T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BELİRLİ DİZİ UZAYLARININ HER YÖNDE DÜZGÜN KONVEKS YAPISI VE BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ

NURDAN KURU

YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI

DANIŞMAN

PROF. DR. VATAN KARAKAYA

İSTANBUL, 2013

T.C.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BELİRLİ DİZİ UZAYLARININ HER YÖNDE DÜZGÜN KONVEKS YAPISI VE BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ

Nurdan KURU tarafından hazırlanan tez çalışması 14/08/2013 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Tez Danışmanı

Prof. Dr. Vatan Karakaya Yıldız Teknik Üniversitesi

Jüri Üyeleri

Prof. Dr. Vatan Karakaya

Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________

Prof. Dr. Ömer Gök

Yıldız Teknik Üniversitesi _____________________

Doç. Dr. Necip Şimşek

İstanbul Ticaret Üniversitesi _____________________

ÖNSÖZ

Bu tezin hazırlanması sürecinde beni yönlendiren, bilgi ve yardımını esirgemeyen, maddi ve manevi desteğini her zaman hissettiğim değerli hocam Prof. Dr. Vatan KARAKAYA’ ya saygı ve teşekkürlerimi sunarım.

Hayatım boyunca verdiğim kararlarda hep yanımda olan, benden ilgi ve alakasını hiçbir zaman esirgemeyen aileme, özellikle annem ve babama sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

Son olarak bu süreçte yaşadığım sıkıntılarda beni dinleyen ve motive eden, sevgi ve dostluklarını her zaman hissettiğim arkadaşlarıma sonsuz teşekkürler.

Temmuz, 2013 Nurdan KURU

iv

İÇİNDEKİLER

Sayfa

SİMGE LİSTESİ ...v

ÇİZELGE LİSTESİ ... vi

ÖZET ... vii

ABSTRACT ... viii

BÖLÜM 1 GİRİŞ.………1

1.1 Literatür Özeti………..1

1.2 Tezin Amacı ...………...……...………...3

1.3 Hipotez……….3

BÖLÜM 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER………4

2.1 Temel Tanımlar………....4

2.2 Dizi Uzayları………..10

2.3 Banach Uzaylarında Temel Geometrik Kavramlar………...11

2.4 Temel Teoremler ve Eşitsizlikler………..16

BÖLÜM 3 BELİRLİ DİZİ UZAYLARININ HER YÖNDE DÜZGÜN KONVEKS YAPISI VE BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ……….………33

3.1 _p



u,v



Uzayının Bazı Geometrik Özellikleri………..33

3.2 _p



u,v



Uzayının Her Yönde Düzgün Konveks Yapısı …….………….36

3.3 



p ,,u v



Uzayının Bazı Geometrik Özellikleri ... 40

3.4 



p ,,u v



Uzayının Her Yönde Düzgün Konveks Yapısı ... 47

3.5 _p



u,v



ve 



p ,,u v



Uzaylarının Diğer Geometrik Yapıları ... 50

BÖLÜM 4 SONUÇLAR VE ÖNERİLER………..……...55

KAYNAKLAR ... 57

ÖZGEÇMİŞ ... 61

v

SİMGE LİSTESİ

bs Sınırlı Serilerin Uzayı

 X X Uzayının Kapalı Birim Yuvarı C Kompleks Sayılar Kümesi c Yakınsak Diziler Uzayı c 0 Sıfıra Yakınsak Diziler Uzayı cs Yakınsak Serilerin Uzayı

 

X

diam X Uzayının Çapı

 

X

0 Konvekslik Katsayısı

 

X

z ,

0 Yönlü Konvekslik Katsayısı R veya C Cismi

 1 Mutlak Yakınsak Serilerin Uzayı

 p p. Kuvvetten Mutlak Yakınsak Serilerin Uzayı

  Sınırlı Diziler Uzayı





0,1,2,...



Sayılar Kümesi

 Reel Sayılar Kümesi

 Konveks modül

S X X Uzayının Birim Küresi

w Tüm Reel veya Kompleks Terimli Diziler Uzayı x

x_n  Yakınsama x

x

w

n Zayıf Yakınsama X * X Uzayının Dual Uzayı

*

X * X Uzayının İkinci Dual Uzayı

 



_X ,

 

 Konvekslik Modülü







 z, ,_X



 z,



Her Yönde Düzgün Konvekslik Modülü

vi

ÇİZELGE LİSTESİ

Sayfa

Çizelge 2.1 ₂ Uzayında Düzgün Konveksliğin Temsili ...13

Çizelge 3.1 Her yönde düzgün konveks yapıda x seçimi ....………..…...36

Çizelge 3.2 Her yönde düzgün konveks yapıda y seçim ………..………...….37

Çizelge 3.3 Her yönde düzgün konveks yapının temsili ……….………...38

vii

ÖZET

BELİRLİ DİZİ UZAYLARININ HER YÖNDE DÜZGÜN KONVEKS YAPISI VE BAZI GEOMETRİK ÖZELLİKLERİ

Nurdan KURU

Matematik Anabilim Dalı Yüksek Lisans Tezi

Tez Danışmanı: Prof. Dr. Vatan KARAKAYA

Bazı dizi uzaylarının geometrik özelliklerinin incelendiği bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde, Banach uzaylarının geometrik özellikleri ile ilgili çalışmaların bir literatür özeti verilmiş ve bu çalışmanın amacı belirtilmiştir.

İkinci bölümde, sonraki bölümlerde kullanılacak temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.

