A morfologia matemática fornece um conjunto de operações úteis em muitas aplicações de processamento de imagens, como filtragem, segmentação e extração de características (GONZALEZ; WOODS, 2007). De maneira geral, as operações da morfologia matemática processam os objetos contidos em uma imagem de acordo com alguma comparação entre estes e um elemento estruturante (LOTUFO et al., 2008). As operações de abertura por área e reconstrução morfológica (Seção 3.4.3), a transformada top-hat (Seção 3.4.1), transformada da distância, transformada h-máxima, transformada máxima estendida (extended maxima transform) e a transformada watershed (Seção 3.4.4) pertencem ao campo da morfologia matemática (SERRA, 1984).
2.4.3.1 Dilatação e Erosão
A dilatação e a erosão morfológica constituem as operações básicas da morfologia matemática e são a base para a maioria das demais operações (GONZALEZ; WOODS, 2007). A erosão de uma imagem binária, A, por um elemento estruturante B resulta em uma imagem composta pelos pixels em A em que, quando o centro de B é posicionado sobre ele, B está contido em A (Equação (2.22)). A erosão de uma imagem resulta, geralmente, em versões reduzidas dos objetos representados na imagem,
x B A
B
A x (2.22)
em que Bx é o resultado da translação de B pelos pixels x.
A dilatação de uma imagem binária A por um elemento estruturante B é o conjunto de todos os pixels que pertencem à intersecção entre A e B quando estes se sobrepõem em, pelo menos um elemento (Equação (2.23)),
x B A A
B A x (2.23)em que B é B rotacionado 180º em relação à origem. A Figura 2.20 ilustra o funcionamento das operações de erosão e dilatação em uma imagem binária: (A) Imagem binária original A, em que os pixels brancos representam os objetos; (B) O elemento estruturante B; (C) Erosão da imagem A pelo elemento estruturante B, em que os pixels em vermelho são removidos dos
objetos em A; (D) Dilatação da imagem A por B, em que os pixels em verde passam a fazer parte dos objetos em A.
Figura 2.20: Ilustração das operações de erosão e dilatação morfológica. (A) Imagem original I. (B) Elemento estruturante em forma de cruz. (C) Resultado da erosão de A por B. Os pixels em
vermelho foram removidos do objeto, pois o elemento estruturante não está contido em A quando o mesmo se posiciona sobre esses pixels. (D) Resultado da dilatação de A por B, Os pixels em verde são inseridos em A, pois quando B está sobre esses pixels a intersecção entre B e
A não é vazia.
Muitas operações morfológicas para imagens binárias podem ser estendidas para imagens em níveis de cinza por meio do conceito de decomposição por limiar (LOTUFO et
al., 2008). A decomposição por limiar de uma imagem de intensidades I gera uma série de imagens binárias, Bt. Cada imagem binária, Bt, é resultado da segmentação de I utilizando um limiar t e recebe o nome de conjunto de limiar (threshold set). Os componentes conectados localizados em algum conjunto de limiar são chamados de “componentes de nível”. A decomposição por limiar, Bt(I), de uma imagem de intensidades, I, é representada pela Equação (2.24).
I
z I
z t
Uma imagem pode ser caracterizada unicamente pela sua decomposição por limiar, assim como pode ser reconstruída por uma operação de reconstrução de pilha (Equação (2.25)).
x
t x Bt
I
I max (2.25)
As operações de erosão e dilatação morfológica, assim como as operações descritas a seguir (abertura, fechamento, reconstrução e filtragem top-hat) podem ser aplicadas sobre imagens em níveis de cinza seguindo o procedimento a seguir: primeiramente realiza-se a decomposição por limiar dessa imagem, aplica-se a operação morfológica escolhida sobre cada conjunto de limiar individualmente, e em seguida, os conjuntos de limiar são reconstruídos por uma operação de reconstrução da pilha.
2.4.3.2 Abertura e Fechamento
A abertura morfológica de uma imagem binária A por um elemento estruturante B consiste em uma erosão seguida de uma dilatação, de acordo com a Equação (2.26).
A BA ⊝B
B (2.26)A abertura morfológica remove pontes finas entre objetos e suaviza as bordas dos objetos eliminando pequenas extrusões.
O fechamento morfológico de uma imagem binária A por um elemento estruturante B é definido como uma operação de dilatação seguida de uma erosão (Equação (2.27)).
A B
B
A ⊝B (2.27)
O fechamento morfológico preenche fendas em contornos e suaviza as bordas dos objetos preenchendo pequenas intrusões. Pode ser utilizado para preencher pequenos buracos no interior dos objetos. A Figura 2.21 ilustra as operações de abertura e fechamento morfológicos sobre uma imagem binária.
Abertura por Área. A operação de abertura por área remove todos os componentes conectados com área inferior a um valor predefinido α (LOTUFO et al., 2008). A Equação (2.28) descreve a operação de abertura de área de uma imagem A, considerando um limiar α,
Figura 2.21: Ilustração das operações de abertura e fechamento morfológico. (A) Imagem original I. (B) Elemento estruturante em forma de cruz. (C) Resultado da abertura de A por B. Os pixels em vermelho são removidos dos objetos. (D) Resultado do fechamento de A por B, Os
pixels em verde são inseridos nos objetos.
E Ci Área Ci
A (2.28)
em que E define a conectividade. Diferente do que ocorre com a operação de abertura morfológica, em que, apenas os objetos da imagem que casam com o elemento estruturante são removidos, todos os objetos com área inferior ao limiar α são removidos e os demais objetos são mantidos inalterados.
2.4.3.3 Transformada Top-Hat
A transformada top-hat de uma imagem binária A por um elemento estruturante B consiste em subtrair a abertura morfológica da imagem A da própria imagem (Equação (2.29)).
A B
A B
A transformada top-hat pode ser utilizada para corrigir a iluminação não uniforme realçando os objetos que casam com o elemento estruturante B, ao mesmo tempo, suprimindo objetos que não casam B (LOTUFO et al., 2008).
2.4.3.4 Reconstrução Morfológica
A operação de reconstrução morfológica é uma operação que envolve o processamento de uma imagem máscara, A, uma imagem de marcadores, M, e um elemento estruturante que define a conectividade, E. A reconstrução da imagem máscara a partir da imagem de marcadores é definida pela união dos componentes conectados da imagem máscara que possuem intersecção com a imagem de marcadores (Equação (2.30)),
M C C M A E k k (2.30)em que A é a imagem máscara, M é a imagem de marcadores, Δ é o operador de reconstrução e E define a conectividade.
A operação de reconstrução morfológica possui uma ampla gama de aplicações práticas, dependendo da forma que a imagem de marcadores é definida. É possível eliminar os buracos no interior dos objetos utilizando uma imagem de marcadores M, construída da seguinte forma: os pixels das bordas são definidos como o complemento daquele pixel na imagem original e todos os demais pixels recebem o valor 0. O complemento, A’, da imagem original A é reconstruído pela imagem de marcadores M e o complemento da imagem resultante será idêntico à imagem original, porém sem a presença de nenhum buraco no interior dos objetos (LOTUFO et al., 2008; GONZALEZ et al., 2009). A Figura 2.22 ilustra esse processo.