Üniform Çekme Gerilmesi Altında Bulunan Levhada Eğik Yüzey Çatlağı Analizleri

Şekil 3.2.2. Üniform çekme gerilmesi altındaki levhada eğik yüzey çatlağı (Ayhan,2004)

Analiz edilen problem Şekil 3.2.2’de verilmektedir. Çatlak ucunda oluşan gerilme şiddet faktörüne etki eden parametreler sırasıyla çatlak derinliği/et kalınlığı oranı (a/t), çatlak derinliği/çatlak uzunluğu oranı (a/c), çatlağın yatayla yaptığı açıdır (β), (Ayhan, 2004).

Çatlağın yatay eksenle yaptığı açının 0 derece olması durumunda gerilme şiddet faktörünün kayma ve yırtılma bileşenleri sıfır olup, sadece açılma modu olan mod-I gerilme şiddet faktörü oluşmaktadır. Yüzey çatlakları için mod-I çözümleri literatürde yaygın olarak bulunmaktadır. Ancak çatlak açısının sıfırdan farklı olduğu durumlarda ilgili düzlemlerde ve yönlerde farklı kayma gerilme bileşenleri de aktif olduğundan dolayı gerilme şiddet faktörünün kayma modu (mod-II) ve yırtılma modu (mod-III) da oluşmaktadır. Bu amaçla, çatlağın yatay eksenle yaptığı açı olan β = 0, 15, 30, 45, 60, 75 derece olarak ele alınmıştır. θ açısı ise çatlak önü (crack front) konumsal açısıdır. Şekilden de görüleceği üzere, konumsal açı da 0’dan 180 dereceye kadar değişmektedir. Burada çatlak derinliği/çatlak uzunluğu oranı (a/c) sırasıyla 0.25, 0.5, 1, 2, 4; çatlak derinliği/et kalınlığı (a/t) oranları sırasıyla 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 seçilmiştir.

Analizi yapılacak olan eliptik çatlak, çatlak uzunluk veya derinliğinden hangisi daha büyük ise bu boyutun on katı yükseklik ve genişliğe sahip levhanın merkezine yerleştirilmektedir.

59

Levhanın merkezine yerleştirilen eliptik yüzey çatlağına eğik ve dönmüş çatlak olmak üzere toplam 480 adet analiz çözülmesi planlanmıştır. İlk olarak eksenel düzgün gerilmeye maruz bir levhaya eğik konumunda eliptik yüzey çatlağı için analizler (120 adet) yapılmıştır.

Gerilme şiddet faktörü sonuçları, normalize edilerek boyutsuz olarak verilmektedir. Yapılan analizlerde çatlak derinliği olan a, 1 birim alınmıştır. Bu sınırlama yapıldıktan sonra analizi yapılacak durum için istenen oranlara göre çatlak yüzey uzunluğu ve diğer boyutlar belirlenmiştir. Yukarıda da belirtildiği gibi, levhanın yükseklik ve genişliği çatlak derinliği ya da çatlak uzunluğundan büyük olan ölçünün on katı olarak alınmaktadır. Hesaplanan ölçüler ile ilgili sonlu eleman modelleri oluşturulmuştur. Tablo 3.2.2 de levha ve çatlağın boyutlandırması ile ilgili parametre değerleri verilmektedir.

Tablo 3.2.2. Analizlerde kullanılan yüzey çatlağı ve levha boyutları

a/c a/t a c t b h 0.25 0.2 1 4 5 20 20 0.4 4 2.5 20 20 0.6 4 1.666667 20 20 0.8 4 1.25 20 20 0.5 0.2 2 5 10 10 0.4 2 2.5 10 10 0.6 2 1.666667 10 10 0.8 2 1.25 10 10 1 0.2 1 5 5 5 0.4 1 2.5 5 5 0.6 1 1.666667 5 5 0.8 1 1.25 5 5 2 0.2 0.5 5 5 5 0.4 0.5 2.5 5 5 0.6 0.5 1.666667 5 5 0.8 0.5 1.25 5 5 4 0.2 0.25 5 5 5 0.4 0.25 2.5 5 5 0.6 0.25 1.666667 5 5 0.8 0.25 1.25 5 5

Tablo 3.2.2’deki veriler kullanılarak ve eğik eliptik yüzey çatlağının eğiklik açısı da dâhil edilerek, ANSYS programında ilgili sonlu elemanlar modelleri oluşturulmuştur. Bu modeller

60

içerisinden, örnek olarak a/c=1, a/t=0.6, β=45° durumunu temsil eden sonlu elemanlar modeli

bölüntüleme görüntüsü Şekil 3.2.3’te gösterilmektedir.

