Farklılığı Oluşturan Sebepler

A Figura 6 mostra a probabilidade de que um caminhante, partindo de um s´ıtio esco- lhido ao acaso, percorra t passos antes de cair em um atrator. O estudo foi realizado com N = 64, 256, 512 e 1024 pontos. Mostramos as distribui¸c˜oes de tempos de transiente para os diferentes tamanhos de rede variando-se o valor de mem´oria µ de 1 a 5. A distribui¸c˜ao de probabilidades de tempos de transiente parece seguir uma fun¸c˜ao exponencial do tipo:

P (t) ∝ exp −t τ



, (4.2)

onde τ representa o tempo caracter´ıstico de transiente [26], que aumenta com o aumento do valor da mem´oria.

Para mem´orias pequenas, a distribui¸c˜ao de tempos de transiente depende fracamente do tamanho do sistema. Na Figura 7, mostramos o colapso das distribui¸c˜oes de tempos de transiente para N = 64, 256 e 512 nos casos de µ = 1 e µ = 3.

A distribui¸c˜ao de transientes para t pequeno nos chama a aten¸c˜ao por n˜ao ser mo- notˆonica. Em detalhe na Figura 8, mostramos os primeiros pontos das distribui¸c˜oes de tempos de transiente de uma rede de N = 512 para os diversos valores de µ. Curiosa- mente, as caminhadas com t = 1 s˜ao menos prov´aveis que caminhadas com t = 0 (ou seja

4.1 Sistemas unidimensionais 53

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6: Distribui¸c˜oes de tempos de transiente em fun¸c˜ao da mem´oria µ para N = 64, 256, 512 e 1024.

(a) (b)

Figura 7: Distribui¸c˜ao de tempos de transiente em fun¸c˜ao do tamanho do sistema para µ = 1 (Figura 7(a)) e µ = 3 (Figura 7(b)).

54 4 A caminhada do turista em meio cont´ınuo

o caminhante j´a inicia a caminhada num atrator) ou com t = 2. Este comportamento se repete para sistemas em maiores dimens˜oes. De fato, este comportamento ´e explicado pela pr´opria natureza determin´ıstica da caminhada. O n´umero de s´ıtios a apenas um passo de um atrator ´e limitado a uma pequena ´area ao redor deste atrator. Caminhadas com t = 0 ter˜ao at´e p possibilidades de condi¸c˜oes iniciais para cada atrator (enfatizamos que alguns pontos podem pertencer a atratores diferentes dependendo do ponto em que se inicia a trajet´oria, ainda que isso aconte¸ca com baixa freq¨uˆencia). Aparentemente, ´e mais f´acil come¸car a caminhada sobre um atrator que sobre um ponto adjacente a um atrator (t = 1). J´a caminhadas com tempo de transiente igual a dois s˜ao necessariamente mais abundantes que caminhadas com t = 1, j´a que as trajet´orias das primeiras sempre sobrep˜oem as trajet´orias dos casos com t = 1.

Figura 8: Amplia¸c˜ao dos primeiros tempos de transiente da Figura 6. Note que t = 1 ´e menos prov´avel que os tempos adjacentes para qualquer valor de µ.

Vimos na Figura 7 que a explora¸c˜ao do meio pelo caminhante n˜ao depende ou depende fracamente de N para valores de mem´oria pequenos. Por outro lado, a mem´oria do sistema tem papel decisivo na explora¸c˜ao do meio pelo caminhante. Mem´orias pequenas acarretam

4.1 Sistemas unidimensionais 55

uma baixa explora¸c˜ao do meio e os tempos de transiente s˜ao baixos. Com o aumento do parˆametro µ, a probabilidade de ocorrˆencia de tempos de transiente grandes, da ordem de N aumenta e a distribui¸c˜ao P (t) passa a depender mais fortemente do tamanho do sistema. ´E o que vemos na Figura 9. A partir de um certo valor de µ, h´a uma mudan¸ca de comportamento das trajet´orias que se reflete na distribui¸c˜ao de tempos de transiente. Uma quest˜ao pertinente aqui ´e acerca da existˆencia de um valor caracter´ıstico de µ que produza uma transi¸c˜ao de fase, ou seja, um valor cr´ıtico de mem´oria a partir do qual o sistema percole, e todos os s´ıtios sejam visitados.

