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Como já foi visto, na Teoria dos Campos Conceituais, Vergnaud afirma que o enfoque mais frutífero para o entendimento do processo de construção de certo conhecimento é obtido, usando-se a estrutura referente às suas características específicas e a análise conceitual de seu domínio. Este enfoque tem produzido resultados esclarecedores para a construção dos conhecimentos ligados à aritmética elementar (estruturas aditivas e estruturas multiplicativas), à física elementar, à biologia, à álgebra elementar e à geometria, enfim, aos domínios das ciências exatas e naturais. No que concerne ao campo conceitual multiplicativo, está claro que não se pode reduzi-lo ao raciocínio proporcional, nem aos

conceitos de fração ou razão, nem tampouco aos algoritmos da multiplicação e da divisão. Nesse sentido, Vergnaud define:

O campo conceitual das estruturas multiplicativas é, simultaneamente, o conjunto das situações cujo tratamento implica uma ou várias multiplicações ou divisões e o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar estas situações: proporção simples e proporção múltipla, função linear e n-linear, relação escalar direta e inversa, quociente e produção de dimensões, combinação linear e aplicação linear, fração, relação, número racional, múltiplo e divisor, etc. Entre os teoremas que atribuem a sua função a estes conceitos, devemos mencionar.

As propriedades de isomorfismo da função linear bijetora8 f(nx) = nf(x)

f(n1x1 + n2x2) = n1f(x1) – n2f(x2)

e a sua generalização a relações não inteiras as propriedades relativas ao coeficiente constante entre duas variáveis linearmente ligadas

) ( 1 ) ( ) ( f x a x x a x f = → =

E algumas propriedades específicas da bilinearidade ). , ( ) , (n₁x₁ n₂x₂ n₁n₂f x₁ x₂ f = (VERGNAUD, 1990, p. 147-148)

Inevitavelmente, esta definição nos remete a outra abordagem para a multiplicação e para a divisão. Ela desvaloriza a visão comum da multiplicação e da divisão, como simples operações aritméticas diferentes que deveriam ser ensinadas às crianças após terem aprendido a adição e a subtração. Propõe a abordagem simultânea das duas, uma vez que reconhece a reversibilidade entre elas. Além disso, esclarece que o ensino das estruturas multiplicativas é um processo longo, uma vez que abrange uma série de conceitos.

Ao discutirmos um campo conceitual, é importante que identifiquemos seus invariantes conceituais. O invariante conceitual do raciocínio multiplicativo é, segundo Nunes et al. (2002, p. 78), “a existência de uma relação fixa entre duas variáveis (ou duas grandezas ou quantidades” Em outras palavras, qualquer situação multiplicativa envolve duas quantidades em relação constante entre si. No problema “Uma caixa de bombons contém 25 bombons, quantos bombons há

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8 _{Na definição oferecida por Vergnud (1990) não consta o termo bijetora. Acrescentamo-lo com o objetivo de} assegurar a existência da função inversa de f.

em 5 caixas?” (p. 79), apresentado por esses autores para clarificar a idéia acima, as variáveis são número de caixas e número de bombons e a relação fixa entre elas é 25 bombons por caixa.

Outro aspecto fundamental em relação ao raciocínio multiplicativo diz respeito aos esquemas de ação que dão origem aos conceitos de multiplicação e divisão. Para Nunes et al. (2002, p. 42):

...dentre as mais importantes contribuições de Piaget para a educação matemática está sua teoria de que a compreensão das operações aritméticas tem origem nos esquemas de ação das crianças.

Os autores explicam que um esquema de ação é constituído por uma representação da ação em que apenas os aspectos essenciais da ação aparecem: não importam, por exemplo, os objetos sobre os quais a ação foi executada.

