p-q teorisi olarak da bilinen anlık reaktif güç teorisi ilk kez Akagi tarafından aktif güç filtrelerinin kontrolüne uygulanmak amacıyla ileri sürülmüĢtür (Akagi ve ark., 1984). BaĢlangıçta ġekil 5.1‟de gösterilen nötr iletkeni olmayan üç fazlı sistemler için geliĢtirilen teori daha sonra 3-fazlı 4-telli sistemler içinde uygulanmak için geliĢtirilmiĢtir (Watanabe ve ark., 1993; Aredes, 1995).
Bu teori zaman ekseninde tanımlanmıĢ anlık güçler seti temeline dayanır. Gerilim ve akım dalga Ģekillerinde herhangi bir sınırlama yoktur, ve nötr iletkeni olan veya olmayan üç fazlı sistemlerdeki genel gerilim ve akım dalga Ģekillerine de uygulanabilir. Ayrıca, bu teori sadece kararlı durumda değil aynı zamanda geçici durumda da doğrudur.
ġekil 5.1 3 fazlı 3 telli sistem. VA VB VC ZA ZB ZC ia ib ic
ġekil 5.2‟de a-b-c koordinatlarındaki, a, b, c eksenleri aynı düzlem üzerinde birbirlerinden 120° faz farklı durumdadırlar. Anlık uzay vektörleri va ve ia, a ekseni
üzerindedirler ve genlikleri ve yönleri zamana bağlı olarak değiĢmektedir. Aynı Ģekilde
vb ve ib, b ekseni üzerinde, vc ve ic ise c ekseni üzerindedirler. Bu uzay vektörleri Clarke
dönüĢümü olarak da bilinen αβ dönüĢümü ile kolaylıkla αβ eksenlerinde durağan yapıdaki vα, vβ, iα, iβ anlık gerilim ve akımlara dönüĢtürülür.
(5.1) (5.2)
αβ koordinatlarında α ve β eksenleri birbirlerine diktir ve α ekseni ile a ekseni birbirine
paraleldir. Burada da vα ve iα, α ekseni üzerinde, vβ ve iβ, β ekseni üzerindedirler ve
genlikleri ve yönleri (+,-) zamana bağlı olarak değiĢmektedir.
ġekil 5.2 abc ekseninden αβ eksenine dönüĢüm.
3 fazlı sistemlerdeki anlık güç Denklem 5.3‟te gösterildiği gibi ifade edilmektedir.
(5.3)
burada p Denklem 5.4‟teki geleneksel güce eĢittir.
vb,ib a ekseni c ekseni b ekseni va,ia vc,ic α ekseni β ekseni vα,iα vβ,iβ . 120˚ 120˚ 120˚
(5.4)
Anlık reaktif gücü tanımlayabilmek için yeni bir anlık sanal güç uzay vektörü Denklem 5.5‟teki gibi tanımlanmıĢtır.
(5.5)
ġekil 5.3‟te αβ koordinatlarındaki akım ve gerilimin anlık uzay vektörleri görülmektedir. ġekil incelenecek olursa, q uzay vektörü sağ el kuralı uygulandığında oluĢturulan sanal eksen vektörüdür ve αβ koordinatlarının bulunduğu gerçek yüzeye diktir. Sistem incelenmeye devam edilirse, vα iα‟ya vβ ise iβ‟ya paralel, vα iβ‟ya vβ ise iα diktir. Dolayısıyla geleneksel anlık gerçek güç p ve anlık sanal güç q Denklem 5.6‟daki gibi yazılabilir.
(5.6)
ġekil 5.3 αβ koordinatlarında anlık uzay vektörleri.
Denklem 5.6‟da vα.iα ve vβ.iβ açık bir Ģekilde anlık gerçek gücü ifade etmektedir.
Çünkü bu terimler aynı eksendeki anlık gerilim ile anlık akımın çarpılması Ģeklinde tanımlanmıĢtır. Dolayısıyla p üç fazlı devrelerdeki anlık gerçek güce karĢılık gelmektedir ve birimi [W]‟dır. Diğer taraftan, vα.iβ ve vβ.iα anlık güç değildir çünkü
birbirine dik olan eksenlerdeki anlık akım ve anlık gerilimlerin çarpılması ile elde edilmiĢtirler. Bu nedenle q geleneksel bir elektriksel büyüklük olarak ele alınamaz ve
β vα x iβ α sanal eksen vβ x iα vβ iβ iα vα gerçek yüzey P [W] q
birimi [W], [VA], [var] olmayan yeni bir büyüklüğün tanımlanması gerekir. q‟nun birimi “Ġmajiner Volt Amper [IVA]” olarak tanımlanmıĢtır (Akagi ve ark., 1984).
