2.3. HHT ANALİZİ VE BİLEŞEN NORMALLEŞTİRME SÜRECİ
2.3.4. Doğrudan Dikgen Yöntemi
İdeal olarak, tek bileşenli sinyalin dikgeni kullanılarak anlık frekans kesin olarak hesaplanabilir. Dikgen, faz fonksiyonun herhangi bir zaman noktasında 90 derece kaydırılmasıdır. Basit olarak, sinüs fonksiyonu olarak tanımlanabilen bir taşıyıcı sinyalin dikgeni aynı zaman noktalarında kosinüs fonksiyonu olmaktadır. Taşıyıcı sinyal temel olarak verinin frekans bilgilerini içeren sinüzoidal salınım hareketi olarak tanımlanabilir ve frekans hesaplanması için gerekli bir unsurdur. Dolayısıyla, kesin anlık frekansın hesaplanabilmesi için zaman serisine ,X(t), ait
zarf ve taşıyıcı fonksiyonları belirlenip aşağıda ifade edilen biçime dönüştürülmelidir: ) ( cos ) ( ) (t a t t X = φ (2.54)
burada )a(t ve cos tφ( ) sırasıyla zarf ve taşıyıcı fonksiyonlardır. zarf fonksiyonu, verinin genlik değişimini ifade ettiği için genlik modülasyonu (AM) olarak adlandırılırken zarf fonksiyonu ise frekans değişimini içermesinden ötürü frekans modülasyonu (FM) olarak adlandırılırlar. Yukarıda belirtilen sinyalin dikgeni ise aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
) ( sin ) ( ) (t a t t Xq = φ (2.55)
sinyal ve kendisinin dikgeni kullanılarak anlık frekans, faz fonksiyonunun türevi alınarak, hesaplanabilir.
Anlık frekans hesaplanması konusunda geçmişte aşağıdaki noktalarda sorun yaşanmaktaydı: 1) veri setinin tek bileşenli yapıda olmaması. 2) veri setini temsil eden tek ve benzersiz
[
a(t),φ(t)]
çiftinin elde edilememesi. 3) Dikgenin veri setini kullanarak doğrudan hesaplanamaması. Karmaşık verinin tekil bileşenlerine ayrılması EMD metoduyla gerçekleştirilerek sorun olmaktan çıkmıştır. Dikgenin hesaplanmasındaki modern yaklaşım ise belirtildiği üzere analitik sinyalin Hilbert dönüşümüyle elde edilmesidir. Bu sayede, veri setini temsil eden tek ve benzersiz[
a(t),φ(t)]
çiftinin elde edilmesi sağlanmıştır (Huang ve diğerleri, 2009: 185).AM-FM ayrıştırılması gerçekleştirildikten sonra, IMF fonksiyonuna ilişkin anlık frekans değerleri doğrudan dikgen kullanılarak elde edilebilir. Normalleştirme süreci sonunda elde edilen FM sinyali, F(t), söz konusu IMF fonksiyonunun taşıyıcı sinyali olmaktadır. Veri setinin kosinüs fonksiyonu formunda salındığı varsayımı altında dikgen fonksiyonu aşağıdaki biçimde kolaylıkla bulunabilir:
) ( 1 ) ( sinφ t = −F2 t (2.56)
Veri seti ve dikgen değerinden oluşan karmaşık sayı çiftlerinin (complex pair) analitik fonksiyon olması gerekmemektedir. Karmaşık sayı çifti doğru faz fonksiyonunun hesaplanmasında kullanılır çünkü söz konusu sayı çifti, analitik sinyalden kaynaklanan çok küçük bozulmaları bile içermemektedir. Doğrudan dikgen hesaplanması yönteminin bazı avantajları vardır: Hilbert dönüşümünün yapılması zorunluluğu ortadan kalkmaktadır. Böylece integral dönüşümü yapılmamakta; faz fonksiyonu komşu noktalardan etkilenmemekte ve anlık frekans hesaplanması sadece türev dönüşümü kullanılarak elde edilmektedir. Bu nedenle, anlık frekans olabilecek en yüksek oranda yerel olmaktadır (Huang ve diğerleri, 2009: 196).
Dikgen fonksiyonu elde edildikten sonra faz fonksiyonu, taşıyıcı sinyale arc- kosinüs ya da ark-tanjant fonksiyonları kullanılarak elde edilebilir. Belirtmek gerekir ki ark-kosinüs fonksiyonu yerel uç noktaların çevresinde istikrarlı sonuç vermemektedir. Hesaplama doğruluğunun artırılması için modifiye edilmiş ark- tanjant fonksiyonu kullanılabilir:
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ) ( ) ( 1 arctan ) ( 2 t F t F t φ (2.57)
burada normalleştirme işleminin kritik önemi bir kez daha ortaya çıkmaktadır çünkü normalleştirilmiş sinyalin aldığı değerlerin |1| değerinden büyük olması durumunda dikgen fonksiyon sanal fonksiyon haline gelerek Denklem (2.57)' nin kullanılmasını olanaksız hale getirmektedir. Ark-tanjant fonksiyonu serinin sıçrama ya da ani eğim değişiklikleri gösterdiği bölgelerde istikrarlı olmayan sonuçlar verebilmektedir. Ayrıca yerel uç noktaların çevresinde dağınık ve seyrek veri bulunması durumunda ark-tanjant fonksiyonu istikrarlı sonuç vermeyebilir. Buna karşın, hesaplama etkinliği 3 ya da 5 nokta genişlikli medyan filtresi uygulanarak artırılabilmektedir. Sonuç olarak, doğrudan dikgen yöntemi kullanılarak teorik değerlerle hemen hemen
hemen hemen aynı değerleri sağlayan eğri zarf fonksiyonlarından kaynaklanmaktadır. Hilbert dönüşümünün doğrudan veri setine uygulanması halinde zarf fonksiyonları alt periyotlarda bozulma gösterebilmektedir (Huang ve diğerleri, 2009: 197).
