30. Uzay çerçeve örnek çözümleri

(1)

30. Uzay çerçeve örnek çözümleri

.

4) Her ucunda 6 tane iç kuvvet vardır: 1 Eksenel kuvvet, 2 kesme, 2 moment ve bir burulma momenti.

5) Kesit alanının, kesitin iki ekseni etrafındaki atalet momentlerinin ve burulma atalet momentinin bilinmesi gerekir.

6) Mesnet noktalarında her eksen doğrultusunda yer değiştirme ve her eksen etrafında dönme önlenmiş-önlenmemiş ya da bazıları önlenmiş-önlenmemiş olabilir.

7) Veri hazırlamak zordur. Örneğin eksenlerin ve atalet momentlerinin karıştırılması sıkça yapılan bir hatadır.

8) Sonuçların yorumlanması zordur, örneğin bir eksen yönündeki kesme kuvveti yerine diğer eksen yönündekinin alınması veya bir eksen etrafındaki moment yerine diğerinin alınması veya momentin işaretinin yanlış yorumlanması sıkça karşılaşılan hatalardır.

Hata olasılığını azalmak için özellikle yardımcı nokta ve yerel eksenlerin seçimi, bu eksenler ile atalet momentlerinin ilişkisinin ve iç kuvvetlerin pozitif yönlerinin iyi kavranması gerekir. Karmaşık sistemlerde uzay düşünmek zorlaşır. Bu nedenle önce çok basit bir örneğin farklı yükler için çözümlerini verelim.

Örnek 30.1a: Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir.

Elemanlar birbirine dik, kesitler 25/50 cm dir. 3 noktasındaki yük Z eksenine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diyagramları çizilecektir.

Modelde yardımcı 4 noktasının koordinatları (4,1,0) olarak seçilmiştir¹. Bu koordinatlar incelenirse, 1-2-4 noktalarının tanımladığı düzlemin yatay olduğu ve 1. elemanın yerel ekseninin bu düzlemde ve 4 noktası tarafına yönlendiği anlaşılır.

Yardımcı 5 noktasının koordinatları (2,1,1) olarak seçilmiştir. Bu koordinatlar incelenirse, 2-3-5 noktalarının tanımladığı düzlemin düşey olduğu ve 2. elemanın yerel ekseninin bu düzlemde ve 4 noktası tarafına yönlendiği anlaşılır.

Atalet momentlerinin hesaplanması, elman üzerindeki yüklerin tanımlanması ve sonuçların yorumlanması bu eksenlere göre yapılmak zorundadır

1 4 noktasının koordinatları (0,-1,0) olarak da seçilebilirdi. Bu durumda 1. elemanın yerel ekseninin bulunduğu yatay düzlem değişmez, fakat ekseninin yönü değişirdi. 5 noktasının koordinatları (2,1,0) olarak da seçilebilirdi. Bu durumda 2. elemanın yerel ekseni aynı düşey düzlemde olurdu ve ekseninin yönü değişmezdi.

Çok elemanlı karmaşık sistemlerde yardımcı nokta seçimi zorluk yaratır. Yazılımlarda kullanıcıya kolaylık sağlayan başka yollar da vardır. Örneğin yerel ekseninin genel eksenlerden birinin yönünde veya tesri yönünde olduğunu belirtmek bir diğer ve daha basit bir yoldur.

Uzay çerçeve eleman sonlu elemanlar metodunun en karmaşık elemanıdır. Bunun nedenleri:

1) Her eleman için yerel eksen takımı seçilmesi gerekir.

Elemanın hangi ucunun orijin olacağına karar verilir. Teorinin gereği ekseni daima orijin noktasından diğer uca doğru yönlenmiştir. ekseninin hangi yönde olacağına karar verilir.

ekseninin yönü sağ koordinat sistemi olacak şekilde belirlenir.

2) Elemanın uzayda konumunun belirlenmesi için iki ucunun koordinatları yetmez, bir üçüncü yardımcı nokta ve koordinatlarına gereksinim vardır. Bu yardımcı nokta yerel ekseninin yönünü ve bulunduğu düzlemi tanımlamak için kullanılır. Bu noktanın seçimi yerel , eksenlerinin yönünü belirler, başkaca bir görevi yoktur

3) Dış yükler her eksen yönünde ve etrafında tekil veya yayılı olabilir.

