ÖZEL EGE LİSESİ
SİMEDYAN ÜÇGENİ VE NOKTADAŞLIK
HAZIRLAYAN ÖĞRENCİLER: Barış BALKAN
Meryem Nilsu ÇETİN DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ
İZMİR 2016
1
İçindekiler
Sayfa
1. Giriş………...……… 2
1.1 Projenin Amacı………..……….…………. 2
1.2 Ön Bilgiler………..……….………….. 2
2. Yöntem……….……….... 5
3. Bulgular……….………...… 5
4. Sonuçlar ve Tartışma……..………...… 10
5. Öneriler………..……….. 10
Kaynaklar……… 10
2
1. Giriş
Üçgenler eski zamanlardan beri insanlarda merak uyandırmayı başarmış ve birçok araştırmaya konu olmuştur. Üçgende özel noktalar ile ilgili oldukça fazla sayıda çalışma bulunmaktadır. Üçgenlerin Ağırlık Merkezi (G), Diklik Merkezi (H), İç Teğet Çemberinin Merkezi (I) gibi birçok özel nokta üzerine araştırmalar kaydedilmiştir. Biz de bu çalışmamızda üçgenin özel noktalarından biri olup, matematik olimpiyat dünyası için önemli bir konu olan ama diğer özel noktalara göre adına daha az aşina olduğumuz Simedyan Noktası ve Simedyan Doğruları üzerinde çalıştık.
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin bir köşesinden geçen kenarortay doğrusunun o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine o köşeye ait simedyanı adı verilir ([1]). Bir üçgende simedyanlar tek bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin simedyan noktası olarak adlandırılır ([1]).
Simedyan noktası aynı zamanda Grebe Noktası, Lemoine Noktası olarak da isimlendirilir ([2]). Bu isimler ise 1873’de konuyla ilgili çalışma yapan ve bu noktanın varlığını ispatlayan Fransız matematikçi Émile Lemoine ve 1847’de başka bir çalışma yapmış olan Ernst Wilhelm Grebe’den gelmektedir. Konuyla ilgili çok fazla ispat ortaya koyamamasına rağmen Simon Antoine Jean L'Huilier da 1809’da simedyanlar üzerinde çalışmıştır ([2]).
Yaptığımız araştırmalar sonucu edindiğimiz bilgilere göre simedyanlar üzerine 30 farklı karakterizasyon bulunmaktadır ([3]). Buna göre, üçgenin kenar uzunlukları ile simedyan doğrusunun kenarı ayırdığı parçaların uzunlukları oranı, anti paralel doğrular, iç ve dış açıortaylar gibi üçgenin elemanları cinsinden simedyan doğrularının belirleyen kriterler mevcuttur ([4]).
1.1 Projenin Amacı
Bu projenin amacı, bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin [𝐴𝐵], [𝐵𝐶] ve [𝐴𝐶] kenarlarına ait simedyanların 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin kenarlarını kestiği noktaları köşe kabul eden, 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin simedyan üçgeni olarak adlandıran üçgen aracılığıyla oluşan ve 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin iç bölgesinde kalan üçgenlere ait özellikleri belirlemektir.
1.2 Ön Bilgiler
Teorem 1.2.1 (Ceva Teoremi)
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninde 𝐴𝑋, 𝐵𝑌, 𝐶𝑍 doğrularının bir noktada kesişmesi için gerek ve yeter koşul 𝑠𝑖𝑛(𝐴𝐶𝑍̂). 𝑠𝑖𝑛(𝐵𝐴𝑋̂). 𝑠𝑖𝑛(𝐶𝐵𝑌̂)
𝑠𝑖𝑛(𝑍𝐶𝐵̂). 𝑠𝑖𝑛(𝑋𝐴𝐶̂). 𝑠𝑖𝑛(𝑌𝐵𝐴̂)= 1 olmasıdır ([5]).
Tanım 1.2.2
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin bir köşesinden geçen kenarortay doğrusunun o köşeden geçen açıortay doğrusuna göre simetriğine o köşeye ait simedyanı (kenarortaysı) adı verilir (Şekil 1) ([1]).
