1 Tepe Değer (Mod) VaryansveStandartSapma

TEST İSTATİSTİKLERİ

1

Merkezi Yığılma Ölçüleri Merkezi Dağılma Ölçüleri Aritmetik Ortalama

Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan)

Dizi Genişliği (Ranj)

Varyans ve Standart Sapma

Bağıl Değişkenlik Katsayısı

2

ÖLÇME SONUÇLARININ DÜZENLENMESİ

Öğrenciler Puanı Öğrenciler Puanı Öğrenciler Puanı

1 25 11 18 21 22

2 30 12 13 22 22

3 30 13 13 23 14

4 25 14 17 24 23

5 48 15 17 25 5

6 44 16 40 26 48

7 44 17 40 27 44

8 46 18 40 28 38

9 46 19 22 29 38

10 18 20 22 30 38

3

Puan Frekans

5 1

13 2

14 1

17 2

18 2

22 4

23 1

25 2

30 2

38 3

40 3

44 3

46 2

48 2

Frekans Dağılımı

4

Grup Sayısının Belirlenmesi: Grup sayısının belirlenebilmesi için öncelikle verilerin yaklaşık olarak kaç gruba toplanacağına karar verilmelidir. Belirlenecek grup sayısı gruplandırmayı yapacak kişiye bırakılmıştır. Gruplandırmalar genellikle tek sayılı olarak gerçekleştirilir. Örneğimiz için grup sayısı 5 olsun.

Grup Aralık Katsayısının Hesaplanması: Puanların gruplandırılacağı aralığın genişliğini verir. Grup aralık katsayısı, puanların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark alınarak, belirlenen grup sayısına bölünür. Örneğimiz için hesaplarsak,

Bu işlemin ardından en küçük değer 5’den başlayarak ve 9’ar artırarak her grubun başlangıç ve bitiş değerleri oluşturulur.

Puanları sürekli hale getirebilmek için grup aralıklarının alt sınırı 0,5 puan azaltılır, üst

sınır 0,5 puan artırılır. Böylece, gerçek puan aralıkları belirlenmiş olur. Sıralı ve frekanslı

verilerden grup aralıklarına düşenler toplanır ve her grubun frekans sayısı belirlenir.

5

Aşağıdaki tablo puan aralıklarına göre oluşturulmuş frekans tablosudur.

Gruplar Grup Aralığı Gerçek Grup Aralığı Grup Orta Noktası Frekans

1. grup 5-13 4,5-13,5 9 3

2. grup 14-22 13,5,5-22,5 18 9

3. grup 23-31 22,5-31,5 27 5

4. grup 32-40 31,5-40,5 36 6

5. grup 41-49 40,5-49,5 45 7

Grafik incelenecek olursa, puan dağılımında en fazla yığılmanın nerede olduğu ve puanların hangi aralıkta tekrar ettiği gibi sorulara cevap grafik üzerinden rahatlıkla verilebilmektedir.

6

TEST İSTATİSTİKLERİ

Merkezi Yığılma Ölçüleri

• Aritmetik ortalama

• Mod

• Medyan

Gruplanmamış Verilerde Aritmetik Ortalama

Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplanan veri sayısına bölünmesidir.

n X^ _





X : Aritmetik Ortalama



Örnek: Bir sınıftaki 8 öğrencinin fizik dersi sınav notları 60,60,70,70,80,80,80 ve 100’dür. Bu öğrencilerin fizik dersi sınav puanlarının aritmetik ortalaması nedir?

8 75

100 80 80 80 70 70 60

60       









n X X

7

Gruplanmamış Verilerde Aritmetik Ortalama

Bir grup verinin aritmetik ortalaması, verilerin toplamının toplanan veri sayısına bölünmesidir.

n X

_  X



X : Aritmetik Ortalama

 ^X :Verilerin toplamı n : Veri ya da kişi sayısı

Örnek: Bir sınıftaki 8 öğrencinin fizik dersi sınav notları 60,60,70,70,80,80,80 ve 100’dür. Bu öğrencilerin fizik dersi sınav puanlarının aritmetik ortalaması nedir?