1

2 1

3

2

1 m

2 m

100 kN

Konsol kiriş(perspektif)

Kesit b=0.25

h=0.50 m

y

z

1 nolu elemanın yerel ekseninin 1-2-4 noktalarının belirlediği yatay düzlemde olduğunu tanımlayabilmek için gerekli 4 nolu nokta ve genel koordinatları

Genel eksenler

Yerel eksenler Ankastre mesnet

Tüm yer değiştirmeler (=6 tane) tutuludur

s2

ˆ

s12

ˆ ⁹

sˆ s11

ˆ s8

ˆ

s7

ˆ s10

ˆ

3

sˆ s6

ˆ s4

ˆ s1

ˆ

s5

Yerel orijin ˆ

Yardımcı üçüncü nokta ve genel koordinatları

2 nolu elemanın yerel ekseninin 2-3-5 noktalarının belirlediği düşey düzlemde olduğunu tanımlayabilmek için gerekli 5 nolu nokta ve genel koordinatları

yerel ekseninin bulunduğu düzlem

Y

X Z

1

1 m

2 100 kN

2 m 4(0,1,0)

Konsol kiriş(model)

1 2

5(2,1,1)

3

x y

z x y

z

(2)

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2016, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 248

Elastisite modülü: E=34.55^.10⁶ kN/m²

,

Poisson oranı: υ=0.20¹ Kesit alanı: A=0.25^.0.50=0.125 m²

Eğilme atalet momenti:

Iy=0.50^.0.25³/12=6.51^.10^-4 m⁴ Iz=0.25^.0.50³/12=26.04^.10^-4 m⁴ Burulma atalet momenti:

< ℎ olduğundan: = = (1 − 0.63 + 0.053 ^"_"=#.$∙#.&$ (1 − 0.63^#.&$_#.$ + 0.053^#.&$_#.$_"^") = 17.84 ∙ 10^+, -^, Sınır koşulları:

1, 4, 5 noktaları hiçbir yer değiştirme yapamaz.

4 noktası 1. elemanın 3. noktasıdır, yerel ekseninin 1-2-4 noktalarının tanımladığı yatay düzlemde olduğunu ve 4 noktası tarafına yönlendiğini belirtmek için gereklidir. Bunun dışında bir yararı yoktur. 5 noktası 2. elemanın 3. noktasıdır, yerel ekseninin 2-3-5 noktalarının tanımladığı düşey düzlemde olduğunu ve 5 noktası tarafına yönlendiğini belirtmek için gereklidir. Bunun dışında bir yararı yoktur. 4 ve 5 noktalarının tüm yer değiştirmelerinin tutulması gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur.

Yukarıdaki diyagramlar SEM işaret kuralına göre çizilmiştir. Sistem izostatiktir, iç kuvvetler elle hesaplanabilir.

1 Kayma modülü= . =_&(012)^/ nin hesabı için gereklidir.

Bak: EK5 yerel eksenine göre

yerel eksenine göre

Eksenel yönünde kesme

yönünde kesme

etrafında burulma

etrafında

moment etrafında moment

1 1 2

3

2

Vy (her yerde sıfır)

1 1 2

3

2

Mz Burulma(her yerde sıfır)

100 kN -100

-

0

Yardımcı noktalara ait

Yardımcı noktalara ait 0

-200 kNm

1 2

3

2

Reaksiyonlar 0

100 kN

1 0 0

(3)

Örnek 30.1b: Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir.

Elemanlar birbirine dik, kesitler 25/50 cm dir. 3 noktasındaki yük Y eksenine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diyagramları çizilecektir.

Bu sistemin 31.1a örneğinden tek farkı dış yükün etkime yönüdür. Kesit alanı, atalet momentleri ve sınır koşulları 31.1a örneğindeki gibidir.

Ankastre mesnet Tüm yer değiştirmeler (=6 tane) tutuludur

Y

X Z

1

1 m

100 kN 2

2 m 4(0,1,0)

1 2

5(2,1,1)

3

x y

z x y

z

-100 kN

1 1 2

3

2

Normal kuvvet(her yerde sıfır)

-100 kN

-

100

1 1

2 3

2

My (her yerde sıfır) -

-100 kNm

-

1 1 2

3

2

Mx (Burulma) -100

100 kNm +

-

(4)

Örnek 30.1c: Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir.