Bu çalışma boyunca, bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeni için |𝐴𝐵| = 𝑐, |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐶𝐴| = 𝑏 olmak üzere,
[𝐴𝐵], [𝐵𝐶] ve [𝐴𝐶] kenarlarına ait simedyanlar sırasıyla 𝐾𝑐, 𝐾𝑎 ve 𝐾𝑏,
𝐾𝑎, 𝐾𝑏 ve 𝐾𝑐 simedyanlarının sırasıyla [𝐵𝐶], [𝐴𝐶] ve [𝐴𝐵] kenarlarını kestikleri noktalar ise sırasıyla 𝑆𝑎, 𝑆𝑏 ve 𝑆𝑐
ile gösterilecektir.
3 Şekil 1: Simedyanlar ve Simedyan Noktası
Teorem 1.2.3
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninde 𝐾𝑎, 𝐾𝑏 ve 𝐾𝑐 simedyanları tek bir noktada kesişir [4].
Bu noktaya, 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin Lemoine noktası veya simedyan noktası adı verilir. Bu çalışma boyunca 𝐴𝐵𝐶 üçgenine ait simedyan noktası 𝑆 ile gösterilmiştir.
Teorem 1.2.4
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin 𝐵𝐶 kenarı üzerinde bir 𝑋 noktası alınsın. 𝐴𝑋 doğrusunun 𝐵𝐶 kenarına ait simedyan olması için gerek ve yeter koşul
|𝑋𝐵|
|𝑋𝐶|=|𝐴𝐵|2
|𝐴𝐶|2 olmasıdır [4].
Tanım 1.2.5
𝐴𝐵𝐶 bir üçgen olsun. Köşeleri 𝑆𝑎, 𝑆𝑏 ve 𝑆𝑐 noktaları olan üçgene 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin simedyan üçgeni adı verilir [5].
4 Şekil 2: 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin simedyan üçgeni 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 üçgenidir.
Önerme 1.2.6
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgenin simedyan üçgeni 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 olsun. |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐴𝐵| = 𝑐 ve |𝑆𝑎 𝑆𝑏 | = 𝑐′,
|𝑆𝑎 𝑆𝑐 | = 𝑏′ ve |𝑆𝑏 𝑆𝑐 | = 𝑎′ olmak üzere
𝑎′ =𝑎𝑏𝑐√+𝑎4+ 𝑎2𝑏2− 𝑏4+ 𝑎2𝑐2+ 3𝑏2𝑐2− 𝑐4 (𝑎2+ 𝑏2)(𝑎2+ 𝑐2)
𝑏′ =𝑎𝑏𝑐√−𝑎4+ 𝑎2𝑏2+ 𝑏4+ 3𝑎2𝑐2+ 𝑏2𝑐2− 𝑐4 (𝑎2+ 𝑏2)(𝑏2+ 𝑐2)
𝑐′=𝑎𝑏𝑐√−𝑎4+ 3𝑎2𝑏2− 𝑏4+ 𝑎2𝑐2+ 𝑏2𝑐2+ 𝑐4 (𝑎2+ 𝑐2)(𝑏2+ 𝑐2)
dir ([5]).
Önerme 1.2.7
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgenin simedyan üçgeni 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 olsun. |𝐵𝐶| = 𝑎, |𝐴𝐶| = 𝑏, |𝐴𝐵| = 𝑐, |𝑆𝑎 𝑆𝑏 | = 𝑐′,
|𝑆𝑎 𝑆𝑐 | = 𝑏′, |𝑆𝑏 𝑆𝑐 | = 𝑎′, 𝐴(𝐴𝐵𝐶) 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin alanı ve 𝑆 ise 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 üçgeninin alanı olmak üzere
𝑆 = 2𝑎2𝑏2𝑐2
(𝑎2+ 𝑏2) + (𝑎2+ 𝑐2) + (𝑏2+ 𝑐2). 𝐴(𝐴𝐵𝐶) dir ([5]).
5
2. Yöntem
Bu çalışma oluşturulmadan önce simedyan noktasının karakterizasyonları incelenmiş ve daha sonra simedyan üçgeni tanımı üzerine durulmuştur. Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin simedyan üçgeninin oluşturulması ile birlikte üçgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerin simedyan noktaları üzerine odaklanılmıştır. Bulunan önermeler doğrudan ispat yöntemi ile ispatlanmıştır.
3. Bulgular
Önerme 3.1
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan 𝐵𝑆𝑎𝑆𝑐, 𝐴𝑆𝑏𝑆𝑐 ve 𝐶𝑆𝑎𝑆𝑏 üçgenlerinin ağırlık merkezleri sırasıyla 𝐺1, 𝐺2 ve 𝐺3 olsun. Bu durumda, 𝐵𝐺1, 𝐴𝐺2 ve 𝐶𝐺3 doğruları noktadaştır.
