4. ELEKTROMANYETİK ALGORİTMA İÇİN İYİLEŞTİRME ÖNERİLERİ
4.2. Deneysel Tasarım
parçacıkların değerlerini sınırlara göre kontrol eden bir yapı algoritmaya entegre edilmiştir. Söz konusu yapı kapsamında, her yinelemede, parçacıkların değerleri kontrol edilecek ve sınırları aşan değerler ait oldukları sınıra eşitlenecektir.
Popülasyon büyüklüğü
Diğer meta sezgisel algoritmalarda olduğu gibi EMA yapısında da popülasyon büyüklüğünün hem çözüm kalitesine, hem de çözüm hızına etkisi vardır. Bu sebeple, deneysel tasarım kapsamında popülasyon büyüklüğü için üç farklı seviye belirlenmiştir.
Popülasyon büyüklüğü 25, 50 ve 75 seviyelerinde test edilmek üzere deneysel tasarım kapsamında incelenmesine karar verilmiştir.
DT çalışmasının temel adımları aşağıda verilmiştir (Coleman ve Montgomery 1993).
- Problemin tanımlanması,
- Girdiler (faktörler) ve seviyelerinin tanımlanması, - Çıktıların tanımlanması,
- Deney tasarımının seçilmesi, - Deneylerin gerçekleştirilmesi,
- Sonuçların incelenmesi, analiz ve yorumlar.
DT’nin diğer yöntemlere göre en belirgin üstünlüğü faktör seviyelerinin aynı anda değiştirilmesiyle oluşturulan deney noktalarında deneylerin yapılması ve faktörler arasında olası ikili ve/veya daha çok etkileşimlerin de analiz edilebilmesidir (Montgomery 2008). DT kapsamında birçok farklı tasarım yöntemi bulunsa da, söz konusu tez çalışması kapsamında sadece tam ve kısmi faktöriyel tasarımlardan bahsedilmiştir.
Birden çok faktör ve seviyeleri ile gerçekleştirilen tasarım genelde faktöriyel tasarım olarak geçer ve Z şeklinde ifade edilir. Burada k faktör adedi, n ise her faktörün sahip olduğu seviye adedidir. Örnek olarak 2t tasarımda, 2 seviyeli beş adet faktör bulunur.
Her faktör aynı seviye adedine sahip olacağı gibi, karışık faktöriyel tasarımlarda her faktör farklı seviyelere sahip olabilir (21× 33 tasarımda bir adet 2 seviyeli, iki adet 3 seviyeli faktör vardır). Tam faktöriyel tasarımlarında mevcut olan tüm deney noktalarında analizler yapılmaktadır. Herhangi bir tam faktöriyel deney tasarımda, toplam deney adedi, " R ∏Z•1 , * R 1, … , 9, denklemi ile hesaplanır. Burada, k faktör adedi, n ise i. faktöre ait seviye sayısını göstermektedir (Montgomery 2007). Çizelge 4.1’de tasarım için deney noktaları ve her noktada faktörlerin alması gereken değerler örnek olarak gösterilmiştir. Söz konusu tabloda, faktör seviyeleri “+” ve “–” şeklinde kodlanmıştır.
Çizelge 4.1. 24 tam faktöriyel tasarım için örnek deneyler Deney No Faktör 1 Faktör 2 Faktör 3 Faktör 4
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
5 - - + -
6 + - + -
7 - + + -
8 + + + -
9 - - - +
10 + - - +
11 - + - +
12 + + - +
13 - - + +
14 + - + +
15 - + + +
16 + + + +
Yapılacak tekrarlarla birlikte deney adetlerinin çok fazla oluşu, deneylerin maliyetinin yüksek oluşu veya uzun sürmesi gibi kısıtlardan dolayı, gerçek hayat uygulamalarında genelde tam faktöriyel tasarımlar yerine kısmi faktöriyel tasarımlar tercih edilir (Montgomery 2008). Kısmi faktöriyel tasarımlarda bazı çoklu etkileşim etkilerinden taviz verilerek deney adedinin düşürülmesi hedeflenmektedir. Kısmi faktöriyel tasarımlar genelde Zˆ^ şeklinde gösterilir. Burada, n ve p sırasıyla seviye ve faktör adedini gösterirken, p ise diğer parametreler ile örtüştürülerek elde edilen parametre adedini göstermektedir. Örnek vermek gerekirse; 2sˆ1 tasarımında, 16 yerine toplamda 8 deney yapılmakta ve bir parametrenin etkisi diğer üç parametrenin etkileriyle örtüştürülmüş olmaktadır. 2sˆ1 için örnek deney noktaları Çizelge 4.2’de verilmiştir.
