Nossas hipóteses de pesquisas são preditivas. Nenhuma delas foi gerada por um teste diagnóstico com os alunos. As hipóteses surgiram com a preocupação de dar sentido ao processo de ensino-aprendizagem e no estudo dos referenciais teóricos. Pensamos que, para produzir uma aprendizagem significativa da trigonometria no triângulo retângulo, não podíamos partir da definição. Até esse ponto havia um caminho a ser percorrido.
Estudando os triângulos retângulos com ângulos notáveis, percebemos que é possível explorá-los por meio da reflexão, da rotação e da semelhança (ou homotetia). Descobrimos que Duval (1994) abordava essa exploração, tratando dos esquemas de apreensão figural e classificava essas apreensões em perceptiva, discursiva, seqüencial e operatória, discriminava os tipos de tratamentos figurais possíveis, e ainda fornecia elementos para exploração heurística das figuras, a partir de suas unidades figurais.
deparavam com situações que, se não fossem mobilizados os elementos figurais na solução dos problemas, o conhecimento que o aluno possuía, se fosse tratado apenas num nível discursivo, não seria suficiente para resolvê-los. Da necessidade de um novo conhecimento necessário para solucionar uma situação a partir do conhecimento antigo como ferramenta, é estabelecida a dialética entre a ferramenta e o objeto.
Apresentamos, a seguir, as nossas hipóteses de pesquisa, a fim de que possamos identificar o uso dos referenciais teóricos:
Produzir situações-problema que remetam aos tratamentos figurais que foram enfrentados na construção histórica desse conhecimento faz com que o aluno apreenda os conceitos como ferramentas implícitas para a solução desses problemas;
A manipulação e a observação das figuras geométricas podem fazer com que o aluno produza e apreenda as propriedades dos objetos representados;
Situações-problema cuja resolução envolve conceitos de geometria como isometria: rotação, reflexão e translação; paralelismo, perpendicularismo, etc, podem possibilitar uma mudança de ponto de vista do aluno sobre os problemas de trigonometria do triângulo retângulo e eventual minimização dos problemas de ensino-aprendizagem na trigonometria no triângulo retângulo;
A construção e obtenção de relações matemáticas envolvidas nessas figuras geométricas (que podem ser medidas ou calculadas) possibilitam a integração entre a geometria e a álgebra, produzindo significado para o aluno na trigonometria no triângulo retângulo.
Como podemos observar, todas as hipóteses se baseiam no tratamento figural e no seu papel no estudo dos conceitos da trigonometria no triângulo retângulo. Todas elas também possibilitam o uso da dialética ferramenta-objeto, pois exploram a construção e as propriedades dos elementos representados por meio de conhecimentos que o aluno já possui. Estas hipóteses representam,
portanto, o caminho que devemos percorrer para a produção de nossa seqüência didática.
Conforme a conclusão da análise a posteriori, podemos notar que houve evolução conceitual dos alunos na trigonometria no triângulo retângulo. Além disso, os alunos recorreram ao tratamento figural e isso contribuiu para que fossem produzidas conjecturas a respeito das relações entre lados e ângulos nos triângulos retângulos (sobretudo quando envolviam ângulos notáveis). No entanto, durante a aplicação das atividades, notou-se que houve dificuldades em manipular os elementos figurais e as propriedades das figuras na identificação de um tratamento figural que permitisse elaborar uma estratégia eficaz para resolver os problemas.
Todas as nossas hipóteses, no entanto, pressupõem o fato de que o aprendiz manipulará o problema. Desse modo, é considerado que, necessariamente, a apreensão perceptiva proporciona a apreensão seqüencial e a apreensão operatória. Mas e se o aluno não manipular a figura? E se ele não perceber os elementos figurais para explorá-la? E se ele não conhecer as propriedades das figuras a serem exploradas (do triângulo eqüilátero e do quadrado, por exemplo)? E se ele não souber construir ou representar a figura pedida?
Procuramos, na análise a priori, prever esses comportamentos, mas percebemos que houve grande dificuldade na apreensão operatória do aluno durante a resolução das atividades, talvez gerada pela dificuldade na apreensão perceptiva. Observamos que, quando o professor provocava o debate das estratégias possíveis de solução, os alunos participavam, mas inicialmente poucos tinham realmente chegado a um tratamento figural que permitisse resolver o problema. A maior parte dos alunos limitava-se a entender o que alguns de seus colegas propunham durante a discussão. Faremos algumas considerações a respeito dessas dificuldades na estratégia de resolução dos problemas na discussão dos fundamentos teóricos e metodológicos e da seqüência didática.
Analisando as nossas hipóteses, nenhuma delas trata da questão do ambiente do experimento, do contexto em que essas situações ou essas figuras são construídas, ou seja, não foi enfatizada a apreensão seqüencial. Poderíamos conjecturar que um contexto concreto, ou interdisciplinar, um ambiente computacional ou experimental, possivelmente auxiliariam os alunos na apreensão perceptiva e talvez isso fosse transferido para a apreensão operatória. Acreditamos agora, que o ambiente e o contexto do experimento auxiliariam no estudo das relações trigonométricas e, conseqüente, na aprendizagem significativa para o aluno. Seria interessante inclusive, pensar na conjugação de ambientes e contextos e a sua influência na evolução conceitual. Em contrapartida, talvez o tempo gasto por uma seqüência didática que conjugue esses ambientes fosse mais longo e o assunto tivesse sua viabilidade pedagógica comprometida.
Aproveitamos, com base na preocupação no ambiente e no contexto em que as situações estão inseridas, para adicionar às nossas hipóteses de pesquisa uma nova hipótese, cuja qual nos fará reformular a nossa questão de pesquisa (conforme discutiremos no item 4.5.5):
A articulação entre o ambiente e o contexto em que as situações-problema estão inseridas e que manipulam diferentes apreensões seqüenciais podem auxiliar na apreensão perceptiva e conseqüentemente na apreensão operatória.
Nesse sentido, faremos a sugestão de pesquisas (item 4.5.5) que explorem a manipulação e a combinação entre ambientes e contextos, na busca, não só da formação de figuras, mas na representação e manipulação de modelos teóricos que envolvam o estudo das relações trigonométricas.