90 Mart 2005 B‹L‹MveTEKN‹K
V u r a l A l t › n
Not Defteri
Neydi standart temel birimler; metre, kilogram, saniye; yani MKS; kelvin, amper, mol ve mum; yani KAMM?... Bir de radyan ve steradyan var, aç› ve kat› aç› birimleri. Bunlar boyutsuz tabii. ‹lginç: Boyutlu olan her de¤iflkenin birimi var, do¤al olarak; fa-kat temel birimlerden baz›lar›n›n boyutu yok, tuhaf olarak. Molün de yok. Say› çün-kü, 6.02x1023 tane; tane boyut olmaz.
12 gram karbon-12 izotopunun içerdi¤i sa-y›da temel yap›tafl› içeren madde miktar›; atom, ya da molekül. Büyük say› ama, Allah için! Gerçi biz hep, atom ya da molekülleri molle ölçeriz, ama baflka fleylerin de molü olabilir. Örne¤in koyunlar›n: 1 mol koyun, öfff! Dünya kadar koyun, öyle mi acaba? Koyuna... Beli 50 cm diyelim, ince belli, ya-r›m metre; boyu da 1 m olsun, silindir flek-linde; hacmi 1/2 m3olur. Bir de ayaklar›
var: de 1 m3. Dünyan›n yar›çap›, ekvatorda
6378 km, ortalama 6371 km. Neredeyse kü-re: hacmi (4/3)πRd3=1.08x1021 m3. Bir o
kadar koyun, böl bunu Avogadro say›s›na: 0.0018 mol. Bu kadar molekül; suyun mo-lü 18 gram; 18x0.0018=0.0323 gram suda var, damlac›k; bile de¤il, zerrecik. Bu kadar mol koyun dünyay› dolduruyor, dünya ka-dar koyun bu kaka-dar mol oluyor. Aralar›nda-ki kütleçeAralar›nda-kimi sayesinde bir arada dururlar-d› da. Dev bir koyun salk›m›, güneflin etra-f›nda dönüyor: Me..ee! Günefl sistemi inler-di melemelerinden: Amma saçma oldu ha; ses bofllukta yay›lmaz ki, madde ortam› la-z›m. Bofllukta yaflayamazlard› zaten; bunla-ra ot laz›m, abunla-razi laz›m; oksijen, su... Ona gelene kadar, kütleçekimiyle birbirini ezip magmaya dönerlerdi. Ne kadar zamanda? Diyelim baflta, canl› canl› da¤›tt›k, dünya-n›n hacmine... Ya da, kütleçekimiyle birbir-lerini ezmesinler diye onlar› dünyan›n yö-rüngesi boyunca s›raya dizsek? Homojen olarak, halka fleklinde. Öyle ki herhangi bi-risi di¤erlerini çekip de bir koyun gezegeni-nin oluflmas›na yol açamas›n... Dünyan›n yörünge yar›çap› 150 milyon km, yörünge çeperi 2πRy=942 milyon km. Metre bafl›na
bir koyundan, 9.42x1011koyun eder: tek
s›-ra. Ya 1.08x1021tanesi? Vay can›na, yan
ya-na milyarl›k s›ralar halinde dizmek laz›m. Her birine yar›m metrelik yer ay›rsak, 500 bin km eninde bir flerit olurdu yörünge bo-yunca. Asteroid kufla¤› gibi, koyun kufla¤›. Eh, 150 milyon km içinde devede kulak. Saçmalama, neyse! Ama bunlar koyun yeri-ne öküz olsalard›; say›s› daha az; dünyan›n kabu¤u boynuzlardan oluflur, d›fl kabu¤u; dünya iflte o zaman öküzün boynuzlar›
üs-tünde dururdu herhalde. Nereden esti bun-lar?... Kurban Bayram›, yak›nda, ondan her-halde. Ama!... Saçma da görünse, olsun: ‘Peçete üstü, zarf arkas› hesaplar›’ deniyor bunlara. Ara s›ra yapmak laz›m, nicelikler hakk›nda kabaca fikir edinmek için...
Di¤er bütün birimler bunlardan türetili-yor, temel birimlerden. H›z örne¤in, konu-mun zamana göre türevi, yol bölü zaman yani: Birimi m/s. ‹vmeninki; h›z›n h›z›, za-man göre türevi, h›z bölü zaza-man: m/s2.