Elemanlar birbirine dik, kesitler 25/50 cm dir. 3 noktasındaki yük X eksenine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diyagramları çizilecektir.

Bu sistemin 31.1a örneğinden tek farkı dış yükün etkime yönüdür. Kesit alanı, atalet momentleri ve sınır koşulları 31.1a örneğindeki gibidir.

1 m h=0.50 m 1 m

0

-100 kN

100 -

1 1 2

3

2

Mx Burulma(her yerde sıfır)

100 kNm

(5)

Örnek 30.1d: Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir.

Elemanlar birbirine dik, kesitleri 25x50 cm dir. 3 noktasındaki yükler X, Y, Z eksenlerine paraleldir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. İç kuvvet diyagramları çizilecektir.

Bu sistemin 31.1a örneğinden tek farkı 3 noktasındaki yüklerdir. Kesit atalet momentleri ve sınır koşulları 31.1a örneğindeki gibidir.

1 m h=0.50 m 1 m

-100 kNm

1 2

3

2

Reaksiyonlar -100 kN

100 kN

100

1 kNm -200 kNm

100 kN

-100 kN

100 -

1 1 2

3

2

My

-

100 kNm

+ -100 kNm

-100 kN

100 -

+

(6)

Örnek 30.1e(ödev): Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 25x50 cm dir. Düzgün yayılı yük X-Z düzlemindedir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri, reaksiyonlar ve yer değiştirmelere aşağıda verilmiştir. İç kuvvet diyagramlarını çiziniz.

Örnek 30.1f(ödev): Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 25x50 cm dir. Düzgün yayılı yük X-Y düzlemindedir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri, reaksiyonlar ve yer değiştirmelere aşağıda verilmiştir. İç kuvvet diyagramlarını çiziniz.

.

1

2 1

3

2

2 m Konsol kiriş(perspektif)

10 kN/m

Kesit b=0.25

Y X Z

1

2

2 m 4(0,1,0)

1 2

5(2,1,1)

3

10 kN/m y

z

x y

z x y

z

1 m h=0.50 m 1 m

(7)

Örnek 30.1g(ödev): Aşağıda perspektif çizimi ve modeli görülen iki elemanlı uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitleri 25x50 cm dir. Düzgün yayılı yükler X-Z ve X-Y düzlemindedir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri, reaksiyonlar ve yer değiştirmelere aşağıda verilmiştir. İç kuvvet diyagramlarını çiziniz.

(8)

Elastisite modülü: E=30000 N/mm²(TS 500-2000 den)=30^.10⁶ kN/m² Poisson oranı: υ=0.25¹

Kesit bilgileri(025x0.60 m kesitlerde):

Kesit alanı: A=0.25^.0.60=0.15 m²

Eğilme atalet momenti: Iy=0.60^.0.25³/12=7.81^.10^-4 m⁴, Iz=0.25^.0.60³/12=45^.10^-4 m⁴ Burulma atalet momenti:

< ℎ olduğundan: = (1 − 0.63 + 0.053 ^"_"=#.3∙#.&$ (1 − 0.63^#.&$_#.3 + 0.053^#.&$_#.3_"^") = 23 ∙ 10^+, -^, Kesit bilgileri(030x0.60 m kesitlerde):

Kesit alanı: A=0.30^.0.60=0.18 m² , Eğilme atalet momenti: Iy=0.60^.0.30³/12=13.5^.10^-4 m⁴, Iz=0.30^.0.60³/12=54^.10^-4 m⁴ Burulma atalet momenti: < ℎ olduğundan: = (1 − 0.63 + 0.053 ^"_") =^#.3∙#. (1 − 0.63^#._#.3+ 0.053^#._#.3^"_") = 37 ∙ 10^+, m^, Sınır koşulları: 2, 3, 4 mesnet noktaları ve yardımcı 5 noktası hiçbir yönde yer değiştiremez 5 noktası 1. ve 2. elemanın yerel eksenlerinin yönünü yukarı doğru tanımlayabilmek için gereklidir. Bu noktanın yer değiştirmeleri tutulmalıdır, aksi halde tekilliğe neden olur. 3. elemanın yardımcı noktası 2 dir.

Örnek 30.2: Sağda perspektif çizimi görülen uzay çerçeve C25/30 betonu ile inşa edilecektir.

Elemanlar birbirine diktir. Yükler kirişlere diktir.

