Eştümleşme Analiz

Zaman serisi ekonometrisi yaklaşımında ele alınan modellerde değişkenlerin durağan olduğu varsayılır. Bu, etkin ve tutarlı tahminler için gerekli bir varsayımdır. Oysa, ekonomik zaman serileri zamanın etkisini üzerinde taşımaları ve zamanla birlikte artma eğiliminde (trendli) olmalarından dolayı çoğu durumda durağan değildir. Durağan olmayan veya trendli veriyle ilgili problem ise, standart EKK regresyon işlemlerinin kolaylıkla yanlış sonuçlara götürmesidir. Bu durumda, analizde kullanılan değişkenler ilişkili değilken çok yüksek R2 (bazen 0.95’den de yüksek) ve çok yüksek t değerleri (bazen 4’den de yüksek) elde edilir (Asteriou, Hall, 2007:291; Sevüktekin, Nargeleçekenler, 2007: 47).

Genellikle ekonomik zaman serilerinin çoğu belli bir büyüme oranına sahiptir, örneğin Gayrisafi Yurtiçi Hasıla (GDP), fiyatlar veya para arzı gibi değişkenler düzenli olarak yıllık belli bir düzeyde artış eğilimi gösterir. Böyle seriler ortalamaları sürekli arttığı için durağan değildir. Zaman serilerinin durağan olmadığı durumda y_t =β₁ +β₂x_t +u_t regresyonundan elde edilecek sonuçlar tamamen sahte olur ve bu regresyonlar sahte regresyon olarak adlandırılır. Sahte regresyon problemi, y ve _t x zaman serilerinin güçlü bir trende sahip olduğunu ve bu yüzden _t gözlenen yüksek R2’nin söz konusu iki değişken arasındaki doğrusal bir ilişkiden değil, bu güçlü trend ilişkisinden kaynaklandığını ifade eder. Sahte regresyon genellikle çok yüksek R2, t istatistiklerine sahiptir ve böylece önemli tahminleri sağlıyor görünür, fakat sonuçların hiçbir ekonomik anlamı yoktur. Bunun nedeni, EKK tahminlerinin tutarsız ve böylece istatistiksel testlerin geçersiz olmasıdır (Asteriou, Hall, 2007:292; Sevüktekin, Nargeleçekenler, 2007: 45).

Sahte regresyon problemini çözmenin bir yolu, durağanlık sağlanıncaya kadar serilerin üst üste farkını alarak elde edilen durağan serileri regresyon analizi için kullanmaktır. Tek değişkenli modellerde elde edilen durağan seriler, tek değişkenli Box-Jenkins teknikleri kullanılarak tahmin edilebilir. Çok değişkenli modellerde durağan olmayan değişkenleri kullanmak için farklı yöntemler geliştirilmiştir. Bu yöntemler ile çok değişkenli modellerde ekonomik değişkenler arasındaki uzun dönem denge ilişkisi bilgisini kaybetmemek amaçlanmıştır. Engle ve Granger (1987) tarafından geliştirilen eştümleşme tekniği; ekonometrik modellemede durağan olmayan zaman serileri kullanıldığında sahte korelasyon problemini çözmek için yararlı bir araç olarak bulunmuştur. Eştümleşme, ekonomik yapıların varlığını ortaya

çıkarmada çok güçlü bir yoldur. Değişkenler arasında eştümleşmenin bulunması “gerçek uzun dönem ilişki” anlamına gelmektedir ve ekonomik güçler dengede

oldukça değişimlere karşı eğilim olmaz. Değişkenler eştümleşik değilse o zaman sahte regresyon problemi ortaya çıkar ve ekonometrik çalışma tamamen anlamsız olur (Asteriou, Hall, 2007:307; Enders, 2004: 321; Daniel, Ramos, 2002: 195; Lim, McAleer, 2001:1610; Song, Witt, 2000:55).

Eştümleşme, durağan olmayan iki veya daha fazla değişken arasındaki durağan bir ilişkinin varlığını tanımlar. Engle ve Granger (1987)’a göre, durağan olmayan değişkenler çifti x ve _t y aynı ekonomik sisteme aitse (turizm talebi ve _t geliri gibi) bu zaman serilerinin birbirinden uzağa sürüklenmesini önleyecek bir eştümleşme ilişkisi olmalıdır. Yani uzun dönemde birlikte hareket edecek iki değişken x ve _t y ’yi bir arada tutan bir güç dengesi vardır. Daha biçimsel olarak, _t x _t ve y uzun dönemde birlikte hareket ederse uzun dönem denge modeli; _t

t

t x

y =β₀ +β₁ (2.1)

formunda olur. Eşitlik (2.1)’in dengesizlik hatası;