Üç fazlı dengeli sinüzoidal gerilimle beslenen, dengeli doğrusal bir yükün geleneksel aktif (P) ve reaktif (Q) güçlerinin denklemlerinin elde edilmesi için akım ve gerilimler Denklem 5.7 ve Denklem 5.8‟deki gibi kabul edilmiĢtir.
(5.7) (5.8)
Buradan Clarke dönüĢümü kullanılarak αβ koordinatlarındaki akım ve gerilim
ifadeleri elde edilir:
(5.9)
(5.10)
Dolayısıyla Denklem 5.6, 5.9 ve 5.10‟dan güç eĢitlikleri aĢağıdaki gibi yazılabilir:
(5.11)
(5.12)
Bu denklemler geleneksel güç ifadeleri ile anlık reaktif güç teorisi ifadelerinin eĢitliğini göstermektedir. Bu eĢitliği üç fazlı dengeli sinüzoidal gerilimle beslenen doğrusal olmayan yükler için de sağlamak amacıyla gerilimleri Denklem 5.7‟deki gibi akımları ise Denklem 5.13‟teki gibi kabul edelim.
(5.13)
Buradan αβ koordinatlarındaki akım ifadeleri elde edilir:
(5.14)
Denklem 5.6, Denklem 5.9 ve Denklem 5.14 kullanılarak güç bileĢenlerinin ifadeleri elde edilebilir:
(5.15) (5.16)
Bu denklemler incelenerek güç ifadelerini aĢağıdaki bileĢenler Ģeklinde yazmak mümkündür:
(5.17)
Denklem 5.17‟deki ifadelerde ( ˉ ) ortalama değeri ve ( ˜ ) ise ortalama değeri sıfır olan dalgalı bileĢeni ifade etmektedir. Bu güç bileĢenlerini elde etmek için doğrusal
olmayan bir yük olan diyot doğrultuculu bir sistem üzerinde simülasyon yapılmıĢtır. Simülasyon parametreleri Tablo 5.1‟de verilmiĢtir. Sonuçta elde edilen anlık gerçek güç (p) ve anlık sanal güç (q) bileĢenleri ġekil 5.4 ve ġekil 5.6‟da sırasıyla görülmektedir. Ayrıca ġekil 5.5 ve ġekil 5.7‟de bu güç bileĢenlerinin AA ve DA bileĢenleri de ayrı ayrı verilmiĢtir.
Tablo 5.1 Diyot doğrultuculu yük için simülasyon parametreleri.
Vff(rms) f Ls Yük
380V 50Hz 1mH 40ohm, 1mH
ġekil 5.4 Anlık gerçek güç (p).
ġekil 5.6 Anlık sanal güç (q).
ġekil 5.7 Anlık sanal gücün AA ve DA bileĢenleri ( ).
Denklem 5.15 ve 5.16‟dan aĢağıdaki sonuçlar yazılabilir:
Burada ve , dalgalı bileĢenler olan ve „nun rms değerleridir. Yukarıdaki denklemler yeni teori ile geleneksel teori arasındaki bağıntıları açıkça ortaya koymaktadır.
Gerçek gücün (p), ortalama değeri yani , bu örnekte geleneksel ortalama güce karĢılık gelmektedir. Gerçek gücün dalgalı bileĢeni , akım harmoniklerinin sebep olduğu ve kaynaktan yüke ve yükten kaynağa transfer edilen saniyedeki enerji miktarını ifade etmektedir ve ortalaması sıfırdır. Sanal gücün (q) ortalaması, yani , geleneksel reaktif güce karĢılık gelmektedir. q‟nun dalgalı bileĢeni ise, her fazdaki harmonik reaktif güçtür ve anlık olarak toplandıklarında sıfırdır. Sanal güç anlık enerji transferine katkıda bulunmaz, aynı zamanda her fazda reaktif akım olarak oluĢurlar ve iletken kesitinin bir kısmını iĢgal ederler (Watanabe ve ark., 1993).
