3.4.1 Definição e conceitos básicos
Os vários métodos de análise de redes de distribuição de água, visando não só à calibração, mas, também a outras finalidades podem ser abordados de duas formas diferentes, o problema inverso e o problema direto. No problema direto, as condições físicas da rede são conhecidas e tenciona-se calcular as vazões nos tubos e as cargas hidráulicas nos nós. No problema inverso, não se dispõe destas informações, mas somente alguns dados disponíveis de carga hidráulica em poucos nós, desejando-se calcular ou estimar alguns parâmetros da rede, tais como fatores de atrito, rugosidades, diâmetros, demandas e identificação e localização de vazamentos. O problema inverso trata, portanto, as características da rede como variáveis.
De forma geral, a solução dos problemas inversos é feita por meio de métodos diretos e indiretos. Nos métodos inversos diretos, busca-se resolver diretamente as equações considerando os parâmetros como variáveis dependentes. Nos métodos inversos indiretos, utiliza-se um processo iterativo, onde os parâmetros variam e a simulação é repetida até reproduzir uma solução satisfatória. Os métodos indiretos são mais utilizados em razão da simplicidade de formulação matemática e do fato de serem menos sensíveis a erros nos dados de entrada.
Em um problema inverso procura-se a determinação de causas desconhecidas a partir de efeitos desejados ou observados. Em geral, as observações são imprecisas (dados contaminados com ruídos ou erros experimentais) e incompletas. Diferentemente, problemas diretos requerem um conhecimento completo e preciso das causas para a determinação dos efeitos.
Durante muitos anos, vários pesquisadores definiram o problema inverso como um problema “mal posto”. Um problema é considerado como “bem posto” quando ocorrem três
condições: existe uma solução, a solução é única e a solução é estável com relação a pequenas variações nos dados de entrada (PUDAR; LIGGETT, 1992). Dependendo da quantidade e qualidade dos dados e da forma como o problema é posto, o problema inverso pode não satisfazer algumas destas condições tornando-se um problema “mal posto”.
O problema inverso pode ser formulado de maneiras diversas. No caso de projeto de redes hidráulicas, são conhecidas a vazão total de abastecimento da rede e as demandas e pressões em alguns pontos, procurando-se determinar as características físicas da rede com estes dados. Existe geralmente mais de uma solução para este problema de projeto, sendo, portanto impossível determinar as características físicas da rede. Configura-se, portanto um problema “mal posto” pelo não aparecimento de única solução. Pode-se resolver a não unicidade de solução deste problema inverso adicionando mais medições de determinadas variáveis (PUDAR; LIGGETT, 1992).
A instabilidade é o problema mais comum na solução do problema inverso, caracterizada pelo fato de oscilar a solução. Geralmente isto ocorre devido às variações nos dados de entrada serem suficientemente pequenas, como, por exemplo, parâmetros físicos, variáveis de controle e condições iniciais. Pode-se mencionar que mudanças leves nas condições de contorno ou nos parâmetros físicos implicam mudanças na variável carga hidráulica, o que torna instável a solução do problema.
Os problemas inversos podem ser classificados como exatamente determinados onde o número de parâmetros desconhecidos é igual ao de equações, subdeterminados que possuem mais incógnitas do que equações ou sobredeterminados, aí existindo mais equações e medidas de cargas ou vazões do que incógnitas (PUDAR; LIGGET, 1992).
3.4.2 Tipos de solução para o problema inverso
Segundo classificação de Neuman (1973), os métodos de resolução do problema inverso podem ser divididos em diretos e indiretos. A solução direta procura minimizar os erros gerados nas soluções das equações de uma maneira não iterativa. No método indireto busca-se a minimização do erro entre dados calculados e estimados de forma iterativa.
A solução direta trata os parâmetros como variáveis dependentes de um problema inverso com especificação das suas condições de contorno. O método procura a minimização dos resíduos das soluções das equações diferenciais que definem o problema. Estes resíduos provêm das diferenças entre as soluções encontradas destas equações com os valores dos dados observados e estimados dos parâmetros. Utilizam geralmente nesta solução métodos matemáticos como solução de matrizes, interpolações lineares, série numéricas e outros.
A solução indireta busca melhorar uma estimativa dos parâmetros de forma iterativa, até que o modelo apresente condições próximas da realidade. Este modelo baseia-se na minimização de uma função objetivo definida pela diferença entre resultados observados e calculados. O processo inicia-se com geração inicial dos parâmetros mediante uma simulação completa e compara-se o resultado com os medidos no sistema real. Se os valores estiverem suficientemente próximos, de acordo com a avaliação deles por meio de uma função objetivo, finaliza-se o processo e adota o atual conjunto de parâmetros gerados. Se os resultados, porém, não estiverem suficientemente próximos, são produzidos outros parâmetros com nova simulação e testados novamente por meio da função objetivo. O processo continua iterativamente até os valores reais e estimados se aproximarem bastantes ou a função objetivo atingir ou aproximar-se bastante de um erro aceitável.
3.4.3 Formulação do problema inverso e sua resolução
O problema inverso formulado neste estudo pode ser assim descrito: dadas medidas de cargas hidráulicas transientes em um ou mais nós de uma rede hidráulica, obtêm- se parâmetros que correspondam a um ajuste ótimo entre valores observados e calculados destas cargas.
A resolução deste problema inverso faz-se por meio de um método indireto, com a minimização iterativa da diferença quadrática entre resultados observados e calculados de cargas hidráulicas. Isto pode ser posto da seguinte forma:
(
)
= = = NL i TS j c j i m j i H H F 1 1 2 , , (3.34)onde: TS = tempo de duração do transiente, NL = número de locais de medição na rede,
Hi,jm = carga hidráulica medida (m), Hi,jc = carga hidráulica calculada (m), i= 1, 2, ... , NL e
j = 1, 2, ... , TS.