Kirişlerin kesiti 25/60 cm, kolonun kesiti 30/60 cm dir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetlerini ve yer değiştirmeleri hesaplanacaktır.

Bak: EK5

188.45

60 kN/m 3 m 6 m

3 m

30/60

25/60 25/60

60 kN

3

2

3 1

4

1

2 Y

Z X

5(0,1,0)

x y x

y

z z

z x

y

1. ve 2. elemanın yerel ekseninin yukarı doğru tanımlanabilmesi için gerekli nokta

Yardımcı noktaya ait

(9)

Elastisite modülü: E=34000 N/mm²(TS 500-2000 den)=34^.10⁶ kN/m² Poisson oranı: υ=0.20¹

Kesit bilgileri:

Kesit alanı: A=0.25^.0.50=0.125 m², Eğilme atalet momenti: I2=0.50^.0.25³/12=6.51^.10^-4 m⁴, I3=0.25^.0.50³/12=26.04^.10^-4 m⁴ Burulma atalet momenti:

< ℎ olduğundan: = (1 − 0.63 + 0.053 ^"_"=#.$∙#.&$ (1 − 0.63^#.&$_#.$ + 0.053^#.&$_#.$_"^") = 17.88 ∙ 10^+, -^, Sınır koşulları:

1, 2, 6, 7 noktaları eksenler yönünde yer değiştiremez, fakat eksenler etrafında dönebilir. 11 noktası hiçbir yer değiştirme yapamaz. 11. nokta 5. elemanın 3. noktasıdır, yerel ekseninin 4-9-11 düzleminde olduğunu ve 11 noktası tarafına yönlendiğini tanımlamak için gereklidir. Diğer elemanlar için 3. nokta tanımlamaya gerek yoktur, sistemin mevcut noktaları bu amaç için kullanılabilir. Örneğin, 1. elemanın 3. noktası 2 noktası, 2. elemanın 3. noktası 7 noktası, 3.

elemanın 3. noktası 1 noktası, … olarak kullanılabilir.

Örnek 30.3(ödev): Aşağıda perspektif çizimi görülen uzay çerçeve C40/50 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine diktir. Yükler kirişlere diktir. Tüm elemanların kesiti 25/50 cm dir. Kesitlerin duruşu ve yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. Eleman kuvvetleri hesaplanarak aşağıda verilmiştir. 1. ve 5. elemanın iç kuvvetlerini 30.2 örneğindeki gibi çiziniz.

Bak: EK5 5.. elemanın yerel ekseninin 4-9-11 noktalarının

belirlediği düzlemde ve 11 noktasına doğru yönlendiğini belirtebilmek için gerekli nokta

Y

X Z

6 7

8 8 9 9 10

5

7 50 kN

6 m 3

4 5

4

1 2

2 m 2 m

50 kN

6

11(0,2,4)

20 kN/m

3

1 2

x y

z x y

z

x y

z x

y z x

y z

x y

z

x y

z

x y

z

y z

x

(10)

Örnek 30.4(ödev): Aşağıda perspektif modeli ve planda görünümü verilen uzay çerçeve C30/37 betonu ile inşa edilecektir. Elemanlar birbirine dik, kesitler 25/50 cm dir. Yükler kirişlere diktir. Yerel eksenler elemanlar üzerinde gösterilmiştir. Z genel ekseni üzerindeki kolonun yerel ekseni X genel ekseni ile 45⁰ açı yapmaktadır(dönük kolon).

Eleman kuvvetleri, reaksiyonlar ve yer değiştirmeler aşağıda verilmiştir.2 nolu elemanın iç kuvvetlerini örnek 30.2 ye benzer şekilde çiziniz.

13 noktası dönük kolonun yerel ekseninin bulunduğu düzlemi ve yönünü belirlemek için tanımlanmıştır. Bu noktanın tüm yer değiştirmelerinin tutulması gerekir, aksi halde denklem sistemi tekil olur. Diğer elemanlar için yardımcı nokta tanımlamaya gerek yoktur, çünkü yerel eksenleri genel eksenlere paraleldir, bu bilgi yeterlidir.

