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Nos procedimentos de calibração de câmeras é possível identificar quatro sistemas de coordenadas. Este tópico do processamento digital de imagens consiste em estabelecer as correspondências entre pontos de cada um desses sistemas a partir de transformações matemáticas entre eles. A Figura 2.14 ilustra os conjuntos de eixos coordenados de cada um desses sistemas de referência, os quais são descritos a seguir.

Sistema de coordenadas do objeto (SCO): sistema tridimensional de coordenadas (x, y, z), utilizado para descrever o posicionamento de um objeto ou ponto de interesse da cena.

Sistema de coordenadas da câmera (SCC): sistema tridimensional cuja origem se encontra no centro óptico da câmera, também chamado ponto principal. Os eixos desse sistema de referência são tais que o eixo zc

Figura 2.14

coincide com o eixo óptico (linha tracejada na ) e os eixos xc e yc

8 _{Um par de imagens estéreo consiste em duas imagens de uma mesma cena, vista sob pontos de}

visão diferentes. A reconstrução 3D de uma cena é feita através da associação de pontos dessas duas imagens, de modo similar ao que faz o cérebro humano a partir do que é capturado pelos olhos.

distância entre a origem desse sistema e o plano de projeção da imagem é denominada distância focal (f).

Figura 2.14: Representação dos quatro sistemas de coordenadas envolvidos na calibração de câmeras.

Elaboração própria., adaptado de Marques (2007).

Sistema de coordenadas da imagem (SCI): sistema de coordenadas bidimensional situado no plano da imagem. Assim, o centro desse sistema é a projeção ortogonal do centro óptico da câmera sobre o plano da imagem. Um ponto desse sistema é descrito pelas coordenadas (X, Y). É nesse sistema em que a descrição das coordenadas pode apresentar distorções causadas pela lente.

Sistema de coordenadas em pixels (SCP): conforme descrito anteriormente na seção 2.1, é o sistema de referência da imagem com coordenadas (u, v) descritas na unidade usual de medida (pixel). Em geral, e como utilizado no presente trabalho, o centro desse sistema bidimensional é o canto superior esquerdo da imagem.

O objetivo da calibração é obter a transformada entre as coordenadas do SCO e do SCP. Os procedimentos descritos nas próximas seções mostram, na ordem, as mudanças de coordenadas do SCO para o SCC, deste para o SCI e deste último

SCO x y z c v c v SCI X Y SCC f xc zc _y c u v c v SCP c v N

para o SCP. O último e mais importante dos procedimentos é a composição dessas transformações a fim de atingir a finalidade proposta.

Os parâmetros obtidos com a calibração de câmeras podem ser classificados em extrínsecos e intrínsecos. Os primeiros fornecem informações sobre a posição e orientação das câmeras utilizadas com relação ao sistema de coordenadas do objeto (SCO). Os demais encerram as características ópticas e geométricas internas das câmeras utilizadas, como os fatores de escala, os centros ópticos, as distorções e as distâncias focais.

2.3.1.1 A relação entre o SCO e o SCC

A transformação entre coordenadas do SCO e do SCC corresponde a uma mudança usual de coordenadas como as que são utilizadas na Mecânica dos Corpos Rígidos, ou seja, equivale a uma translação e uma rotação, tridimensionais com respeito à origem de um dos sistemas envolvidos.

Sejam [T] o vetor com as coordenadas da origem do SCM e [R] a matriz cujas colunas representam versores paralelos aos eixos xc, yc e zc, concorrentes no

centro óptico da câmera, dados por:

(2.8)

Então:

(2.9)

Neste caso, os parâmetros a serem calibrados são [R] e [T] que correspondem aos parâmetros extrínsecos da câmera, relativos à sua posição e orientação com relação ao sistema de coordenadas do objeto.

2.3.1.2 A relação entre o SCC e o SCI

O passo seguinte consiste em descrever a mudança de coordenadas do SCC para o SCI, considerando que f é a distância focal da câmera. Assim:

(2.10)

É importante notar que a transformação assim definida não é inversível, dado que a um ponto do objeto corresponde um único ponto na imagem, mas um ponto na imagem possui infinitos correspondentes no espaço do objeto. O parâmetro a ser calibrado nesta etapa é a distância focal, considerada um dos parâmetros internos da câmera.

