v
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
ZAMAN SĐNYALLERĐNDE PENCERE
ETKĐSĐNĐN GĐDERĐLMESĐ VE MICROTREMOR
VERĐLERĐNE UYGULANMASI
Elif BALKAN
Ocak, 2010 ĐZMĐR
v
ETKĐSĐNĐN GĐDERĐLMESĐ VE MICROTREMOR
VERĐLERĐNE UYGULANMASI
Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Tezi
Jeofizik Mühendisliği Bölümü, Jeofizik Anabilim Dalı
Elif BALKAN
Ocak, 2010 ĐZMĐR
v
ELĐF BALKAN, tarafından PROF. DR. RAHMĐ PINAR yönetiminde hazırlanan “ZAMAN SĐNYALLERĐNDE PENCERE ETKĐSĐNĐN GĐDERĐLMESĐ VE MICROTREMOR VERĐLERĐNE UYGULANMASI” başlıklı tez tarafımızdan okunmuş, kapsamı ve niteliği açısından bir Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Rahmi PINAR
Danışman
Jüri Üyesi Jüri Üyesi
Prof.Dr. Cahit HELVACI Müdür
Fen Bilimleri Enstitüsü
v
Tezimin hazırlanması sırasında yardımlarını esirgemeyen ve çalışmalarımı yönlendiren değerli hocam Sayın Prof. Dr. Rahmi PINAR’ a teşekkür ederim.
Elif BALKAN
v
ÖZ
Bu çalışmada, mikrotemor yöntemi ile elde edilen zaman verilerinin kesilmesinden kaynaklanan sorunlar ve verinin alınmasına yönelik sürecin ne olması gerektiği araştırılmıştır.
Jeofizikte veriler zamana ya da uzaklığa bağlı olarak gözlenirler. Bu verilerin analizi için ise frekans ortamına aktarılmaları gerekmektedir. Çünkü zaman ortamında görülemeyen birçok olay frekans ortamında rahatlıkla saptanabilir. Toplanan veriler, olayın doğası gereği, ölçüm süresi boyunda bir pencere ile kesilmiş olurlar. Zaman ortamında bu işlemi, sonsuz boylu verinin, dikdörtgen bir pencere işlevi ile çarpımı olarak tanımlanabilir. Fourier dönüşümünün evrişim özelliğe göre, zaman ortamındaki bu çarpım işlemi frekans ortamında evrişime karşılıktır. Zaman ortamı pencere işlevi, verinin frekans ortamında değerlendirilmesi aşamasında ayrımlılığın azalmasına sebep olabilir.
Bilindiği gibi mikrotemor verilerinin analizinden sonra zemine ait baskın salınım dönemi (T), Spektral dönem (Ta,Tb) ve yerin büyütmesi (K) belirlenmeye çalışılır. Belirlenen bu parametrelerin güvenilirliği çok önemlidir çünkü binalar bu parametrelere göre sınıflandırılmış zemine uygun olarak tasarlanırlar. Mikrotremor gibi 0,1 sn ile 2 sn arasındaki periyoda sahip verilerin analizinde, birbirine yakın frekanslardaki izlerin ayrılabilmesi oldukça zordur. Ferkans ortamında yakın periyotlu sinyallerin, dikdörtgen pencerenin spektrumu olan sinc işlevinin evrişimi nedeniyle ayrımlılığın kalmadığı gözlemlenmiştir. Dolayısıyla güvenilir bir değerlendirilme yapılabilmesi için, veriler üzerindeki pencere etkinin giderilmesi şarttır.
v
yöntemi kullanılmıştır. Đkinci aşamada ise, araziden alınan gerçek mikrotremor verilerinde ters evrişim yöntemi ile pencere etkisi veriden ayrılmıştır.
Bu çalışma sonucunda microtemor verilerin değerlendirilmesi sırasında kullanılacak olan pencerelerin boyunun en az 600 saniye olması gerektiği belirlenmiştir.
Anahtar sözcükler: Ters evrişim, zaman ortamı pencere etkisi, frekans ortamı sinc işlevi etkisi.
v
APPLICATIONS ON MICROTREMOR DATA ABSTRACT
In this study, the problems resulting from the cutting of time data obtained with microtemor method and what the period regarding the obtainment of data must be have been investigated.
Data are obtained depending on time or distance in geophysics. These data must be transferred into the frequency medium so that they will be evaluated and interpreted. Because, many events that cannot be noticed in time medium can be readily analyzed in frequency medium. The gathered data, naturally, have been cut with a window in the height of measurement time. This process, in time medium, can be defined as the multiplication of infinite heighted data with a rectangular window function. According to the convolution feature of Fourier Tranform, this multiplication operation refers to convolution in frequency medium. Window function of time medium can cause differences to reduce at the stage of the resolution of data in frequency medium.
As known, after the analysis of microtemor data, the dominant period of emission of ground (T), spectral period (Ta, Tb), and the growth of ground ( K) are tried to be determined. The reliability of these determined parameters is of great importance, because buildings are designed in compliance with the ground classified according to these parameters. In the analysis of data with periods of 0.1-2 seconds such as microtemor, the differentiation of traces in the frequencies that are close to each other is quite difficult. It has been observed in the frequency medium that the signals with close periods have no differences due to the convolution of sinc function, which
is the spectrum of rectangular function. Therefore, it is compulsory that window effect on data be eliminated in order to make a reliable evaluation.
v
frequencies has been shown and tried to be eliminated. So as to eliminate the effect, reverse convolution method has been used. At the second stage, on the other hand, the real microtemor data taken from that area have been studied and window effect has been aimed to be discharged from the data through the reverse convolution method.
The results disclosed in the consequence of the studies, the window length, appiles on signal, during evaluation data should be at least six hundred.
Keywords: Deconvolution, window effect on tıme domain, Sinc function effect on frequency domain.
v
Sayfa
YÜKSEK LĐSANS TEZĐ SINAV SONUÇ FORMU... ii
TEŞEKKÜR ... iii ÖZ ... iv ABSTRACT ... vi BÖLÜM BĐR - GĐRĐŞ ... 1 BÖLÜM ĐKĐ – KURAMSAL GELĐŞME ... 2 2.1 Sinyal ... 2
2.2 Fourier Serileri ve Fourier Dönüşümü... 3
2.2.1 Fourier Serileri ... 3
2.2.2 Fourier Dönüşümleri ... 4
2.3 Pencereleme ... 5
2.3.1 Pencereleme Nedeniyle Karşılaşılan Sorunlar ... 6
2.3.2 Pencereleme Nedeniyle Frekans Ortamında Karşılaşılan Sorunlar ... 9
2.4 Mikrotrmorler ... 10
2.5 Mikrotremorler Verilerinin Kesilmesi ve Kesilme Sürecinden Kaynaklanan Sorunla ... 12
2.6 Pencere Türleri ve Etkileri ... 14
2.6.1 Dikdörtgen Pencere... 14
2.6.2 Üçgen Pencere ... 15
2.7 Microtemor Verilerinde Pencere Etkisinin Giderilmesi ... 16
2.7.1 Ters Evrişim ... 17
2.7.1.1 Deterministik Ters Evrişim ... 18
2.7.1.2 ĐstatistikselTers Evrişim ... 18
2.7.1.3 Ters Evrişimde Kullanılan Yöntemler ... 18
2.7.1.3.1 En Küçük Kareler Yöntemiyle Ters Evrişim ... 19
2.7.1.3.2 Özilişki Yöntemiyle Ters Evrişim ... 20
v
BÖLÜM ÜÇ – UYGULAMALAR ... 23
3.1 Kuramsal Veriler Üzerindeki Uygulamalar ... 23
3.1.1 Kuramsal Verilerin Oluşturulması ... 23
3.1.1.1 Dalgacığın Oluşturulması ... 23 3.1.1.2 Pencere Đşlevi ... 26 3.1.1.3 Evrişim ... 27 3.1.2 Örnekler... 28 3.1.2.1 Örnek 1 ... 28 3.1.2.2 Örnek 2 ... 31 3.1.2.3 Örnek 3 ... 35
3.2 Arazi Veriler Üzerindeki Uygulamalar ... 37
3.2.1. Pencere boyu (d) 2 saniye seçilip değerlendirilmesi ... 38
3.2.2. Pencere boyu (d) 10 saniye seçilip değerlendirilmesi ... 40
3.2.3. Pencere boyu (d) 25 saniye seçilip değerlendirilmesi ... 41
3.2.2. Pencere boyu (d) 600 saniye seçilip değerlendirilmesi ... 42
BÖLÜM DÖRT – SONUÇLAR VE ÖNERĐLER ... 44
KAYNAKLAR ... 46
BÖLÜM BĐR GĐRĐŞ
Jeofizikte en önemli nokta, gözlemlenen arazi verilerinin analizlerinin doğru bir şekilde yapılarak değerlendirilmesidir. Bunun için birçok spektral yöntem kullanılmaktadır.
