Ao discorrer sobre a consubstanciação do paradigma moderno, Santos (2006, p. 27) afirma que:
As idéias que presidem à observação e à experimentação são as idéias claras e simples a partir das quais se pode ascender a um conhecimento mais profundo e rigoroso da natureza. Essas idéias são as idéias matemáticas. [...] Para Galileu, o livro da natureza está
escrito em caracteres geométricos e Einstein não pensa de modo
diferente. [grifos meus].
Sabe-se que a partir dos pressupostos filosóficos de Francis Bacon e René Descartes, bem como da sistematização matemática da ciência por Newton – mecanicismo – a matemática tomou lugar de destaque no paradigma moderno passando a ser instrumento de validação do que pode ser considerado conhecimento válido socialmente.
Por outro lado, “quando pensamos no papel que a Matemática desempenha no conjunto das Ciências, é inevitável que se tenha que enfrentar o questionamento de uma bem arraigada distinção dicotômica entre a realidade empírica e sua apreensão teórica” (MACHADO, 2001, p.72). Daí, passaremos a pensar nos motivos pelos quais atualmente esse status da matemática tem sido questionado e o seu poder de aferição tem sido relativizado pelo fato de os próprios métodos de medição interferir no fenômeno, alterando-o e o descarte de algumas variáveis, julgadas irrelevantes, culminar em um distanciamento entre a realidade e sua representação matemática. (SANTOS, 2006; MORIN, 2003; CAPRA, 1982).
Não obstante, mesmo em tempos atuais há quem defenda uma matemática desvinculada de fenômenos empíricos que se desenvolve somente no campo das estruturas abstratas, como sugerido pelo Formalismo.
Nesse sentido, Machado (2001) citando Carnap - que propõe uma distinção entre a Ciência Formal e as Ciências Empíricas - conceitua modelo como um conjunto de fórmulas F, de uma linguagem formal L, “uma particular determinação de um conjunto de objetos e a atribuição de significados, neste conjunto, às variáveis e às relações que comparecem nas fórmulas de F de modo que todas elas se tornem proposições verdadeiras a respeito dos objetos considerados” (p.73).
Neste sentido, o trabalho do matemático seria a determinação de contextos empíricos que exemplifiquem/justifiquem uma teoria formal. Essa é a interpretação da Teoria dos Modelos pertencente à corrente neo-positivista encarnada por Carnap.
A segunda vertente descrita por Machado (2001, p.74) é a que está em conformidade com Lévi-Strauss que “pensa a Ciência como em face a face entre um objeto real, que deve ser investigado, e um objeto artificial, construído para reproduzir o primeiro, para ser o seu modelo”. Nesse sentido, o modelo representa uma construção formal, de natureza teórica, que visa investigar e interpretar coerentemente a realidade em função de sua capacidade dedutivo-explicatica, “o modelo é um corpo de enunciados que visa unificar, ordenar e controlar a produção do saber”. (ibidem).
De acordo com o constatado por Araújo (2007), ao considerar pesquisadores da Educação Matemática, o Platonismo e o Formalismo são as filosofias da Matemática que mais influenciam os contextos de sala de aula.
Conforme a literatura, voltada para a matemática aplicada, a matemática constitui-se basicamente de instrumentos de interpretação da realidade por meio de modelos matemáticos que se tornam uma representação de parte dessa realidade.
Segundo Bassanezi (2006, p.18)
O objetivo fundamental do ‘uso’ de matemática é de fato extrair a parte essencial da situação-problema e formalizá-la em um contexto abstrato onde o pensamento possa ser absorvido com uma extraordinária economia de linguagem. Desta forma, a matemática pode ser vista como um instrumento intelectual capaz de sintetizar idéias concebidas em situações empíricas que estão quase sempre camuflados num emaranhado de variáveis de menor importância.
Afirma ainda que
Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo.