Os esquemas de ação a partir dos quais a criança começa a compreender a multiplicação e a divisão são a correspondência um-a-muitos e a distribuição eqüitativa. O problema dos bombons, que citamos acima, é um exemplo do primeiro tipo de esquema de ação. Como exemplo do segundo, Nunes et al. (2002, p. 83 propõem “Márcio tem 15 bolas de gude. Ele vai distribuí-las igualmente entre seus três amigos. Quantas bolas de gude cada um vai ganhar?”

Os autores citados ainda apontam que mesmo alunos dos primeiros anos, que tipicamente ainda não receberam instrução em multiplicação e divisão, resolvem corretamente problemas práticos de multiplicação e divisão, usando seus esquemas de ação. Já os problemas inversos requerem a coordenação entre os dois esquemas e, por isso, são mais complexos, podendo causar dificuldade até mesmo para alunos de quarta série. Assim, é essencial apresentarmos às crianças uma grande variedade de problemas, focalizando especialmente a coordenação entre os diferentes esquemas.

Nesse sentido, Vergnaud (1988) propõe a classificação dos problemas ligados às estruturas multiplicativas em três tipos: isomorfismo de medidas, produtos de medidas e proporções múltiplas. Os problemas do primeiro tipo são aqueles que envolvem uma proporção simples e direta entre duas grandezas de

medidas M1 e M2. O problema Joana comprou 5 bombons a R$ 0,30 cada.

Quanto ela teve que pagar? é um exemplo. As medidas M1, M2 e M3 são,

respectivamente, o número de bombons, o preço de cada bombom e o custo da compra de Joana. Cabe destacar ainda que os problemas que envolvem divisão por cotas9, divisão por partição10 e o cálculo da quarta proporcional,11 também, são exemplos deste tipo. A figura abaixo refere-se a uma problema que envolve o cálculo da quarta proporcional.

Bombom valor (R$)

Figura 1.3:

Representação para um problema que envolve cálculo da quarta proporcional

Já os problemas do tipo produto de medidas, são aqueles que envolvem uma composição cartesiana de duas grandezas de medidas M1 e M2, dentro de

uma terceira, de medida M3. São exemplos deste tipo, problemas referentes à

área, volume, produto cartesiano, trabalho e outros conceitos físicos. Em todos os casos, as unidades do produto são expressas como produtos de unidades elementares. No problema, Qual é a área de uma sala retangular que tem 6 m de comprimento e 5 m de largura, as grandezas de medidas M1, M2 e M3 são,

respectivamente, o comprimento, a largura e a área da sala. É importante notar que os problemas combinatórios também se enquadram neste tipo. Na situação- problema, Tenho 3 calças e 4 blusas. De quantas maneiras diferentes, posso me vestir?, M1 é o número de calças, M2 é o número de blusas e M3 é o número de

maneiras procurado.

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9 _{Em problemas de divisão por quotas é dada uma quantidade inicial que deve ser dividida em quotas} preestabelecidas (tamanho das partes), devendo-se encontrar o número de vezes (número das partes) em que esta quantidade é dividida.

10 _{Em problemas de partição é dada uma quantidade inicial e o número de vezes (número de partes) em que} esta quantidade deve ser distribuída, devendo-se encontrar o tamanho de cada parte (número de elementos).

11

Nesses problemas, três termos são conhecidos e um termo é desconhecido.

1 0,30

5 x

X 5 X 5

Para finalizar, os problemas do tipo proporções múltiplas assemelham-se aos do tipo produto de medidas do ponto de vista das relações aritméticas: uma grandeza de medida M3 é proporcional a duas grandezas de medidas M1 e M2,

diferentes e independentes. Entretanto, no tipo proporções múltiplas, as grandezas envolvidas têm seus próprios significados e nenhum deles pode ser reduzido ao produto de outros. O problema de regra de três composta. Se 3 vacas, em 5 dias, produzem 30 litros de leite, qual será, sob as mesmas condições, a produção de leite de 2 vacas em 15 dias? É um bom exemplo deste tipo.