Microtremor verilerinin doğası gereği elde edilen sinyaller ölçüm süresine bağlı olarak bir pencere etkisinde ayrımlılıklarını yitirirler. Bu etki giderilmeden verinin değerlendirilmesi ve zemine ait parametrelerin saptanması güvenilir olamaz. Nakamura (1989) ‘da yayınladığı “yer yüzeyinde microtremor kullanarak yer altı yapısına ait dinamik parametrelerin hesaplanması” adlı makalesiyle microtremorların kullanım alanlarına büyük kolaylık sağlamıştı. Son 20 yıl içinde yapılan birçok çalışmada microtremorların doğal kaynakları kullanılarak yer altı yapısının belirlenmesinde geliştirilmiş microtremor arama yöntemleri vardır (Okada ve diğ., 1990).
Microtremor verileri belirlenen bir zaman süresince toplanırlar. Değerlendirme aşamasında verinin tamamı kullanılabileceği gibi, gürültü oranının az olduğu kısımlar da belirlenip analizleri yapılabilir. Veriden sinyal/gürültü oranının büyük olduğu kısımlarının ayrılması işlemi, veriyi uygun bir pencere ile çarpmaya karşılık gelir. Toplanan verinin tamamı değerlendiğinde, ölçüm süresinin etkisi, sinyal/gürültü oranının baskın olduğu zaman aralıklarının seçilip değerlendirildiğinde ise seçilen pencere etkisinin giderilmesi gerekmektedir. Microtemor verilerinin analizinde pencere etkisinin giderilmesi adına yapılmış herhangi bir çalışma bulunmamaktadır.
Bu yüksek lisans tez çalışmasında, zaman sinyalleri üzerindeki pencere etkisi giderilmeye çalışılmıştır. Bu amaçla, bölüm ikide çalışmada yararlanılan genel kuram, bölüm üçte yapılan uygulamalar ve bölüm dörtte çalışma sonucu elde edilen sonuç ve öneriler yer almaktadır.
BÖLÜM ĐKĐ
KURAMSAL GELĐŞME
2.1 Sinyal
Sinyal, zaman veya uzay ortamı bağımsız değişkenlerine bağlı olarak elde edilen fiziksel bir nicelik olarak tanımlanır. Matematikte sinyali bir ya da daha fazla bağımsız değişkenin işlevi olarak tanımlayabiliriz
Sinyallerin analizlerinin yapılabilmesi için türünün belirlenmesi gerekir. Çünkü farklı veri türlerine uygulanacak spektral analiz yöntemleri de farklılıklar göstermektedir. En genel olarak sinyaller; tanımlı sinyaller ve tanımlı olmayan (rastgele) sinyaller olarak ikiye ayrılırlar. Tanımlı sinyaller, matematiksel bir bağıntıyla tanımlanan verilerdir. Uygulamada sık karşılaşılan bir diğer sinyal türü ise matematiksel bir bağıntıyla tanımlanamayan izlerdir. Bunlara da rastgele sinyaller adı verilir. Jeofizikte gözlemlerde elde edilen sinyaller rastgele ve tanımsal özelliklerin ikisini birlikte içerebilirler.
Jeofizikte sinyaller genellikle zaman (t) ve uzay (x) ortamlarında tanımlanırlar. Oysaki izlerin analizinin yapılabilmesi ve yorumlanabilmesi için frekans ortamına aktarılmaları gerekmektedir. Çünkü zaman veya uzay ortamında görülemeyen olaylar frekans ortamında rahatça görülebilir.
Bir sinyal, değişik frekanslardaki sinüsoidal dalgaların toplamı olarak düşünülür ve sinyalin analizdeki amaç, onu oluşturan dalgaların genlik ve evre bilgilerine ulaşmaktır. Sinyallerin analizinde, bir sinüsoidal dalga
) cos( ) (t A ωtmφ x = (2.1.a) ) sin( ) (t A ωtmφ x = (2.1.b)
bağıntılarıyla gösterilebilir. Şekil 2.1. te sinüsodial bir dalganın elemanları gösterilmektedir. Burada “A” dalganın genliğini, “
ω
” açısal hızı φ ise evreyi göstermektedir. Açısal hız ile periyot arasındaki ilişki, ω =2π/T dır.Şekil 2.1 Sinüsodial dalga
Sinyallerin analizlerinden önce belirlenmesi gereken diğer bir özellikleri de dönem bilgisidir. Çünkü dönemi bilinen ve dönemi bilinmeyen verilerin frekans ortamı görüntüsünü elde edebilmek için farklı yaklaşımlar kullanılır. Bu yaklaşımlar da Fourier Serileri ve Fourier Dönüşümleridir.
2.2 Fourier Serileri ve Fourier Dönüşümü
Zaman ya da uzay ortamında ayrılamayan birçok parametre frekans ortamında analiz yapılarak bulunabilir
2.2.1 Fourier Serileri
Frekans analizinde Fourier Serilerinin kullanılabilmesi için iki koşul olmalıdır. Bunlar, sinyalin sonsuz uzunluklu olması ve döneminin bilinmesi gerektiğidir. Sonsuz uzunluklu, T dönemli bir () işlevini Fourier Serisine açılımı,
() = 2 + cos() + cos(2) + … … … . . +cos() + sin() + sin(2) + … … … . . +sin () () = + ∑ ∞ cos() + sin ()
bağıntısıyla verilir. Bu bağıntıda w=2π/T olup, , ve katsayıları aşağıdaki gibidir.
= – / / () (2.3) = – / / ()cos() (2.4) = – / / ()sin() (2.5) Çeşitli trigonometrik açılımlar kullanarak en genel haliyle fourier serilerini (2.6) bağıntısıyla gösterebiliriz.
() = ∑"#"! $%&'( (2.6) ve != – / /() exp(−-) (2.7) dir. ! hormoniğin genliği ise temel frekanstır
2.2.2 Fourier Dönüşümleri
Fourier Dönüşümü, dönemi bilenmeyen, sonsuzda olan işlevler için kullanılır.
Eğer bir işlevin dönemi T, sonsuz büyürse, açısal frekans w sıfıra yaklaşır. = 2.// 012 →∞2. = 0
w yeterince küçükse, w yerine Δw yazılabilir ve o zaman Δw sıfıra yaklaşır böylece ayrık frekans spektrumu sürekli hale gelir.
(2.6) bağıntısında , ! yerine (2.7) bağıntısı yazılırsa;
() = ∑ 5∞#" # / / () exp(−-) exp(-)6 (2.8) elde edilir.
w yerine Δw koyulup, (2.6) bağıntısı düzenlendiğinde; () = ∑ 57&' 8 () exp(−-) / – / 6 exp(-) " #" (2.9) buluruz. Burada 9() = # / / () exp(−-) (2.10) olduğu bilindiğine göre (2.6) bağıntısı
() = ∑"#"8 9() exp(−-) (2.11) halini alır.
Sonuç olarak T→ ∞, iken w→0 olması durumunda Δw ifadesi dw ye, toplam ifadesi ise integrale dönüşür ve aşağıdaki dönüşümlere ulaşılır;
() = 8 9() exp(-) ∞
#" (2.12) 9() = () exp(−-) #"" (2.13) (2.12) ve (2.13) bağıntılarına Fourier Dönüşüm çiftleri denir.