Em conformidade, Skovsmose (2007), argumenta que de acordo com a teoria da representação, a modelagem matemática pode ser representada como uma
função : , que relaciona um conjunto de objetos empíricos, R, e um conjunto de objetos matemáticos, M, ou seja, relaciona matemática e realidade.
Vale ressaltar que a modelagem como representação da realidade se relaciona a um dualismo: podendo operar com conceitos matemáticos como sendo parte do mundo das estruturas ou operar com a realidade do mundo empírico. “Um modelo matemático se torna uma representação de parte dessa realidade. Decerto, tal representação não pode ser completa. [...] Mas a linguagem da matemática pode representar diferentes aspectos da realidade”. (SKOVSMOSE, 2007, p.107). Ressalta que essa interpretação, atrelada à filosofia formalista, é problemática para uma discussão de possíveis papéis sociais da matemática.
Vejamos agora algumas definições de modelo matemático corrente na literatura que estão em conformidade com a segunda vertente descrita por Machado (2001).
Bassanezi (2006, p.20) chama de modelo matemático “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”. Para McLone (apud Bassanezi, 2006, p.20) ‘um modelo matemático é um constructo matemático abstrato simplificado, que representa uma parte da realidade com algum objetivo particular’. A representação da realidade se torna parte da realidade.
Para Biembengut e Hein (2007, p. 12) “Um modelo pode ser formulado em termos familiares, utilizando-se expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais etc.” acrescentam ainda que
Os modelos matemáticos são representações da realidade e que podemos, em geral, construir modelos que são muito mais simples que a realidade e ainda assim, conseguimos empregá-los para prever e explicar fenômenos com alto grau de precisão (Hein e Biembengut, 2007, p.36).
Nos conceitos de modelo matemático descritos acima, fica evidente que as estruturas matemáticas não são capazes de representar a realidade em sua totalidade, mas somente aspectos considerados essenciais. Tanto para a primeira vertente (como a defendida por Carnap), quanto para a segunda (Lévi-Strauss) essa limitação dos modelos na tarefa de representar a realidade é visível.
Na primeira vertente, “o calcanhar de Aquiles” está na abstração de variáveis consideradas “irrelevantes”, que acabam por comprometer a apreensão da complexidade do mundo real. Na segunda vertente, a dificuldade reside na tarefa de se encontrar um universo empírico que possa ser representado pela estrutura matemática criada supostamente fora das experiências, pelo mesmo motivo: a complexidade da realidade.
Essa constatação nos remete ao conceito de resíduo de Granger (1974, p. 135) que afirma: “Toda prática poderia ser descrita como uma tentativa de transformar a unidade da experiência em unidade de uma estrutura, mas esta iniciativa comporta sempre um resíduo”. Os resíduos provenientes dessas práticas seriam os aspectos da experiência que escaparam das malhas da rede linguística. Para o autor, a significação nasceria das alusões que são feitas a esses resíduos.
Essas alusões poderiam ser expressões da língua natural que para o autor é utilizada em simbiose com a linguagem matemática, na tentativa de dotar os símbolos de significações. Em consonância com esse pensamento Machado (1993) fala de uma impregnação mútua entre a matemática e a língua materna que nos dão indícios que a linguagem sintética da matemática – por comportar resíduo – necessite do suporte da linguagem natural (polissêmica) como forma de reduzir ao mínimo esse resíduo.
No ambiente da sala de aula, a representação visual da matemática acarreta sérias dificuldades à aprendizagem do aluno, que criam aversão à disciplina devido a sua simbologia e ao universo subjacente a ela, como o rigor, a abstração, a logicidade e o formalismo. Daí a necessidade de compreensão do fenômeno de comunicação nesse ambiente.
Para Wittgenstein, a realidade e a matemática não se dissociam, uma vez que ele rejeita a idéia de linguagem referencial. Nas palavras do filósofo, a linguagem, que prefere chamar de jogos de linguagem, é o conjunto da linguagem e das atividades com as quais está interligada. O termo “jogo de linguagem” deve salientar que o falar da linguagem é uma parte de uma atividade ou de uma forma de vida.