Se pensarmos agora em conjuntos de ´atomos ligados, distribu´ıdos repetidamente de forma peri´odica por todo o espa¸co, constituindo uma rede regular, estaremos analisando as chamadas estruturas cristalinas. Uma base para classificar os s´olidos cristalinos ´e a natureza das for¸cas que mant´em unidos os ´atomos no ordenamento da rede cristalina. O estudo das propriedades dos materiais que apresentam estruturas cristalinas c´ubicas s˜ao de grande interesse tecnol´ogico principalmente quando estamos tratando da fabrica¸c˜ao de dispositivos eletrˆonicos e optoeletrˆonicos. Um dos materiais mais aplic´aveis a este prop´osito tecnol´ogico ´e o Sil´ıcio (Si), que apresenta uma estrutura cristalina tipo zincblend, que pode ser considerada como duas redes c´ubicas de face centrada (fcc) distantes uma da outra por um vetor (a/4, a/4, a/4), onde a ´e o menor comprimento da estrutura fcc, Figura 14.
2.1 Confinamento de Fonons ´Opticos 43
Figura 14: C´elula unit´aria do ZnS. Estrutura cristalina tipo zincblend.
nitretos III-V (Ga-Al-N), isso porque eles possuem uma larga banda de energia, favor´avel a fabrica¸c˜ao de lasers semicondutores com comprimento de onda no azul e ultra-violeta, bem como no desenvolvimento de dispositivos eletrˆonicos que operem em condi¸c˜oes de elevadas temperaturas. Esses nitretos ocorrem em estruturas tipo zincblend e w¨urtzite, esta ´ultima, pode ser generalizada da primeira pela rota¸c˜ao de 60o nas liga¸c˜oes tetra´edricas adjacente
com rela¸c˜ao ao eixo comum entre elas, Figura 15. O cristal w¨urtzite tem uma estrutura de c´elula unit´aria diferente (quatro ´atomos por c´elula unit´aria, com nove fonons ´opticos e trˆes fonons ac´usticos para um dado vetor de onda), bem como uma baixa simetria, quando comparado com os t´ıpicos semicondutores III-V e II-IV com estrutura cristalina tipo zincblend. O confinamento de fonons ´opticos nestes materiais apresenta uma natureza complexa com importantes propriedades f´ısicas ainda n˜ao entendidas completamente.
As estruturas w¨urtzite hexagonais s˜ao cristais uniaxiais com o eixo ´optico coincidindo com o eixo z cartesiano, que ´e perpendicular aos hex´agonos (formando o plano xy). Para estes tipos de cristais, como GaN e AlN, Loudon desenvolveu um modelo que descreve os fonons ´opticos longitudinais considerando um ˆangulo θ entre o eixo de cristaliza¸c˜ao c e o vetor de onda q, e substituindo a constante diel´etrica isotr´opica de um cristal c´ubico ǫ(ω) por suas componentes nas dire¸c˜oes paralela, ǫ(ω), e perpendicular, ǫ⊥(ω), ao eixo-c,
definindo assim o tensor ǫ(ω) dado por: [43]
ǫ(ω) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ǫ⊥(ω) 0 0 0 ǫ⊥(ω) 0 0 0 ǫ(ω) ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (2.31)
Figura 15: C´elula unit´aria do ZnS. Estrutura cristalina tipo w¨urtzite. com ǫ⊥(ω) = ǫ⊥(∞) ω2− ω2 LO,⊥ ω2− ω2 T O,⊥ (2.32) e ǫ(ω) = ǫ(∞) ω2− ω2 LO, ω2− ω2 T O, (2.33)
como exigido pela rela¸c˜ao LST. Na maioria das vezes, o eixo-c ´e tido na dire¸c˜ao-z, desta forma, a componente paralela da fun¸c˜ao diel´etrica pode ser indicada tamb´em por ǫz(ω).
