KÜMELER CEBRİ ve OLASILIK ÖLÇÜSÜ TANIM: Ω boş olmayan bir küme ve

KÜMELER CEBRİ ve OLASILIK ÖLÇÜSÜ TANIM: Ω boş olmayan bir küme ve 𝑈 Ω da bir sınıf olsun.

1. Ω 𝜖 𝑈

2. ∀𝐴 𝜖 𝑈 için Ᾱ 𝜖 𝑈

3. ∀𝐴, 𝐵 𝜖𝑈 için 𝐴 ∪ 𝐵 𝜖 𝑈

3’. (𝐴_𝑛) 𝑈 da herhangi bir küme dizisi olsun. ⋃∞ 𝐴_𝑛 𝑛=1 𝜖 𝑈 özelliklerini göz önüne alalım.

1, 2, 3 özelliklerini sağlayan U sınıfına Ω da bir cebir denir. 1, 2, 3’ özelliklerini sağlayan U sınıfına Ω da bir 𝜎-cebir denir. NOT: Her 𝜎-cebir bir cebirdir. Ancak tersi her zaman doğru değildir. TANIM: 𝑈, Ω’da bir 𝜎-cebir olsun.(𝑈, Ω) ikilisine ölçülebilir uzay denir. 𝑼 𝝈-cebirinin bazı özellikleri

1. ∅ 𝜖 𝑈

2. 𝑈’ dan 𝐴_𝑛 küme dizisi için ⋂∞ 𝐴_𝑛𝜖 𝑈 𝑛=1

3. 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 𝜖 𝑈 ⋃𝑘=1𝑛 𝐴𝑘𝜖 𝑈 𝑣𝑒 ⋂𝑛𝑘=1𝐴𝑘 𝜖 𝑈 4. ∀𝐴, 𝐵 𝜖 𝑈 için 𝐴\𝐵 𝜖 𝑈

NOT: Her 𝜎-cebir bir cebirdir. Ancak tersi her zaman doğru değildir. TANIM (Olasılık Ölçüsü):

Ω ≠ ∅ ve 𝑈′da Ω′da bir 𝜎-cebir olsun. 𝑃: 𝑈 ⟶ 𝑅

𝐴 ⟶ 𝑃(𝐴)

fonksiyonunu göz önüne alalım. 1. 𝑃(Ω) = 1

2. ∀𝐴 𝜖 𝑈 için 𝑃(𝐴) ≥ 0

3. 𝑈’dan alınan her ayrık (𝐴𝑛) küme dizisi için 𝑃(⋃∞𝑛=1𝐴𝑛) = ∑∞𝑛=1𝑃(𝐴𝑛) özelliklerini sağlayan 𝑃’ ye bir olasılık ölçüsü denir.

𝑷 olasılık ölçüsünün bazı matematiksel özellikleri

𝑃 olasılık ölçüsünün bazı özellikleri aşağıdaki teorem ile belirlenir. Teorem: ( U P) bir olasılık uzayı olsun:

a)   =( ) 0 b) A A … A₁    U da ayrık kümeler_{2 n}  (A₁A₂ ... A_n)= (A₁) ...+ + (A_n) c) P A( ) 1= −P A( ) d) A B P A( )P B( ) e) 0P A( )1 f) P A( B)=P A( )+P B( )−P A( B) 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( 1) ( ... ) n n n i i j i j k n i i j n i j k n A A A A A A A A A − A A A =            =



 −



  +



   − + −     g) (A₁A₂ ... A_n) (A₁)+ (A₂) ...+ + (A_n) 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = =  _    

U



 (A₁A₂ ... A_n...) (A₁)+ (A₂) ...+ + (A_n) ...+ 1 1 ( _i) ( _i) i i P A P A   = =  _    

U



 h) A₁A₂L  A_n L 1 lim ( n) ( n) n n P A P A  ⎯→ ₌  =

_U

A₁ A₂ L A_n L 1 lim ( _n) ( _n) n n P A P A  ⎯→ ₌  =

_I

I) 𝑃(⋃𝑛𝑘=1𝐴𝑘) ≥ ∑𝑛𝑘=1𝑃(𝐴𝑘)− (𝑛 − 1) dır. İspat:

a) A =   _n n=  1 2… olsun. Bu durumda, A ‘ler ayrık ve _n

1 n n A  = = 

U

dır. Olasılık ölçüsü tanımındaki (iii) şıkkından, 1 1 ( _n) ( _n) n n A A   = = 

_U

=



  ( )= 1 ( ) n  =  



 ( ) 0  = dır.

(A₁A₂ ... A_n)= (A₁A₂ ... A_n ... ...) =( )A₁ + (A₂) ...+ + (A_n)+   +   + ( (iii) den) ( ) ( ) ... =(A₁)+ (A₂) ...+ + (A_n) ((a) dan) dir. c) A = A ve P( ) 1 = P A( A) 1= P A( )+P A( ) 1= P A( ) 1= −P A( ) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) A B B A A B P B P A P A B P A P B P A B   =    = +       e)  A U için      A 0 P A( ) 1 dır. f) A = B A (AB)P A( B)=P A( )+P A( B) ve B=(AB)(AB)P B( )=P A( B)+P A( B) olmak üzere, P A( B)=P A( )+P B( )−P A( B) elde edilir. 1 1 2 1 2 1 1 1 ( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( 1) ( ... ) n n n i i j i j k n i i j n i j k n A A A A A A A A A − A A A =            =



 −



  +



   − + −    

= (A₁)+P A( ₁A₂)+P A( ₁A₂A₃) ...+ +P A( ₁A₂ ... A_n−1A_n)  (A₁)+ (A₂)+P A( ₃) ...+ + (A_n) h) A₁ A₂L  A_n L olsun. 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 ( _n) ( ) ( ) ( ) ... ( ... _{n n}) ... n A A P A A P A A A P A A A A ¥ -= R

_U

=R + Ç + Ç Ç + + Ç Ç Ç Ç + lim

(

( ₁) ( _{1 2}) ( _{1 2 3}) ... ( _{1 2} ... _{n 1 n})

)

n® ¥ A P A A P A A A P A A A- A = R + Ç + Ç Ç + + Ç Ç Ç Ç lim

(

₁ ( _{1 2}) ( _{1 2 3}) ... ( _{1 2} ... _{n 1 n})

)

n® ¥ A A A A A A A A A- A = R È Ç È Ç Ç È È Ç Ç Ç Ç lim ( _{1 2} ... _n) n® ¥ A A A = R È È È lim ( _n) n® ¥ A = R dır.

Şimdi A1 A2 L An L olsun. Bu durumda,

A₁ A₂L  A_n L olmak üzere, 1 lim ( _n) ( _n) n n P A P A ¥ ® ¥ = =

_U

(

)

1 lim 1 ( _n) 1 ( _n) n n P A P A ¥ ® ¥ = - = -

_U

1 lim ( _n) ( _n) n n P A P A ¥ ® ¥ = =

_I

dır.