TAM SAYILI PROGRAMLAMA PROF. DR. VEDAT CEYHAN

PROF. DR. VEDAT CEYHAN

TAM SAYILI

PROGRAMLAMA

• Tam sayılı doğrusal programlama nedir?

• Unsurları nelerdir?

• Varsayımları nelerdir?

• Kullanım alanları

• Tam sayılı doğrusal programlama tipleri

• Genel formülasyonu

• Örnek uygulamalar

Tam sayılı doğrusal programlama;

• Modelde kullanılan değişkenlerin bir ya da daha fazlasının tam sayı olduğu doğrusal programlama tekniğidir.

• Tam sayılı doğrusal programlama tekniği, doğrusal programlamanın bir uzantısı olup doğrusal programlamada meydana gelebilecek gerçekçi olmayan sonuçları ortadan kaldırmayı amaçlamaktadır.

• Örneğin bir üretim probleminde masa ve sandalye üretimi yapılacaksa sonuçların kesirli çıkması gerçekçi olmamaktadır.

Sonuçların tam sayıya yuvarlatılması bazı kısıtları bozabileceği için çözüm olmamaktadır. Tam sayılı programlama tekniği, kısıtları bozmadan sonucun tam sayı olmasını sağlamaktadır.

DP ile arasındaki fark;

• Doğrusal Programlama modelinde karar değişkenlerinin sıfır ve sıfırdan büyük olma koşulu aranırken;

• Tam Sayılı Doğrusal Programlama da değişken

değerlerinin sıfıra eşit ve sıfırdan büyük tam

sayı almaları şartının istenmesidir.

Bir tam sayılı doğrusal programlama modelinde;

• Doğrusal amaç fonksiyonu,

– Z_max=3x1+2x2 “faaliyetlerin amacını doğrusal olarak ifade eder”

• Doğrusal yan şartlar seti (kısıtlar),

– x1+x2 ≤ 6

• Değişkenlerin negatif olmama şartı,

– x1, x2 ≥ 0

• Bir ya da birden çok değişken için tamsayı olma şartı unsurları bulunur.

– x1, x2 ≥ 0 ve tamsayı

Tam sayılı doğrusal programlama tipleri;

1. Saf Tam Sayılı Doğrusal Programlama

– Modeldeki tüm değişkenlerin tam sayılı olması şartı aranmaktadır.

– Zmax = 3X1+2X2 – X1+X2 <= 6

– X1, X2 >=0

– X1, X2 :Tam sayı

2. Karma Tam Sayılı Doğrusal Programlama

– Modeldeki karar değişkenlerinden bazılarının tam sayı olması şartı aranmaktadır.

Z

= 3X

+2X

X

+X

≤ 6

X

, X

≥ 0

X

:Tam sayı

3. 0-1 Tam sayılı doğrusal programlama

– Modeldeki tüm karar değişkenlerinin 1 veya 0 değerini alması şartı aranmaktadır.

Z

=X

-X

X

+2X

≤2 2X

-X

≤1

X

, X

: 0 veya 1

Kullanım Alanları;

1. Teçhizat kullanımı planlamalarında,

2. Atölyelerde iş dağıtım problemlerinin çözümünde , 3. Ulaştırma ve lojistik problemlerinin çözümünde, 4. Atama problemlerinin çözümünde,

5. Personel çizelgelemede,

6. Portföy seçimi problemlerinde

7. Yap-Yapma sorunlarının çözümünde,

8. Havaalanlarında uçak çizelgelemeleri, orman yangın kule yeri tespitleri vb. birçok alanda kullanılmaktadır.

Tam sayı değerli değişken içeren modeller genellikle büyük ölçekli planlama modelleridir.

Decision variable Karar değişkenleri

Solution value Amaç fonksiyonu için çözüm değerlerini Unit cost or profit Cj Değişkenler için birim maliyetleri veya karı Total contribution Amaç fonksiyonu değerinin dağılımını

Reduced cost (indirgenmiş maliyet)

Marjinal kayıp kıymetini yani bir değişkenin faydadan kaybı ile brüt karı veya azami maliyeti arasındaki farkı (optimal çözümde 0 değerini alan değişkenler için geçerlidir)

Basis status Değişkenin durumunu

Minumum and maximum allowable Cj Amaç fonksiyonu katsayılarının değişim aralığı

Constraint Sınırlılıkları

Left hand side Optimal çözümden sonraki sınırlıkların değeri Right hand side Optimal çözümden önce sınırlılıkların değeri Slack or surplus Artan veya eksik kalan sınırlılık miktarlarını Shadow price (gölge fiyat) Marjinal değeri

Minumum and maximum allowable

RHS Sınırlılıkların değişim aralığını göstermektedir

ÖRNEK UYGULAMALAR

1. Bir çiftçi ekin alanını etkin kullanabilmek amacıyla en az 16 kg. Azot (N) ve 24 kg. Fosfat (P) maddesine gereksinim

duymaktadır.

– X₁ gübrenin maliyeti torba başına $6 ve X₂ gübrenin maliyeti ise $3 düzeyindedir.

– Çiftçi toplam gübreleme maliyetini minimize edecek şekilde hangi üründen ne kadar alması gerektiğini belirlemek istemektedir.

Ürün Markası Azot (kg/torba) Fosfat (kg/torba)

X₁ 4 2

X₂ 3 4

• Amaç fonksiyonu:

• Z

= 6X

+3X

Kısıtlar;

• 4X

+3X

≥ 16

• 2X

+4X

≥ 24

2.

– Bu yükleme için geminin maksimum kapasitesi 12 tondur.

– Geminin kapasitesini aşmadan yüklenen malların parasal değerlerini en maksimize edecek şekilde geminin nasıl yükleneceğini belirleyiniz.

Mal çeşitleri Malın Değeri ($) Malın Ağırlığı (ton)

1 6 1

2 3 2

3 2 3

4 1 4

5 9 6

6 5 5

7 8 3

8 4 9

• Çözümü;

• Amaç fonksiyonu;

• Z_max= 6X₁+3X₂+2X₃+X₄+9X₅+5X₆+8X₇+4X₈ Kısıt:

X₁+2X₂+3X₃+4X₄+6X₅+5X₆+3X₇+9X₈≤ 12

3- Dört ayrı yatırım seçeneğinin fiyatları ve getirilerinin bugünkü değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Yatırım Fiyat Geri dönüş

A 5000 8000

B 7000 11000

C 4000 6000

D 3000 4000

• Toplam harcanabilir bütçe 14.000 TL olarak verilmiştir. Geri dönüş oranını maksimize edecek doğrusal programlama modelini kurunuz.

• En fazla iki adet fona yatırım yapılabilir,

• Eğer B fonuna yatırım yapılırsa, D fonuna da yatırım yapılmalıdır,

• Eğer A fonuna yatırım yapılırsa, C fonuna yatırım yapılamaz,

• A ve B fonlarından birine mutlaka yatırım yapılmalıdır.

• Çözümü:

• Amaç fonksiyonu;

• Z_max=8000X₁+11000X₂+6000X₃+4000X₄

• KISITLAR;

• 5000X₁+3000X₄ ≤ 14000

• 7000X₂+3000X₄ ≤ 14000 (B’nin D kısıtı)

• X₁+X₂ ≤ 1 (A veya B den en az birisine yatırım yapma kısıtı)

• X₁+X₂+X₃+X₄ ≤ 2 (en fazla iki fona yatırım yapabilme kısıtı)

• Z_max= 17.000TL

• X₁=0

• X₂=1

• X₃=1

• X₄=0