t t

t y β0 β1x

şeklinde ifade edilir. Engle ve Granger (1987), y ve _t x arasında uzun dönem denge _t ilişkisi bulunursa dengesizlik hatası (2.2)’nin “nadiren sıfırdan uzağa sürüklenmesi” gerektiğini ifade eder. Bunun anlamı, uzun dönem denge regresyonu (2.1), EKK kullanılarak tahmin edilirse modelin hataları durağan bir süreç izler ve zaman içinde sıfır değeri etrafında dalgalanır, böylece durağan olmayan iki değişken y ve _t x _t eştümleşik olur (Durbarry, 2002:7; Hilaly, El-Shishiny, 2008:3; Kim, Chen ve Jang, 2006:4; Song, Witt, 2000:56).

Durağan olmayan bir zaman serisi tümleştirilmiş bir süreç olarak da adlandırılır. Bir serinin tümleşme derecesi, durağan bir seri elde etmek için serilerin farkının alınması gerektiği sayıyla belirlenir. Böylece, durağan bir seri sıfırıncı derecede tümleştirilmiş bir seridir, yani I(0). Bir seri birinci dereceden farkı alındıktan sonra durağan oluyorsa birinci derecede tümleştirilmiş olarak adlandırılır, yani I(1). Genel olarak, bir zaman serisinin durağanlığının elde edilmesi için d kez farkının alınması gerekiyorsa o zaman seri d. dereceden tümleştirilmiş seri olarak adlandırılır, yani I(d) ( Song, Witt, 2000:56 ).

Engle ve Granger (1987) tarafından tanıtılan eştümleşme analizi, 0

2 2 1

1x +β x + +βnxn =

β _K eşitliği sağlandığında uzun dönem dengede olan

ekonomik değişkenleri inceleyerek başlar. β ve x , )_t (β₁,β₂,_L,β_n ve )

, , ,

(x1t x2t L xnt vektörlerini gösterir. βxt =0 olduğunda sistem uzun dönem

dengededir. Dengesizlik hatası olarak adlandırılan uzun dönem dengeden sapma,

t

e ’dir.

t

t x

e =β

Denge anlamlıysa, denge hata süreci durağan olmalıdır. Ekonomi teorisyenleri, genellikle denge ifadesini arzu edilen (istenilen) ve gerçek kesitler arasındaki eşitlik anlamında kullanır. Denge kelimesinin ekonometrik kullanımı, durağan olmayan değişkenler arasındaki uzun dönemli ilişkiyi ifade eder. Engle ve Granger’ın eştümleşme ifadesini kullanımında, denge ilişkisi nedensel, davranışsal

veya benzer şekilde hareket eden (trending) değişkenler arasında indirgenmiş formda bir ilişki olabilir. Engle ve Granger (1987) eştümleşmeyi şöyle tanımlamıştır:

) , , , , ( 1 2 3 1 xt x t x t xnt

x = _L vektörünün bileşenleri, d ve b. dereceden tümleştirilmiş olarak ifade edilir ve x ~ CI(d,b) olarak gösterilir. Şartlar; _t

1. x ’nin bütün bileşenleri d. dereceden tümleştirilir. _t 2. β =(β1,β2,L,βn) vektörü vardır.

3. βx_t =β₁x_1t +β₂x_2t +_K+β_nx_nt, (d-b). dereceden tümleştirilir. (b>0)

β vektörü, “eştümleşme vektörü” olarak adlandırılır.

Tanımla ilgili olarak dikkat edilecek dört önemli nokta vardır:

1. Eştümleşme, doğrusal olmayan değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonunu ifade eder. Teorik olarak, doğrusal olmayan uzun dönemli ilişkiler, eştümleşmiş değişkenler seti arasında mevcut olabilir. Ayrıca eştümleşme vektörünün tek olmadığına dikkat edilmesi gerekir. (β₁,β₂,_L,β_n) eştümleşme vektörü ise o zaman λ ’nın sıfır olmayan bir değeri için (λβ₁,λβ₂,_L,λβ_n) de bir eştümleşme vektörüdür. Tipik olarak değişkenlerden biri, katsayısı birime sabitlenerek eştümleşme vektörünü “normalize” etmek için kullanılır. Eştümleşme vektörünü x1t’ye göre normalize etmek için

1

1

β

λ= seçilir.

2. Engle ve Granger’ın orijinal tanımında; eştümleşme aynı dereceden tümleştirilen değişkenleri ifade eder. Şüphesiz bu, bütün tümleştirilmiş değişkenlerin eştümleşik olduğu anlamına gelmez, genellikle I(d) değişkenler seti eştümleşik değildir. Böyle bir eştümleşme eksikliği; değişkenler keyfi olarak birbirlerinden uzağa saptıkları için değişkenler arasında uzun dönemli bir dengenin olmadığını ifade eder. Eğer iki değişken farklı derecelerden tümleşikse bu değişkenler eştümleşemez.