8 75

100 80

80 80 70 70 60

60        



 



n

X X

8

Frekanslar Üzerinden Aritmetik Ortalamanın Hesabı:

n X X

_  f ^



X : Aritmetik Ortalama

 ^{f  X} : her bir frekans ile değerlerin çarpımının toplamının toplamı n : Toplam veri ya da kişi sayısı

Yukarıda örnekte verilen değerleri kullanarak frekans tablosu oluşturalım ve aritmetik ortalamasını bulalım.

X (Puan) f (frekans)  ^{f  X}

60 2 120

70 2 140

80 3 240

100 1 100

n=8  ^{f  X =600}

8 75 600 8

100 240

140 120

8

1 . 100 3 . 80 2 . 70 2 .

60         

 

 



n

X

X f

9

Histogram Grafiklerinde Aritmetik Ortalamanın Hesabı:

Aynı veri grubu üzerinde inceleyecek olursak aşağıdaki grafik elde edilir.

N f X X

 0*

2 2

3

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

60 70 80 100

puan

frekans

Grafik üzerinden aritmetik ortalama hesaplanmak istenirse, puan ekseni (X) ile frekans (f) eksenindeki değerlerin eşleştirilerek çarpılması ve çarpım sonuçlarının da toplanması ile bulunur. Bu durum ise, frekans üzerinden hesaplanan aritmetik ortalama ile yapılan hesaplamaların aynı şekilde geçerli olduğunu gösterir.

8 75 600 

 

 



N

X

X f

10

Gruplandırılmış Verilerde Aritmetik Ortalama

Gruplar Grup Aralığı Grup Orta Noktası (X0) Frekans (f) X0* ^f

1. grup 5-13 4,5-13,5 3

27

2. grup 14-22 13,5,5-22,5 9

162

3. grup 23-31 22,5-31,5 5

135

4. grup 32-40 31,5-40,5 6

216

5. grup 41-49 40,5-49,5 7

315

n=30



⁼⁸⁵⁵

1. Grup orta noktaları (X

) bulunur. Örneğin, 1. grup için, X

=(4,5+13,5)/2=9.

2. grup orta noktaları (X

) ile o puan aralığındaki frekans çarpılır. Örneğin, birinci grup için X

=9*3=27.

3. Grup orta noktaları ile frekans çarpımlarının toplamı alınır. 

⁼⁸⁵⁵

4. Gruplandırılmış verilerde aritmetik ortalama formülünde (

n f X^ _



^. _),

değerler yerine konursa; 28 , 5 30

855

  X



X : Aritmetik Ortalama



: Grup orta noktaları ile frekans çarpımlarının toplamı

: Veri ya da kişi sayısı

11

Ağırlıklı Ortalama:

Puanların ortalamaya olan katkılarına farklı ağırlıklar verilerek aşağıdaki formül ile hesaplanmaktadır. Örneğin, üniversitelerde hesaplanan diploma notları











 

n

n n

A

k k k k

k X k X k X k X X

...

. ...

. .

.

3 2 1

3 3 2 2 1 1

X



: Ağırlık aritmetik Ortalama X : n puanı

k : n puanın ağırlığı

Örnek: Aşağıdaki tabloda bir öğrencinin 3 dersine ait kredileri ve notları verilmiştir.

Öğrencinin ağırlıklı not ortalaması nedir?

Ders Kredi Not

Ölçme ve Değerlendirme 4 2

Program Geliştirme 3 4

Sınıf Yönetimi 2 3





 





  2 , 89

9 26 2

3 4

3

.

2

4

.

3

2

.

4

X

12

Tepe Değer (Mod):

Gruplanmamış Verilerde Mod’un Hesabı:

Örnek: 10 öğrencinin sınav notları; 2,2,4,4,4,5,6,7,8,10 şeklinde dağılmıştır. Bu dağılımın nedir?

2,2,4,4,4,5,6,7,8,10 dağılımının, en fazla tekrar eden değeri 4’dür. Bu nedenle modu 4’dür.