Üçüncü bölümde, _p



u,v



ve 



p,u,v



dizi uzaylarının konveks, kesin konveks, düzgün konveks ve her yönde düzgün konvekslik yapısı incelenmiş, diğer geometrik özellikleriyle ilgili sonuçlar elde edilmiştir.

Son bölüm olan dördüncü bölümde ise uzayların sağladığı ispat edilen bütün geometrik yapıları listelenmiştir.

Anahtar Kelimeler: Dizi uzayları, Banach uzay geometrisi, her yönde düzgün konvekslik, düzgün konvekslik, kesin konvekslik.

YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

viii

ABSTRACT

THE UNIFORMLY CONVEX IN EVERY DIRECTION STRUCTURE AND SOME GEOMETRICAL PROPERTIES OF

CERTAIN SEQUENCE SPACES

Nurdan KURU

Department of Mathematics MSc. Thesis

Advisor: Prof. Dr. Vatan KARAKAYA

This study, which deals with the geometrical properties of some sequence spaces, consists of four chapter.

In the first chapter, a literature review of studies concerned with Banach space geometry and the aim of this study is given.

In the second chapter, the principal definitions and theorems that used in other chapters are given.

In the third chapter, the convexity, strictly convexity, uniformly convexity and uniformly convex in every direction structure of the sequence spaces _p



u,v



,



p,u,v



 is studied and some consequences about other geometrical structures of these spaces are obtained.

In the last chapter, all of the geometrical structures of _p



u,v



, 



p,u,v



which are proved in the third chapter are listed.

Key Words: Sequence spaces, Banach space geometry, uniformly convex in every direction, uniformly convex, strictly convex.

YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE

1

BÖLÜM 1 GİRİŞ

1.1 Literatür Özeti

Son yıllarda dizi uzayları ve bu uzayların geometrik yapıları ile ilgili pek çok çalışma yapılmıştır. Dizi uzaylarının topolojik özelliklerinin yanı sıra geometrik özellikleri de önem kazanmış, böylelikle pek çok kavram açıklık kazanmıştır. Bu yapılarla alakalı çalışmaların bazıları aşağıda verilmiştir.

Kesin konveks Banach uzay ilk olarak 1936 yılında Clarkson [1] tarafından tanıtılmıştır.

Aynı zamanda düzgün konvekslik üzerinde de çalışan Clarkson, L uzayının _p





 p

1 iken düzgün konveks yapıda olduğunu kanıtlamıştır [1].

Clarkson [1] tarafından düzgün konveks uzayları tanımlamada kullanılan konvekslik modülü daha sonra tanımlanan çok sayıda modül için başlangıç niteliğindedir. 1970 yılında Goebel [2] tarafından bu modüle bağlı konvekslik karakteristiği tanımlamıştır.

Smulian 1939 yılındaki çalışmasında, zayıf düzgün rotundluk ve zayıf-yıldız düzgün rotundluk modülünü ele almıştır [3]. 1955 yılında Lovaglia [4] tarafından yerel konvekslik modülü tanıtılmış ve bu modüle bağlı konvekslik karakteristiği oluşturulmuştur. 1967 yılında Gurarii [5], yeni bir konvekslik modülü oluşturmuştur.

Her yönde düzgün konvekslik kavramı ise Garkavi [6] tarafından, her sınırlı altkümesi en fazla bir Cebysev merkezine sahip normlu lineer uzayları karakterize etme amacıyla tanıtılmıştır. Daha sonra Zizler [7], Day, James, Swaminathan [8] ve Fakhoury [9]

düzgün rotundluğun bu genellemesi üzerinde çalışmalar yapmıştır [10]. Day, James, Swaminathan [8] çalışmalarında her yönde düzgün konvekslik yapısını yönlü konvekslik modülü ile değil, gerek ve yeter şartı veren bir teorem yardımıyla ele almıştır.

2

Normal ve düzgün normal yapı, sabit nokta teorisi çalışmalarında büyük önem taşımaktadır [11]. Pek çok çalışmada Banach uzaylarının normal yapısı, konvekslik modülleri ya da konvekslik katsayıları kullanılarak ele alınmıştır. Goebel [2], X Banach uzayının konvekslik modülü 

 

1 0 ise normal yapıda olduğunu kanıtlamıştır. 21 yıl sonra Gao ve Lau [12], 



3/2



1/4 ise uzayın düzgün normal yapıda olduğunu göstermişlerdir. Bu sonuçları genelleyerek Gao [13], 

 

0,1 olacak şekilde bazı  değerleri için 



1



 /2 ise uzayın düzgün normal yapıda olduğunu ispatlamıştır [14].

Opial [15], kendi adıyla bilinen Opial özelliğini tanımlamış, bu özelliğin  _p



1 p 



uzaylarında sağlanıp, L_p



0,2^



uzaylarında sağlanmadığını göstermiştir.

Düzgün Opial özelliği Prus [16] tarafından 1992 yılında tanımlanmıştır. 1980 yılında Huff [17] yaklaşık olarak düzgün konvekslik kavramını tanımlamıştır. Ayrıca, her yaklaşık olarak düzgün konveks Banach uzayının düzgün Kadec-Klee özelliğine sahip ve refleksif yapıda olduğunu göstermiştir.