Devido a anisotropia do cristal, a frequˆencia dos fonons ´opticos polarizados ao longo do eixo ´optico ´e diferente da polarizada no plano xy, desta forma, h´a dois tipos de onda de fonon: as ondas ditas ordin´arias, que apresentam simetria E1, s˜ao transversais e pola-
rizadas no plano perpendicular a dire¸c˜ao z onde, para qualquer θ, ambos o campo el´etrico
E e a polatiza¸c˜ao el´etrica P s˜ao perpendiculares ao eixo-c e ao vetor de onda q simul- taneamente, e as ondas chamadas extraordin´arias, cuja orienta¸c˜ao dos vetores E, P e q com respeito ao eixo-c n˜ao s˜ao t˜ao simples como no caso anterior. Existem duas ondas extraordin´arias, uma associada com as vibra¸c˜oes polarizadas perpendiculares ao eixo-c e tendo simetria A1 e outra associada com as vibra¸c˜oes paralelas ao eixo-c, com simetria
E1. Para θ = 0, um desses modos ´e longitudinal ´optico com simetria A1(LO) e o outro
´e transversal ´optico com simetria E1(T O). Como θ varia entre 0 e π/2, os modos em
geral s˜ao mistos, n˜ao apresentando car´ater puramente longitudinal ou transversal, bem como simetria puramente A1 ou E1. Nestas dire¸c˜oes de polariza¸c˜ao , apenas um grupo de
2.1 Confinamento de Fonons ´Opticos 45
trˆes dos nove fonons ´opticos de volume s˜ao ativos na regi˜ao do espectro infra-vermelho e Raman no ponto Γ da zona de Brillouin. Dois deles s˜ao ondas extraordin´arias associadas com as vibra¸c˜oes polarizadas na dire¸c˜ao z e no plano xy. O modo polarizado na dire¸c˜ao z tem simetria A1(z), enquanto o polarizado no plano xy tem simetria E1(xy). O outro
´e uma onda ordin´aria, que ´e sempre transversal e polarizada no plano xy com simetria E1(xy).
Os modos de fonons ´opticos que se propagam em um cristal s˜ao governados pelas equa¸c˜oes de Maxwell do eletromagnetismo (2.19) que, para meios n˜ao magn´eticos, temos µ0 = 1 e a equa¸c˜ao para o campo magn´etico fica:
∇ × B = ∂ D/∂t (2.34)
Assumindo que o nosso sistema possui simetria translacional, considerando apenas os modos de fonons ´opticos de grandes comprimentos de onda, ativos na regi˜ao do infra- vermelho e Raman. De acordo com o modelo do diel´etrico cont´ınuo e o modelo de Loudon, descritos anteriormente, a fun¸c˜ao diel´etrica que caracteriza os modos de vibra¸c˜ao em cada camada do sistema ´e descrita como nas equa¸c˜oes (2.32) e (2.33), onde ωLO,, ωT O,, ωLO,⊥
e ωT O,⊥, s˜ao as frequˆencias caracter´ısticas dos modos A1(LO), A1(T O), E1(LO), E1(T O),
respectivamente. Lembrando que, para um certo material a igualdade ǫ(∞)=ǫ⊥(∞) ´e
satisfeita.
Considerando solu¸c˜oes tipo ondas planas, o campo eletromagn´etico ´e proporcional a exp(iq · r − iωt) propagando atrav´es de um meio isotr´opico. A equa¸c˜ao de Maxwell ∇ · D = 0 nos fornece duas solu¸c˜oes. Uma solu¸c˜ao dita trivial:
ǫ(ω) = 0 (2.35)
que s˜ao os modos longitudinais, com ω = ωLO. E a segunda solu¸c˜ao, que ´e a condi¸c˜ao de
transversalidade entre o campo el´etrico E e o vetor de onda q:
q · E = 0 (2.36)
sendo, ∇ × ∇ × E = ∇(∇ · E) − ∇2E = −(∂/∂t) ∇ × B, ent˜ao:
−∇2E = −∂/∂t(∂ D/∂t) (2.37)
que, escrita apenas em fun¸c˜ao do campo el´etrico, considerando a equa¸c˜ao constitutiva
D = ǫ0ǫ(ω) E, fica:
portanto
q2 = ǫ(ω)ω2/c2, (2.39)
que ´e a rela¸c˜ao de dispers˜ao para os modos transversais. Definindo a velocidade da luz no v´acuo como c2 = (µ0ǫ0)−1. Com a fun¸c˜ao diel´etrica ǫ(ω) dada pela equa¸c˜ao (2.28), os
limites para os modos de volume s˜ao: • q ∼ ǫ(0)1/2ω/c quando ω ≪ ω
T O
• q → ∞ quando ω → ωT O
• q ´e puramente imagin´ario para ωT O < ω < ωLO. Esta ´e a regi˜ao onde os modos de
fonons de superf´ıcie se propagam. • q → 0 quando ω → ωLO
• q ∼ ǫ(∞)1/2ω/c quando ω → ∞