2.3 Pencereleme
Bilindiği gibi jeofizikte veriler sonsuz uzunluktadırlar. Araziden alınan veriler zamanın veya uzayın bir parçasıdır. Yapılan ölçümlerde doğada sonsuz uzunlukta verinin belirli bir kısmı kaydedilmektedir. Örneğin araziden bir profil boyunca ölçü alınmakta ve bu profilin başlangıç noktası ile bitiş noktası arasındaki değerler hariç diğer her yerde ölçü değeri sıfır kabul edilmektedir. Gerçekte bu böyle değildir. Ölçü almadığımız halde profilin dışında da sayısal değerler vardır. Bu da demek oluyor ki alınan veriler sonsuz uzunluktayken dikdörtgen bir pencere ile pencerelenip kesilerek birer iz biçimine getirilmektedirler. Bu kesme işlemi matematiksel olarak sonsuz uzunluklu sinyali, pencere fonksiyonu ile çarpmaya eşdeğerdir. Zaman ortamında sonsuz uzunluklu bir sinyalin pencerelenmesini aşağıdaki gibi gösterebiliriz;
;() = (). <() (2.14) f(t) ; zaman ortamı sonsuz uzunluklu sinyal
p(t) ; zaman ortamı ölçüm aralığı (pencere fonksiyonu) ;() ;zaman ortamı pencerelenmiş sinyal
Şekil 2.2 Pencere işlevi (Pınar ve Akçığ 1995)
Frekans ortamında ise Fourier Dönüşümü özelliklerine göre, zaman ortamında iki fonksiyonun çarpımı, frekans ortamında her bir fonksiyonun Fourier Dönüşümlerinin evrişimlerine eşittir. Yani zaman ortamı çarpma işlemi frekans ortamında evrişime dönüşmektedir. Frekans ortamı pencerenmiş sinyal ise;
9=() = 9 () ∗ ?() (2.15) dır.
2.3.1 Pencereleme Nedeniyle Karşılaşılan Sorunlar
Pencereleme işleminde dikkat edilmesi gereken önemli sorunlar vardır. Pencere boyu bunlardan en önemlisidir. Zaman ortamında belirleyeceğimiz pencerenin boyu frekans ortamında bazı parametrelerin değişimine etki etmektedir. Kullanılan pencerenin dikdörtgen pencere olması durumunda
<() = @1 || < D 0 || >DF G.H. IJK ?() = L1M(&D) (2. 16)
spektrum (2.16) denklemiyle verilen “sinc” işlevi olur (Şekil 2.3). Burada d pencerenin boyudur.
Şekil 2.3 Sinc işlevi
Böylece dikdörtgen pencere ile pencerelenmiş sinyalin spekturumu
9=() = 9() ∗ L1M(&D ) (2.17) bağıntısıyla verilir. Görüldüğü gibi pencerenin boyu ne kadar uzun olursa sinc işlevi birim dürtüye yaklaşır. Sinc fonksiyonunun ilk sıfırı 2π/d de yer almakta ve pencere boyu arttıkça sıfıra yaklaşmaktadır.
Pencere boyu seçiminde dikkat edilecek bir diğer nokta ise, pencere boyunun sinyalin temel periyodunun tam katı olması gerektiğidir. Bir sinyali pencerelerken kullanacağımız pencerenin genişliği (d), sinyal içindeki temel periyodun (T) tam katları olmalıdır (d= n.T). Pencere boyunun yanlış seçildiği durumlarda, frekans ortamında ayrımlılığın azaldığı görülecektir. Şekil 2.5 te pencerelenmiş bir sinyal verilmiştir.
Şekil 2.5 Zaman ortamı pencereleme ((Pınar ve Akçığ 1995)
Frekans ortamındaki ayrımlılık, pencerenin bant genişliğine bağlıdır. Pencere boyu uzadıkça frekans ortamında seçilebilirlik artacaktır.
2.3.2 Pencereleme Nedeniyle Frekans Ortamında Karşılaşılan Sorunlar
Sonsuz uzunluklu bir sinüsodialin pencerelenmesi, zaman ortamında bu işlevin sinc işlevin çarpımı ile ifade edilirken, frekans ortamında sinc işleviyle evrişimle tanımlanmıştır. Şekil 2.6 da gördüğümüz sinc işlevi yansalınımları nedeniyle frekans ortamında birbirine yakın olan frekanslarda ayrımlılığın yitirilmesine neden olacaktır.
;() = (). <() GNOPQO HöüşüRüIJJJJJJJJJJJK 9=() = 9 () ∗ ?()
Şekil 2.6 Frekans ortamı pencereleme (Pınar ve Akçığ 1995)
Đşlem yapılan sinyal tek bir sinüsodialden oluşuyorsa frekans ortamında bir karışıklık söz konusu olmayacaktır. Fakat doğada, örneğin mikrotremor verilerinde, böyle bir durumla karşılaşılması olası değildir. Mikrotremör verileri birden fazla ve farklı frekanslarda sinüsodiallerin toplamından oluşmaktadırlar. Böyle bu durumda frekans ortamında sinc işleviyle evrişimden kaynaklanan üst üste binmeler görülecek ve ayrımlılık ortadan kalkacaktır.
2.4 Mikrotemorler
Mikrotemor sinyallerinin birbirlerinden farklı dönemlere sahip birçok sinüsodialin toplamları şeklinde olduğu kabul edilmektedir. Bu farklı dönemler, frekans ortamında birbirine çok yakın frekanslara da karşılık gelebilmektedirler. Zaman ortamında pencerelenme etkisi olarak tanımladığımız ve frekans ortamında sinüsodiallerin, sinc işleviyle evrişimi sonucunda ortaya temel frekanslarını ayıramadığımız bir spektrum çıkacaktır. Bu problemin giderilmesi, saptanacak parametrelerin doğruluğu açısından oldukça önemlidir.
Mikrotemorler okyonusal, atmosferik ya da yapay kaynaklardan (trafik endüstriyel makinler) ortaya çıkan her zaman ve her yerde bulunan düşük genlikli salınımlardır. Mikrotemorler, dönemleri 0,005-2 saniye, genlikleri ise 0.01-1 mikron arasında değişim gösteren titreşimciklerdir
Mikrotremorların periyot spektrumları, alındıkları zeminin yapısına bağlı olarak farklı özellikler gösterirler (Kanai, 1961). Mikrotremorler değerlendirilerek bulunan parametrelere göre zemin sınıflandırılmaları yapılmaktadır. 1997 Deprem yönetmeliğine göre yerel zemin koşullarının belirlenmesi için esas alınacak yerel zemin sınıfları tablo 2.1 de verilmiştir
Tablo 2.1 Spektrum karakteristik periyotları
Tablo 2.1 de görüldüğü gibi zemin en küçük 0.1 sn ve büyük 0.9 sn periyotlara sahip sınıflara ayrılmıştır. Her periyoda ait frekans dağılımı tablo 2.2 te verilmiştir. Bu tablo hazırlanırken w=2π/T bağıntısından yararlanılmıştır. Şekil 2.8 de periyotlar ve bunlara karşılık gelen frekansların birbirlerine göre dağılımı gösterilmiştir.
Tablo 2.2 Spektrum karakteristik periyotlarına karşılık gelen frekans değerleri
T(sn) w 0,1 20π 0,15 13,33π 0,2 10π 0,3 6,67π 0,4 5π 0,5 4π 0,6 3,33π 0,7 2.86π 0,8 2,5π 0,9 2.22π 1 2π
Tablo 2.3 incelendiğinde en büyük periyoda (T=1 sn) karşılık gelen frekans değerinin wmin=2π, en büyük frekans değerinin de wmax= 20 π olduğunu görmekteyiz. Minimum Δt=0.05 sn ve minimum Δw=0.222 π dir. Buna göre frekans ortamı örnekleme aralığı en az “minimum Δw” nın yarısı kadar seçilmelidir. Şekil 2.7 te her bir periyota karşılık gelen frekansların, dağılımı verilmiştir.
Şekil 2.7 Ta-Tb periyotlarına karşılık gelen frekans değerlerinin dağılımı
Şekik 2.7 incelendiğinde, birbirine yakın frekansların olduğunu görmekteyiz. Pencere etkisi, bu frekansların birbirinden ayrılmasını iyice zorlaştıracaktır.
Şekil 2.8 Periyot- frekans dağılımı
2.5 Mikrotemor Verilerinin Kesilmesi ve Kesilme Sürecinden Kaynaklanan Sorunlar
Mikrotremor ölçümleri sonucunda veriler belirli bir zaman penceresiyle kesilmiş olurlar. Verinin değerlendirilip analizlerinin yapılabilmesi için frekans ortamındaki bilgilerine gereksinim vardır. Sonlu uzunluktaki verilerin spektrumu,
sonsuz uzunluktaki sinyalin spektrumu ile pencere işlevinin Fourier Dönüşümünün evrişiminden oluşmaktadır. Pencere işlevinin Fourier Dönüşümü sinc işlevidir. Bu evrişimin sonuçlarını görebilmek için sinc işlevinin özelliklerinin bilinmesi gerekir. Şekil 2.3 te görüldüğü gibi w=0 da sinc işlevi en büyük değerini alır. k2π/T (k= 1, 2, 3, ….∞) frekanslarında ise kökleri elde edilir. Đşlev çift yan batlıdır ve salınımların genliği sonsuzda sıfıra yaklaşmaktadır.