Bi-rimler bunlar. Ya kuvvet? Kütle çarp› ivme-den, F=m.a: kg.m/s2. Buna newton
deni-yor. Enerji? E, kuvvet çarp› yol; daha do¤-rusu kuvvet çarp› yolun kuvvete paralel bi-lefleni ifl oldu¤una göre, ifl yaparken de enerji harcad›¤›m›za göre: kg.m2/s2. Buna
joule de deniyor. fiimdi: ‹flin tan›m›n› bilip de, enerjinin biriminde hata yapmak müm-kün mü? De¤il. ‹flin ilginç yan›; yani kuvvet çarp› yolun de¤il, meselenin ilginç yan›; enerji nas›l üretiliyor olursa olsun, birimi ayn›. ‹ster bir masay› itekleyerek sürükle, ister bir direnç üzerinden ak›m geçir,
ister-sen de su dolu bir kab›n alt›nda atefl yak›p suyu ›s›t: Hepsinin birimi ayn› ve joule... Bu da; farkl› tür enerjilerin mikroskopik ölçekteki belirti biçimlerinin hep ayn› oldu-¤una iflaret ediyor... Haa; fleyi tan›mlama-d›k, amperi; ak›m birimi, o neydi? Paralel iki telden ak›m geçirdi¤imizde; ak›mlar ay-n› yöndeyse, teller biribirini iter; ters yön-deyse çeker. Buna dayal›, amperin tan›m›: Kesit alan› ihmal edilebilecek kadar küçük olan sonsuz uzunluktaki paralel iki iletke-nin, bofllukta iken her ikisinden de geçiril-mesi halinde teller aras›nda metre uzunluk bafl›na 2x10-7newton’luk itme veya çekme
kuvvetine yol açan ak›m. Pek kullan›fll› gö-rünmüyor; kesitler s›f›ra yak›n, uzunluk sonsuz. Ama bir laboratuvarda, bu ideal ta-n›ma istendi¤i kadar yaklafl›labilir. ‹letken-leri, gerekiyorsa daha da inceltip, daha da uzatarak. Zaten fley; mükemmel bir ölçüm istemiyoruz ki, di¤er birimlerin de ‘ölçüm duyarl›l›¤›’ s›n›rl›. fiimdi baz› birimleri, di-yelim milyarda bir duyarl›l›kla belirlemifl-ken; örne¤in saniyeyi sezyum saatiyle veya metreyi ›fl›k h›z› arac›l›¤›yla; bir di¤erini trilyonda bir duyarl›l›kla belirlemeye çal›fl-mak anlams›z. Gereksiz yani, birlikte
kulla-n›lacak bu birimler çünkü, eflde¤er duyar-l›l›kta olmalar› laz›m. Neyse, Amper bu: Amperi bilince yük? Elektrik yükü birimi? Coulomb... Amper neydi, saniyede geçen yük miktar›: coulomb bölü saniye. O halde; bu tellerden birinin kesitine bakars›n, sani-yede geçen yük miktar› coulomb oluyor. Yükleri elektronlar tafl›yor, onlar› nas›l sa-yacaks›n? Elektroliz yapars›n can›m, ç›kan gaz›n hacmine bakars›n, molekül say›s›na. Ya da baflka bir ‘elektrokimyasal’ tepki-me... 6.25x1018 tane elektron eder...
Mol-den az. Bir elektronun yükü de 1.60x10-19
coulomb oluyor demek ki, çok küçük... E peki, madem amper=coulomb/saniye; ni-ye coulombu temel birim yapmam›fllar? Onu temel birim say›p da, amperi coulomb cinsinden tan›mlamam›fllar... Yük saymak zor da ondan, ak›m ölçmek daha kolay. Önce amperi tan›mlars›n kuvvet cinsinden, daha kolay ölçülür; sonra coulombu onun cinsinden... Dolay›s›yla, coulomb eflittir amper çarp› saniye, temel birimler cinsin-den: C=A.s.
