Vamos considerar um espa¸co-tempo que assintoticamente seja plano no passado e no futuro, e curvo na regi˜ao intermedi´aria. Seja {fj} as solu¸c˜oes com frequˆencias positivas
no passado (regi˜ao-in), e seja {Fj} as solu¸c˜oes com frequˆencias positivas no futuro
(regi˜ao-out). Admitindo que estes conjuntos de solu¸c˜oes s˜ao ortonormais, segundo as equa¸c˜oes (5.3.94) e (5.3.96), temos
(fj, fj′) = (Fj, Fj′) = δjj′
(fj∗, fj∗′) = (Fj∗, Fj∗′) = −δjj′ (5.3.99)
(fj, fj∗′) = (Fj, Fj∗′) = 0 .
Como os conjuntos s˜ao completos, podemos escrever um em termo do outro. Como exemplo, podemos expandir os modos in em termos dos modos out, ou seja,
fj =
X
k
5. Teoria Quˆantica de Campos no espa¸co curvo 60
Utilizando as rela¸c˜oes (5.3.99) na equa¸c˜ao anterior obtemos as seguintes condi¸c˜oes: X k (αjkα∗j′k− βjkβj∗′k) = δjj′ (5.3.101) e X k (αjkαj′k− βjkβj′k) = 0 . (5.3.102)
A expans˜ao inversa ´e
Fk =
X
j
(αjkfj+ βjkfj∗) . (5.3.103)
Assim, o operador de campo ϕ pode ser escrito em termos de ambos os conjuntos, isto ´e, ϕ =X j (bjFj + bjFj∗) = X j (ajfj+ ajfj∗) . (5.3.104)
Os operadores aj e a†j s˜ao, respectivamente, os operadores de cria¸c˜ao e aniquila¸c˜ao
na regi˜ao in, enquanto que bj e b†j s˜ao os operadores correspondentes na regi˜ao out.
O estado de v´acuo ´e definido ent˜ao como aj|0i = 0 ∀ j, e descreve a situa¸c˜ao em
que nenhuma part´ıcula est´a presente inicialmente. O estado de v´acuo na regi˜ao out ´e definido por bj|0i = 0 ∀ j, descrevendo assim a situa¸c˜ao em que nenhuma part´ıcula
est´a presente em um tempo futuro. Tomando em nota que aj = (ϕ, fj) e bj = (ϕ, Fj),
podemos expandir um conjunto de operadores em termos do outro, ou seja,
aj = X k (α∗jkbk− βjk∗ b†j) e bk = X j (α∗jkaj − βjk∗ a†j) . (5.3.105)
Esta transforma¸c˜ao ´e chamada de transforma¸c˜ao de Bogoliubov, e os coeficientes αjk e βjk s˜ao chamados de coeficientes de Bogoliubov [58].
Agora podemos descrever o fenˆomeno f´ısico de cria¸c˜ao de part´ıculas por um campo gravitacional dependente do tempo. Vamos admitir que nenhuma part´ıcula est´a pre- sente antes do campo gravitacional ser “ligado”. Se adotarmos a descri¸c˜ao de Hei- senberg, o estado |0iin ser´a o estado do sistema em qualquer instante de tempo. No
entanto, o operador n´umero, que conta part´ıculas na regi˜ao out ´e Nb
5. Teoria Quˆantica de Campos no espa¸co curvo 61
forma, o n´umero m´edio de part´ıculas criadas no modo k ser´a
Nb k in= h0| b † kbk|0iin = X j |βjk|2 . (5.3.106)
Ent˜ao podemos observar que, se os coeficientes βjk s˜ao diferentes de zero, ocorrer´a
o fenˆomeno de cria¸c˜ao de part´ıculas. Uma aplica¸c˜ao direta dos conceitos discutidos acima ´e a cria¸c˜ao de part´ıculas por um universo em expans˜ao [59].
Polariza¸c˜ao do v´acuo
A ideia de v´acuo em uma teoria quˆantica de campos, difere essencialmente da no¸c˜ao de vazio da f´ısica cl´assica. O estado de v´acuo, como vimos, corresponde ao estado do operador n´umero de part´ıculas cujo autovalor do mesmo ´e nulo. De acordo com a ideia de Dirac para f´ermios, o estado de v´acuo quˆantico ´e um estado cujos n´ıveis de energia negativa est˜ao ocupados, de acordo com o princ´ıpio de exclus˜ao de Pauli, e todos os n´ıveis de energia positiva est˜ao vazios [52][51]. Todavia, o estado de v´acuo depende de campos externos, e este fenˆomeno se manifesta no c´alculo dos VEVs de operadores bilineares nos campos:
hA(x)i = X
k
Anϕ(−)k (x), ϕ(+)k (x)o , (5.3.107)
onde A(f, g) pode ser um operador diferencial bilinear.