Sinc işlevinin ana band genişliği dikdörtgen pencerenin boyu ile ters orantılıdır. Pencerenin boyu arttıkça, spektrumu da birim dürtüye yaklaşacaktır. Bir sinyalin birim dürtü ile evrişimi sinyalin kendisine eşittir. Yani sonlu uzunluktaki verilerin spektrumlarının ideale yaklaşması için, yeterince uzun bir pencere boyunun seçilmesi gerekir.
Mikrotemor verilerin kesilmesinde karşılaşılan diğer bir sorun ise enerji sızması olayıdır. Verilen frekanstaki genlik ya da faz değerinin hesaplanmasında buna yakın komşu frekanslardaki enerjinin sızması, verinin ayrımlılığının azalmasına yol açar.
Sonlu uzunluktaki verilerin spektrumunun güvenilir bir şekilde hesaplanması için, veri boyunun, sinyal içindeki temel periyodun tam katları şeklinde seçilmiş olması gerekmektedir. Böylece sinc işlevinin sıfırları ile sinyal içindeki temel ve harmoniklerindeki frekanslara ait genlik değerlerine rastlayacaktır. Yani kesilen veri, frekans ortamında sinc işleviyle evrişirken bozulmaya uğramayacaktır.
Veri boyunun, verinin temel periyodunun tam katı seçilmediği durumlarda ise, sinc işlevinin sıfırları ile sinyalin sıfırdan farklı genliklere sahip frekansları çakışmayacaktır. Böyle bir durumda bu genlik değerleri, sıfırdan farklı bir değerle çarpılmış olacağından güvenilir olmayan bir spektrum elde edilmiş olur. Spektrumun biçimi, sinyal içindeki frekans ve genlik değişimlerine göre değişip, farklı frekanslara ötelenmiş sinc işlevlerinin yığışımından meydana gelecektir. Böyle bir durumda ise, sinc işlevinin yan salınımları birbirine girecek ve bu salınımlar kimi zaman birbirini sönümlerken kimi zaman da aslında olmayan büyük genlikli olayların varmış gibi görünmesine sebep olacaklardır. Bölüm 3 te bu konuyla ilgili uygulamalar detaylı olarak verilecektir.
2.6 Pencere Türleri ve Etkileri
Sinyal analizinde güvenilir spektrum elde etmek için, verinin kesilmesinde kullanılacak pencerenin aşağıdaki özelliklere sahip olması gerekmektedir;
1) Pencerenin band genişliğinin dar
2) Pencerenin yan salınım genliklerinin olabildiğince az 3) Yan salınımlardaki genlik azalım oranının hızlı olması
Ancak bu üç koşulu birden sağlayan ideal bir pencere yoktur. Örneğin dikdörtgen pencerenin band genişliği en ideal iken, yarattığı süreksizliklerin genliğinin büyük olması nedeni ile oluşan gibbs olayı sorun oluşturmaktadır. Üçgen pencere, kosinüs penceresi gibi süreksizliklerin az oluşmasına neden olan pencerelerinde band genişliği büyüktür. Aşağıda dikdörtgen ve üçgen pencere ile ilgili açıklamalar ve karşılaştırılmalar verilmiştir.
2.6.1 Dikdörtgen Pencere
Dikdörtgen pencere sinyal analizinde band genişliği en dar olan penceredir. Ancak hem zaman ortamında hem de frekans ortamında meydana gelen enerji sızması olayı bakımından bazı dezavantajlar sunabilir. Dikdörtgen pencerenin bağıntısı (2.18) da, frekans ve zaman ortamı görüntüsü ise şekil 2.9 de verilmiştir.
<() = S10 <$M$U$ ışı || ≤ 1/2 F ?() = VWX(8Y)8Y (2.18)
2.6.2 Üçgen Pencere
Verinin üçgen pencereyle kesilmesindeki amaç, yan salınım etkilerini azaltmaktır. Đşlevin zaman ve frekans ortamı bağıntıları (2.19) deki gibidir.
<() = S1 − || || < 10 || > 1F ?() = ZVWX (8Y/)8Y/ [ (2.19) Yukarıdaki bağıntı incelendiğinde kareli parantez içindeki ifadenin, dikdörtgen pencerenin Fourier dönüşümü olduğu görülür. Buradaki kare alma işlemi, veriye dikdörtgen pencerenin iki defa uygulanması anlamına gelmektedir. Şekil 2.10 da üçgen pencerenin yan salınımlarının dikdörtgen pencereye göre daha az olduğu buna karşılık ana band genişliğinin de iki katı olduğu görülmektedir.
Şekil 2.10 Zaman ve frekans ortamı üçgen pencere
Yapılan araştırmalar sonucunda, idealde bir zaman penceresinin frekans ortamın görüntüsünün birim dürtü işlevine yaklaşması gerekmektedir. Fakat uygulamada böyle bir pencereye rastlamak imkânsızdır. Dar band genişliğine sahip olması nedeniyle seçilen dikdörtgen pencereler, enerji sızması olayına sebep olurken, yan salınımları bastırması için kullanılan üçgen ve kosinüs pencerelerinde de görülmüştür ki band genişliği dikdörtgen pencereninken kat ve kat fazla olmaktadır.
2.7 Mikrotremor Verilerinde Pencere Etkisinin Giderilmesi
Mikrotremor ölçümlerinde kayıtçılar, yerin doğal titreşimlerini belirli bir zaman aralığında kayıt ederler. Sonsuz uzunluklu olan yerin doğal titreşimcikleri, kayıt süresi uzunluğunda bir zaman penceresi ile çarpılarak sınırlanmış olur. Zamanın işlevi olarak kaydedilen bu izler, analizlerinin yapılabilmesi için frekans ortamına aktarılırlar. Frekans ortamında yapılan değerlendirmeler sonucunda yerin egemen titreşim periyodu, büyütmesi ve spektral karakteristik periyotları gibi bazı parametreleri saptanır. Bu parametreler ışığında zemin sınıflandırılır. Güvenli yapı tasarımında bu sınıflandırmalar çok büyük önem taşır.
1997 yılında yayımlanan Deprem Yönetmeliğine göre zemin Spektrum karakteristik periyotlarına göre dört farklı sınıfa ayrılmaktadır (Tablo 2.1). 0,1 sn ile 1 sn arasında değişen periyotlar birbirlerine çok yakındır ve alınmış kayıttan söz konusu periyotların ayrılmasının güçlüğü frekans ortamı çalışmalarından açıkça anlaşılmaktadır. Frekans ortamında ayrımlılığın sağlanabilmesi için veri boyu uzunlu önemlidir. Çünkü daha önceden de bildiğimiz gibi sonsuz uzunluklu bir verinin zaman ortamında kesilmesi frekans ortamında sinc işlevi ile evrişimine eşittir. Birbirine çok yakın frekanslarda bilgi taşıyan izler, sinc işlevi ile çarpılmaları nedeniyle maskelenebilir ya da aslında var olmayan izler varmış gibi görülebilir (ayrımlılığın yitirilmesi). Değerlendirmenin doğru yapılması için verideki pencere etkisinin giderilmesi gerekir.
Pencere etkisinin giderilmesinin birçok yolu vardır. Ancak burada bu etki ters evrişim ile giderilmiştir. Zaman ortamında çapılmanın frekans ortamında evrişime karşılık gelmesinden dolayı, evrişim yoluyla veriye eklenen bu pencere etkisini, ters evrişim yoluyla veriden ayırabiliriz.
2.7.1 Ters Evrişim
Ters evrişim sinyal analizinde en çok kullanılan tekniklerden biridir. Jeofizikte kaydedilen izler kayıtçıya gelene kadar birçok nedenden dolayı orijinalliklerini yitirirler. Orijinal sinyal öncelikle yeraltının fiziksel ve geometrik özelliklerinden dolayı etkilendiği tepki işleviyle, ölçümün yapıldığı aletin sahip olduğu tepki işleviyle ve ölçüm sürecinin etkisiyle evrişerek bozulmaya uğrar. Yani orijinal sinyale birçok nedenden ötürü evrişim etkileri eklenmiş olur. Bunu bir denklem olarak (2.20) bağıntısıyla açıklayabiliriz. Ters evrişim ile bu evrişim etkilerinin sinyal üzerinde yaptığı bozulmalar giderilir. Deterministik ve Đstatistiksel Ters Evrişim olarak sınıflandırılmaktadır.