Gelelim gerilime, birimi ne?... Gerilim, iki nokta aras›ndaki potansiyel enerji fark›. Yerçekimindeki yükseklik fark›na benziyor. Nas›l ki bir yokuflu t›rman›rken enerji har-cay›p, potansiyel enerji kazan›yor; inerken de tam tersine, yuvarlan›rsak e¤er, potansi-yel enerjimiz azal›rken kinetik enerji kaza-n›yorsak... Yükler de, elektrik gerilimine karfl› hareket ederken öyle... Bir volt öyle bir gerilim ki; üzerinden geçirilen her cou-lomb yük, 1 joule enerj, ya kazan›yor ya kaybediyor; yükün iflaretine ve hareket yö-nüne ba¤l› olarak. Örne¤in 1 voltluk bir pil, kutuplar› aras›na bir iletken ba¤lan›p k›sa devre yap›lsa; niye, ama yap›lsa ve pilin ek-si kutbundan art› kutbuna 1 coulomb eflde-¤eri 6.25x1018tane elektron geçse, bu
elek-tronlar; gerilimin bu s›rada hep ayn› kald›-¤› varsay›m›yla, 1 joule kinetik enerji kaza-n›rlar. Ya da elektron bafl›na elektronvolt, eV; faydal› bir baflka enerji birimi. Tabii; bu enerji ya telin direnci nedeniyle telin üze-rinde, ya da pilin iç direnci yüzünden pilin içerisinde ›s›ya dönüflür, sonuç olarak zi-yan olur. K›sa devre yap›lan piller bu yüz-den ›s›n›r filan. Neyse! Volt ne oluyor flim-di: coulomb bafl›na joule, joule bölü
cou-Kar›fl›k Birimler
(4/3)
πR
d
3
=1.08x10
21
m
3
91
Mart 2005 B‹L‹MveTEKN‹K
Not Defteri
lomb. Joule neydi: kg.m2/s2. Columb: A.s.
O halde: V=kg.m2/A.s3, temel birimler
cin-sinden... Hmm; elektronlar niye h›zlan›yor-lar ki, iletken üzerinde; onh›zlan›yor-lar› itip kakan m› var? Var tabii, elektrik alan›, birim yük ba-fl›na kuvvet. Yol boyunca var; iletkenin d›fl yüzeyinde, elektronlar yüzeyinden ak›yor. Yol burada, iletkenin uzunlu¤u... Peki; bi-rim yük bafl›na kuvvetin bibi-rimi ne, elektrik alan› E’nin?... Tamam; newton bölü cou-lomb da, bu ne oluyor, kg.m/s2.C; gerilim
cinsinden?... fiimdi; volt; birim yük bafl›na enerji, yani kuvvet çarp› yol bölü yük oldu-¤una göre; volt bölü yol, kuvvet bölü yük oluyor. Yani E’nin birimi V/m. V neydi: kg.m2/A.s3. O halde, E’nin birimi, temel
bi-rimler cinsinden: kg.m/A.s3. Ya direnç
biri-mi? Ohm: Üzerinden 1 amperlik ak›m ge-çerken 1 voltluk gerilime yol açan, ya da uçlar› aras›naki gerilim 1 voltken üzerin-den 1 amper ak›m geçiren direncin büyük-lü¤ü: R=V/I’dan... Yani Ω= kg.m2/A2.s3,
keza temel birimler cinsinden. Fena de¤il, ifller iyi gidiyor. Böyle devam ediyor iflte; endüktans, manyetik ak› vs. Buraya kadar zar zor getirdik, daha fazla kafa kar›flt›rma-yal›m. Daha ilginç bir fley var çünkü, ona bakal›m...
Biz karmafl›k iki birimi çarparken ne ya-p›yoruz: ‹çerdikleri temel birimlerin karfl›-l›kl› üslerini topluyoruz, örne¤in kuvvet çarp› yolda, (kg.m/s2).(m)=kg.m2/s2
fleklin-de. Karmafl›k birimlerin bazen de kuvvetini al›yoruz. Nas›l: ‹çerdi¤i temel birimlerin üs-lerini, bu kuvvet say›s›yla çarparak. Örne-¤in diyelim, kuvvetin, her ne ifle yarayacak-sa; ikinci kuvveti: (kg.m/s2)2=(kg2.m2/s4)
oluyor. fiimdilik sadece m, kg ve s’yi içeren karmafl›k birimleri düflünüp, her birini illa da bu üçünün, illa da bu s›radaki üslerinin çarp›m› fleklinde yaz›yor olal›m. Örne¤in, kg.m/s2 olan kuvvet birimini m1.kg1.s-2;
yol birimi metreyi de m1.kg0.s0fleklinde. Ki
üsleri toplamak daha kolay olsun: (m1.kg1.s-2).(m1.kg0.s0)=(m1+1.kg1+0.s-2+0)=
(m2.kg1.s-2). Hatta; m, kg, s sembollerini
ora-dan oraya tafl›y›p durmak yerine, karmafl›k birimleri sadece, bar›nd›rd›klar› temel birim üslerinin keza s›ral› üçlüleri fleklinde de gös-terebiliriz. Yine örne¤in kuvveti, (m1.kg1.s -2)→(1,1,-2) ve yolu, (m.kg0.s0)→(1,0,0) ile...