Cesaro dizi uzayları



cesp



ve özellikleri pek çok çalışmaya konu olmuştur. 1970 yılında Shue [18], Cesaro dizi uzaylarını normla birlikte ilk defa tanımlamıştır. Liu, Wu ve Lee [19] 1936 yılında Kadec-Klee ve yerel düzgün rotund olma özelliklerini, Cui, Hudzik ve Pluciennik [20] 1997 yılında p -tipte Banach-Saks özelliğini incelemişlerdir.

Normlu Cesaro dizi uzaylarının paranormlu dizi uzaylarına genellenmesi ise Sanhgan ve Suantai [21] tarafından yapılmıştır. Genelleştirilmiş dizi uzaylarının düzgün Opial özelliğini Petrot ve Suntai [22] çalışmıştır. 2007 yılında Karakaya [23], Lacunary içerikli dizi uzayını Luxemburg normla birlikte tanıtmış, rotundluk ve Kadec-Klee özelliklerini incelemiştir. Bu uzayın   ve düzgün Opial özellikleri ise Mongkolkeha ve Kumam [24] tarafından 2011 yılında incelenmiştir. 1997 yılında Khan ve Rahman [25], ces

    

p_n , q_n



dizi uzayını tanıtmış, bu uzayın vektör değerli dizi uzayına genelleştirilmesi ise 2005 yılında Mursaleen ve Khan [26] tarafından yapılmıştır.

Şimşek ve Karakaya [27], ces

    

p_n , q_n



paranormlu dizi uzayını, ces



X,pn,qn



vektör değerli uzayına genelleştirmiş, Kadec-Klee ve rotund olma özelliklerini incelemişlerdir.

Savaş, Karakaya ve Şimşek [28], tanımladıkları 

 

p -tipte dizi uzayının bazı topolojik özelliklerinin yanı sıra p -tipte Banach-Saks ve Gurarii konvekslik modülü ile ilgili özelliklerini incelemişlerdir.

3

Leinder [29], V,-toplanabilirliği de la Vallee ortalamalarıyla 1965 yılında tanımlamıştır. 2000 yılında Malkowsky ve Savaş [30], 2010 yılında Savaş, Şimşek ve Karakaya [31], de la Vallee-Poussin ortalamalarıyla doğan yeni dizi uzayları tanımlamıştır. 2011 yılında Şimşek [32], 2010 yılındaki çalışmalarında [30] tanımlayıp bazı topolojik ve geometrik özelliklerini inceledikleri dizi uzayının düzgün Opial ve

NUC

k  gibi geometrik özelliklerini çalışmıştır. Malkowsky ve Savaş [33], genelleştirilmiş ağırlıklı ortalamaları kullanarak yeni bir dizi uzayı tanımlamışlardır.

Altay ve Başar [34], bu dizi uzayından esinlenerek paranormlu bir dizi uzayı tanımlamışlardır. Şimşek ve Karakaya [35] 2009 yılındaki çalışmalarında _p



u,v,p



modüler dizi uzayını tanımlayarak Kadec-Klee ve Opial özelliklerini incelemişlerdir.

1.2 Tezin Amacı

Tezin amacı birçok uygulama alanı olan bazı geometrik kavramların tanıtılması, birbirleriyle olan ilişkilerinin incelenmesi ve bazı dizi uzayları üzerinde uygulamalarının verilmesidir. Özellikle düzgün konvekslik ve her yönde düzgün konvekslik yapılarının konvekslik modülleri yardımıyla incelenmesi, bu modüller kullanılarak uzayın diğer yapılarıyla ilgili sonuçlar elde edilmesi hedeflenmiştir.

1.3 Hipotez



u v



p ,

 ve 



p,u,v

 

1 p 



uzaylarının konveks, kesin konveks, düzgün konveks ve her yönde düzgün konveks yapılarının incelenmesi ve her yönde düzgün konvekslik için konvekslik modülü bulunması hedeflenmiştir. Çalışmada bu yapıların birbirleriyle ve diğer bazı geometrik yapılarla bağlantıları ele alınmış ve bu bağlantılar yardımıyla _p



u,v



ve 



p,u,v



ile ilgili sonuçlar elde edilmiştir.

4

BÖLÜM 2

TEMEL TANIM VE TEOREMLER

2.1 Temel Kavramlar

Bu bölümde daha sonra kullanılacak olan fonksiyonel analizin temel kavramlarına yer verilmiştir.

Tanım 2.1 (Lineer Uzay) X boştan farklı bir küme ve reel veya kompleks sayılar cismi olsun.

X X

X  

 : ve : X X

ikili işlemleri aşağıda verilen özellikleri sağlıyorsa X cümlesine üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) adı verilir [36].

Her ,  ve x,y,zX için (L1) x y y x

(L2) x



yz

 

 x y



z

(L3) x  x olacak şekilde  X vardır.

(L4) Her bir x X için x



x



 olacak şekilde



x 



X vardır.

(L5) 1.x  x

(L6) 



x y



xy (L7)



 



xxx (L8) 

  

x  



x

5

Tanım 2.2 (Alt Vektör Uzayı) Y, X vektör uzayının boştan farklı bir altkümesi olsun.

Her y₁,y₂Y ve , skalerleri için y₁ y₂Y sağlanıyorsa Y ye X vektör uzayının alt uzayı denir [37].

Tanım 2.3 (Metrik Uzay) Boş olmayan bir X kümesi ve bir ,

:XX R_

d



x,y



d



x,y



fonksiyonu verilsin. Eğer bu d fonksiyonu x,y,zX için (M1) d



x,y



0x y,

(M2) d



x,y



d



y,x



,

(M3) d



x,y



d



x,z



d



z,y



(üçgen eşitsizliği)

özelliklerini sağlıyorsa X üzerinde uzaklık fonksiyonu ya da metrik adını alır ve bu durumda



X ,d



ikilisine bir metrik uzay denir [38].

