

Enquanto que os fluidos dilatantes apresentam um aumento de viscosidade com o aumento da taxa de cisalhamento. Esses fluidos são conhecidos como shear thickening (Machado, 2002). O comportamento de fluxo dilatante em líquidos é raro, porque tende a compliar as condições de produção. Este comportamento pode ser encontrado em suspensões altamente concentradas em partículas sólidas como emulsões de poli(cloreto de vinila) – PVC com plastificantes para formar plastissol (SCHRAMM, 2006).

Os fluidos pseudoplásticos com limite de escoamento ou fluidos Binghamiano (ou plástico ideal) apresentam uma tensão de cisalhamento (τ0). O fluido irá deformar elasticamente como sólido quando a força externa aplicada for menor do que a tensão de

cisalhamento. Entretanto, forças externas mais fortes do que a tensão de cisalhamento (yield stress), resulta no colapso da estrutura e o sólido torna-se um líquido. As curvas de fluxo destes fluidos podem ser linear ou não-linear e não interceptam a ordenada na origem, mas no ponto crítico de τ0. Um fluido com curva de fluxo linear é chamado fluido Binghamiano e caracteriza-se por valores constantes de viscosidade plástica e tensão de cisalhamento. Por outro lado, um fluido que apresenta uma curva de fluxo não-linear é chamado de pseudoplástico com limite de escoamento. Estes fluidos também apresentam diminuição da viscosidade com o aumento da taxa de cisalhamento. Em taxas de cisalhamento muito baixas, a viscosidade aparente é efetivamente infinita em um determinado instante antes do cisalhamento do fluido e início do fluxo. Alguns exemplos destes fluidos são fluidos de perfuração de poços de petróleo, sangue e alimentos (SCHRAMM, 2006; CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Enquanto que os fluidos dependentes do tempo são classificados em tixotrópicos e reopéticos. Estes fluidos apresentam interações moleculares dependentes da tensão de cisalhamento com o tempo para uma taxa de cisalhamento constante (MACHADO, 2002; CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Para os fluidos chamados tixotrópicos, a viscosidade aparente (ou a tensão de cisalhamento correspondente) diminui com o tempo sob uma determinada taxa de cisalhamento (Figura 3.10).

Figura 3.10 – Comportamento de um fluido tixotrópico: dispersões aquosas de argila

Fonte: Adaptado de (CHHABRA; RICHARDSON, 2008)

Se a curva de fluxo do fluido tixotrópico é medida em um experimento em que a taxa de cisalhamento é progressivamente aumentada a uma taxa constante de zero a um valor

máximo e, em seguida, diminuída sob a mesma taxa a um valor zero, a histerese é mostrada na Figura 3.11. A altura, a forma e a área de histerese dependem da duração do cisalhamento, do aumento/diminuição da taxa de cisalhamento e da história do cisalhamento da amostra. De uma forma geral, quanto maior é a área de histerese, mais forte é o comportamento de dependência do tempo dos materiais. Assim, materiais que apresentam comportamento independente do tempo, não apresentam histerese. Os fluidos tixotrópicos apresentam uma estrutura tridimensional em rede frequentemente denominada “gel”. Este rede é formada por ligações geralmente ligações de hidrogênio e ligações iônicas, as quais se rompem facilmente sob cisalhamento por um longo período de tempo. Quando uma reticulação é rompida, a viscosidade cai com o tempo de cisalhamento até que o nível mais baixo possível seja atingido para uma taxa de cisalhamento constante. O nível de viscosidade mínimo descreve o

estado “sol” da dispersão. Um fluido tixotrópico é definido pelo seu potencial de ter uma

estrutura de gel reversível, sempre que a substância for mantida em repouso por um longo período de tempo. Podem-se levar segundos ou minutos para romper a estrutura tixotrópica, mas, em muitos casos, são necessários minutos, horas ou até meses para recuperar por completo o estado original de gel. A tixotropia é uma característica muito importante em tintas, produtos alimentícios, cosméticos, farmacêuticos (SCHRAMM, 2006; CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Já a viscosidade aparente (ou a tensão de cisalhamento correspondente) dos fluidos reopéticos ou de tixotropia negativa aumenta com o tempo, a uma taxa de cisalhamento constante. Quando esses fluidos são deixados em repouso, eles recuperam sua forma original, isto é, de baixo nível de viscosidade. Fluidos reopéticos podem permanecer em um ciclo infinito entre o aumento da viscosidade dependente do tempo de cisalhamento e a diminuição de viscosidade relacionada com o tempo de repouso. A reopeticidade e a tixotropia são propriedades de fluxo opostas. Os fluidos reopéticos giram no sentido anti-horário enquanto os tixotrópicos no sentido horário da curva. A tixotropia é um comportamento muito comum para muitos líquidos, enquanto a reopexia verdadeira é muito rara (Figura 3.11) (CHHABRA; RICHARDSON, 2008).