O efeito da polariza¸c˜ao do v´acuo ´e mais comumente associado `as flutua¸c˜oes do v´acuo de campos de mat´eria na presen¸ca de intera¸c˜oes eletromagn´eticas externas, como vemos na QED [50]. Estas flutua¸c˜oes surgem da intera¸c˜ao do campo eletromagn´etico com as part´ıculas que constituem o “mar de Dirac”. Em particular, o c´alculo da fun¸c˜ao de Green associada ao campo eletromagn´etico,
h0| Aµ(x)Aν(x′) |0i = Gµν(x, x′) , (5.3.108)
apresenta um resultado formalmente divergente em teoria de perturba¸c˜ao. Para ob- termos assim, um resultado finito para esta fun¸c˜ao, devemos renormaliz´a-la, que neste
5. Teoria Quˆantica de Campos no espa¸co curvo 62
caso tal processo de renormaliza¸c˜ao consiste numa redefini¸c˜ao da carga el´etrica do el´etron [52].
As flutua¸c˜oes quˆanticas de campos de mat´eria na presen¸ca de campos de fundo gra- vitacionais (cl´assicos), s˜ao tamb´em denominadas de polariza¸c˜ao do v´acuo. Neste caso, o c´alculo do VEV do operador energia-momento hTνµi tamb´em ´e formalmente diver-
gente. Mais uma vez, de modo a obtermos um resultado finito bem definido, devemos realizar um processo de renormaliza¸c˜ao. Fazendo isto, as contribui¸c˜oes esp´urias s˜ao absorvidas nas redefini¸c˜oes da constante gravitacional e cosmol´ogica. Al´em do mais, surgem termo quadr´aticos nos tensores de Riemann, Ricci e no escalar de curvatura, dos quais est˜ao ausentes na teoria cl´assica de Einstein [58]. Este formalismo torna-se evidente quando consideramos o VEV do tensor energia-momento como fonte no lado direito da equa¸c˜ao semicl´assica de Einstein, ou seja,
Gµν + Λgµν = 8πGhTµνi . (5.3.109)
Contudo, o VEV do tensor energia-momento renormalizado, deve satisfazer ainda restri¸c˜oes de modo a manter o princ´ıpio de covariˆancia geral e ser conservado.
6. A CORRENTE FERMI ˆONICA INDUZIDA POR UM TUBO DE
CAMPO MAGN´ETICO NO ESPAC¸ O-TEMPO DA CORDA
C ´OSMICA
Neste cap´ıtulo temos como objetivo estudar a corrente fermiˆonica induzida, hjµi, de-
vido `a um tubo de fluxo magn´etico de extens˜ao finita a no espa¸co-tempo gerado por uma corda c´osmica ideal. Para esse fim consideramos trˆes configura¸c˜oes distintas de campo magn´etico: (i) Na forma de uma casca cil´ındrica de raio a, (ii) um campo magn´etico que decai com 1/r e (iii) um campo magn´etico homogˆeneo constante [35]. Nielsen e Olesen [29] mostraram, partindo do modelo abeliano com quebra es- pontˆanea de simetria, que este sistema apresenta solu¸c˜oes com simetria cil´ındrica car- regando um fluxo magn´etico ao longo do eixo de simetria. Estas configura¸c˜oes corres- pondem as solu¸c˜oes de v´ortices encontradas por Abrikosov [28]. A an´alise da influˆencia deste sistema na geometria do espa¸co tempo foi analisada por Garfinkle [30] e Laguna [31]. E, em seus trabalhos, os autores acoplaram o tensor energia-momento, associado ao modelo de Nielsen-Olesen, `as equa¸c˜oes de campo de Einstein. Assim, mostraram que o v´ortice possui um estrutura interna caracterizada pelo fluxo magn´etico n˜ao-nulo que corre ao longo da mesma, cuja extens˜ao ´e determinada pela escala de energia na qual a simetria ´e quebrada.
Dois comprimentos de escala aparecem naturalmente, um relacionado com a ex- tens˜ao do fluxo magn´etico que, por sua vez, ´e proporcional ao inverso da massa do campo vetorial, mv, que adquire massa devido ao mecanismo de Higgs. E o outro
associado com o inverso da massa do campo escalar, ms, este ´ultimo, como sendo uma
medida do ponto onde o campo escalar decai para o seu valor de v´acuo. Al´em do mais, os autores tamb´em analisaram a geometria do espa¸co-tempo e verificaram que