() = L() ∗ \() ∗ ı(). <() (2.20) Bu bağıntıda ;
(); Kaydedilen sinyal L() ; Kaynak dalgacığı
\() ; Sinyalin ilerlediği ortama ait tepki işlevi ı() ; Sinyalin kaydedildiği aletin tepki işlevi <() ; Pencere etkisi
dır.
Pratikte denklem (2.20)’ de sadece kaydedilen sinyal () bilinmektedir. Sinyal analiz edilerek ortama ait tepki işlevi bulunulmaya çalışılır. Analizlerin doğru yapılabilmesi için ilk olarak kaydedilen sinyal üzerindeki pencere etkisinin veriden ayrılması gerekmektedir. Bu denklemde kaynak dalgacığı, ortama ait tepki işlevi ve aletin tepki işlevinin evrişimini tek bir işlev olarak alıp (2.20)’i yeniden düzenlersek,
() = ^(). <() (2.21)
^() = L() ∗ \() ∗ ı()
Şeklinde sadeleştirebilirz. .(2.19) denkleminin frekans ortamı bağıntısı ise
9(_) = `() ∗ ?() (2.22)
2.7.1.1 Deterministik Ters Evrişim
Deterministik ters evrişimin uygulanabilmesi için, evrişime giren tüm elemanların analitik veya sayısal olarak tanımlanmış olması gerekmektedir.
2.7.1.2 Đstatistiksel Ters Evrişim
En küçük kareler, özilişki, Z dönüşümleri gibi istatistiksel yöntemler kullanılarak yapılan ters evrişimdir. Dalga biçimli, Ön kestirmeli ve Đğnecikleştirme olarak üç alt gruba ayrılır.
2.7.1.3 Ters Evrişimde Kullanılan Yöntemler
Jeofizikte evrişim işlemi (2.18) bağıntısında olduğu gibi ifade edilir.
a = b ∗ (2.23) burada w ya da x bilinmiyor ise ters evrişim yöntemiyle bulunurlar. Eğer eşitliğin her iki tarafını w nın tersi olan c ile evrişime sokarsak
c ∗ a = b ∗ ∗ c (2.24) elde etmiş oluruz. Bilindiği gibi bir işlevin tersiyle evrişimi birim dürtüye eşittir o zaman (2.19) bağıntısı
c ∗ a = b ∗ d (2.25) halini alır. Burada eşitliğin sağ tarafı yine x eşit olduğundan x yerine
b = b ∗ ∗ c (2.26) yazabiliriz. Bir işlevin birim dürtü ile evrişimi yine kendisini verecektir.
d ∗ b = b ∗ ∗ c (2.27) d = ∗ c (2.28) iğnecik işleci elde edilir. Yani evrişim işlevi ile onun tersi olan işlecin evrişimi birim dürtüyü verir. (2.28) bağıntısının Z dönüşümü alınarak, c işleci bulunabilir.
2.7.1.3.1 En Küçük Kareler Yöntemiyle Ters Evrişim. EKK yöntemiyle hesaplanacak ters evrişim katsayılarının uzunluğu büyük önem taşır. Katsayının boyu kısa olura yanılgı, uzun olursa ise veri yitimi ve işlem sayısı fazla olur.
Bir dalgacığını, iğneciğe dönüştüren süzgeç katsayıları, en küçük kareler yöntemiyle yaşağıdaki işlemler izlenmelidir (Pınar ve Akçığ, 1995).
b = (1, ) ve, istenen sonuç a = (1,0,0) olsun
x öyle bir işleçle evriştirilmelidir ki sonuç y olsun. Şekil 2.11 da şekilsel anlatımı gösterilmiştir.
b ∗ c = a (2.25)
Şekil 2.11 Đğnecik süzgeci
z dönüşümlerinden yararlanılarak
b(f) = 1 + f (2.29) yazılır. x in tersi olan c(f) ise;
c(f) =g(h) = ijh (2.30) dır. ve
c(f) = 1, −, , … … … , (2.31) olduğuna göre, ilk iki terim kullanılarak
c = (c , c ) = (1 , −) (2.22) bulunur.
O halde a = b ∗ c = (1, ) ∗ (1, −) (2.33) Buradaki evrişimin sonuca göre a = 1, 0, − bulunur. Fakat istenilen gerçek çıktı iğneciktir. Gerçek çıktı ve hesaplanan arasındaki yanılgı
$ = d − a = 1, 0, 0 − 1, 0, − = 0, 0, (2.34) dır. gerçek çıktı ile istenen arasındaki farkın karesi;
k = $ = ∑ (d P− aP)
bağıntısıyla ifade edilir. Denklemdeki n veri sayısını temsil eder. 2.33 da bulunun sonuç 2.34 de yerine konulursa
k = (l) (2.35) bulunur.
Yanı bu işlemdeki yanılgı l tür. Uygulamada bunun mümkün olduğunca küçük olması istenmektedir. “E” e kadar küçük olursa süzgeç katsayılarının güvenilirliği o kadar fazla olacaktır.
Ters evrişim sonucu elde edilen süzgeç katsayıları (c , c ) ile giriş dalgacığı b = (1, ) evriştirildiğinde
a = (1, ) ∗ (c , c )
a = cN, (c + c ), c (2.36) Đstenen çıktı birim dürtü olduğuna göre, yanılgı;
$ = d − a = 1 − c, −c − c, -c (2.37) k = $ = 1 − 2c
N+ (1 + ) cN+ 2 cNc + (1 + ), c (2.38) elde edilir. EKK da yapıldığı üzere yanılgı enelrjisi E nin her parametreye göre türevi alnıp sıfıra eşitlenir
mn &c'= 0 , mn &co= 0 (2.39) (1 + ) cN+ c = 1 (2.40) cN+(1 + )c = 0 (2.41) Bu denklemlerin çözümü yapılarak c ve c bulunur.
c= 5 ij
p
ijpijq6, c = − ijjpijq (2.42) 2.7.1.3.2 Özilişki Yöntemi ile Ters Evrişim. Bu yöntemde süzgeç katsayıları özilişki işlevinin yardımıyla bulunur. Önceki bölümde verilen x=(1,a) dalgacığının özilişkisi (,, 1 + , ,) dır. Yani r= (1 + ) , r = dır. bir önceki bölümde olduğu gibi denklemler düzenlendiğinde;
rc+ r c = 1 (2.43) r c+ rc = 0 (2.44) bağıntıları elde edilir. Bu denklemler çözülerek c ve c katsayıları bulunur.
Yukarıda görüldüğü gibi iki elemanlı ters süzgeç katsayılarının çözümü oldukça basittir. Süzgeç sayıları artıkça, bağıntılar artacak ve işlem zorluğu ortaya çıkacaktır. Fakat süzgeç katsayılarının uzun olmasından dolayı da yanılgı enerjisi azalacaktır. N adet katsayıdan oluşan bir sistemin çözülmesi için, aşağıdaki dizey kurulmalıdır.
s t t t t t u rr r . . r# r r r . . r# r r r . . r#v . . . . . r# . . . . . r# r# r# r#v . . r wx x x x x y s t t t t t u cc c . . . c# w x x x x x y = s t t t t t u ^^ ^ . . . ^# w x x x x x y (2.45) (2.45) dizeyinde;
1) eşitliğin sol tarafında (nxn) boyutlu bir kare dizey vardır. Aşırı bakışık olan bu dizey Teoplitz dizeyi adını alır. Çeşitli gecikmelerdeki, giriş sinyalinin (x) in özilişkisidir.
2) Kare dizey ile eşitlik arasında kalan (nx1) boyutlu dizey saptanması istenen süzgeç katsayıları dizeyidir.
3) Eşitliğin sağ tarafında ise (nx1) boyutlu kolon dizey yer alır. Bu dizey, istenen çıkış ile girdi verisi (x) in çapraz ilişkisinden elde edilir.
Eşitliğin sol kısmında yer alan (nxn) boyutlu Teoplizt dizeyi aşırı bakışıktır. Bu özelliği sayesinde bilgisayar belleğinde az yer tutar. Görüldüğü gibi dizeyin yalnızca ilk satırının hesaplanması ile tüm dizey kolaylıkla bulunabilir. (2.45) denkleminin çözümü Levinson algoritması ile yapılır. Levinson algoritması ile iki terimli bir dizeyin çözümü aşağıdaki gibi yapılır (Pınar ve Akçığ, 1995).