É também nesta etapa da calibração que eventuais distorções causadas pelas lentes das câmeras precisam ser corrigidas. Essas distorções são provenientes de características intrínsecas à construção das lentes (distorção radial) ou de imperfeições existentes no alinhamento dos eixos ópticos daquelas (distorção descentrada), ilustradas na Figura 2.15.

Figura 2.15: Distorções radial (dr) e tangencial (dt), causada pelas imperfeições das lentes.

u

v

As transformações apresentadas até aqui consideram o modelo de câmera conhecido como pinhole, que é uma idealização baseada na propagação retilínea da luz e, portanto, linear. O procedimento usual para se considerarem os efeitos devidos às distorções consiste em acrescentar em (2.10) termos relacionados a esses defeitos de maneira que:

(2.11)

Xund e Yund correspondem, respectivamente, aos valores de X e Y livres de efeitos

de distorção. Heikkilä; Silvén (1997) apud Brown (1966) e Brown (1971) consideram um modelo completo de distorção em que se define:

(2.12)

onde é a distância entre um ponto (X, Y) da imagem e o centro óptico (X0, Y0) da câmera, k1, k2, ... são os coeficientes de distorção radial e

p1 e p2

Com relação à distorção radial, cujos efeitos sobre uma imagem podem ser visualizados na

são os coeficientes de distorção tangencial.

Figura 2.16, Heikkilä; Silvén (1997) citam que “tipicamente, um ou dois coeficientes são suficientes para compensar essa distorção”. Quanto à desconsideração da distorção tangencial, afirmam que “na maioria dos casos, o erro é pequeno e os componentes de distorção insignificantes”. Levando em conta estas asserções, a expressão (2.12) se reduz a:

O modelo de distorção apresentado em (2.13) será o utilizado para correção das distorções em imagens no escopo do presente trabalho. Essa simplificação equivale à consideração de p1 = p2 = k2 = 0 em (2.12), de modo a considerar apenas o

primeiro termo da distorção radial, cujos efeitos sobre uma imagem estão ilustrados na Figura 2.16.

Figura 2.16: Efeitos da distorção radial sobre uma imagem. A imagem original corresponde à linha tracejada.

Fonte: Ojanen (1999).

Por concisão, no que se refere às transformações entre os sistemas de referência identificados na calibração de câmeras, a continuidade desse texto não levará em conta, explicitamente, os efeitos relacionados às distorções. Entretanto, a formulação apresentada na Equação (2.13) foi implementada na rotina numérica de processamento de imagens desenvolvida para aplicação aos ensaios desta dissertação. Assim, é feito um pré-tratamento das imagens obtidas, anteriormente à aplicação das transformações de coordenadas necessárias.

2.3.1.3 A relação entre o SCI e o SCP

Conforme descrito na seção 2.2.1, a luz refletida por um objeto durante a captura de sua imagem é registrada por sensores dentro da câmera digital. Esses sensores, distribuídos em um arranjo retangular, não estão perfeitamente alinhados, devido a

imperfeições durante sua construção. Assim, as linhas e colunas de sensores não guardam paralelismo e perpendicularismo estritos entre si. Levando-se em considerações essas distorções geométricas devidas à construção da câmera, é possível descrever a transformada de coordenadas do SCI para o SCP da seguinte maneira:

(2.14)

onde: sx e sy

é a tangente do ângulo que as colunas de pixels forma com a direção perpendicular às linhas;

correspondem à densidade linear de pixels nas direções horizontal e vertical, respectivamente;

X0 e Y0 são as coordenadas do centro óptico no plano de projeção da imagem.

2.3.1.4 A composição das transformações: relação entre SCO e SCP

Para o objetivo que a calibração de câmeras se propõe, que se resume na obtenção da transformação entre as coordenadas do SCO e do SCP, é necessária a composição das transformadas descritas nas seções de 2.3.1.1 a 2.3.1.3, cujo resultado é mostrado a seguir:

(2.15)

Com relação à Equação (2.15), cabe salientar que as matrizes [R] e [T] foram descritas anteriormente na seção 2.3.1.1 e contêm as informações referentes aos parâmetros intrínsecos das câmeras. Os vetores-coluna representam as coordenadas de um ponto (x, y, z) do objeto e seu correspondente (u, v) da imagem. A composição das matrizes quadradas determina uma matriz [I]3x3 denominada

matriz intrínseca de calibração que contém todos os parâmetros intrínsecos da câmera. Assim:

(2.16)