Tanım 2.4 (Normlu Vektör Uzayı) X bir cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun.

, : _

 X x  x fonksiyonu her x,yX ve her a için (N1) x 0 x;

(N2) ax  a x;

(N3) xy  x  y (üçgen eşitsizliği)

özelliklerini sağlıyorsa X üzerinde norm adını alır ve bu durumda



X^{, }



ikilisine bir normlu vektör uzayı adı verilir [38].

Tanım 2.5 (Yarı Norm) X, cismi üzerinde lineer bir uzay olsun. Eğer q:X  R fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa q dönüşümüne bir yarınorm,



X ,q



ikilisine ise bir yarınormlu uzay denir [36].

i) q

 

x  q

 

x ^,

6 ii) q



x y



q

 

x q

 

y .

Tanım 2.6 (Paranormlu Uzay) X, cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. Eğer R

X

g:  fonksiyonu,  ve  x,yX için aşağıdaki şartları sağlıyorsa g’ye bir paranorm ve



X ,g



ikilisine de paranormlu uzay denir [30].

i) g

 

 0, ii) g

 

x  g



x



,

iii) g



xy



g

 

x g

 

y,

iv)  ₀ ve g



x x₀



0 iken g



x₀x₀



0

Tanım 2.7 (Modül) X bir vektör uzayı olsun. Eğer ^{: X  ,}



^0



fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlıyorsa modül olarak adlandırılır:

i) 

 

x 0 olması için gerek ve yeter şart x0 olmasıdır.

ii)  1 olacak şekilde her F ve her x X için 

 

x 

 

x sağlanır.

iii) , 0, 1 ve bütün x,yX iken 



xy





 

x 

 

y olur.

Eğer (iii) özelliği aşağıdaki özellikle yer değiştirebiliyorsa f konveks modüldür:

iv)  1 olacak şekilde bütün , R^ için f



xy



.f

 

x .f

 

y [39].

Tanım 2.8 (Luxemburg Normu) p 

 

p_k , her k için p_k 1 şeklinde pozitif ve sınırlı reel sayılar dizisi olsun. Ces

 

p nin aşağıdaki şekilde tanımlı bütün x 

 

x_k reel dizilerinin uzayı olduğunu farzedelim:







 











1 1

1

k k

n p k

x k

k .

 

p Ces

x  için

   



 





 



 

1 1

1

k k

n p k

x k

x k

 olsun.  bir modüldür ve







 



 



 

inf 0: 1

 

 ^x

x

şeklinde tanımlanan norma Luxemburg normu adı verilir [40].

7

Tanım 2.9 (Uzaklık, Çap)



X ,d



bir metrik uzay ve A,B X in altkümeleri olsun.

d



x,A



inf



d



x,a



:aA



,



A B

 

d



a b



a A b B



d , inf , :  ,  , d

 

A sup



d



a,a'



:a,a'A



olarak tanımlandığında d



x,A



x ve A arasındaki, d



A,B



A ve B arasındaki uzaklıktır. d

 

A ise A kümesinin çapı olarak ifade edilir [36].

Tanım 2.10 (Sınırlı Küme) Bir metrik uzayın A altkümesinin sınırlı olması için gerek ve yeter şart sonlu bir çapa sahip olması, yani d

 

A  olmasıdır. Aksi halde sınırsız olarak adlandırılır [36].

Tanım 2.11 (Komşuluk)



X ,d



bir metrik uzay ve a X olsun. O halde, r0 için



a r

 

x X d



a x



r



S ,   : , 

a merkezli ve r yarıçaplı bir komşuluk (ya da açık yuvar, açık küre) olarak adlandırılır [36].

Tanım 2.12 (Açık Küme, Kapalı Küme)



X ,d



bir metrik uzay olsun. G  X in açık olması için gerek ve yeter şart G nin her noktasının komşuluğunun G de olmasıdır.

Yani, eğer x G ise öyle bir r0 vardır ki S



x,r



G dir.



X ,d



metrik uzayındaki bir kümenin kapalı olması için gerek ve yeter şart kümenin tümleyeninin açık olmasıdır [36].

Tanım 2.13 (Yakınsak Dizi)

 

x reel sayılar dizisi olsun. Eğer her _n  0 ve

 



0

0 n

n  doğal sayısı için n n₀ iken



 x x_n

sağlanıyorsa

 

x dizisi x e yakınsar denir ve _n x_n  ya da x x_n x

n 



lim şeklinde gösterilir [41].

Tanım 2.14 (Cauchy Dizisi)



X ,d



bir metrik uzay,

 

x X uzayında bir dizi olsun. _n Her  0 için m,nn₀ olduğunda d



x_m,x_n



 olacak şekilde n ₀ n₀

 

 sayısı varsa

 

x dizisine Cauchy dizisi denir [42]. _n

8

Tanım 2.15 (Tam Uzay)



X ,d



metrik uzayında her Cauchy dizisi yakınsıyorsa (yani, limiti X in bir elemanı ise) X uzayına tam uzay adı verilir [37].

Tanım 2.16 (Banach Uzay) Tam normlu uzaya Banach uzay denir [37].