Çizelge 4.2’deki tasarımda ana etkiler üçlü etkileşimlerle, ikili etkileşimler ise kendi aralarında örtüştürülerek analizler yapılabilir. Böylece ikili ve üçlü etkileri tek başlarına incelemekten taviz verilerek, deney adedi yarı yarıya azaltılmıştır. Bu tip bir deney, ana etkiler ile ilgili birçok bilgiyi sağlayabilir (Montgomery 2008). Çizelge 4.2’deki tasarımda Faktör 4’ün seviyeleri diğer üç faktörün seviyelerinin çapımı (Faktör 1 x Faktör 2 x Faktör 3) ile elde edilmiştir. Daha teknik olarak açıklanırsa, deneyin kimliği I
= ABCD ve deneyin çözünürlüğü (Resolution) IV olarak ifade edilir. Kısmi faktöriyel bir tasarımın kimliği ve çözünürlüğü söz konusunu tasarımın kalitesini gösteren
parametrelerdir. Konu hakkında daha detaylı bilgiye Montgomery (2008) çalışmasından erişilebilir.
Çizelge 4.2. 24-1 kısmi faktöriyel tasarım için örnek deneyler (I=ABCD) Deney No Faktör 1 Faktör 2 Faktör 3 Faktör 4
1 - - - -
2 + - - +
3 - + - +
4 + + - -
5 - - + +
6 + - + -
7 - + + -
8 + + + +
Farklı faktör seviyelerinde geliştirilen EMA sürümleri MATLAB(R2011a) ortamında kodlanmıştır ve analiz edilmiştir. EMA için geliştirilen iyileştirme önerilerinin etkilerinin test edilmesi için daha önceki bölümde açıklanan farklı boyutlardaki standart ve karma test problemleri kullanılmıştır. Kullanılan test kümesi, tek-modlu, çok-modlu, küçük (10D), orta (30D) ve büyük (50D) problemlerden oluşmaktadır. Bu bölüm kapsamında, her deney noktasında yapılacak tekrar adetlerini de düşünerek, tüm problem setini (bkz. Çizelge 3.2 ve Çizelge 3.3) yansıtan ve 34 problemden oluşan bir alt küme oluşturulmuş ve testler bu alt küme üzerinde gerçekleştirilmiştir. Deneysel tasarım çalışması kapsamında kullanılan test problemleri, boyutları ve özellikleri Çizelge 4.3’te verilmiştir. Çizelge 4.3’te problemlerin numarası ve ismi, deneysel tasarım kapsamında kullanılan problem kodu, problemin boyutu ve tipi (U: Tek-modlu, M: Çok-modlu, S: Ayrıştırılabilir, N: Ayrıştırılamaz) verilmiştir.