(a) (b)

Figura 9: Distribui¸c˜oes de tempos de transiente em fun¸c˜ao do tamanho do sistema para µ = 5 e µ = 7.

Por´em, antes de discutirmos a existˆencia de transi¸c˜ao de fase na caminhada do tu- rista, devemos considerar as condi¸c˜oes de contorno utilizadas. Condi¸c˜oes de contorno abertas s˜ao mais plaus´ıveis em algumas das aplica¸c˜oes consideradas nesta tese, por isso ´e de grande interesse considerar suas propriedades. Contudo, condi¸c˜oes de contorno abertas imp˜oem restri¸c˜oes geom´etricas devido aos chamados efeitos de borda. Os pontos pr´oximos `as extremidades do sistema interagem com seus vizinhos de forma diferente dos pontos situados pr´oximo ao centro e isto influencia de maneira substancial na dinˆamica do cami- nhante. Veremos a seguir as caracter´ısticas das distribui¸c˜oes de transiente nos casos de condi¸c˜ao de contorno peri´odica e aberta para valores mais altos de mem´oria, em que o caminhante explora todos ou a maior parte dos s´ıtios e os efeitos de borda se tornam mais evidentes. Vale notar que os resultados mostrados at´e aqui foram obtidos com condi¸c˜oes de contorno peri´odicas, contudo, para as mem´orias empregadas, n˜ao notamos relevˆancia do tipo de condi¸c˜ao de contorno para as discuss˜oes levantadas.

56 4 A caminhada do turista em meio cont´ınuo

4.1.1.1 Condi¸c˜ao de contorno peri´odica

A Figura 10 mostra as distribui¸c˜oes de tempos de transiente para N = 64, 256, 512 e 1024 em condi¸c˜oes de contorno peri´odicas e valores de µ acima de 5.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 10: Distribui¸c˜oes de tempos de transiente em fun¸c˜ao de µ para N = 64, 256, 512 e 1024 em condi¸c˜oes de contorno peri´odica. Podemos notar uma mudan¸ca de comportamento das curvas de distribui¸c˜ao num valor caracter´ıstico de µ que varia com o tamanho do sistema.

Podemos observar uma mudan¸ca s´ubita de comportamento nas curvas de distribui¸c˜ao de probabilidades a partir de um certo valor de µ caracter´ıstico. Observe que o valor de µ onde ocorre esta mudan¸ca varia com N . De fato, Ter¸cariol e colaboradores [27] encon- traram um valor de µ cr´ıtico a partir do qual o sistema percola, ou seja, o caminhante explora todos os s´ıtios do mapa. Para condi¸c˜oes de contorno abertas, o valor encontrado depende de N na forma µ = log2N . Para condi¸c˜oes de contorno peri´odicas, este va-

lor ainda n˜ao foi calculado analiticamente. Aqui, observamos esta transi¸c˜ao de forma num´erica nas curvas de distribui¸c˜ao de tempos de transiente. Na transi¸c˜ao, a distribui¸c˜ao de tempos de transiente muda da forma exponencial para uma reta aproximadamente

4.1 Sistemas unidimensionais 57

paralela ao eixo x, onde todos os tempos de transiente se tornam igualmente prov´aveis at´e t = N − (µ + 1). Neste ponto, notamos o surgimento de um pico e, em seguida, uma queda nas probabilidades de ocorrˆencia de t. A Figura 11 mostra esta regi˜ao em detalhe para N = 256 e N = 512.

(a) (b)

Figura 11: Amplia¸c˜ao das Figuras 10(b) e 10(d) mostrando a regi˜ao de transi¸c˜ao. A transi¸c˜ao parece ocorrer em µ = 6 para N = 28 _{e µ = 7 para N = 2}9_{. Ap´os a transi¸c˜ao, nota-se o}

aparecimento de um pico em t = N − (µ + 1). Os valores dos picos est˜ao indicados nas Figuras.

Nesta Figura, vemos claramente a existˆencia de dois comportamentos distintos e uma transi¸c˜ao s´ubita num valor cr´ıtico de mem´oria. Com base nestes resultados de simula¸c˜ao, sugerimos que: µ(cpc)c = log2  N 4  , (4.3)

onde cpc designa a condi¸c˜ao de contorno.