Şekil 3.2.3. Eğik yüzey çatlağı içeren levha sonlu elemanlar modeli genel görüntüsü (solda), çatlak bölgesi yakın görüntüsü (sağda)

Levhanın üst ve alt kısımlarından düzgün yayılı eksenel gerilme uygulanmış olup, alt taban köşelerinden bir noktadan üç eksende, diğer bir noktadan iki eksende ve başka bir noktadan tek eksende sabitlenmiştir. Böylece levha parçasının rijit cisim hareketi kısıtlanmıştır.

İlk olarak, dairesel yüzey çatlağı için elde edilen veriler Ayhan’ın (2004) makalesi ile karşılaştırılmıştır. Şekil 3.2.4’te levhaya yerleştirilen dairesel eğik yüzey çatlağı için normalize edilmiş K1 değerlerinin karşılaştırılması verilmiştir (a/c =1, a/t= 0.2 ve =75 derece). Çatlak ucu boyunca sıralanan elemanların sayısı 90 olacak şekilde ağ yapıları örülmüştür. Grafikte sürekli çizgi ile gösterilen sonuçlar proje kapsamında gerçekleştirilen analizlerin çözümü olup, kesikli çizgi ile verilen sonuçlar ise Ayhan (2004) çalışmasından alınan verilerdir. FRAC3D sonuçları ile makaleden okunan verilerin grafiklerinin çizdirilmesi sonucu, grafiklerin birbirine yakın çıktığı görülmektedir.

Şekil 3.2.4’ten görüleceği üzere, karşılaştırma işleminde çatlak ucundaki elemanların çatlak ucuna dik yöndeki düzlemlerdeki kenar uzunluğu boyut değerleri için farklı değerler kullanılarak bölüntülenme hassasiyet çalışması da yapılmıştır. Bu bölüntüleme hassasiyet çalışmasına göre, çatlak derinliğine (a) bağlı olarak belirli oranlarda çatlak ucu elemanlarının boyutlarının çözüme etkisi araştırılmış olup, eleman boyutu açısından a/400’ün en yakın sonucu verdiği görülmüştür. Daha küçük eleman boyutlarının da yakın sonuçlar verdiği gözlemlendiğinden dolayı, yapılan analizlerde çatlak ucundaki eleman boyut değeri a/400 olarak alınmıştır. Ayrıca, bölüntüleme çalışmasında çatlağın bulunduğu çatlak ucu çizgisi boyunca farklı sayılarda

61

eleman kullanılarak (baz analizde 90 eleman kullanılmıştır) analizler de yapılmış olup, sonucun çok değişmediği gözlemlenmiştir.

FRAC3D kullanılarak karışık mod gerilme şiddet faktörleri hesaplandıktan sonra uygulanan gerilme yükü ve çatlak uzunluğu/derinliğine bağlı olan bir referans Kr değeri ile normalize edilmiştir. Q eliptik çatlak için şekil faktörüdür. Kr ve Q formülasyonları denklem 3.2.1-3.2.3‘te verilmiştir (Newman ve Raju,1981).

(3.2.1)

(3.2.2)

(3.2.3)

Şekil 3.2.4: Eğik eliptik yüzey çatlağı için çatlak ucundaki eleman boyutunun farklı değerlerinde normalize edilmiş mod-I gerilme şiddet faktörünün çatlak önü boyunca dağılımı (a/c=1, a/t=0.2, β=75°)

Eleman boyut duyarlılık analizinden sonra, ilgili parametrelerin tüm kombinasyonlarına göre yapılan analiz sonuçları, farklı a/c grupları halinde farklı a/t oranlarına göre aşağıda verilmektedir. Önce, çatlak derinliği/çatlak uzunluğu oranı a/c=0.25 çatlak derinliği/et kalınlığı oranı a/t sırasıyla 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 durumları için karışık mod gerilme şiddet faktörlerinin dağılımları Şekil 3.2.5-3.2.7’de verilmektedir.