Özet olarak, IMF fonksiyonun doğrudan Hilbert dönüşümüne tabi tutulması yerine normalleştirilmiş veriye Hilbert dönüşümünün uygulanmasına Normalleştirilmiş Hilbert dönüşümü (NHT) adı verilir. NHT, Bedrosian ve Nuttall teoremlerinin belirttiği kısıtları yerine getirmektedir. Analitik sinyal oluşumundan kaynaklanan anormallikler yok edilmiştir. NHT kullanılarak normalleştirilmemiş verinin küçük genlikli bölgelerinden kaynaklanan negatif anlık frekans oluşma olasılığı ortadan kalkar. Negatif anlık frekans; iki sıfır-geçiş noktası arasında birden çok uç nokta olmasının ya da iki sıfır-geçiş noktası arasında genliğin aşırı dalgalanmasının analitik sinyal üzerindeki bozucu etkisinden kaynaklanmaktadır. Bu etkiler NHT ya da DQ kullanılarak yok edilebilir (Huang ve diğerleri, 2009: 198). NHT ve DQ doğru anlık frekans hesaplanması için kullanılabilir. NHT, DQ yönteminden az da olsa daha istikrarlı sonuç vermektedir. Buna karşın, DQ verinin yoğun ve sık olduğu durumda daha kesin anlık frekans sonuç verebilir (Huang ve diğerleri, 2009: 199).
2.3.5. Genelleştirilmiş Sıfır - Geçiş Yöntemi
Özellikle düşük frekans yapısına sahip IMF bileşenlerinin anlık frekans değişimlerini genel olarak gözlemlemek için Huang ve diğerleri (2009) tarafından geliştirilen GZC yöntemi uygulanabilir. Böylelikle genel frekans değişimleri hakkında bilgi sahibi olunabilir.
GZC yöntemi temel olarak bileşenin sahip olduğu yerel uç ve sıfır-geçiş noktalarını "kritik kontrol noktası" olarak seçip çeyrek periyot uzunlukları aracılığıyla frekansı hesaplamaktadır. GZC yönteminde kritik kontrol noktalarının tüm kombinasyonları arasındaki zaman aralıkları salınım hareketine ilişkin farklı periyot uzunlukları olarak dikkate alınıp ağırlıklandırılır. Ardışık iki aynı yönlü sıfır-
geçiş noktaları arasında kalan zaman aralığı ile ardışık iki maksimum (ya da minimum) uç nokta arasında kalan zaman aralığı bir tam periyot olarak kabul edilerek T1 olarak adlandırılır. Daha sonra aynı salınım hareketi, zıt yönlü sıfır-geçiş noktaları arasındaki zaman aralığı ve ardışık uç noktalar arasındaki zaman aralığı olmak üzere iki adet yarım periyoda ayrılarak T2j olarak adlandırılır. Son olarak aynı salınım hareketi sıfır-geçiş ile uç nokta arasında kalacak 4 adet çeyrek periyoda ayrılarak T4j olarak adlandırılır. Ağırlıklandırma aşamasında ise her bir alt periyot tipine göre periyotlara ağırlık verilmektedir. En yüksek yerelliğe sahip olan çeyreklik alt periyotlara 4; daha az yerel olan yarım alt periyotlara 2, tam periyota ise 1 ağırlığı verilerek anlık frekans aşağıdaki formül aracılığıyla hesaplanır:
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + =
∑
∑
= = 2 1 4 1 4 2 1 1 1 1 21 1 j T j j T j T ω (2.58)dolayısıyla her bir zaman noktasında anlık frekans, yerelliklerine göre ağırlıklandırılmış yedi farklı periyot değerine sahip olmaktadır. Görüldüğü üzere GZC yöntemi anlık frekans hesaplanmasında kullanılabilecek en kesin yöntemlerden biri olup türev ya da integral dönüşümü gerektirmeyen direkt bir yöntemdir. Dezavantajı ise dalga yapısında meydana gelen değişmeleri detaylı olarak hesaplayamamasıdır. Çünkü harmonik ya da salınım-içi frekans değişimleri göz ardı etmektedir. Dolayısıyla, GZC yöntemi frekans analizinde özellikle düşük frekanslı bileşenlerin frekans düzeylerini tespit etmekte kullanılabilir. Genel olarak GZC yöntemi frekans değerleri için referans olarak da kullanılabilir çünkü GZC, tahminleme etkinliği açısından en yüksek yerelliğe sahip ortalama frekans değerini veren yöntemdir (Huang ve diğerleri, 2009: 202).