‹ki karmafl›k birimi çarpmak, bu birimlere karfl›l›k gelen üçlüleri toplamaktan ibaret oluyor: (m1.kg1.s-2).(m.kg0.s0)=
(m2.kg1.s-2)→(1,1,-2)+(1,0,0)=(2,1,-2).
Kar-mafl›k bir birimin üssünü almak da, karfl›-l›k gelen üçlüyü kuvvet say›s›yla çarpmak-tan: (m1.kg1.s-2)2 =(m2.kg2.s-4)→2.(1,1,-2)
=(2,2,-4)...
Bu gösterimin sa¤lad›¤› bir kolayl›k da-ha var. Herda-hangi bir karmafl›k birim, örne-¤in (u,v,y); (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) üçlüle-ri cinsinden yaz›labilir: (u,v,y)=u.(1,0,0)
+v.(0,1,0)+y.(0,0,1)... Yaln›z, analitik türe-timlerde fiziksel de¤iflkenlerin, dolay›s›yla da karmafl›k veya temel birimlerin, sadece rasyonel üsleri al›n›yor; tamsay› üsler veya aralar›nda asal p ve q tamsay›lar›n›n p/q oran› gibi üsler. Örne¤in, h yüksekli¤inden düflen bir cismin h›z›n› veren v=(2.g.h)1/2
ifadesinde, g ile h’n›n birimlerinin çarp›m›-n›n karekökü al›n›yor; üsler 1/2 ile çarp›l›-yor. Bunun da küpünü al istersen: 3/2 ör-ne¤in. Dolay›s›yla genel olarak, temel ya da karmafl›k herhangi bir birimin, (u,v,y) gös-terimindeki u,v,y de¤erleri rasyonel say›lar-dan oluflmak zorunda. Öte yansay›lar-dan, böyle herhangi bir rasyonel say›lar üçlüsü, bir bi-rime karfl›l›k geliyor: (u,v,y)→mu.kgv.syOh
iyi! Yani öyle bir durum var ki elde; (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) üçlülerini, olas› tüm rasyonel say› üçlüleriyle efllefltirerek çarp›p toplad›k-tan, yani tüm do¤rusal kombinasyonlar›n› ald›ktan sonra bir çuvala doldursak... Vay can›na! Bir vektör uzay› yakalam›fl oluyo-ruz: Temel vektörleri (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) üçlülerinden oluflan, rasyonel say›lar küme-si (alan) üzerine infla edilmifl olan bir vek-tör uzay›!... Çünkü, bu çuvaldan herhangi iki bb11ve bb22eleman› ç›karsak, rasyonel
say›-lar kümesinden de herhangi iki r1ve r2
sa-y›s› seçip, do¤rusal kombinasyon alsak, so-nuçta elde edilen r1.bb22+r2.bb22, bu çuvalda
mutlaka vard›r...
Tabii, kendimizi m, kg, s ile s›n›rlamak zorunda de¤iliz. Elimizde 6 tane boyutlu temel birim bulundu¤una göre, 6 boyutlu bir birimler uzay› kurabiliriz: Her noktas› bir birim. Yaln›z, bu; vektörlerinin bileflen-leri aras›nda irrasyonel say›lar olmad›¤›n-dan, reel uzay gibi sürekli bir uzay de¤il. Birimler uzay›: vay vay vay! Peki ne ifle ya-rar böyle bir uzay? Boyut analizinde çok ifle...