Figura 3.11 – Curvas de fluxo de fluido dependente do tempo: Tixotrópico e Reopético

Fonte: Adaptado de (CHHABRA; RICHARDSON, 2008)

Outra técnica usada para caracterizar polímeros em solução é a viscosimetria. Esta técnica permite determinar um importante parâmetro chamado de viscosidade intrínseca [η]. A viscosidade intrínseca é uma medida do volume hidrodinâmico ocupado por uma macromolécula, que está relacionado com o tamanho e conformação das cadeias macromoleculares em um determinado solvente (MELLO et al., 2006; HIGIRO et al., 2007).

As medidas de viscosidade em um viscosímetro capilar do tipo Ubbelhohde, requer a determinação do tempo de escoamento do solvente e da solução polimérica para que certa quantidade de fluido passe através do capilar ou o nível do fluido desça através das marcas M1 e M2. A parte principal do lado esquerdo de um viscosímetro Ubbelhohde é composta por uma seção reta do capilar e uma cavidade com marcas acima (M1) e abaixo (M2). Enquanto que, a sua parte inferior do lado direito tem um reservatório. O fluido a ser analisado deve ser adicionado dentro do reservatório e arrastado para a cavidade por sucção. O fluido irá subir acima da marca M1 e, em seguida, a sucção é liberada, permitindo que o fluido desça abaixo da marca M2 do capilar. Esta medida é realizada sob o controle de um banho termostatizado. O tempo de descida do fluido entre as marcas M1 e M2 é chamado de tempo de escoamento (Figura 3.12) (TERAOKA, 2002; SCHRAMM, 2006).

Figura 3.12 – Viscosímetro capilar Ubbelohde

Fonte: Adaptado de (TERAOKA, 2002)

A determinação da viscosidade da solução polimérica em relação ao solvente puro é bastante comum no estudo de soluções diluídas de polímeros. A relação entre a viscosidade da solução polimérica (η) e a do solvente puro (η0) é chamada de viscosidade relativa (ηr). O

valor da viscosidade relativa pode ser determinado através de medidas do tempo de escoamento da solução polimérica (t) e do tempo de escoamento do solvente puro (t0) em um

viscosímetro, considerando que a densidade das soluções poliméricas diluídas é praticamente igual ao do solvente puro (Equação 10) (LUCAS; SOARES; MONTEIRO, 2001).

0 0 r

t

t











(10)

A viscosidade da solução polimérica também pode ser expressa pela viscosidade específica (ηsp), que está diretamente relacionada com a viscosidade relativa pela Equação 11

0 0

-

- 1

sp r

t

t

t









(11)

A viscosidade específica diz respeito à contribuição do soluto (polímero) sobre a viscosidade da solução. Por sua vez, a viscosidade reduzida (ηred) é definida pela relação entre

a viscosidade específica e a concentração da solução polimérica (c) (Equação 12). E a relação entre o logaritmo da viscosidade relativa (ln ηr) e a concentração da solução polimérica é

denominada viscosidade inerente (ηinh) (Equação 13) (LUCAS; SOARES; MONTEIRO,

2001; TERAOKA, 2002). sp red

c







(12)

ln

_r inh

c







(13)

A viscosidade de um sistema polimérico depende de vários fatores, tais como: massa molar do polímero, tensão e velocidade de cisalhamento, temperatura e natureza do solvente no caso de soluções de polímero. Considerando soluções de polímeros, a contribuição do grau de orientação para a viscosidade diminui consideravelmente com a diluição. Neste caso, o efeito da mobilidade térmica na viscosidade torna-se mais importante. Portanto, o efeito da tensão e velocidade de cisalhamento é bem menor em soluções diluídas de polímeros e o sistema comporta-se como um fluido Newtoniano. Estas condições de baixa tensão e baixa velocidade de cialhamento são necessárias para a determinação da viscosidade intrínseca [η] (LUCAS; SOARES; MONTEIRO, 2001).

A viscosidade intrínseca pode ser determinada a partir da viscosidade reduzida ou viscosidade inerente, em diferentes concentrações de polímero, extrapolando graficamente a concentração de polímero à zero (Equação 14, Figura 3.13). A viscosidade intrínseca pode, então, ser definida como (LUCAS; SOARES; MONTEIRO, 2001):

0 0

ln

[ ]

lim

sp

= lim

r c

_c

c

_c



_



 



(14)

Figura 3.13 – Viscosidade reduzida (ηred) em função da concentração de polímero (c). O ângulo da tangente em

c = 0 fornece a constante viscosimétrica (KV), que pode ser positiva ou negativa

Fonte: Adaptado de (TERAOKA, 2002)

A viscosidade intrínseca independe da concentração da solução. Como as viscosidades relativa e específica são adimensionais, a viscosidade intrínseca tem como unidade (concentração)-1. Diversas equações empíricas usadas para a determinação da viscosidade intrínseca de polímeros, que não sejam polieletrólitos têm sido desenvolvidas. O polieletrólito poderá ser analisado por estas equações na presença de eletrólito para blindar as cargas dos grupos iônicos da cadeia polimérica e, consequentemente, minimizar as repulsões eletrostáticas. Algumas equações são definidas na Tabela 3.4 (LUCAS; SOARES;