Çizelge 4.3. Deneysel tasarım için test problemleri
No Problem Problem kodu Boyut Tip
1 Beale Beale 2 UN
2 Colville Colville 4 UN
3 Hartmann2 Hartmann2 6 MN
4 Michalewick3 Michalewick3 9 MS
5 Sphere Sphere.10 10 US
6 Sphere Sphere.30 30 US
7 Sphere Sphere.50 50 US
8 Rosenbrock Rosenbrock.10 10 UN
9 Rosenbrock Rosenbrock.30 30 UN
10 Rosenbrock Rosenbrock.50 50 UN
11 Griewank Griewank.10 10 MN
12 Griewank Griewank.30 30 MN
13 Griewank Griewank.50 50 MN
14 Ackley Ackley.10 10 MN
15 Ackley Ackley.30 30 MN
16 Ackley Ackley.50 50 MN
17 Kaydırılmış Schwefel fonksiyonu 1.2 F2.10 10 UN
18 Kaydırılmış Schwefel fonksiyonu 1.2 F2.30 30 UN
19 Kaydırılmış Schwefel fonksiyonu 1.2 F2.50 50 UN
20 Kaydırılmış döndürülmüş Rastrigin fonksiyonu F10.10 10 MN 21 Kaydırılmış döndürülmüş Rastrigin fonksiyonu F10.30 30 MN 22 Kaydırılmış döndürülmüş Rastrigin fonksiyonu F10.50 50 MN
23 Karma birleşim fonksiyonu F15.10 10 MS
24 Karma birleşim fonksiyonu F15.30 30 MS
25 Karma birleşim fonksiyonu F15.50 50 MS
26 Ötelenmiş Schewel fonksiyonu 1.2 Gürültülü F4.10 10 UN 27 Ötelenmiş Schewel fonksiyonu 1.2 Gürültülü F4.30 30 UN 28 Ötelenmiş Schewel fonksiyonu 1.2 Gürültülü F4.50 50 UN 29
Global optimumumu sınır üzerinde olduğu
döndürülmüş karma birleşim fonksiyonu F20.10 10 MN 30
Global optimumumu sınır üzerinde olduğu
döndürülmüş karma birleşim fonksiyonu F20.30 30 MN 31
Global optimumumu sınır üzerinde olduğu
döndürülmüş karma birleşim fonksiyonu F20.50 50 MN 32
Sınırlamasız döndürülmüş karma birleşim
fonksiyonu F25.10 10 MN
33
Sınırlamasız döndürülmüş karma birleşim
fonksiyonu F25.30 30 MN
34
Sınırlamasız döndürülmüş karma birleşim
fonksiyonu F25.50 50 MN
Deneysel tasarım ise Statsoft firması tarafından geliştirilen STATISTICA V12.0 yazılımının, ‘Design of experiments’ modülü kullanılarak hazırlanmış ve uygulanmıştır (www.statsoft.com, 2014). Geliştirilen deneysel tasarım için kullanılan faktör ve seviyeleri Çizelge 4.4’te açıklanmıştır. Bu faktör ve seviyelerine ait detaylı bilgiler ise Bölüm 4.1’de incelenebilir. Çalışma kapsamında, 2−3 seviyeli karışık faktörlerden oluşan tam tasarım yerine, STATISTICA tarafından da önerilen 1/3 oranına azaltılmış tasarım (23.33-1) kullanılmıştır (Montgomery 2008). Başka bir deyişle, toplamda 216 deney noktası olan tam faktöriyel tasarım yerine, 72 adet deney noktasının kullanıldığı kısmi faktöriyel tasarım kullanılmıştır. Kullanılan tasarım noktalarındaki faktör seviyeleri Çizelge 4.5’te verilmiştir. Çizelge 4.5’te, iki seviyeli faktörler için (-1, 1) ve üç seviyeli faktörler için ise (-1, 0, 1) gösterimi kullanılmıştır. İstatistiksel olarak anlamlı sonuçlar elde edebilmek için her deney noktasında 30 rassal koşumlu tekrar gerçekleştirilmiş ve bulunan amaç fonksiyonu değerleri raporlanmıştır. Başka bir deyişle, tez çalışmasında gerçekleştirilen deneysel tasarım kapsamında 34 problem üzerinde, 30 bağımsız tekrar ile 72 deney noktasında toplamda 73 440 bağımsız tekil koşum gerçekleştirilmiştir.
Bölüm 1’de açıklandığı gibi meta sezgisel algoritmaların başarısı sadece bulunan çözümlerin kalitesi ile değil, çözümlerin bulunması için harcanan süre veya işlem adedi de ölçülmeli ve karşılaştırılmalıdır. Bu sebeple, geliştirilen faktör ve seviyelerinin çözüm süresine etkilerinin de incelenebilmesi için çözüm sürelerinde kısıtlamaya gidilmiş ve ön testler ile belirlenen maksimum işlem süreleri tanımlanmıştır. Çalışma kapsamında, küçük test problemleri için 5 saniye, orta test problemleri için 10 saniye ve büyük test problemleri için ise 15 saniye işlem süresi kullanılmıştır. Her problem için gerçekleştirilen yineleme adedine bakılmaksızın, bu süreler sonunda koşum durdurulmuş ve bulunan amaç fonksiyonu değerleri raporlanmıştır.