Observamos que, ap´os a transi¸c˜ao, o tempo m´edio de decaimento (τ ) da distribui¸c˜ao diverge (equa¸c˜ao 4.2). Assim, definimos uma grandeza α escalada com o valor cr´ıtico de µ dado pela equa¸c˜ao 4.3 como:

α = µ µcpcc

= µ

log₂N − 2 (4.4)

e na Figura 12 mostramos como o parˆametro τ se comporta em fun¸c˜ao da vari´avel 1 − α. Observamos que, conforme aumentamos o tamanho do sistema, τ se aproxima da ass´ıntota 1 − α = 0 o que ´e caracter´ıstico de sistemas cr´ıticos com efeito de tamanho finito [23]. O que a Figura nos mostra ´e que para α < 1, ou seja, para valores de µ menores que a mem´oria cr´ıtica, o parˆametro τ ´e finito. J´a para sistemas com valores de

58 4 A caminhada do turista em meio cont´ınuo

Figura 12: O parˆametro τ (equa¸c˜ao 4.2) diverge nos sistemas acima da mem´oria cr´ıtica dada pela equa¸c˜ao 4.3. Mostramos esta divergˆencia em fun¸c˜ao do complementar da vari´avel α dada pela equa¸c˜ao 4.4. Vemos aqui que, para α > 1, ou seja, para valores de mem´oria menores que a mem´oria cr´ıtica, o parˆametro τ ´e finito. Para α < 1, valores de mem´oria acima da mem´oria cr´ıtica, o parˆametro τ diverge conforme aumentamos N .

mem´oria maiores que a mem´oria cr´ıtica, α > 1, o parˆametro τ diverge com N . Assim, encontramos um valor de mem´oria cr´ıtica µc para os sistemas cont´ınuos unidimensionais

com condi¸c˜oes peri´odicas de contorno diferente dos resultados obtidos por [27], relativos a sistemas com condi¸c˜oes de contorno abertas. Abordaremos este tipo de condi¸c˜ao a seguir. Para tentarmos elucidar o comportamento observado a partir da transi¸c˜ao de fase, na Figura 13 mostramos as distribui¸c˜oes de per´ıodos das caminhadas com transientes t = N − (µ + 1), abaixo e acima deste valor para N = 256 e na mem´oria cr´ıtica, µ = 6, ou seja:

S_1,6(256)(t, p), (4.5)

4.1 Sistemas unidimensionais 59

(a) (b)

(c)

Figura 13: A Figura mostra a distribui¸c˜ao de ciclos das caminhadas com t = 49 (Figura 13(a)), t= 249 (Figura 13(b)) e t = 349 (Figura 13(c)) para N = 256 e µ = 6. As curvas foram obtidas a partir da distribui¸c˜ao conjunta, fixando-se t.

´

E importante observarmos que na distribui¸c˜ao de per´ıodos da caminhada com t = 49 h´a uma porcentagem n˜ao desprez´ıvel de per´ıodos iguais a N que n˜ao ´e vis´ıvel na escala da Figura 13(a). Entendemos que, na transi¸c˜ao, h´a a predominˆancia de alguns atratores com per´ıodos espec´ıficos, permitidos pela dinˆamica. A maior parte dos atratores formados s˜ao os de per´ıodos µ + 1 ≤ p ≤ 2µ. Veremos a seguir, na se¸c˜ao de distribui¸c˜ao de atratores que estes s˜ao os atratores mais frequentes nas caminhadas em meios cont´ınuos. Estas s˜ao as caminhadas respons´aveis pelo surgimento dos picos em t = N − (µ + 1). Por´em, na transi¸c˜ao d´a-se tamb´em a forma¸c˜ao de um atrator com per´ıodo do tamanho do sistema, ou seja, p = N . Isto explica que todos os tempos de transiente sejam igualmente prov´aveis, pois, partindo-se de qualquer ponto, chega-se ao mesmo atrator.

60 4 A caminhada do turista em meio cont´ınuo

4.1.1.2 Condi¸c˜ao de contorno aberta

Conforme enfatizamos acima, as condi¸c˜oes de contorno n˜ao exercem influˆencia nas estat´ısticas estudadas desde que trabalhemos com valores de mem´oria abaixo da mem´oria cr´ıtica. Na Figura 14 mostramos as distribui¸c˜oes de tempos de transiente nos dois casos para µ = 1, 2, 3 e 5 em um sistema com N = 512. N˜ao h´a distin¸c˜ao entre as curvas.