Örnek: 10 öğrencinin sınav notları; 2,2,2,4,4,4,5,6,8,10 şeklinde dağılmıştır. Bu dağılımın nedir?

2,2,2,4,4,4,5,6,7,10 dağılımının, en fazla tekrar eden değeri 2 ve 4’dür. Bu nedenle 2’li mod vardır denir ve modu 2 ve 4’dür.

Örnek: 9 öğrencinin sınav notları; 2,2,2,4,4,4,5,5,5 şeklinde dağılmıştır. Bu dağılımın nedir?

2,2,2,4,4,4,5,5,5 dağılımının, modu YOKTUR.

13

Frekanslar Üzerinden Mod’un Hesabı:

En yüksek frekansa sahip olan moddur.

Örnek: Aşağıdaki tabloda 8 öğrenciye ait puanlar ve frekanslar verilmiştir. Bu dağılımın modu nedir?

X (Puan) f (frekans)

60 2

70 2

80 3

100 1

Bu dağılımın modu 80’dir. Çünkü en yüksek frekansa (3) sahiptir.

14

Histogram Grafiklerinde Mod’un Hesabı:

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

60 70 80 100

puan

frekans

0 1 2 3 4 5 6

60 70 80 100

puan

frekans

Örnek: Histogram grafiği verilen dağılımın modu nedir?

Histogram grafiğinde görülüğü üzere, en fazla tekrar eden (frekans) 5’dir. İkili bir moda sahiptir. Mod 60 ve 80’dir.

Örnek: Histogram grafiği verilen dağılımın modu nedir?

Histogram grafiği verilen dağılımda en fazla tekrar eden (3) değer 80’dir. Bu nedenle de modu 80 denir.

15

Gruplandırılmış Verilerde Mod’un Hesabı

Gruplandırılmış verilerde en yüksek frekansa sahip olan grubun orta noktası, o veri grubunun modudur.

Örnek: 30 öğrenciye ait matematik dersi puanları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu dağılımın modu nedir?

Gruplar Grup Aralığı Frekans (f) Grup Orta Noktası (X0)

1. grup 2-6 4 4

2. grup 7-11 9 9

3. grup 12-16 4 14

4. grup 17-21 9 19

5. grup 22-26 4 24

Örnek: Grafikte verilen dağılımın modu nedir?

Grafik incelendiğinde en fazla tekrar eden değer 9’dur. Dağılımın modu 7- 11 grup aralığının orta noktası ile 17- 21 grup aralığının noktasıdır. Yani, 9 ve 19 ‘dir.

16

Ortanca (Medyan)

Gruplanmamış Verilerde Ortancanın Hesabı:

Örnek: Beş öğrencinin yaşları 21, 19, 22, 20, 23 olsun. Bu dağılımın ortancası nedir?

Aşağıdaki işlemleri sırasıyla gerçekleştirilerek ortancayı hesaplayabiliriz.

1. İlk önce veriler büyüklük sırasına konur: 19, 20, 21, 22, 23 2. Puan dağılımındaki veri sayısına karar verilir: n=5

3. n sayısı tek olduğunda

2

 1

 n

X

formülü ile ortanca belirlenir.

2 3 1 5  

ort



X sıradaki veri ortanca değeridir. Sıralamış olduğumuz 19, 20, 21, 22, 23 veri grubundaki 21 ortancadır.

Örnek: Sekiz öğrencinin yaşları 19, 21, 19, 22, 20, 20, 23, 23 olsun. Bu dağılımın ortancası nedir? Aşağıdaki işlemleri sırasıyla gerçekleştirilerek ortancayı hesaplayabiliriz.

1. İlk önce veriler büyüklük sırasına konur: 19, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 23 2. Puan dağılımındaki veri sayısına karar verilir: n=8

3. Veri sayısı çift olduğundan 2

n ve 1 2 

n formülü ile ortaya düşen veriler belirlenir. 4 2 8 

ve 1 5

2

8   bulunur. Daha sonra ise, sıralamış olduğumuz veri grubundaki

4 ve 5. sıradaki verilerin aritmetik ortalaması alınarak ortanca belirlenir. Sıralamış olduğumuz (19, 19, 20, 20, 21, 22, 23, 23), 20 , 5

2 21 20  

ort



X ortancadır.