Çizelge 4.4 Faktörler ve faktör seviyeleri
No Faktör Faktör
Kodu Seviye 1 Seviye 2 Seviye 3
1 Yük (q) hesabı Qcalc Geleneksel Denklem 4.2 -
2 Başlangıç çözümü
oluşturma Chaotic Geleneksel Kaotik
(bkz. Algoritma 4.1) -
3 Yeniden oluşturma Regen Yok Var -
4 Kuvvet (F) hesabı Fcalc Geleneksel Adaptif k adet (bkz. Denklem 4.6)
Sabit k adet (bkz. Denklem 4.5) 5 Yer değiştirme Repos Geleneksel Best
(bkz. Denklem 4.10)
Mean + Best (bkz. Denklem 4.9)
6 Popülasyon büyüklüğü Popsize 25 50 75
Çizelge 4.5. Uygulanan deneysel tasarımdaki deney noktaları Deney No Qcalc Chaotic Regen Fcalc Repos Popsize
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
2 -1 -1 -1 -1 0 1
3 -1 -1 -1 -1 1 0
4 -1 -1 -1 0 -1 1
5 -1 -1 -1 0 0 0
6 -1 -1 -1 0 1 -1
7 -1 -1 -1 1 -1 0
8 -1 -1 -1 1 0 -1
9 -1 -1 -1 1 1 1
10 -1 -1 1 -1 -1 0
11 -1 -1 1 -1 0 -1
12 -1 -1 1 -1 1 1
13 -1 -1 1 0 -1 -1
14 -1 -1 1 0 0 1
15 -1 -1 1 0 1 0
16 -1 -1 1 1 -1 1
17 -1 -1 1 1 0 0
18 -1 -1 1 1 1 -1
19 -1 1 -1 -1 -1 1
20 -1 1 -1 -1 0 0
21 -1 1 -1 -1 1 -1
22 -1 1 -1 0 -1 0
23 -1 1 -1 0 0 -1
24 -1 1 -1 0 1 1
25 -1 1 -1 1 -1 -1
26 -1 1 -1 1 0 1
27 -1 1 -1 1 1 0
28 -1 1 1 -1 -1 1
29 -1 1 1 -1 0 0
30 -1 1 1 -1 1 -1
31 -1 1 1 0 -1 0
32 -1 1 1 0 0 -1
33 -1 1 1 0 1 1
34 -1 1 1 1 -1 -1
35 -1 1 1 1 0 1
36 -1 1 1 1 1 0
37 1 -1 -1 -1 -1 1
38 1 -1 -1 -1 0 0
39 1 -1 -1 -1 1 -1
40 1 -1 -1 0 -1 0
41 1 -1 -1 0 0 -1
42 1 -1 -1 0 1 1
Çizelge 4.5. Uygulanan deneysel tasarımdaki deney noktaları (devam) Deney No Qcalc Chaotic Regen Fcalc Repos Popsize
43 1 -1 -1 1 -1 -1
44 1 -1 -1 1 0 1
45 1 -1 -1 1 1 0
46 1 -1 1 -1 -1 1
47 1 -1 1 -1 0 0
48 1 -1 1 -1 1 -1
49 1 -1 1 0 -1 0
50 1 -1 1 0 0 -1
51 1 -1 1 0 1 1
52 1 -1 1 1 -1 -1
53 1 -1 1 1 0 1
54 1 -1 1 1 1 0
55 1 1 -1 -1 -1 0
56 1 1 -1 -1 0 -1
57 1 1 -1 -1 1 1
58 1 1 -1 0 -1 -1
59 1 1 -1 0 0 1
60 1 1 -1 0 1 0
61 1 1 -1 1 -1 1
62 1 1 -1 1 0 0
63 1 1 -1 1 1 -1
64 1 1 1 -1 -1 -1
65 1 1 1 -1 0 1
66 1 1 1 -1 1 0
67 1 1 1 0 -1 1
68 1 1 1 0 0 0
69 1 1 1 0 1 -1
70 1 1 1 1 -1 0
71 1 1 1 1 0 -1
72 1 1 1 1 1 1