Tanım 2.17 (Tam Paranormlu Uzay) Bir



X ,g



paranormlu uzayında, alınan her Cauchy dizisi bu uzayın bir noktasına yakınsıyorsa



X ,g



uzayına tam paranormlu uzay denir [36].

Tanım 2.18 (Lineer Fonksiyonel) X lineer bir uzay olmak üzere f :X C dönüşümüne bir fonksiyonel denir.

Eğer her x,yX için f



x y



 f

 

x  f

 

y eşitsizliği gerçekleniyorsa f fonksiyoneline alt toplamsal, f



x y



 f

 

x  f

 

y eşitsizliği gerçekleniyorsa toplamsaldır denir.

Eğer her x X ve her  skaleri için f

 

x f

 

x ise f fonksiyoneli homojendir denir.

Homojen ve alt toplamsal olan bir fonksiyonele alt lineer, toplamsal ve homojen olan bir fonksiyonele ise lineer fonksiyonel denir.

Her x X için f

 

x . x olacak şekilde bir  0 reel sayısı varsa f :X C dönüşümüne sınırlı lineer fonksiyonel denir. Sınırlı bir lineer fonksiyonelin normu;

 

x x f f

x

 sup

olarak verilir [36].

Tanım 2.19 (Sürekli Dual Uzay) X normlu bir uzay olsun. X üzerindeki tüm sınırlı lineer fonksiyonellerden oluşan 



X ,R



cümlesi

 

^f

 

^x

x x f f

x X x x

X x

1

sup sup















normu ile bir Banach uzay oluşturur. Bu uzaya X in dual uzayı denir ve X ile ^* gösterilir [36].

9

Tanım 2.20 (İkinci Dual) X , X Banach uzayının duali olmak üzere ^{* }



^{X ,* R}



uzayına X uzayının ikinci duali denir ve X ile gösterilir. ^** X da bir Banach uzayıdır ^** [36].

Tanım 2.21 (Refleksif Uzay) X normlu bir uzay olmak üzere X^** X ise X uzayına refleksif uzay denir [36].

Tanım 2.22 (Zayıf Yakınsaklık) X bir normlu uzay ve

 

x , X de bir dizi olsun. Her _n X*

f  için n iken f

 

x_n  f

 

x sağlanıyorsa

 

x dizisi _n x X e zayıf yakınsar denir ve x x

w

n olarak gösterilir [37].

Tanım 2.23 (Kuvvetli Yakınsaklık) X bir normlu lineer uzay ve

 

x_n X olmak üzere x

x_n

n 



lim olacak şekilde bir x X varsa

 

x_n dizisi kuvvetli yakınsak olarak adlandırılır [37].

Tanım 2.24 (Konveks Fonksiyon) Sürekli bir f :RR fonksiyonunun konveks olması için gerek şart  ,x yR için

   

2 2

y f x f y

f x 





 



 

olmasıdır [43].

Tanım 2.25 (Minkowski Eşitsizliği) Sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan x ,_i y_i ve p1 için aşağıdaki eşitsizliğe Minkowski eşitsizliği denir.

p

k p i p

k p i p

k

p i

i y x y

x

/ 1

1 /

1

1 /

1

1





 









 









 









 











 [44]

Tanım 2.26 Bu çalışmada



^{X, .}



bir reel Banach uzayı olmak üzere sırasıyla  ve _X S ile X uzayının kapalı birim yuvarı ve birim küresi gösterilmiştir. Yani, X



^{ : 1}





_X x X x

ve



^{ : 1}



 x X x

S_X

olarak ele alınacaktır.

10 2.2 Dizi Uzayları

Tanım 2.27 (Dizi Uzayları) Kompleks ve reel değerli tüm x 

 

x_k dizilerinin cümlesi w olarak gösterilmek üzere;

 

x y

 

y w

x _k ,  _k  ve  bir sabit olsun.



x_k y_k



y

x   ve x



x_k



şeklinde tanımlanan işlemler altında w bir lineer uzaydır.

Literatürde yer alan bazı iyi bilinen dizi uzayları aşağıda verilmiştir.

 





   







 k

k

k w x

x

x :sup





^

 

^{  }







 x l l

w x x

c _k

k :klim ,

  

^{:lim 0}



0    



 k

k w k x

x x c

 







   







1

1 :

k k

k w x

x

 x

 







   





^

1

:

k p k k

p x x w x





1 p



















 

 0

lim :

1 n

k

n xk

w x cs











  





 n

k

xk

w x bs

1

sup :

Bu uzaylar sırasıyla sınırlı, yakınsak, sıfıra yakınsak, mutlak yakınsak, p-yakınsak, yakınsak serilerin ve sınırlı serilerin uzayı olarak adlandırılır. Bu uzaylardan  , c , _ c ₀

uzayları _k

k

x

x _ sup normu altında birer Banach uzaylarıdır. Aynı şekilde  ve ₁ _p uzayları sırasıyla ^



k

xk

x1 ve

p

k p

p xk

x

/ 1





 







normları ile birer Banach uzaylarıdır. Bu uzaylar arasında

 







  

_{1 p q} c₀ c



1 pq



şeklinde bir kapsama bağıntısı olup, aşağıda verildiği gibi bir norm eşitsizliği geçerlidir.

11

^{x 1  x p  x q  x } [36], [45]

Tanım 2.28 Bu çalışmada yapısı incelenen uzaylar aşağıda verilmiştir.

İlk olarak normlu _p



u,v

 

1 p



uzayı

 











   



 



1 1

: ,

k k p

i i i k

p u v x  u v x



şeklinde elemanlara sahip olup, x_p



u,v



için norm

p

k k p

i i i

k v x

u x

/ 1

1 1 













 



 

olarak tanımlanmıştır [34].