İspat
|𝑆𝑎𝑆𝑐|, |𝑆𝑏𝑆𝑎| ve |𝑆𝑐𝑆𝑏| kenarlarının orta noktaları sırasıyla 𝐴1, 𝐵1 ve 𝐶1,
𝑚(𝐶̂ ) = 𝑥1𝐴𝑆𝑏 1, 𝑚(𝐶̂ ) = 𝑥1𝐴𝑆𝑐 2, 𝑚(𝐴̂ ) = 𝑦1𝐵𝑆𝑐 1, 𝑚(𝐴̂ ) = 𝑦1𝐵𝑆𝑎 2, 𝑚(𝐵̂ ) =1𝐶𝑆𝑎 𝑧1, 𝑚(𝐵̂ ) = 𝑧1𝐶𝑆𝑏 2
|𝐴𝑆𝑐| = 𝑘, |𝐵𝑆𝑐| = 𝑥, |𝐵𝑆𝑎| = 𝑙, |𝑆𝑎𝐶| = 𝑦, |𝐶𝑆𝑏| = 𝑚 ve |𝑆𝑏𝐴| = 𝑧 olsun (Şekil 3).
Şekil 3: 𝐵𝐺1, 𝐴𝐺2 ve 𝐶𝐺3 doğruları noktadaştır.
6 𝑆𝑆𝑏𝐴𝐶1, 𝑆𝑆𝑐𝐴𝐶1, 𝑆𝑆𝑐𝐵𝐴1, 𝑆𝑆𝑎𝐵𝐴1, 𝑆𝑆𝑎𝐶𝐵1, 𝑆𝑆𝑏𝐶𝐵1 sırasıyla 𝑆𝑏𝐴𝐶1, 𝑆𝑐𝐴𝐶1, 𝑆𝑐𝐵𝐴1, 𝑆𝑎𝐵𝐴1, 𝑆𝑎𝐶𝐵1 ve 𝑆𝑏𝐶𝐵1 üçgenlerinin alanları olmak üzere
𝑆𝑆𝑏𝐴𝐶1= 𝑆𝑆𝑐𝐴𝐶1 𝑆𝑆𝑐𝐵𝐴1 = 𝑆𝑆𝑎𝐵𝐴1 𝑆𝑆𝑏𝐶𝐵1= 𝑆𝑆𝑎𝐶𝐵1 olduğundan sinüs teoreminden
1
2𝑘|𝐴𝐶1|𝑆𝑖𝑛(𝑥2) =1
2𝑧|𝐴𝐶1|𝑆𝑖𝑛(𝑥1) 1
2𝑥|𝐵𝐴1|𝑆𝑖𝑛(𝑦1) =1
2𝑙|𝐵𝐴1|𝑆𝑖𝑛(𝑦2) 1
2𝑦|𝐶𝐵1|𝑆𝑖𝑛(𝑧1) =1
2𝑚|𝐶𝐵1|𝑆𝑖𝑛(𝑧2) dir. Buradan
𝑘
𝑧 =𝑆𝑖𝑛(𝑥1) 𝑆𝑖𝑛(𝑥2),𝑙
𝑥=𝑆𝑖𝑛(𝑦1) 𝑆𝑖𝑛(𝑦2),𝑚
𝑦 =𝑆𝑖𝑛(𝑧1) 𝑆𝑖𝑛(𝑧2) elde edilir. O halde
𝑘 𝑧.𝑙
𝑥.𝑚
𝑦 =𝑆𝑖𝑛(𝑥1)
𝑆𝑖𝑛(𝑥2).𝑆𝑖𝑛(𝑦1)
𝑆𝑖𝑛(𝑦2).𝑆𝑖𝑛(𝑧1) 𝑆𝑖𝑛(𝑧2)
olarak bulunur. Diğer taraftan, 𝐴𝑆𝑎, 𝐵𝑆𝑏 ve 𝐶𝑆𝑐 doğruları 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin simedyan doğruları olduğundan tek bir noktada kesişir. O halde Ceva teoreminden,
𝑘. 𝑙. 𝑚 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 1 eşitliği sağlanır. Buradan
𝑘 𝑧.𝑙
𝑥.𝑚
𝑦 =𝑆𝑖𝑛(𝑥1)
𝑆𝑖𝑛(𝑥2).𝑆𝑖𝑛(𝑦1)
𝑆𝑖𝑛(𝑦2).𝑆𝑖𝑛(𝑧1) 𝑆𝑖𝑛(𝑧2)= 1
olduğundan, Ceva Teoremi gereği 𝐵𝐺1, 𝐴𝐺2 ve 𝐶𝐺3 doğruları noktadaştır.