62

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.5. Normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, a/c=0.25, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

Şekil 3.2.5’te normalize edilmiş mod-I gerilme şiddet faktörleri gösterilmiştir. Grafiklerden anlaşılacağı üzere,a/c =0.25 için, çatlak derinliği sabit kaldığında levhanın et kalınlığı azaldıkça normalize edilmiş K1 değerleri artmaktadır. Bir başka deyişle, eğik eliptik yüzey çatlak sabit a/c değerinde a/t değerinin artması ile gerilme şiddet faktörlerinin arttığı gözlemlenmektedir. Ayrıca, eğiklik açısı arttıkça, mod-I gerilme şiddet faktörleri de azalmaktadır.

63

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.6. Normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, a/c=0.25, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

Şekil 3.2.6’da normalize edilmiş mod-II gerilme şiddet faktörü dağılımları gösterilmektedir. Mod-II için en yüksek değerlerin çatlağın yatayla yaptığı açı olan 45 derecede (maksimum kayma gerilmesinin olduğu düzlem) elde edildiği görülmektedir. Sıfır derecede normalize edilmiş K2 değeri ise 0 dır. Eksenel gerilmeye maruz bir levhada, aynı kayma gerilmesi değerlerine sahip olduklarından dolayı, birbirlerini 90 dereceye tamamlayan 15 ve 75 ile 30 ve 60 derece eğik açılı düzlemlerdeki yüzey çatlakları, beklendiği üzere aynı mod-II gerilme şiddet faktörlerini oluşturmaktadır. Normalize edilmiş K2 değerlerinde, aynı a/t değerleri için θ=0°-90° ile 90°-180° bölgeleri arasında anti-simetrik bir dağılım olduğu görülmektedir.

64

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.7. Normalize edilen KIII GŞF dağılımı, a/c=0.25, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

Şekil 3.2.7’de normalize edilmiş mod-III gerilme şiddet faktörü dağılımları gösterilmektedir. Mod-II’de olduğu gibi, en yüksek değerlerin çatlağın yatayla yaptığı açı olan 45 derecede elde edildiği, birbirlerini 90 dereceye tamamlayan 15 ve 75 ile 30 ve 60 derece eğik açılı düzlemlerdeki yüzey çatlakları için aynı mod-III gerilme şiddet faktörlerinin oluştuğu görülmektedir. Normalize edilmiş K3 değerleri ise, simetrik bir dağılım göstermektedir. Ayrıca, mod-I’den farklı olarak, mod-II ve mod-III gerilme şiddet faktörü değerlerinin normalize edilmiş çatlak derinliği (a/t) ile kayda değer şekilde değişmediği gözlemlenmektedir.

Yukarıda Şekil 3.2.5-3.2.7’de a/c=0.25 ve a/t'nin farklı değerleri için verilen normalize edilmiş mod-I, mod-II ve mod-III gerilme şiddet faktörü dağılımları, aynı format ve sıra ile a/c=0.5, 1.0, 2.0 ve 4.0 için Şekil 3.2.8-3.2.19’da verilmiş olup, benzer sonuçlar bu grafiklerden çıkarılabilmektedir.

65

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.8. Normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, a/c=0.5, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

66

c) d)

Şekil 3.2.9. Normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, a/c=0.5, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.10. Normalize edilen KIII GŞF dağılımı, a/c=0.5, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

67

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.11. Normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, a/c=1, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

68

c) d)

Şekil 3.2.12. Normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, a/c=1, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.13. Normalize edilmiş KIII GŞF dağılımı, a/c=1, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

69

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.14: Normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, a/c=2, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8.

70

c) d)

Şekil 3.2.15. Normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, a/c=2, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.16. Normalize edilmiş KIII GŞF dağılımı, a/c=2, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

71

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.17. Normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, a/c=4, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

72

a) b)

c) d)

Şekil 3.2.18. Normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, a/c=4, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

73

c) d)

