• Sonuç bulunamadı

Ad - Soyad:

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Ad - Soyad:"

Copied!
4
0
0

Yükleniyor.... (view fulltext now)

Tam metin

(1)

Ad - Soyad:

Öğrenci Numarası:

MSGSÜ, MAT , Sınav

 Σ

 Kasım , Saat :

Öğretmen: David Pierce

Yönergeler: Sınavda  sayfada  soru var. Sadece  soruyu ce- vaplayın. Lütfen dikkat ederek yazın. İngilizceyi veya Türkçeyi kullanabilirsiniz.

As in class, N is the set {1, 2, 3, . . . } of natural numbers, and x 0 is the successor of x, so 1 0 = 2, 2 0 = 3, and so on. We also let ω = {0} ∪ N and 0 0 = 1.

Problem . For a given value of n in N, let ¯x denote the congruence-class of x modulo n, and let Z n = {¯ x : x ∈ N} = {¯1, . . . , ¯ n}. If x 0 = y 0 , then ¯ x = ¯ y. Therefore we can define

¯

x 0 = x 0 . The structure (Z n , ¯ 1, 0 ) allows proofs by induction. We have shown that addition and multiplication on Z n can be defined recursively by

¯

x + ¯ 1 = ¯ x 0 , x + ¯ ¯ y 0 = (¯ x + ¯ y) 0 ,

¯

x · ¯ 1 = ¯ x, x · ¯ ¯ y 0 = ¯ x · ¯ y + ¯ x.

(a) If n = 6, show that there is an operation on Z n given by

¯

x ¯ 1 = ¯ x, x ¯ y ¯

0

= ¯ x ¯ y · ¯ x. (∗)

It is enough to fill out the table

y

¯ x y ¯

1 2 3 4 5 6

1 2 3 x 4 5 6

.

(b) If n = 3, show that there is no operation on Z n as in (∗).

(2)

Problem . Using only the recursive definition of addition on N and induction, prove that addition is associative.

Problem . We know 2 ·

n

X

k=1

k = n · (n + 1). For all n in N, prove

n

X

k=1

k

! 2

=

n

X

k=1

k 3 .

(3)

Problem . We can define the so-called binomial coefficients recursively by

0 0



= 1,

 0 k + 1



= 0, n + 1 0



= 1, n + 1 k + 1



= n k

 +

 n k + 1

 .

Using only this definition, and induction, show that, for all n in ω,

n

X

k=0

n k



= 2 n .

(4)

Problem . Let d be the greatest common divisor of 385 and 168.

(a) Find d.

(b) Find a solution from N of one of the equations

385x = 168y + d, 168x = 365y + d.

Referanslar

Benzer Belgeler

Suppose that an object A is moving along the

Açık Ders Malzemeleri Sistemine eklenmek üzere hazırlanmış yukarıda bilgisi verilen ders içeriği, düzen ve kapsam açısından uygundur. Onay/

FR AN SA Y ILLA R I — Fransa'daki yıllarını galerilere, müzelere giderek, bol bol resim yaparak geçirmiş Avni Arbaş.. Etki altında kalmamak için sürekli- bir atölyeye

The literature regarding the effect of foreign direct investments (FDI) on employment especially indirectly (e.g. wage level, skill based labor demand) for individual countries

99 學年度社團評鑑博覽會 本校一年一度全校性社團評鑑博覽會,由學生事務處課外活動指導組於 6 月 1

Katıldığı Kurslar: Desam çerçevesinde; Bilimsel araştırma ve proje geliştirme Makale

Açık Ders Malzemeleri Sistemine eklenmek üzere hazırlamış olduğum , yukarıda bilgisi verilen ders, düzen , kapsam ve ders ekleme kılavuzunda belirtilen standartlar

Açık Ders Malzemeleri Sistemine eklenmek üzere hazırlanmış yukarıda bilgisi verilen ders içeriği, düzen ve kapsam açısından uygundur. Onay