Önerme 3.2
Bir 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan 𝐵𝑆𝑎𝑆𝑐, 𝐴𝑆𝑏𝑆𝑐 ve 𝐶𝑆𝑎𝑆𝑏 üçgenlerinin simedyan noktaları sırasıyla 𝐾1, 𝐾2 ve 𝐾3 olsun. Bu durumda, 𝐵𝐾1, 𝐴𝐾2 ve 𝐶𝐾3 doğruları noktadaştır.
7 Şekil 4: 𝐵𝐾1, 𝐴𝐾2 ve 𝐶𝐾3 doğruları noktadaştır.
İspat:
𝐴1, 𝐵1 𝑣𝑒 𝐶1 noktaları sırasıyla 𝑆𝑎𝑆𝑐, 𝑆𝑎𝑆𝑏 ve 𝑆𝑐𝑆𝑏 doğru parçalarının orta noktaları;
𝐼1, 𝐼2 𝑣𝑒 𝐼3 noktaları ise sırasıyla 𝐵, 𝐴 ve 𝐶 açılarının iç açıortaylarının sırasıyla 𝑆𝑎𝑆𝑐, 𝑆𝑐𝑆𝑏 ve 𝑆𝑎𝑆𝑏 doğru parçalarını kestikleri noktalar olsun.
𝑚(𝑆̂𝑏𝐶𝐵1)= 𝜃, 𝑚(𝐵1̂ = 𝜀, 𝑚(𝑆𝐶𝐼3) ̂𝑐𝐴𝐶1)= 𝛼, 𝑚(𝐼̂2𝐴𝐶1)= 𝛽, 𝑚(𝑆̂𝑐𝐵𝐴1)= 𝛾 ve 𝑚(𝐴̂1𝐵𝐼1)= 𝛿 olsun. Bu durumda, simedyan doğrusu tanımı gereği
𝑚(𝑆̂𝑎𝐶𝐾3)= 𝑚(𝑆̂𝑏𝐶𝐵1)= 𝜃 𝑚(𝐾̂ = 𝑚(𝐵3𝐶𝐼3) ̂ = 𝜀 1𝐶𝐼3) 𝑚(𝑆̂𝑐𝐴𝐶1) = 𝑚(𝑆𝑏𝐴𝐾̂2) =𝛼 𝑚(𝐶̂1𝐴𝐼2)= 𝑚(𝐼2̂𝐴𝐾2) = 𝛽 𝑚(𝐼̂1𝐵𝐴1)= 𝑚(𝐼1𝐵𝐾1) = 𝛿 𝑚(𝑆̂𝑐𝐵𝐴1)= 𝑚(𝐾̂1𝐵𝑆𝑎)= 𝛾 dır (Şekil 5).
8 Şekil 5
Önerme 3.1’e göre 𝐵𝐴1, 𝐴𝐶1 ve 𝐶𝐵1 doğruları noktadaş olduğundan 𝑆𝑖𝑛(𝛼 + 2𝛽). 𝑆𝑖𝑛(𝛾). 𝑆𝑖𝑛(𝜃 + 2𝜖)
𝑆𝑖𝑛(𝛼). 𝑆𝑖𝑛(𝛾 + 2𝛿). 𝑆𝑖𝑛(𝜃) = 1 dir. O halde
𝑆𝑖𝑛(𝛼). 𝑆𝑖𝑛(𝛾 + 2𝛿). 𝑆𝑖𝑛(𝜃)
𝑆𝑖𝑛(𝛼 + 2𝛽). 𝑆𝑖𝑛(𝛾). 𝑆𝑖𝑛(𝜃 + 2𝜖)= 1 elde edilir. Ceva Teoremi’nden 𝐵𝐾1, 𝐴𝐾2 ve 𝐶𝐾3 doğruları noktadaştır.