17

Gruplandırılmış Verilerde Ortancanın Hesabı:

Gruplandırılmış verilerde ortanca aşağıdaki formül ile hesaplanır.

L: Ortancanın içine rastladığı aralığın alt sınırı

t^fa: Ortancanın içine rastladığı aralığa kadar olan aralıkların frekansları toplamı f^b: Ortancanın içine rastladığı aralıktaki ölçüm sayısı

a: aralık katsayısı f a

t L n

X

b fa

ort /2 )

( 





Örnek: Aşağıda 100 öğrencinin İstatistik dersi sınavından aldıkları puanların dağılımı verilmiştir. Bu dağılımın ortancası nedir?

Puan Aralığı Frekans (f) Toplamalı Frekans (tf)

85-89 2 100

80-84 1 98

75-79 4 97

70-74 9 93

65-69 13 84

60-64 26 71

55-59 19 45

50-54 12 26

45-49 8 14

40-44 3 6

35-39 2 3

30-34 1 1

Aşağıdaki işlemleri sırasıyla izleyerek ortancayı hesaplayabiliriz.

50 2 / 100 2

/  

n

5 , 49 5 , 0 50 

 L tfa: 50 fb:45 a:5

5 . 60 962 . 5 . 59 5 26 )

45 (50 5 . 59 2 )

( /    



 



 a

f t L n

X

b fa ort

18

Ortalama, Ortanca ve Mod’un Karşılaştırılması

Ortalama, ortanca ve tepe değer arasında benzerlikler olduğu gibi birçok farklılıklar da vardır (Arıcı, 1998). Bunlar;

1. Ortalama, ortanca ve tepe değere oranla daha çok bilgiye dayanır. Çünkü ortalamanın hesabında verilerin tamamı işleme alınmaktadır.

2. Ortalama, merkezi eğilim ölçüleri dışında matematiksel işlemlerde kullanabiliriz. Ancak tepe değer ve ortancayı merkezi eğilim ölçüleri dışında pek kullanılmaz.

3. Ortalamanın değeri, verilerin sayısal değerine bağlıdır. Bu

nedenle, aşırı değerlerin olduğu uçlara doğru çekilir. Öte

yandan, ortanca değişken sayısına (n) bağlı olarak

değiştiğinden aşırı değerlerden etkilenmez.

19

Dağılım üzerinde aritmetik ortalama, medyan ve mod ayrı noktalar üzerinde bu dağılıma kayışlı ya da çarpık dağılım denir ve aşağıdaki formül ile hesaplanır.

K >0 çıkarsa dağılımın pozitif kayışlı demektir. Ortalama ortancadan büyüktür. Sağa çarpık y

bir dağılım oluşur (Şekil 1).Bu duruma göre; testin zor olduğu, öğrenci başarısı ve öğrenme düzeyinin düşük olduğu söylenebilir.

y 

K 0 çıkarsa dağılımın negatif kayışlı demektir. Ortanca ortalamadan büyüktür. Sola çarpık bir dağılım oluşur (Şekil 2). Bu duruma göre; testin kolay olduğu, öğrenci başarısı ve öğrenme düzeyinin yüksek olduğu söylenebilir.

y 

K 0 çıkarsa dağılımın ortalama etrafında oldukça simetrik olduğu yani normal dağılım olduğu söylenir (Şekil 3).

Şekil 2:Sağa Çarpık Dağılım-Pozitif Kayışlı- (X >^ Xort>Mod)

Şekil 1:Sola Çarpık Dağılım-Negatif Kayışlı (



X <X_ort<mod)

Şekil 3:Simetrik Dağılım (X =^ X_ort=Mod)

S X K_y 3.(X ^ort)





20

Şekil 4: Normal Dağılım Eğrisi Altında Kalan Alanların Toplamı

Şekil 1 incelenecek olursa; puanların %68’i 1  standart sapma, %95’i  standart sapma, 2

%99’u  3 standart sapma arasında kaldığı söylenir.