İkinci uzay olan 



p,u,v

 

1 p 



paranormlu uzayı ise

 





















 



1 1

: ,

,

k k p

i i i k

k

x v u x

v u

p 



olarak tanımlanmıştır ve x



p,u,v



için kullanılan Luxemburg normu aşağıdaki şekildedir:







 



 



 

inf 0: 1

 

 ^x

x ,

   



 



1 1

k k p

i i i k

k

x v u

 x

[34].

Bu uzay için sup

 

p_k olmak üzere  max



1,



olarak kullanılacaktır.



p,u,v



 paranormlu uzayının bazı yapıları Karakaya ve Şimşek tarafından incelenmiş, uzayın Kadec-Klee ve düzgün opial özelliğine sahip olduğu ispatlanmıştır [35].

2.3 Banach Uzaylarında Temel Geometrik Kavramlar

Bu bölüm, çalışmanın temelini oluşturan geometrik kavramların tanıtımına ayrılmıştır.

Tanım 2.29 (Konveks Yapı) X lineer bir uzayın altkümesi olsun. X uzayının konveks olması için gerek ve yeter şart x,yX, 1, 0, 0 iken xyX olmasıdır.

12

Konveksliğin geometrik olarak tanımlanması da mümkündür.



x,y







x



1y



:01



L ,

x ve y yi birleştiren doğru parçası olsun. Öyleyse X uzayının konveks olması için gerek ve yeter şartın X in x ve y yi içerdiği zaman ^L^x,y yi de içermesi olduğu söylenebilir [36].

Tanım 2.30 (Kesin Konvekslik, Rotundluk) Herhangi bir X Banach uzayının kesin konveks (rotund) olması için gerek şart aşağıdaki içermenin bütün x,yX için geçerli olmasıdır:

2 1 0

1 1

 





















y x y

x y x

. [46]

Başka bir ifadeyle, X Banach uzayının kesin konveks olması için gerek şart, x,yS_X ve x  y iken her 

 

0,1 için aşağıdaki eşitsizliğin sağlanmasıdır:



1



1

 y

x 

 . [47]

Tanım 2.31 (Düzgün Konvekslik) Herhangi bir X Banach uzayının düzgün konveks olması için gerek şart her x,yS_X ve 0   2 için bir 

 

 0 var olmasıdır öyle ki

1

 

.

1 2 1









 



















y x y

x y x

[1]

Örnek 2.1 ₂ uzayı düzgün konvekstir.

13

Şekil 2.1 ₂ Uzayında Düzgün Konveksliğin Temsili

2 için aşağıdaki eşitlik yazılabilir:

2 1

2

2  



 







2 2

1 2



 







 



2

1 2



 







 

 .

Böylece ₂ uzayı için konvekslik modülü oluşturulmuş oldu.

2



p olarak ele alındığında konvekslik modülü

p 1/p

1 2















 





 



olur.

Tanım 2.32 (Clarkson Konvekslik Modülü) Herhangi bir X Banach uzayı için konvekslik modülü fonksiyonu _X :

 

0,2 

 

0,1 aşağıdaki gibi tanımlanır:

 







     



 



 x y x y x y

X : 1, 1,

1 2

inf . [3]

14

Yani, _X

 

 herhangi bir  0 için aşağıdaki içermelerin daima doğru olduğu en büyük sayıdır: x,yX için,

1

 

.

1 2 1







X

y x y

x y x



 

















[11]

Belirli bir X uzayı üzerinde çalışırken _X

 

 yerine 

 

 ifadesi de kullanılabilir.

Konvekslik modülü  , _X

 

0,2 aralığında konveks ve  2 için sürekli olmayabilir [47].

Konvekslik modülü iki-boyutlu karaktere sahiptir, yani 

 

0,2 için

 

 

 



_X inf _E (2.1)

şeklinde X uzayının bütün iki-boyutlu alt uzayları üzerinden infumum alınarak tanımlanabilir [11].

Tanım 2.33 (Konvekslik Karakteristiği) Herhangi bir X Banach uzayı için konvekslik katsayısı ₀ aşağıdaki gibi tanımlanır:

 

sup



0:

 

0



0

0       

 X . [2]

Konvekslik karakteristiği, X in birim küresinin üzerinde ya da yeterince yakınında bulunan parçalarının uzunluklarını sınırlayan bir değerdir.

Tanım 2.34 (Her Yönde Düzgün Konvekslik)



^{X, .}



Banach uzayı ve z 1 olan belli bir z X için, X in z X yönünde konvekslik modülü ^:

 

^{0,2 }

 

^0,1

fonksiyonudur ve

 

^{: 1, 1, .}

1 2 inf

, 









     



 x y x y x y z

z  



şeklinde tanımlanır. Her   0 ve z X için 



z,



0 sağlanıyorsa X uzayına her yönde düzgün konveks denir [48], [11].

Yönlü konvekslik modülü 



z,



veya 



 z,



şeklinde gösterilebilir.

Her yönde düzgün konvekslik modülü için karakteristik aşağıdaki şekilde tanımlanmaktadır:

15

_0,z

 

X sup



:



z,



0



. [45]

Tanım 2.35 (Yerel Düzgün Konvekslik) X bir Banach uzay olsun. Her  0 ve SX

x  için,



 y

x   

 1

2 y

x



y X



olacak şekilde  



x,



0 varsa X uzayına yerel düzgün konveks adı verilir.