(2.43) denklemi iki terimli bir süzgeç için normalize edilir 5rr rr 6 S 1c z = 5{ 0 6 (2.46) Burada, { = ^N/c c c /c (2.47) dır. c teriminin ilk indisi iterasyon basamağını ve ikinci basamağı da katsayıyı belirtir. Normal denklermler,
r+ r c = 1
r + rc = 0 (2.48) ve bunların çözümü,
c − r /r ve { = r− r /r dır.
Miktremor kayıtlarında elde edilen izlerin Levinson algoritması ile çözümünde ise (2.45) denkleminde eşitliğin sağ tarafındaki Teoplizt matrisi pencere etkisine sahip kalmış sinyalin kendisi ile özilişkisinden elde edilir. Eşitliğin sol tarafı, pencere etkisinin giderildiği çıkışla giriş verisinin çapraz ilişkisinden ve aradaki kolan matrisi de pencere etkisinin giderilmesini sağlayan ters evrişim süzgeç katsayılarından oluşur.
BÖLÜM ÜÇ UYGULAMALAR 3.1 Kuramsal Veriler Üzerindeki Uygulamalar
Çalışmanın bu bölümünde, pencerelemenin kuramsal sinyal üzerinde nasıl bir etkisinin olduğunun tartışılması için öncelikle kuramsal zaman sinyalleri üretilmiştir. Sinyaller oluşturulurken gerçeği yansıtması bakımından birbirine yakın frekans değerleri içermelerine dikkat edilmiştir. Oluşturulan veriler çeşitli boylarda pencereler ile kesilmiş ve frekans ortamında, pencere boyunun etkisi gözlenmiştir. Son olarak, ters evrişim yöntemi uygulanarak kuramsal veriler üzerindeki pencere etkisi giderilmiştir.
3.1.1 Kuramsal Verilerin Oluşturulması
Kuramsal verinin oluşturulması üç aşamada yapılmıştır. Đlk olarak sonsuz
uzunluklu sinüsodial dalgaların toplamından oluşan bir dalgacık oluşturulmuştur. Đkinci aşamada bu sonsuz uzunluklu kaynak dalgacığının kesilmesi için çeşitli boylarda pencere işlevleri elde edilmiş ve son olarak bu sonsuz uzunluklu sinyal ile pencere işlevi frekans ortamında evrişime sokulmuştur.
3.1.1.1 Dalgacığın Oluşturulması
Daha öncede belirttiğimiz gibi mikrotemor sinyallerinin birbirinden farklı dönemlere sahip birçok dalganın toplamı olduğu kabul edilmektedir. Bu çalışmada öncelikle tek bir sinüsodialden oluşmuş bir sinyal incelenecektir. Daha sonra farklı dönemlere ait sinüsodialler eklenip yaratacağı etkiler tartışılacaktır. Şekil 3.1 de sonsuz boylu tek bir sinüsodialin zaman ve frekans ortamı görünümü verilmiştir. Bu çalışmada, F(w) tek yan bantlı olarak kullanılacaktır. Tek bir sinüs dalgacığının zaman ve frekans ortamı bağıntıları aşağıdaki gibidir.
() = Asin() (3.1) Ƒsin( =8%d( − ) − d( + ) (3.2)
Şekil 3.1 Sonsuz boylu tek bir sinüs dalgası ve genlik spektrumu
Bilindiği gibi mikrotemor verilerinin dönemleri 0.005 saniye ile 2 sn arasında değişmektedir. Çalışmada seçilen dönemlerin bu aralıkta olmasına özen gösterilmiştir. Sinyallerin dönemleri belirlenirken dikkat edilen diğer bir etken ise, zeminin sınıflandırılmasında kullanılan Spektrumun Karakteristik Periyotaları (/j, /}) dır. Bu periyotlarda tablo 2.1 de verildiği üzere 0.1 sn ile 0.9 sn arasında değişim göstermektedir. Bu yüzden kuramsal sinyaller oluşturulurken /j{$ /} nin belirlenmesindeki sorunların ortaya konulması için periyotlar 0,1-1 sn arasından seçilmiştir. Periyotlardaki yüzde bir mertebesindeki bir değişim zeminin sınıfının değişmesine neden olduğu için yapay izlerin periyotları belirlenirken, art arda seçilecek iki periyot arasında en az 0.01 sn olmasına dikkat edilmiştir. Tablo 3.1 de seçilen periyot aralığına karşılık gelen frekansların dağılımı görülmektedir.
Frekans dağılımı tablosu incelendiğinde, özellikle büyük periyotlara karşılık gelen frekansların birbirine çok yakın olduğunu görmekteyiz. Bu durum evrişim sırasında ayrımlılığın kaybolmasına sebep olacaktır.
3.1.1.2 Pencere işlevi
Zaman ortamında ölçüm süresi olarak belirlediğimiz pencere işlevinin boyu (d), frekans ortamında, sinc işlevinin karakteristiğini belirlemektedir. Pencere işlevinin fourier dönüşümü, karmaşık frekans spekturumu ile bağıntı (3.3) teki gibi bulunur. Fourier dönüşümü alınırken, pencerenin döneminin sonsuzda olduğu kabul edilir. ?() = !=~D L1M Z&D [ (3.3) Bu bağıntıda A; dikdörtgen pencerenin genliği,
d; pencere işlevinin boyunu, T; ise dönemini temsil etmektedir.
Şekil 3.3 de görüldüğü gibi, sinc işlevinin yatay ekseni kestiği yerler, zaman ortamı pencere işlevinin boyuna bağlıdır. Sinc işlevinin yan salınımları evrişim sırasında ayrımlılığın yitirilmesine sebep olurlar ve bu salınımlar ancak sonsuz da sıfır değerine ulaşırlar. Uygulamalarda sonsuz boylu bir sinc işlevinin kullanılması mümkün olmayacağından, salınım genliklerinin sönümlenme oranlarına bakılmış ve en uygun sinc işlevi boyu seçilmiştir. Şekil 3.4 te farklı pencere boyuna sahip sinc işlevleri yer almaktadır.
Şekil 3.4 Zaman ortamı pencere boyunun frekans ortamı sinc işlevine etkisi
3.1.1.3 Evrişim
Kuramsal verinin oluşturulmasının son aşamasında sinüsodial dalga ile sinc işlevi frekans ortamında evriştirilmiştir. Şekil 3.5 te pencerelenmiş sinüsdodialin ferkans ortamı görüntüsü yer almaktadır. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli nokta evrişime giren sinyallerin örnekleme aralıklarının eşit olmasıdır.
Şekil 3.5 te evrişim sonucu ortaya çıkan sinyal incelendi frekanslar sinc işlevinin yan salınımları nedeniyle ayrımlılı yapılabilmesi için de bu etkinin giderilmesi gerekmektedir.
3.1.2 Örnekler
Bu bölümde, pencere etkisi örnekler üzerinde gösterilmi giderilmesi için Ters evriş
3.1.2.1 Örnek 1
Đlk olarak, A genlikli periyodu (T) bir saniye olan ve tek temel periyoda sahip, sonsuz uzunluklu bir sinüs i
gibidir.
() = Asin( ) Buna göre, = 2./
konulduğunda (3.4) denklemi,
() = 1sin(2.) halini alır. Şekil 3.6 de
Şekil 3.6 Zaman ortamı
şim sonucu ortaya çıkan sinyal incelendiğinde, birbirinine yakın levinin yan salınımları nedeniyle ayrımlılığını yitirmiştir. Analizinin yapılabilmesi için de bu etkinin giderilmesi gerekmektedir.
Bu bölümde, pencere etkisi örnekler üzerinde gösterilmiş ve bu etkinin giderilmesi için Ters evrişim yöntemi kullanılmıştır.
lk olarak, A genlikli periyodu (T) bir saniye olan ve tek temel periyoda sahip, sonsuz uzunluklu bir sinüs işlevini ele alalım, Böyle bir işlevin bağıntısı (3.4) deki
// , w =π = 2π olur. A=1 alınıp bağıntıda yerine unda (3.4) denklemi,
in zaman ortamı görüntüsü verilmektedir.
ekil 3.6 Zaman ortamı işlevi (T1=1 sn )
inde, birbirinine yakın ı yitirmiştir. Analizinin
ş ve bu etkinin
lk olarak, A genlikli periyodu (T) bir saniye olan ve tek temel periyoda sahip, ğıntısı (3.4) deki
(3.4) olur. A=1 alınıp bağıntıda yerine
Sonsuz uzunluklu işlevinin, d boylu bir pencere ile kesilmesi durumunda
zaman ortamında bu pencere ile çarpılmış olacaktır( ; () = () . <()) Pencere işlevinin boyunun, sinyalin temel dönemi “T” nin tam katları olması
gerektiği bölüm ikide ayrıntılı olarak verilmiştir (d=nxT). Đlk olarak T=d=1sn durumunu inceleyelim. Şekil 3.7 te kullanılan pencere işlevi verilmiştir.