Denklem 5.18‟den geleneksel harmonik güç H‟nin dalgalı gerçek ve dalgalı sanal güçlerden oluĢtuğunu görmek mümkündür. Ayrıca bu durumda görünür gücü de aĢağıdaki gibi ifade etmek mümkündür:
(5.19)
Dolayısıyla burada elde edilen ifadeler, doğrusal durumlarda güç üçgeni ile gösterilirken doğrusal olmayan durumlarda ġekil 5.8‟de görülen güç dörtyüzlüsü ile gösterilebilir (Watanabe ve ark., 1993).
ġekil 5.8 Güç dörtyüzlüsü.
ġekil 5.8‟den çeĢitli sistemin önemli güç faktörleri çıkartılabilir:
Yer değiĢtirme veya temel güç faktörü: cosϕ1
H Q
P S
φ1 φ
Bozulum faktörü: cosγ
Güç faktörü veya toplam güç faktörü: cosϕ = cosϕ1. cosγ
Simülasyon sonucunda elde edilen güç dörtyüzlüsü bileĢenleri ġekil 5.9‟da görülmektedir.
ġekil 5.9 Güç dörtyüzlüsü değerleri.
Yer değiĢtirme veya temel güç faktörü: cos(9,4)=0,9865
Bozulum faktörü: cos(14)=0,971
Güç faktörü veya toplam güç faktörü: cos(16,85)=0,9571
Denklem 5.6 ve 5.17‟deki ifadeler göz önünde bulundurulursa αβ sistemindeki güç ifadesi sonuç olarak aĢağıdaki gibi yazılabilir:
(5.20)
Yukarıdaki örnekler dengesiz ve 3-fazlı 4-telli sistemler içinde aynı Ģekilde uygulanabilir (Watanabe ve ark., 1993; Huang ve ark., 1999).
Aktif güç filtrelerinin kontrol algoritmasında kullanılacak güç bileĢenlerine göre, yalnızca harmonik kompanzasyonu, yalnızca reaktif güç kompanzasyonu veya aynı anda hem harmonik ve hem de reaktif güç kompanzasyonu yapılabilmektedir. Bu kompanzasyonlardan hangisi aktif güç filtresi ile yapılacaksa ona uygun güç bileĢenleri elde edilmeli ve filtre referans akımları (icα, icβ) hesaplanmalıdır.
Bu hesaplamayı yapmak için Denklem 5.20‟den αβ koordinatlarındaki akımlar için aĢağıdaki eĢitlik yazılabilir:
H=3237 Q=2120 VAR 9,4˚ 14˚ P=12775W S1=12950 VA S=13350 VA 16,85˚
(5.21)
Aktif güç filtresi ile sadece harmonik kompanzasyonu yapılacaksa, gerçek gücün dalgalı bileĢeni ( ) ile sanal gücün dalgalı bileĢeninin ( ) zıt iĢaretlisi kullanılarak referans akımları hesaplanmalıdır. (Denklem 5.22).
(5.22)
Eğer aktif güç filtresi ile sadece reaktif güç kompanzasyonu yapılacaksa, sanal gücün doğru bileĢeninin ( ) zıt iĢaretlisi kullanılarak referans akımları hesaplanmalıdır. (Denklem 5.23).
(5.23)
Son olarak aktif güç filtresi ile hem harmonik hem de reaktif güç kompanzasyonu birlikte kompanze edilecekse, gerçek gücün dalgalı bileĢeni ( ), sanal gücün hem dalgalı ( ) hem de doğru bileĢeni ( ) kullanılarak filtre için gerekli referans akımları hesaplanmalıdır. (Denklem 5.24).
(5.24)
Denklem 5.22, 5.23 veya 5.24‟ten elde edilen αβ koordinatlarındaki referans filtre akımlarının a-b-c koordinatlarındaki değerlerini bulmak için Clarke dönüĢümünün tersi kullanılır ve Denklem 5.25‟teki eĢitlik elde edilmiĢ olur.
(5.25)
Böylece kompanze edilmek istenen güç bileĢenlerini oluĢturan akımların tersi yönünde akımlar üretmesi gereken aktif güç filtresi için, a-b-c koordinatlarında referans akımlar elde edilmiĢ olur.