Örnek: Ortalaması 60, standart sapması 4 olan bir başarı testi için, normal dağılımda %68, %95 ve %99 ihtimalle neler söylenebilir.

%68 ihtimalle puanlar; 4 .  1   4 60  4  56  64 arasındadır.

%95 ihtimalle puanlar; 4 .  2   8 60  8  52  68 arasındadır.

%99 ihtimalle puanlar; 4 .  3   12 60  12  48  72 arasındadır.

21

MERKEZİ DAĞILMA (DEĞİŞME) ÖLÇÜLERİ

Merkezi eğilim ölçüleri bir grup hakkında sınırlı bilgi vermektedir. Grubu bütün yönleriyle inceleyebilmek ve karşılaştırmalar yapabilmek için merkezi eğilim ölçüleri yeterli değildir.

Aşağıda 2 sınıfta öğrenim gören 5 öğrenciye ait istatistik dersi sonuçları verilmiştir.

A Sınıfı:100, 60, 40, 40, 10 B Sınıfı: 60, 50, 50, 50, 40

Her iki dağılımda incelendiğinde, aritmetik ortalamalarının eşit (50) olduğu bulunur. Ancak iki

grup birbirinden oldukça farklıdır. A şubesinde puanlar 100 ile 10 arasındaki bir aralıkta

değişmekte iken, B şubesinde 50 ile 40 arasında değişmektedir. Yani A şubesi, B şubesine göre

daha heterojendir. Merkezi eğilim ölçüleri değişkene ilişkin ölçek üzerinde tek bir nokta

verirken, merkezi dağılım ölçüleri mesafe vermektedir. Birden fazla gruba ait verilerin

karşılaştırılmasında ve yorumlanmasında dağılım ölçülerinin yanında eğilim ölçüleri de

kullanılmalıdır.

22

 Ranj (Dizi Genişliği): Ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır.

Ortalamaları eşit olan grupların karşılaştırılmasında kullanılır.

Dizi Genişliği= en büyük değer-en küçük değer

Örnek: 10 Öğrencinin 100 üzerinden almış olduğu program geliştirme puanları şöyledir: 100, 99, 88,56,45, 45, 40,30,30,15. Bu dağılımın dizi genişliği nedir?

Dizi Genişliği=100-15=85’dir.

23

 Varyans ve Standart Sapma (Kayma): Bir dağılımdaki verilerin tümünü işleme katan varyans ve standart sapma en güvenilir ve en kararlı değişim ölçüsüdür. Varyans, puanların aritmetik ortalamadan olan sapmalarının kareleri toplamının veri sayısına bölünmesidir. Başka bir ifadeyle, bir veri grubunda her bir puanın aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösterir.

Varyans;

1 )

(

2



  n

X S X

X : Puan

X :Aritmetik ortalama n: veri sayısı

Varyansın kareköküne standart sapma denir ve uygulamada değişkenlik ölçüsü olarak genellikle standart sapma kullanılır.

Standart Sapma;

1 )

(



 

n

X

SS X

24

Örnek: 5 öğrencinin ölçme ve değerlendirme dersinden almış oldukları puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu puan dağılımının varyans ve Standart Sapması nedir?

Puan (X) (XX) (XX)²

80 20 400

70 10 100

100 40 1600

40 -20 400

10 -50 2500

n=5





Aşağıdaki sırayla işlemleri yapalım;

1. Aritmetik ortalamayı bulalım; 60

5

10 40 100 70

80    







n X X

2. (XX)işlemini her bir veri için yapalım; 80-60=20

70-60=10

100-60=40 40-60=-20

10-60=-50 bulunan bu değerlerin toplamı eğer 0 olmalıdır. Eğer farklı bir değer elde ediyorsanız işleminizi tekrar gözden geçirmelisiniz.

3. (XX)işleminde bulmuş olduğunuz sonuçların her birini karesini ((XX)²) alınız.