Şekil 3.7 Pencere işlevi
Kesilmiş işlevi şekil 3.8 teki gibidir.
Şekil 3.8 Pencerelenmiş işlevi = ; ()
Zaman ortamında yaptığımız bu çarpım işleminin frekans ortamı karşılığı evrişim olacaktır (9= () = 9 () ∗ ?()). Görüldüğü gibi zaman ortamında evrişim
işlemi yapılabilmesi için () ve <() nın fourier dönüşümlerinin bilinmesi gerekmektedir. Şekil 3.9 te de 9 () gösterilmiştir.
Şekil 3.9 9 ()frekans ortamı görüntüsü
Bu örnekte kullanılan pencere işlevinin fourier dönüşümü (sinc işlevi )Şekil 3.10 te verişmiştir.
Şekil 3.10 Sinc işlevi
Bu bilgiler ışığında, zaman ortamı pencerelenmiş sinyalimizin frekans ortamı göruntusü 9 () şekil 3.11 daki gibi olacaktır.
Şekil 3.11 Frekans ortamı pencerelenmiş sinyal görüntüsü
Görüldüğü gibi tek bir temel periyoda sahip sinyallerin pencerelenip kesilmesi, veri üzerinde herhangi bir olumsuz etki yaratmamaktadır.
Ancak doğada, tek bir sinüs dalgacığından oluşmuş bir ize rastlamak olası değildir. Bu nedenle birden fazla sinüsodialin toplamından oluşan izlerin durumlarının incelenmesi gerekmektedir.
3.1.2.2 Örnek 2
Đkinci örneğimizde, üç farklı sinüsodialin toplamından oluştuğunu düşündüğümüz kuramsal sinyalimizi ele alalım.
() = sin( ) + sin() + vsin(v) (3.6) = 3 / = 1 L , = 1 / = 0,5 L , v= 7 /v= 0,4 L seçilsin Buna göre = 2π, = 4 π, v= 5. olur. Frekans ve genlik değerleri (3.6) te yerine konulduğunda
() = 3 sin(2πt) + sin(4π) + 7 sin(5π) (3.7) elde edilir. Sonsuz uzunluklu () işlevinin, frekans ortamı görüntüsü şekil 3.12 deki gibi olur.
Şekil 3.12 F2(w) frekans ortamı göruntüsü
Pencereleme kuramına göre, pencerenin boyunun sinyalin sahip olduğu temel frekansın tam katı olması (d=n. / ) durumunda ilk olarak n=2 durumunu ele alalım.
d = / =2 sn durumunda kullanılan pencere şekil 3.13 teki gibi olur.
Şekil 3.13 Örnek iki için kullanılan pencere işlevi (d=2xT1)
Temel dönemin iki katı uzunluğunda bir pencere ile kesilen verinin spekturumu şekil 3.14 te verilmiştir. Görüldüğü gibi birbirine yakın olan 4π ve 5π frekanslarındaki bilgiler, sinc işlevinin yansalınımları yüzünden birbirine girmiş ve 4π deki genlik ayrımlanamaz hale gelmiştir. Bunun sonucu ters evrişimle pencere etkisi giderilememiştir.
Şekil 3.14 Frekans ortamı pencerelenmiş veri
Eğer pencere boyu doğru seçilmiş olsaydı izleri birbirinden ayırmak sorun olmayacaktı. Bu örnekte birbirine en yakın olan w2 ve w3 frekansları arasında ∆w=(5π-4π)=π kadar bir fark vardır. bu zaman ortamında T=2π/w=2 saniyeye tekabül eder. Sinc şevinin yansalınımlarının birbirine yakın frekansları örtmemesi için pencere toplam boyunun π kadar olması gerekmektedir. Bu özelikte bir pencere boyu ile evriştirilen sinyal şekil 3.15 te verilmiştir.
Şekil 3.15 Doğru penrece boyu ile kesilmiş sinyalin spektrumu
Şekil 3.15 incelendiğinde uygun pencere boyu seçiminde frekans ayrımlılığının yitirilmediği görülmektedir. Bu örnekte pencere boyu 16 saniye alınmıştır. Bu değer Δw ya karşılık gelen T=2sn nin 8 katıdır. Elde edilen bu spektrum ters evrişim ile pencere etkisinden ayrılır ve şekil 3.16 teki sonuç elde edilir.
Şekil 3.16 Doğru pencere boyu seçimi sonrası ters evrişim çıktısı
Görüldüğü gibi, ters evrişim ile pencere etkisi giderilmiştir. Fakat pencere boyunun yanlış seçildiği durumda ise ters evrişim sonucu şekil 3.17 teki olacaktır. Burada ise, sinc işlevinin etkisi nedeniyle aslında veride olmayan yalancı frekanslar oluşmuştur.
Şekil 3.17 Yanlış pencere boyu seçimi sonrası ters evrişim çıktısı
3.1.2.3 Örnek 3
Mikrotremor verileri, birbirine çok daha yakın frekansları içeren dalgalardan oluşmaktadır. Bu örnekte tablo 2.1 de verilen periyot aralıklarına göre, birbirine en yakın iki frekans bileşenine sahip kuramsal bir veri incelenecektir. Tablo 2.1 de verilen periyotlara karşılık gelen frekansların dağılımı Tablo 3.1 de verilmişti. Bu tablolar incelendiğinde görülmektedir ki T=1 sn ve T=0.99 sn periyotlarına sahip dalgaların frekansları sırasıyla w=2π ve w=2.020202π ye karşılık gelmektedir. Bu örnekte bu birbirine en yakın frekansları da içeren çok bileşenli bir kuramsal iz incelenecektir.
() = sin( ) + sin() + … … … … . . + sin( ) (3.8) Çeşitli periyot ve genliklere sahip birbirinden farklı on beş sinüsodialin toplamından oluşan izin zaman ortamı ve frekans ortamı görünümü şekil 3.18 deki gibidir.
Şekilde görüldüğü gibi frekanslar birbirine çok yakınıdır. Sinc işlevi ile evrişime girdiğinde ayrımlılığın kaybolmaması için uygun pencere boyu belirlenmelidir. Bu örnekte ∆w=0,020202 π olduğuna göre, sinc işlevinin her bir frekanslar evriştikten sonra yansalınımlarının üst üste binmemesi için, toplam sinc işlevi toplam uzunluğunun en fazla 0,020202 π ( tek yan bandının uzunluğu 0,010101 π ) olması gerekir. Bu şartın sağlanması için gerekli olan pencere uzunluğu(d), T=2π/w bağıntısı kullanılarak d=600 sn bulunur.
Şekil 3.19 Örnek 3 için seçilmesi gereken sinc işlevi
Şekil 3.20 de ters evrişim sonucu elde edilen süzgeç katsayıları verilmiştir. Grafik incelendiğinde görülmektedir ki, şekil 3.18 de yapay izin frekans ortamı görüntüsüne çok yakındır. Böylece, pencere boyunun doğru seçildiği durumlarda, birbirine çok yakın frekansların bile sinc işlevinin yansalınımlarından etkilenmediği görülmüştür.
Şekil 3.20 Ters evrişim sonucu süzgeç katsayıları
Uygun pencere boyu, zaman ortamında ayırmak istediğimiz periyot aralığının hassasiyeti yüzde bir mertebesinde tutulduğunda en az 600 saniye olması gerekmektedir.
3.2 Arazi Verileri Üzerindeki Uygulamalar
Çalışmanın bu bölümünde, araziden toplanan microtremor verileri üzerindeki pencere etkisi giderilip zemine ait periyot değerleri belirlenecek ve klasik microtemor değerlendirme yöntemleriyle karşılaştırılması yapılacaktır. Bu amaçla microtremor verileri, literatürde oldukça sıklıkla kullanılan Geopsy programı yardımıyla analiz edilmiştir.