Şekil 3.2.19. Normalize edilmiş KIII GŞF dağılımı, a/c=4, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c) a/t=0.6, d)

a/t=0.8

Şekil 3.2.5-3.2.19’da verilen grafiklerin her birinde, karışık mod gerilme şiddet faktörleri farklı eğiklik açıları için verilmiştir. Diğer parametreler olan normalize edilmiş çatlak derinliği (a/t) ve çatlak şekil oranının (a/c) etkileri, grafikler arasında görsel olarak karşılaştırılarak anlaşılabilmekle beraber, bu parametrelerin etkilerinin de müstakil grafikler ile gösterilmesi istenen bir durumdur. Bu amaçla, çatlak bölgesinde orta seviye karışık mod gerilme/yükleme oluşturan 45° eğim açılı eliptik yüzey çatlakları için hesaplanan gerilme şiddet faktörü dağılımları, her bir grafikte ayrı bir a/t oranı temsil edilerek farklı a/c oranlarında karşılaştırılmıştır (Şekil 3.2.20-3.2.22).

Şekil 3.2.20’den, a/c oranı arttıkça, derinlik noktası ile mukayese edildiğinde mod-I gerilme şiddet faktörünün serbest yüzeylerde daha fazla olduğu, a/c oranı azaldıkça ise çatlak derinlik noktasında arttığı ve a/c=0.25 için maksimum değerini aldığı görülmektedir.

74

c) d)

Şekil 3.2.20. Sabit a/t için normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, β=45°, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c)

a/t=0.6, d) a/t=0.8

Şekil 3.2.21’den, a/c oranı 0.25’ten 1.0 değerine arttıkça, çatlak önü boyunca mod-II gerilme şiddet faktörünün arttığı, a/c oranının 2.0 ve 4.0 değerleri için ise azaldığı görülmektedir.

75

c) d)

Şekil 3.2.21. Sabit a/t için normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, β=45°, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c)

a/t=0.6, d) a/t=0.8

Şekil 3.2.22’den, a/c oranı azaldıkça, çatlak önü boyunca mod-III gerilme şiddet faktörü şiddetinin arttığı görülmektedir.

76

c) d)

Şekil 3.2.22. Sabit a/t için normalize edilmiş KIII GŞF dağılımı, β=45°, a) a/t=0.2, b) a/t=0.4, c)

a/t=0.6, d) a/t=0.8

Benzer şekilde, çatlak bölgesinde orta seviye karışık mod gerilme/yükleme oluşturan 45° eğim açılı eliptik yüzey çatlakları için hesaplanan gerilme şiddet faktörü dağılımları, her bir grafikte ayrı bir a/c oranı temsil edilerek farklı a/t oranlarında karşılaştırılmıştır (Şekil 3.2.23-3.2.25). Şekil 3.2.23, a/c oranının 1.0 veya daha küçük olması durumlarında, normalize edilmiş çatlak derinliği arttıkça, bir başka deyişle çatlak derinliği sabit kalıp levha kalınlığı azaldıkça, çatlak önü boyunca mod-I gerilme şiddet faktörünün arttığı, a/c=2 ve 4 için kayda değer bir değişim olmadığını göstermektedir.

77

c) d)

e)

Şekil 3.2.23. Sabit a/c için normalize edilmiş KI GŞF dağılımı, β=45°, a) a/c=0.25, b) a/c=0.5, c) a/c=1, d) a/c=2, e) a/c=4

Şekil 3.2.24’ten, a/t oranı arttıkça, düşük a/c değerleri için mod-II gerilme şiddet faktörünün az miktarda arttığı, yüksek a/c değerleri için ise yaklaşık aynı kaldığı görülmektedir.

78

a) b)

c) d)

e)

Şekil 3.2.24. Sabit a/c için normalize edilmiş KII GŞF dağılımı, β=45°, a) a/c=0.25, b) a/c=0.5, c) a/c=1, d) a/c=2, e) a/c=4

79

Benzer şekilde, Şekil 3.2.25’te de, a/t oranı arttıkça, düşük a/c değerleri için mod-III gerilme şiddet faktörü şiddetinin çatlak önü boyunca az miktarda arttığı, yüksek a/c değerleri için ise yaklaşık aynı kaldığı görülmektedir.

a) b)

80 e)

Şekil 3.2.25. Sabit a/c için normalize edilmiş KIII GŞF dağılımı, β=45°, a) a/c=0.25, b) a/c=0.5, c) a/c=1, d) a/c=2, e) a/c=4

3.2.2 Üniform Çekme Gerilmesi Altında Bulunan Levhada Dönmüş Yüzey Çatlağı