X Banach uzayı için yerel konvekslik modülü her x S_X ve 0  2 için aşağıdaki şekildedir:

 











    



 



 x y y S x y

x _X

X : ,

1 2 inf

, .

Açıkça görülmektedir ki, bir X Banach uzayının yerel düzgün konveks olması için her SX

x  ve 0  2 için 



x,



0 olması gerekmektedir [47], [49].

Tanım 2.36 (Yarıçap, Chebyshev Yarıçapı, Chebyshev Merkezi) X Banach uzayının herhangi A, B altkümeleri için:

r_x

 

A sup



xy : yA

 

x X



; r_B

 

A inf



r_x

 

A :xB



;

C_B

 

A 



xB:r_x

 

A r_B

 

A



.

 

A

r_X sayısına A nın x elemanına ait yarıçapı, r_B

 

A ve C_B

 

A ye sırasıyla A nın B ye ait Chebyshev yarıçapı ve Chebyshev merkezi adı verilir.

B

A  olduğu durumda bu son iki ifade için r

 

A ve C

 

A kulanılır ve B ye ait ibare kaldırılır [11].

Tanım 2.37 (Yarıçapsal, Yarıçapsal Olmayan Nokta) r_x

 

A diamA yi sağlayan x noktasına yarıçapsal nokta denir. Bu şekilde olmayan noktalara ise yarıçapsal olmayan nokta adı verilir [11].

Tanım 2.38 (Normal Yapı) Bir X Banach uzayının kapalı, konveks bir C altkümesinin normal yapı özelliğine sahip olması için gerek şart C nin herhangi sınırlı, konveks, tek noktadan farklı bir K altkümesinin yarıçapsal olmayan nokta içermesidir.

16

Eğer X in her sınırlı kapalı konveks altkümesi normal yapıdaysa, X normal yapıdadır denir [50].

Tanım 2.39 (Düzgün Normal Yapı) X bir Banach uzay olsun. Eğer X in her sınırlı, kapalı, konveks C altkümesi h

 

0,1 iken



z x :x C



h.diam

 

C

sup   

olacak şekilde bir z noktası içeriyorsa X uzayına düzgün normal yapıdadır denir [51], [52].

Tanım 2.40 (Düzgün Karesel Olmayan Yapı) Herhangi bir X Banach uzayında birim yuvardan seçilen x ve y elemanları için





  2 1

y

x ya da   

2 1 y x

olacak şekilde  0 varsa uzaya düzgün karesel olmayan yapıdadır denir [53].

Tanım 2.41 (Kadec-Klee Noktası) n ve x_n 1 şartını sağlayan

 

x_n X için x

x

w

n  iken x_n  x 0 sağlanıyorsa x S_X noktası Kadec-Klee noktası (H-noktası) olarak adlandırılır [54].

Tanım 2.42 (Kadec-Klee) S_X in her noktası _X için bir H-noktası ise X Banach uzayına Kadec-Klee özelliğine sahiptir denir [54].

2.4 Temel Teoremler ve Eşitsizlikler

Bu bölümde daha sonra kullanılacak olan temel teoremler ve eşitsizliklere yer verilecektir.

Teorem 2.1 Her kesin konveks uzay konvekstir.

Teorem 2.2 Düzgün konveks her uzay kesin konvekstir. Dahası, sonlu boyutlu uzaylarda bu iki yapı denktir [11].

İspat X düzgün konveks Banach uzay olsun. Bu takdirde, x,yS_X ve 0   2 için

 









 



















2 1 1

1

y x y

x y x

17

olacak şekilde bir 

 

 0 vardır. Yani, x 1, y 1, x y 0 iken 1

2 

 y

x her

zaman sağlanır. Böylece uzay kesin konvekstir.

Teorem 2.3 Düzgün konveks her uzay her yönde düzgün konvekstir, ancak her yönde düzgün konveks her uzay düzgün konveks olmak zorunda değildir [11].

Teorem 2.4 Her yönde düzgün konveks her uzay kesin konvekstir [47].

Teorem 2.5 X bir Banach uzay ve konvekslik modülü  ve konvekslik karakteristiği

0 olsun. Öyleyse  ,

 

0,2 aralığı üzerinde sürekli ve



₀,2



aralığı üzerinde kesin artandır [11].

İspat Öncelikle X uzayının iki boyutlu olduğu farz edilecektir; böylece uzayın birim yuvarı ²de kapalı, sınırlı, konveks ve 0 noktasında simetriktir. Farz edelim ki u,vX ve u  v 1 olsun.

 





         



 x y x y x y x y u x y v

v

u    

 : 1, 1, , ,

1 2

, inf

olarak tanımlandığında _{u ,v}

 

 nin konveks bir fonksiyon olduğu açıktır. Dolayısıyla,

_u,v

 

 inf



_u,v

 

 : u 1, v 1,uv



(2.2) sağlanır. a



0,2



ve ₁,₂



0,a



olarak seçildiğinde _{u ,v}

 

 nin konveksliği aşağıdaki eşitsizliği gerektirir:

       

a a

v a

u v

u v

u v

u

 



 





2 1 2

2 _,

,

1 2

1 , 2

,  











 .