Bununla birlikte, farklı derecelerden eştümleşmiş değişken grupları arasında denge ilişkisi bulmak olasıdır. Öyle ki, x1t ve x2t I(2) ve incelenen diğer

değişkenlerin I(1) olduğu varsayılsın. x_1t (veya x_2t) ve x_3t arasında eştümleşme ilişkisi olamaz. Fakat, x_1t ve x_2t, CI(2,1) ise β₁x_1t +β₂x_2t (I(1)’dir) biçiminde bir doğrusal kombinasyon vardır. x1t ve x2t’nin bu kombinasyonunun I(1)

değişkenleriyle eştümleşmesi olasıdır. Lee ve Granger (1990), bu çeşit durumları ifade etmek için “çoklu eştümleşme” terimini kullanmışlardır.

3. x , n tane doğrusal olmayan bileşene sahipse, n-1 tane doğrusal olarak _t bağımsız eştümleşme vektörü olabilir. x sadece iki değişken içerirse en fazla bir _t tane bağımsız eştümleşme vektörü olabilir. Eştümleşik vektörlerin sayısı x ’nin _t eştümleşme rankı olarak adlandırılır.

4. Eştümleşme literatürünün çoğu, her değişkenin tek bir birim kök içerdiği duruma odaklanır. Bunun sebebi, geleneksel regresyon veya zaman serisi analizi, değişkenler I(0) olduğunda ve birkaç ekonomik değişken birden daha yüksek derecede tümleştiğinde uygulanır. Bu kesin olduğunda çoğu yazar, değişkenlerin CI(1,1) olduğu durumu ifade etmek için “eştümleşme terimini” kullanır. Tabii ki başka olası durumlar da ortaya çıkar. Örneğin, I(2) değişkenler seti CI(2,1). dereceden eştümleşebilir. Bu durumda I(1) doğrusal kombinasyonu ortaya çıkar (Daniel, Ramos, 2002:195-196; Enders, 2004: 322,323).

Eştümleşme Testi

İki zaman serisi de durağan veya sıfırıncı dereceden eştümleşik ise eştümleşme testini yapmaya (başlatmaya) gerek yoktur, çünkü standart zaman serisi analizi kullanılabilir. Her iki seride farklı derecelerden tümleşik iseler eştümleşme olmadığı sonucuna varılır. Engle ve Granger, çoklu dinamik modeli tahmin etmeden önce değişkenler setinin eştümleşik olup olmadığının test edilmesi gerektiğini ifade etmişlerdir. Granger (1986), “Eştümleşme testini, sahte regresyon probleminden

sakınmak için bir ön-test olarak düşünülebileceğini” ileri sürmüştür. Eştümleşmeyi test etmek için, iki değişken arasındaki uzun dönemli ilişki tahmin edilir ve regresyondaki hataların durağanlığı test edilir (Dritsakis, 2004:11; Khan, Toh ve Chua, 2005: 173; Lim, Mcaleer, 2001:1610).

Eştümleşme ilişkisini test etme yöntemi aşağıdaki iki adımı içerir:

1) Genişletilmiş Dickey Fuller (ADF) testi kullanılarak uzun dönem statik modeldeki bütün değişkenlerin tümleşme derecesi test edilir. Eştümleşme regresyonu bütün açıklayıcı değişkenlerin birinci derecede tümleştirilmesini gerektirir, bu nedenle daha yüksek tümleşme derecesine sahip değişkenlerin I(1) serisini elde etmek için farkı alınmalıdır. Çoğu ekonomik değişken birinci derecede tümleştiği için uzun dönem eştümleşme ilişkisi çoğu durumda sadece I(1) değişkenleriyle ilişkili bulunacaktır.

2) y_t =β₀ +β₁x_1t +β_2tx_2t +....+β_mx_mt +ε_t (2.3)

biçimindeki uzun dönem statik regresyonunu tahmin etmek için EKK kullanılır. Eşitlik (2.3)’deki tahmini hatalar ADF istatistiği kullanılarak durağanlık için test edilir. t i t p i i t t = + ∆ +u ∆ ₋ = −

∑

eşitliğindeki n serbestlik dereceli _φˆ* _{katsayısının hesaplanmış t oranı Mac Kinnon}

kritik değerleriyle karşılaştırılır. Hesaplanmış t değeri uygun Mac Kinnon kritik değerinden daha düşükse eştümleşmenin olmadığı sıfır hipotezi reddedilir (Song, Witt, 2000:71).