Geopsy programı ile veriler değerlendirilirken, uzunlukları kullanıcı tarafından belirlenen pencereler ile pencerelenirler. Verinin gürültü içeriğine göre değişen bu pencere uzunluları genelde iki saniye ile on saniye arasında belirlenmektedirler. Oysaki önceki bölümde de belirtildiği gibi, birbirine yakın frekansların taşıdıkları bilgilerin ayrılabilmesi için pencere boyunun en az altı yüz saniye seçilmesi gerekmektedir.
Aşağıda şekil 3.21 de verilen otuz dakikalık bir microtemor verisinin, farklı pencere boyları için, hem geopsy programı ile hem de ters evrişim yöntemiyle değerlendirilmiş verilerin karşılaştırılması verilmiştir.
Şekil 3.21 Araziden elde edilen otuz dakikalık microtemor verisi
3.2.1 Pencere boyu (d) 2 saniye seçilip değerlendirilmesi
Geopsy programıyla pencere boyunun iki saniye seçilip değerlendirilmesi sonucu, zemine ait periyot değeri T=0,32 sn bulunmuştur. Şekil 3.22 de programa ait analiz sonuçları şekil 3.23 te ters evrişim yöntemi uygulandıktan sonra elde edilen sonuçlar verilmiştir. Şekiller incelendiğinde pencere etkisi giderilmiş veride baskın periyodun T=0.6sn olduğu görülmektedir. Bulunan periyot değeri Geopsy programı ile elde edilen periyot değeri ile farklıdır.
Şekil 3.22 Geopsy programına ait analiz sonuçları (d=2 sn için).
Şekil 3.23 Ters evrişim yöntemi ile pencere etkisi giderilmiş veri.
3.2.2 Pencere boyu (d) 10 saniye seçilip değerlendirilmesi
Geopsy programıyla pencere boyunun on saniye seçilip değerlendirilmesi sonucu, zemine ait periyot değeri T=0.19 sn bulunmuştur. Şekil 3.24 de programa ait analiz sonuçları şekil 3.25 te ters evrişim yöntemi uygulandıktan sonra elde edilen sonuçlar verilmiştir. Şekiller incelendiğinde pencere etkisi giderilmiş veride baskın periyotların T=0.6 saniye olduğu görülmektedir.
Şekil 3.25 Ters evrişim yöntemi ile pencere etkisi giderilmiş veri. (d=10 sn için)
3.2.3 Pencere boyu (d) 25 saniye seçilip değerlendirilmesi
Geopsy programıyla pencere boyunun yirmi beş saniye seçilip değerlendirilmesi sonucu, zemine ait periyot değeri T=0.16 sn bulunmuştur. Şekil 3.26 de programa ait analiz sonuçları şekil 3.27 te ters evrişim yöntemi uygulandıktan sonra elde edilen sonuçlar verilmiştir. Şekiller incelendiğinde pencere etkisi giderilmiş veride baskın periyotların T=0.55 saniye olduğu görülmektedir.
Şekil 3.27 Ters evrişim yöntemi ile pencere etkisi giderilmiş veri. (d=25 sn için)
Görüldüğü gibi aynı yerde alınmış olan microtremor verisi Geopsy programı ile değerlendirilirken farklı pencere boyları seçildiğinde analiz sonucu değişmekte ve aynı zemine ait farklı periyot değerleri bulunmaktadır. Buna karşılık pencere etkisi giderilmiş veriler değerlendirildiğinde, farklı pencere boyları seçildiği halde analiz sonucu bulunan periyot değerinde büyük bir değişiklik görülmemektedir.
3.2.4 Pencere boyu (d) 600 saniye seçilip değerlendirilmesi
Geopsy programında pencere boyunun 300 saniye seçilmesi durumunda hiçbir analiz yapılamamıştır. Bu nedenle veri sadece ters evrişim yöntemiyle değerlendirilmiştir. Kuramsal verilen üzerinde yapılan örnekler göz önünde bulundurularak belirlenen pencere boyu 10 dakika seçilmiştir. Böylece uygulanan pencere, veri üzerinde ayrımlılığın azalmasına sebep olmayacak ve elde edilen periyot değerleri sağlıklı olacaktır Şekil 3.28 da değerlendirme sonuçları verilmektedir.
Şekil 3.28 Ters evrişim yöntemi ile pencere etkisi giderilmiş veri. (d=600 sn için)
Şekil 3.28 de görüldüğü gibi maksimum genlik değerleri f=13.2 hz değerinde ortaya çıkmıştır. Bu frekansa karşılık gelen periyot değeri ise T=0.08 saniyedir.
BÖLÜM DÖRT SONUÇLAR VE ÖNERĐLER
Bu yüksek lisans tez çalışmasında microtremor verilerinin alım sürecine ve değerlendirme sürecinde kullanılan pencerelerin boylarının ne olması gerektiğine yönelik yeni yaklaşımlar getirilmiştir.
Microtremor verilerinin sağlıklı değerlendirilebilmesi içerdiği frekansların her birinin doğru şekilde analiz edilmesine bu analizin güvenirliği de ölçüm sürecine ve değerlendirme aşamasında kullanılan pencerelerin uzunluğuna bağlıdır.
Microtremor verilerinin birçok farklı sinüsodial dalganın toplamından oluştuğu kabul edilmektedir. Her bileşenin sahip olduğu frekans farklıdır ve bu frekans diğer bileşenin sahip olduğu frekansla çok yakın olabilmektedir. Yöntemin doğası gereği gözlenen veriler bir zaman penceresi ile çarpılmış olurlar. Bu çarpım, verilerin asıl değerlendirilmelerinin yapıldığı frekans ortamına evrişime, pencere işlevi de sinc işlevine karşılık geldiğinden verinin ayrımlılığında azalma ortaya çıkmaktadır. Bu olaya ferkans ortamı pencere etkisi denir. Bu etki ölçüm sürecinin doğru seçilmesiyle giderilebilir.
Ayrıca microtremorler analizleri aşamasında, çeşitli uzunluklardaki pencerler ile kesilip değerlendirilmektedirler. Bu aşamada sinyal üzerindeki ayrımlılığın azalmamsı için kullanılacak pencerenin boyu çok büyük önem taşımaktadır.
Kuramsal veriler üzerinde yapılan uygulamalarda, zaman ortamında ayrılması istenilen iki periyodun arasındaki fark yüzde bir mertebesinde olduğunda, bu verinin ayrımlılığının sağlanabilmesi için, değerlendirme sürecinde seçilecek olan pencerenin boyunun en az 600 sn olması gerektiği belirlenmiştir.
Arazi verileri değerlendirilirken, aynı noktadan alınan ölçümlerin analiz aşamasında seçilen pencere boyu değiştikçe hesaplanan periyot değerinin de değiştiği görülmüştür. Oysa ki ölçüm alınan noktaya ait tek bir periyot değeri olmalıdır. .
KAYNAKLAR
Akçığ, Z. ve Pınar, R. (1995). Jeofizikte sinyal kuramı ve dönüşümler. TMMOB Jeofizik Mühendisleri Odası, Ankara, Eğitim Yayınları, No:3.
Aki, K. (1993). Local Site Effects on Weak and Strong Ground Motion.
Tectonophysics, 218, 93-111.
Bracewell, R.N. (1986). Fourier transform and its applications. USA McGraw-Hill Book Company.
Canıtez, N. (1984). Jeofizikte veri işlem (Cilt 1). Đ.T.Ü Yayınları, Đstanbul.
Canıtez, N., Gürbüz, C. (1987). Spektrum hesaplamada ön işlemler ve pencereleme. TMMOB Jeofizik Mühendisleri Odası, Eğitim Yayınları, Spektral Analiz ve
Uygulamaları Kollakyum Bildirileri, Ankara.
Dimri, V. (1992) . Deconvolution and inverse theory application to geophysical
problems. Amsterdam, Elsevier.
Mari, J.L., Glangeaud, F., Coppens, F. (1999). Signal processing for geologists &
geophysicists methods for the social sciences. Paris, Editions Technip, Proakis, J.G., Manolakis , D.G (2007). Digital signal processing. New Jersey.
Tokgöz, O.E. (2002). Ve Yakın Çevresinde Mikrotremor lverileri ile yer etkisinin incelenmesi. Yüksek Lisans Tezi, Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
Webster G.M. (1978). Deconvolution (Volume I-II) Society of exploration geophysicist reprint series, Tulsa, Oklahoma
Stranneby D. & Walker W.(2004). Digital signal processing and applications (2nd ed.).Elsevier.