Figura 14: Distribui¸c˜ao de tempos de transiente para N = 512 e µ = 1, 2, 3 e 5 nas condi¸c˜oes de contorno aberta e fechada.

Na Figura 15 mostramos as distribui¸c˜oes de tempos de transiente para valores de µ acima de 5 nos sistemas com condi¸c˜ao de contorno aberta. Novamente, observamos uma transi¸c˜ao de fase em um valor de µ caracter´ıstico dependente de N .

De maneira similar aos sistemas com condi¸c˜ao de contorno peri´odica, vemos um au- mento no tempo de decaimento das distribui¸c˜oes com o aumento de µ at´e que o parˆametro τ divirja (horizontaliza¸c˜ao das curvas de distribui¸c˜ao). Na Figura 16 fica claro que a transi¸c˜ao ocorre em valores de µ maiores que os encontrados para as condi¸c˜oes de contorno peri´odicas (equa¸c˜ao 4.3). No entanto, nossos resultados n˜ao reproduzem os resultados en- contrados por [27] para a mem´oria cr´ıtica (µ(∗)c = log₂(N )). Para a condi¸c˜ao de contorno

aberta, encontramos:

µ(cac)_c = log₂N

2, (4.6)

4.1 Sistemas unidimensionais 61

(a) (b)

(c) (d)

Figura 15: Distribui¸c˜ao de tempos de transiente em fun¸c˜ao de µ e N = 64, 256, 512 e 1024 em condi¸c˜ao de contorno aberta.

(a) (b)

Figura 16: Amplia¸c˜ao das Figuras 15(b) e 15(c) mostrando a regi˜ao de transi¸c˜ao. As curvas representadas em verde indicam a transi¸c˜ao. Os valores dos picos em t = N − (µ + 1) ap´os a transi¸c˜ao est˜ao indicados nas Figuras.

62 4 A caminhada do turista em meio cont´ınuo

´

E interessante ressaltarmos que os resultados obtidos por [27] foram calculados a partir da probabilidade de um caminhante partir do primeiro s´ıtio do mapa e chegar ao ´ultimo. No problema abordado neste trabalho, partimos simultaneamente de todos os s´ıtios, assim, um caminhante partindo de um ponto mediano no mapa tem chance de ir para ambas as extremidades. Esta diferen¸ca de abordagem pode ter dado origem `a diferen¸ca encontrada no valor de µc que ´e exatamente a diferen¸ca de se considerar o

tamanho do sistema dividido por um fator 2, ou seja, a distˆancia m´edia de um ponto at´e a borda ´e N/2. Neste mesmo racioc´ınio, entendemos a diferen¸ca entre as condi¸c˜oes de contorno abertas e peri´odicas, que tamb´em diferem entre si por um fator 2 dividindo o tamanho do sistema. Conjecturamos que:

µ(cac)c = µ(∗)c − 1 = log2  N(∗) 2  ; (4.7) µ(cpc)c = µ(cac)c − 1 = log2  N(cac) 2  . (4.8)

Certamente, estes valores precisam ser comprovados atrav´es de c´alculos anal´ıticos nos moldes realizados por [27].

Os picos em t = N − (µ + 1) (Figura 16) tamb´em surgem nestes sistemas e a ar- gumenta¸c˜ao apresentada no item anterior tamb´em ´e v´alida aqui. No entanto, notamos tamb´em a presen¸ca de um pico em t = 2N − 2µ para estes sistemas. Nos sistemas com condi¸c˜ao de contorno aberta, a forma¸c˜ao de trajet´orias do tipo “vai-e-vem” ´e facilitada, j´a que, uma vez alcan¸cada a borda, o caminhante n˜ao tem como prosseguir e ´e obrigado a voltar. Ao voltar, a restri¸c˜ao da mem´oria faz com que o caminhante salte µ s´ıtios em cada uma das extremidades. Por isso, observamos o aumento da probabilidade de ocorrˆencia de tempos transientes com 2N − 2µ passos.