Uyarı 3.3
Bir 𝐴𝐵C üçgeninin 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan 𝐵𝑆𝑎𝑆𝑐, 𝐴𝑆𝑏𝑆𝑐 ve 𝐶𝑆𝑎𝑆𝑏 üçgenlerinin yükseklik merkezleri sırasıyla 𝐻1, 𝐻2 ve 𝐻3 olsun. Bu durumda, Şekil 6’da görüldüğü gibi 𝐵𝐻1, 𝐴𝐻2 ve 𝐶𝐻3 doğrularının noktadaş olması gerekmez.
9
Şekil 6: 𝐵𝐻
1, 𝐴𝐻
2ve 𝐶𝐻
3doğruları noktadaş değildir.
Önerme 3.4
Bir 𝐴𝐵C üçgeninin 𝑆𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐 simedyan üçgeni çizilsin. Oluşan 𝐵𝑆𝑎𝑆𝑐, 𝐴𝑆𝑏𝑆𝑐 ve 𝐶𝑆𝑎𝑆𝑏 üçgenlerinin yükseklik merkezleri sırasıyla 𝐻1, 𝐻2 ve 𝐻3 olsun. Bu durumda, |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| ise 𝐵𝐻1, 𝐴𝐻2 ve 𝐶𝐻3 doğruları noktadaştır.
Şekil 7: |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| ise 𝐵𝐻1, 𝐴𝐻2 ve 𝐶𝐻3 doğruları noktadaştır.
İspat:
|𝐴𝐵| = |𝐴𝐶| ve 𝑚(𝑆̂𝑎𝐵𝐻1)= 𝛼, 𝑚(𝑆̂𝑐𝐴𝐻2)= 𝛽, 𝑚(𝑆𝑏̂ = 𝜃 𝐶𝐻3) ve 𝑚(𝐻1̂ =𝐵𝑆𝑐) 𝑥, 𝑚(𝐻2̂ = 𝑦, 𝑚(𝐻𝐴𝑆𝑏) 3̂ = 𝑧 olsun. 𝐴𝐵𝐶 üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan |𝐵𝑆𝐶𝑆𝑎) 𝑎| = |𝐶𝑆𝑎|,
|𝐵𝑆𝑐| = |𝐶𝑆𝑏|, |𝐴𝑆𝑐| = |𝐴𝑆𝑏| ve 𝑚(𝑆̂𝑎𝐶𝐻3)= 𝛼, 𝑚(𝑆̂𝑏𝐴𝐻2)= 𝛽, 𝑚(𝑆 𝑐̂ = 𝜃 dır. O halde 𝐵𝐻1) 𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑠𝑖𝑛𝛽. 𝑠𝑖𝑛𝜃= 1
elde edilir. Dolayısıyla 𝐴𝐵𝐶 üçgeni ikizkenar üçgen iken 𝐵𝐻1, 𝐴𝐻2 ve 𝐶𝐻3 doğruları noktadaştır.
10 Şekil 8
4. Sonuçlar ve Tartışma
Düzlemde bir 𝐴𝐵𝐶 üçgenin simedyan üçgeni aracılığıyla oluşturulan ve üçgenin iç bölgesinde kalan üçgenlerin simedyan doğrularının ve kenarortay doğrularının noktadaş olduğu gösterilmiştir. Yükseklik merkezlerinden geçen doğruların noktadaş olması için gerekli koşul ise 𝐴𝐵𝐶 üçgeninin ikizkenar üçgen olmasıdır.
5. Öneriler
Simedyan üçgeni aracılığı ile belirlenen ve üçgenin iç bölgesinde kalan üçgenlerin simedyan doğrularının, kenarortay doğrularının noktadaş olmasından yararlanılarak oluşturulan bu çalışmanın üçgenin özel noktaları üzerine üretilecek yeni çalışmalara kaynaklık edeceği görüşündeyiz.
Kaynaklar
[1] http://geomania.org/forum/geometri-teorem-ve-ispatlar/kenarortaysi-(simedyan)/ . Erişim Tarihi: 12.01.2015.
[2] Honsberger, R. (1995). The Symmedian Point. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, The Mathematical Association of America, Washington, D.C.
[3] Gonzalez,L. (2015).
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t319f6h1142396s1_30_characterizations_
of_the_symmedian_line. Erişim Tarihi: 12.01.2016.
[4] Luo, S. ve Pohoata, C. (2013). Let’s Talk About Symmedians!. Mathematical Reflections. 4.
[5] http://mathworld.wolfram.com/SymmedialTriangle.html Erişim Tarihi: 12.01.2016.
[6] Şahin, M. (2000). Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık Geometri – 1, Palme Yayınları, Ankara.