20.20=400 10.10=100 40.40=1600 -20.-20=400 -50.-50=2500

4. Daha sonra ise; bu değerlerin toplamını alınız toplamını (





5. Bulduğumuz terimlerin değerlerini varyans formülünde yerine koyalım;

4 1250 5000 1

)

( ²

2  



  n

X S X

6. Son olarak ise, bulduğumuz varyansın karekökünü alarak standart sapmayı bulalım.

4 , 35 1250

 SS

25

Not: Standart sapmanın küçük değerler alması grubun homojen olduğunu, büyük değerler alması ise grubun heterojen olduğunu gösterir. Örneğin, bir öğretmenin aynı ders için yapmış olduğu iki ayrı sınavın varyans ve standart sapmaları aşağıdaki verilen tablodaki gibi olsun. Bu dağılım hakkında ne söylenebilir?.

A Şubesi B Şubesi

Standart Sapma 3 15

A şubesinin B şubesine göre daha homojen olduğu söylenir. Başka bir ifadeyle, A şubesindeki öğrencilerin öğrenmeler bakımından B şubesine göre daha homojen olduğu söylenebilir.

Standart sapma grup ortalamaların karşılaştırılmasında tek başına kullanılamaz. Grup başarıları karşılaştırılırken aritmetik ortalama ve standart sapma birlikte kullanılmalıdır.

Standart sapma şekilsel olarak incelenmesi aşağıda verilmiştir.

Şekildeki dağılımlar incelendiğinde, bir numaralı dağılımın standart sapma değerinin en küçük değer sahip olduğu, üç numaralı dağılımın ise en büyük değere sahip olduğu söylenir.

Standart sapma küçüldükçe dağılımlar sivrileşir, büyüdükçe basıklaşır

26

Bağıl Değişkenlik Katsayısı: Veriler arasındaki değişimin azlığı ya da çokluğu hakkında bilgi vermekte ve yüzde olarak gösterilmektedir. Gruplar arası karşılaştırmada bağıl değişim katsayısı küçük olan grubun daha homejen (benzeşik) olduğu söylenir. Bağıl değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünüp yüz çarpılmasıyla elde edilir.

Formülü;

100 . X V  SS

Bağıl değişik katsayısı (V) 26 ve yukarı ise, dağılım basık ve puanlar heterojen Bağıl değişik katsayısı (V), 20 ile 25 ve arasında ise, dağılım normaldir.

Bağıl değişik katsayısı (V), 19 ve aşağısı ise, dağılım homojen ve sivridir.

Örnek: İki öğrenci grubunu bir testten aldıkları aritmetik ortalama ve standart sapma aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın bağıl değişim katsayısı nedir?

A Şubesi B Şubesi

Standart Sapma 4 15

Aritmetik Ortalama 2 5

200 100 2* 100 4

.  

 X V_a SS

300 100 5 * 100 15

.  

 X

V_b SS

Bu sonuçlara göre, B şubesinin A şubesine göre daha heterojen bir yapıya sahip olduğu söylenir.

27

MERKEZİ DAĞILMA (DEĞİŞME) ÖLÇÜLERİ

Merkezi eğilim ölçüleri bir grup hakkında sınırlı bilgi vermektedir. Grubu bütün yönleriyle inceleyebilmek ve karşılaştırmalar yapabilmek için merkezi eğilim ölçüleri yeterli değildir.

Aşağıda 2 sınıfta öğrenim gören 5 öğrenciye ait istatistik dersi sonuçları verilmiştir.

A Sınıfı:100, 60, 40, 40, 10 B Sınıfı: 60, 50, 50, 50, 40

Her iki dağılımda incelendiğinde, aritmetik ortalamalarının eşit (50) olduğu bulunur. Ancak iki grup birbirinden oldukça farklıdır. A şubesinde puanlar 100 ile 10 arasındaki bir aralıkta değişmekte iken, B şubesinde 50 ile 40 arasında değişmektedir. Yani A şubesi, B şubesine göre daha heterojendir.

Merkezi eğilim ölçüleri değişkene ilişkin ölçek üzerinde tek bir nokta verirken, merkezi dağılım

ölçüleri mesafe vermektedir.