Bu ifade _{u ,v}

 

 yönlü modülünün



0,a



aralığında yarı sürekli bir aile oluşturur. (2.1) ve (2.2) den dolayı herhangi bir X Banach uzayı ve 0₁ ₂ a2 için,

   

x a

x 

 

 2

1 2 1 2



 







yazılabilir. _x azalmayan, konveks _{u ,v} fonksiyonlarının infimumu olduğundan dolayı

x fonksiyonu



₀,2



aralığı üzerinde kesin konvekstir.

18

Teorem 2.6 Herhangi bir X Banach uzayının kesin konveks olması için gerek ve yeter şart 

 

2 1 olmasıdır [11].

İspat 

 

2 1 ve x,yX için x  y 



x y



/2 1 olsun. Bu takdirde

 

1

   

1

 

2 0

2

2         

 



 x y

y x y x

olur. Böylece x  yelde edilir ve X kesin konvekstir.

Diğer taraftan, X uzayının kesin konveks ve x  y 



xy



/2 1 olduğunu kabul edelim. Ayrıca xy olsun. Bu takdirde 1



x y



/2 



x



 y

 

/2 1 çelişkisi elde edilir. Böylece xy sağlanır ve 

 

2 1 olur.

Önerme 2.1 Normlu bir uzayın rotund (kesin konveks) olması için gerek ve yeter şart iki boyutlu alt uzaylarının her birinin rotund (kesin konveks) olmasıdır [55].

Teorem 2.7 Herhangi bir X uzayının düzgün konveks olması için gerek ve yeter şart konvekslik modülünün her 



0,2



için _X

 

 0 olmasıdır [11].

İspat X düzgün konveks bir Banach uzay olsun. Bu takdirde her  0 için öyle bir

 

 0

 vardır ki bütün x,yX için x 1, y 1 ve x y  iken

 

1 2

0 x y

X

 



 

olur. Böylece, konvekslik modülünün tanımından dolayı _X

 

 0 sağlanır.

Yeter şartı ispatlamak için X,  modülüne sahip bir Banach uzay ve her _X  



0,2



için

 

 0

X olsun. Belirli bir 



0,2



değeri için x 1, y 1 ve x y  olacak şekilde x,yX alındığında

 

1 2

0 x y

X

 



 

yazılabilir ki bu da   

 

 2 1

y

x olmasını gerektirir. Burada 

 

 _X

 

 (yani x

ve y den bağımsız) olur ve uzay düzgün konvekstir.

Teorem 2.8 Herhangi bir X uzayının düzgün konveks olması için gerek ve yeter şart

 

0

0 X 

 olmasıdır [11], [47].

19

İspat Bu şart her ^



^0,2



için _X

 

 0 olmasını gerektirdiğinden Teorem 2.6 ya benzer bir şekilde ispatlanır.

Teorem 2.9 X bir Banach uzay iken aşağıdaki şartlar denktir:

a.) X düzgün konvekstir.

b.) X deki iki

 

x ve _n

 

y dizisi için, _n 1

n 

x , y_n 1 ve lim  2



 n n

n x y ise lim  0



 n n

n x y (2.3) sağlanır [47].

İspat

 

a 

 

b X uzayı düzgün konveks ve

 

x ,_n

 

y ; her _n n için x_n 1, 1

n 

y ve lim  2



 n n

n x y olacak şekilde X uzayından iki dizi olsun. Çelişki elde etmek amacıyla lim  0



 n n

n x y olduğunu farz edelim. O halde bazı  0 için





 i

i n

n y

x

olacak şekilde bir

 

n indeks kümesi vardır. _i

X düzgün konveks olduğundan öyle bir 

 

 0 vardır ki  2



1

 





i

i n

n y

x (2.4)

sağlanır. lim  2



 n n

n x y olduğu bilindiğinden (2.4) de yerine yazıldığında

 



 



21 2 elde edilir ve bu ifade çelişki verir.

   

b  a (2.3) deki şartların sağlandığı varsayılsın. Eğer X düzgün konveks değilse, 0



 için

1

x  , y 1, x y   x y 2



1

 





durumunu sağlayacak bir 

 

 0 bulunamaz.

O halde X de aşağıdaki şartları sağlayan

 

^{x ve} _n

 

y dizileri bulunabilir _n (i) x 1, y 1,

20 (ii) x_n y_n 2 



1 1/n



,

(iii) x_n  y_n .

(ii) den dolayı lim  2



 n n

n x y sağlanır ve bu durumda x_n  y_n  olması hipotezle çelişir. Yani, X uzayı düzgün konveks olmalıdır.

Teorem 2.10 Aşağıdakilerden her biri normlu lineer bir X uzayının her yönde düzgün konveks olması için gerek ve yeter şarttır.

(i) Eğer X de

a.) x_n  y_n 1,(n) b.) x_n y_n _nz,

 

n

c.) x_n y_n 2, olacak şekilde

   

x ,n yn dizileri ve sıfırdan farklı z elemanı varsa 0

n 

 olur.

(ii) Eğer X de

d.) x_n 1, y_n 1,(n) e.) x_n y_n z,

f.) x_n y_n 2,

olacak şekilde

   

x ,n yn dizileri varsa z0 sağlanır.

(iii) X deki sınırlı bir

 

x dizisi için _n

 

^{2 0}

2^p1 x_n z ^p  x_n ^p  x_n z ^p  sağlayacak hiçbir sıfırdan farklı z yoktur.

(iv) X deki her sıfırdan farklı z için, öyle bir pozitif  vardır ki x 1 ve x z 1 iken  1

2 1z

x sağlanır [8].

Teorem 2.11 Her düzgün konveks Banach uzay refleksiftir [47].