Bazen bir fiziksel olayla ilgili olarak pe-flinde oldu¤umuz de¤iflkenin, di¤er hangi de¤iflkenlere ba¤l› olmas› gerekti¤ini biliriz de; ne flekilde ba¤l› olmas› gerekti¤ini bil-meyiz. Örne¤in bir ak›flkan›n, diyelim hava-n›n, yani rüzgar›n; yolu üzerindeki bir cis-me uygulad›¤› ‘sürüklecis-me kuvveti’ (‘drag’) nelere ba¤l›? Bir kere rüzgar›n süratine (v) ba¤l› olmal›. Keza; cismin rüzgara karfl›, rüzgar›n h›z›na dik olarak sundu¤u kesit alan›na da (A)... Öte yandan, rüzgar›n etki ettirdi¤i kuvvet, ne de olsa cisme çarpan hava moleküllerinin aktard›¤› momentum-lar›n bir sonucu oldu¤una göre; havan›n yo¤unlu¤u (ρ) da önemli. Baflkaca bir
et-ken akla gelmiyor. Dolay›s›yla, havan›n sü-rükleme kuvveti FD; ρ, A ve v’nin bir
fonk-siyonu olmak zorunda: FD=f(ρ,A,v). Bu f
na-s›l bir fonksiyon, flekli ne?... Boyut analiziy-le bulabiliriz. Fonksiyon f’nin içerisinde; ρ, A ile v, ya da bunlar›n kuvvetleri toplan›p ç›kart›l›yor olamaz: Eflitli¤in iki taraf›ndaki birimler tutmaz çünkü. Olsa olsa, kuvvetle-ri birbirlekuvvetle-riyle çarp›l›yordur. Diyelim ρ’nun kuvveti x, A’n›nki y, v’ninki de z...
‹lgili de¤iflkenlerde sadece MKS birim-leri geçti¤ine göre, kendimizi yine bu bi-rimlerin üç boyutlu uzay›yla s›n›rlayal›m. Bu uzayda; ρ, A ve v’nin; s›ras›yla kg/m3,
m2ve m/s olan birimlerine karfl›l›k gelen
vektörler, yine s›ras›yla; (-3,1,0), (2,0,0) ve (1,0,-1). Bunlar›n, s›ras›yla; x, y, ve z kuvvet-lerinin çarp›m›na karfl›l›k gelen vektör; x.(-3,1,0)+y(2,0,0)+z.(1,0,-1) = (-3x+2y+z, x, -z) olur. Bunun, kuvvet birimi kg.m/s2’ye
karfl›-l›k gelen, (1,1,-2) vektörüne eflit olmas› la-z›m. Yani: (-3x+2y+z, x, -z)=(1,1,-2). Ki bu bi-ze; -3x+2y+z=1, x=1, z=2 denklemlerini ve-rir. Çözümü kolay; x ve z belli zaten, y ise ilk denklemden y=(1+3x-z)/2=(1+3-2)/2=1 ola-rak bulunur. K›sacas›, x=1, y=1, z=2 oldu¤u-na göre, formül flu: FD=C.ρ.A.v2. Aradaki
C ise bir sabit. Boyut analizi onu veremiyor, onun deneylerle saptanmas› laz›m.
Genelde böyle; bir y fiziksel de¤iflkenini, di¤er, diyelim n tane xide¤iflkeni cinsinden
yazarak, y=f(x1, x2, ..., xn) ifadesini boyut
analiziyle çözmek istedi¤imizde; xi’lerin
üs-leri, n tane bilinmeyen oluyor. ‹fadede ge-çen boyutlu temel birimlerin say›s› m ka-dar, yani en fazla 6 tane de denklem var. Bu n bilinmeyenli m denklem, matris yön-temleriyle kolayca çözülüp, katsay› matrisi-nin köflegenlefltirilmesi yoluyla; n-m tane boyutsuz parametre cinsinden yeniden
ya-z›labilir. Hem de bu boyutsuz parametrele-ri, eldeki de¤iflkenler cinsinden hesapla-mak mümkün: Buckhingam-π theoremi. Ak›flkanlar dinami¤inde çok kullan›l›yor bu. Benzetiflim (‘simülasyon’) çal›flmalar›n-da. Neyse! Birimlerle ilgili olarak mutlaka dikkat edilmesi gereken bir husus var... Bir-biriyle toplanan ya da birbirinden ç›kart›lan ifadelerin birimlerinin ayn› olmas› laz›m: Aksi halde elmalarla armutlar› topluyor, ya da birbirinden ç›kart›yor oluruz. Birbirine eflitlenen ifadelerin de keza, birimlerinin ay-n› olmas› gerekir: Aksi halde elmalarla ar-mutlar› birbirine eflitliyor oluruz. Gelelim do¤an›n birimlerine...