Atalet momentlerinin hesaplanması, eleman üzerindeki yüklerin tanımlanması ve sonuçların yorumlanması yerel eksenlere göre yapılmak zorundadır

h=0.50 m

Yardımcı noktaya ait Yardımcı noktaya ait

3 m33

2.5

2.5 m

3 m

x

3

ˆ

(11)

Elastisite modülü: E=31.8^.10⁶ kN/m² Poisson oranı: υ=0.20¹

Kesit alanı: A=0.25^.0.50=0.125 m² Eğilme atalet momenti:

Iy=0.50^.0.25³/12=6.51^.10^-4 m⁴ Iz=0.25^.0.50³/12=26.04^.10^-4 m⁴ Burulma atalet momenti:

< ℎ olduğundan: = (1 − 0.63 + 0.053 ^"_"=#.$∙#.&$ (1 − 0.63^#.&$_#.$ + 0.053^#.&$_#.$_"^") = 17.84 ∙ 10^+, -^, Sınır koşulları:

1, 2, 3, mesnet noktaları ve yardımcı 13 noktası hiçbir yer değiştirme yapamaz.

Bak: EK5 Modeldeki eksenine göre

Modeldeki eksenine göre

Yardımcı noktaya ait

(12)

Ahmet TOPÇU, Sonlu Elemanlar Metodu, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2015-2016, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu/ Sayfa 258 3 m

3 m 1

1

Z

Y

X 2

4

5 6

8 7

9 10

12 11

13 14

16 15

17 18

20 19

21 22

24 23

2

3 4

5 6

8 7

3 9

12

10

11 13

14 15 16

17

18 20 19 21

22 23 24

25

26 28 27

30 31 32

10 kN 10 kN 29

x

y x y

x y y x

x y

x

y x

y

x y Beton malzeme bilgileri: 6 = 34.55 ∙ 10^{3 78}₉_: , ; = 0.20

Kesit bilgileri:

Alt kolonlar: A=0.25 m², J=7.8188^.10^-3 m⁴ , Iy= Iz=5.2083^.10^-3 m⁴ Üst kolonlar: A=0.09 m², J=1.0133^.10^--3 m⁴, I2= I3=6.75^.10^-4 m⁴ Kirişler: A=0.18 m², J=3.7^.10^-3 m⁴ , Iy=1.35^.10^-3 m⁴, Iz=5.4^.10^-3 m⁴ İzolatör rijitlikleri: keksenel=1.0^.10⁶ kN/m, kesme=500 kN/m

İzolatörün modellenmesi:

5, 6, 7, 8 nolu izolatörler uzay çerçeve eleman olarak modellenmiş, bu elemanlarda esneklik matrisi

< =

=>

>>

?/A^@ 0 0 0 0 0

0 ^@_/B 0 0 0 _&/B^@^:

0 0 ^@_/B

: 0 0 −_&/B^@^:

:

0 0 0 _CD^@ 0 0

0 0 −_&/B^@^:

: 0 _/B^@

: 0

0 _&/B^@^: 0 0 0 _/B^@ EFFFFFFFFFG

HIJKH < =

=>

>>

>?₇_LMNLOLP⁰ 0 0 0 0 0

0 ₇ ⁰

MLNQL 0 0 0 0

0 0 ₇ ⁰

MLNQL 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0EFFFFFFG

alınmıştır.

Örnek 30.5: Sağdaki uzay çerçeve C40/50 betonu ile deprem yalıtımlı inşa edilecektir. Alt kat (izolatör katı) kolonlarında ile gösterilen kauçuk deprem izolatörleri vardır. İzolatör katı kolonları 05x05 m, diğer kolonlar 0.3x03 m, kirişler 0.3x0.6 kesitlidir. İzolatörün eksenel yük rijitliği keksenel=1.0^.10⁶ kN/m, kesme rijitliği kesme=500 kN/m dir.

Şekilde görülen yatay deprem yük için sistemin Y yönü yatay yer değiştirmeleri hesaplanacak, göreceli yer değiştirme grafiği çizilecektir.

İzolatör

Deprem izolatör katı

İzolatör altındaki noktalarda yer değiştirmeler sıfır. Gerçek davranışta izolatörler altındaki kolonlar zemin ile aynı yer değiştirmeyi yapar, üst yapı göreceli yer değiştirmeleri hemen hemen aynı olur.

İzolatör ve üstündeki noktalarda yer değiştirmeler hemen hemen aynı. Bu, katlar arası göreceli yer değiştirmelerin küçük olduğu, dolayısıyla iç kuvvetlerin de küçük kalacağı anlamındadır.