28

Ranj (Dizi Genişliği)

Ölçümlerin en büyüğü ile en küçüğü arasındaki farktır. Ortalamaları eşit olan grupların karşılaştırılmasında kullanılır.

Dizi Genişliği= en büyük değer-en küçük değer

Örnek: 10 Öğrencinin 100 üzerinden almış olduğu program geliştirme puanları şöyledir:

100, 99, 88,56,45, 45, 40,30,30,15. Bu dağılımın dizi genişliği nedir?

Dizi Genişliği=100-15=85’dir .

29

 Varyans ve Standart Sapma (Kayma): Bir dağılımdaki verilerin tümünü işleme katan varyans ve standart sapma en güvenilir ve en kararlı değişim ölçüsüdür. Varyans, puanların aritmetik ortalamadan olan sapmalarının kareleri toplamının veri sayısına bölünmesidir. Başka bir ifadeyle, bir veri grubunda her bir puanın aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını gösterir.

Varyans;

1 )

(

2



  n

X S X

X : Puan

X :Aritmetik ortalama n: veri sayısı

Varyansın kareköküne standart sapma denir ve uygulamada değişkenlik ölçüsü olarak genellikle standart sapma kullanılır.

Standart Sapma;

1 )

(



 

n

X

SS X

30

Örnek: 5 öğrencinin ölçme ve değerlendirme dersinden almış oldukları puanlar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu puan dağılımının varyans ve Standart Sapması nedir?

Puan (X) (X X) (X X)²

80 20 400

70 10 100

100 40 1600

40 -20 400

10 -50 2500

n=5





Aşağıdaki sırayla işlemleri yapalım;

1. Aritmetik ortalamayı bulalım; 60

5

10 40 100 70

80    







n X X

2. (X X)işlemini her bir veri için yapalım; 80-60=20

70-60=10

100-60=40 40-60=-20

10-60=-50 bulunan bu değerlerin toplamı eğer 0 olmalıdır. Eğer farklı bir değer elde ediyorsanız işleminizi tekrar gözden geçirmelisiniz.

3. (X X)işleminde bulmuş olduğunuz sonuçların her birini karesini ((XX)²) alınız.

20.20=400 10.10=100 40.40=1600 -20.-20=400 -50.-50=2500

4. Daha sonra ise; bu değerlerin toplamını alınız toplamını (





5. Bulduğumuz terimlerin değerlerini varyans formülünde yerine koyalım;

4 1250 5000 1

)

( ²

2  



  n

X S X

6. Son olarak ise, bulduğumuz varyansın karekökünü alarak standart sapmayı bulalım.

4 , 35 1250 

 SS

Not: Standart sapmanın

küçük değerler alması

grubun homojen olduğunu,

büyük değerler alması ise

grubun heterojen olduğunu

gösterir.

31

Soldaki şeklide verilen dağılımlara ilişkin

neler söyleyebilirsiniz?

32

Bağıl Değişkenlik Katsayısı: Veriler arasındaki değişimin azlığı ya da çokluğu hakkında bilgi vermekte ve yüzde olarak gösterilmektedir. Gruplar arası karşılaştırmada bağıl değişim katsayısı küçük olan grubun daha homejen (benzeşik) olduğu söylenir. Bağıl değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünüp yüz çarpılmasıyla elde edilir.

Formülü;

100 . X V  SS

Bağıl değişik katsayısı (V) 26 ve yukarı ise, dağılım basık ve puanlar heterojen Bağıl değişik katsayısı (V), 20 ile 25 ve arasında ise, dağılım normaldir.

Bağıl değişik katsayısı (V), 19 ve aşağısı ise, dağılım homojen ve sivridir.

Örnek: İki öğrenci grubunu bir testten aldıkları aritmetik ortalama ve standart sapma aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın bağıl değişim katsayısı nedir?

A Şubesi B Şubesi

Standart Sapma 4 15

Aritmetik Ortalama 2 5

200 100 2* 100 4

.  

 X V_a SS

300 100 5 * 100 15

.  

 X

V_b SS

Bu sonuçlara göre, B şubesinin A şubesine göre daha heterojen bir yapıya sahip olduğu söylenir.