MONTEIRO, 2001; TERAOKA, 2002; MELLO et al., 2006; ROTUREAU;

Tabela 3.4 - Definição matemática de algumas equações usadas para determinação da viscosidade intrínseca

Nome das equações Definição matemática

Huggins

 

 

2

+ K

sp H

c

c









Kraemer

 

 

2

ln

+ K

r K

c

c



_

_



Shulz-Blaschke

  + K

 

sp SB sp

c





 



Martin

 

 

log

sp

log

+ K

_M

c

c





















Fonte: Adaptado de (LUCAS; SOARES; MONTEIRO, 2001)

Quando a constante de Kraemer, KK, for maior do que 0,5, a equação correspondente não fornece valores confiáveis. Nestes casos, a Equação de Huggins é mais indicada. Quando a dependência da viscosidade reduzida com a concentração (Equação de Huggins) apresenta curvatura considerável, a extrapolação à diluição infinita torna-se difícil e, para este caso, a Equação de Martin é muito usada. Os valores de KH, KK, KSB e KM são constantes para um determinado polímero em uma dada temperatura e solvente (LUCAS; SOARES; MONTEIRO, 2001).

A massa molar viscosimétrica média (M ) de polímeros lineares pode ser v

determinada a partir dos valores da viscosidade intrínseca, usando a Equação de Mark- Houwink-Sakurada (Equação 15) (TERAOKA, 2002; KRISHNAMOORTHI; MAL; SINGH, 2007).

 

[ ]

K

_v

M

v







(15)

Em que, Kv é uma constante viscosimétrica (L/g) e α é o expoente Mark-Houwink-Sakurada,

O expoente α da Equação de Mark-Houwink-Sakurada é um indicativo da rigidez da cadeia polimérica. Os valores de α para algumas conformações de polímero são apresentados na Tabela 3.5 (TERAOKA, 2002).

Tabela 3.5 - Expoente Mark-Houwink-Sakurada

Conformação α

Cadeia flexível (solvente teta) 0,5 Cadeia flexível (bom solvente) 0,7–0,8

Cadeia rígida > 1

Fonte: Adaptado de (TERAOKA, 2002)

Teoricamente, cada cadeia de polímero flexível ocupa o espaço de uma esfera com dimensão linear de Rg (Radius of Gyration ou Raio de Giração) (Figura 3.14). O raio de giração é uma medida da dimensão da cadeia que pode ser linear ou não-linear, tal como ramificada (TERAOKA, 2002).

Figura 3.14 – Volume de uma esfera de raio Rg ocupado por uma cadeia de polímero flexível

Fonte: Adaptado de (TERAOKA, 2002)

Em baixas concentrações de polímero (c), quando c está abaixo do c*, a solução é chamada de diluída. Em c << c*, as cadeias de polímero individuais (esferas) estão separadas umas das outras. As cadeias de polímero interagem principalmente com as moléculas do solvente. Quando c está acima do c*, a solução neste regime é chamada de semidiluída. Em c >> c*, as cadeias de polímero sobrepõem-se e interpenetram-se. A mobilidade das cadeias poliméricas é fortemente reduzida comparada com as cadeias em soluções diluídas. O

comportamento do polímero em solução semidiluída é dominado pelas interações intermoleculares (TERAOKA, 2002). Na concentração crítica ou concentração de sobreposição das cadeias de polímero, c  c*, ocorre transição do regime diluído para o regime semidiluído que representa o ínicio da sobreposição das cadeias de polímero (Figura 3.15) (HIGIRO et al., 2007).

Figura 3.15 – Soluções de polímeros flexíveis: solução diluída (c << c*), solução à concentração crítica (c  c*)

e solução semidiluída (c >> c*)

Fonte: Adaptado de (TERAOKA, 2002)

A concentração crítica pode ser definida pelas relações matemáticas: Equação (16) e Equação (17) (TERAOKA, 2002; LIMA et al., 2014):

* 3

3

=

4

g R A g

M

c

N R



(16)

 

*

1

=

c



(17)

Onde Mw é a massa molar média, N_A é o número de Avogadro.

O raio de giração (Rg) é adequado para determinar a concentração crítica (c*) por aplicar a mesma definição matemática as soluções de polímeros lineares ou não-lineares, tais como polímero estrela, polímero ramificado e polímero esférico. Considerando a mesma

massa molar, à medida que as cadeias tornam-se mais esféricas, o Rg diminiu e a concentração crítica ocorre em uma concentração maior (TERAOKA, 2002).

A solução diluída, a solução na concentração crítica e a solução semidiluída de

Belgede Konya Müzeleri'nde bulunan bazı Osmanlı ferman ve beratlarının tuğra ve tezhip açısından incelenmesi (sayfa 33-36)