MATEMATİK KÜMELER 12 MAT 036

1

MATEMATİK KÜMELER 12 MAT 036

KÜME KAVRAMI

TANIM: İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir.

''2 ile 5 arasındaki tamsayılar'', ''Türkiye’nin illeri'', ''haftanın günleri'' cümlelerinin her biri bir kümeyi ortak özellik yöntemiyle anlatır ancak ''Türkiye’nin güzel illeri'', ''ligin en kötü futbolcuları'' cümlelerinin her biri tanımlamaya çalıştığı nesneler topluluğunu net olarak belirtmediği için bir kümeyi ortak özellik yöntemiyle anlatmak için kullanılamaz.

SORU 1:

Aşağıdaki nesneler topluluklarından hangisi küme belirtmez?

A) Rasyonel sayılar

B) 5 sayısının katı olan iki basamaklı doğal sayılar C) Tek gözlü tavuklar

D) x²3x20 denklemini sağlayan tam sayılar E) İyiler

KÜMELERİN ADLANDIRILMASI

Kümeler anlatılırken veya kurulurken genellikle alfa- benin büyük harfleriyle adlandırılır.

KÜMENİN ELEMANI ve AİT OLMA

Bir kümeyi oluşturan nesnelerden her birine o küme- nin elemanı denir.

x elemanı A kümesine ait ise, xA şeklinde yazılır.

''x, A kümesinin elemanıdır'' biçiminde de okunur.

x elemanı A kümesine ait değil ise, xA şeklinde yazılır ve ''x, A kümesinin elemanı değildir'' biçiminde de okunur.

KÜMELERİN ELEMAN SAYISI

Bir A kümesinin sahip olduğu elemanların sayısı s(A) veya n(A) sembollerinden biri ile gösterilir.

Eleman sayılarına göre kümeler sonlu ve sonsuz kümeler olmak üzere ikiye ayrılır. Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, sonsuz olan kümeye son- suz küme denir.

EŞİT KÜME

TANIM: Elemanlarının tamamı aynı olan sonlu küme- lere eşit kümeler denir.

A ve B kümeleri eşit ise AB biçiminde gösterilir.

DENK KÜME

TANIM: Eleman sayıları aynı olan sonlu kümelere denk kümeler denir.

A ve B kümeleri denk kümeler ise AB biçiminde gösterilir.

BOŞ KÜME

TANIM: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir.

Boş kümeler

 

veya  sembollerinden biri ile gös- terilir.



 

 kümesi 1 elemanlı bir küme olup, boş küme belirtmez.

1.E

KÜMELER 12 MAT 036

2 KÜMELERİN GÖSTERİMLERİ

Kümeler üç farklı biçimde gösterilir. Bu gösterim bi- çimlerinin adları, Liste yöntemi, Venn diyagramı (şe- ması) yöntemi ve Ortak özellik yöntemidir.

LİSTE YÖNTEMİ

TANIM: Kümenin elemanlarının tümü

 

sembolü- nün içerisine tekrarlanmadan ve herhangi iki virgül arasında sadece bir eleman yazarak oluşturulan gös- terim biçimidir.

Bu gösterim biçiminin kullanılabilmesi için kümenin sonlu sayıda elemana sahip olması gerekir. Sınırsız (sonsuz) sayıda elemana sahip olan kümeler liste yöntemiyle gösterilemez.

   

A a,b,1, 3, 2 ,  kümesi 6 elemanlı olup,

 

aA, bA, 1A,  3 A, 2 A, A, s(A)6 önermelerinin tamamı doğrudur.

VENN DİYAGRAMI (ŞEMASI) YÖNTEMİ

TANIM: Sonlu sayıda elemana sahip bir kümenin her bir elemanını kapalı bir eğri içerisinde her bir elema- nın önünde (solunda) bir nokta kullanılarak oluşturu- lan gösterim biçimidir. Genellikle kapalı eğrinin sol üst köşesine kümenin adı yazılır.

A kümesi 5 elemanlıdır.

ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ

TANIM: Bir kümenin bütün elemanlarının gerçeklediği (sağladığı) ortak özelliği belirten bir açık önermeden faydalanılarak oluşturulan gösterim biçimidir.

Açık önermemiz p(x) olsun,

       

A x | p x yada A x : p x ifadeleri ile gösteri- lir.

Bu gösterim biçimi '' x, A kümesinin elemanı olup, x öyleki x değişkeni p(x) önermesini gerçekler'' biçimin- de okunur.



^{2 2}



A (x, y) : x y 44y kümesi sonlu bir küme olup, ortak özellik yöntemiyle gösterilmiştir.

 

B (0,2) kümesi sonlu küme olup, liste yöntemiyle gösterilmiştir.

Yukarıda verilen A ve B kümeleri eşit kümelerdir.

a

b

 x A

 

c

3 SORU 2:

 

A x : x 0

 

B (x, y) : 2x3y10 , x 3 , xZ



^{5 5}



C a : a reel sayı , a a veya a  a

 

D y : y 0



³



E z : z  z , zR

kümeleri için aşağıdakilerden kaç tanesi doğru- dur?

I. A kümesi sonsuz kümedir.

II. B kümesi sonlu kümedir.

III. s(C)5 tir.

IV. D kümesi ile E kümesi denk kümelerdir.

V. D kümesi ile E kümesi eşit kümelerdir.

VI. A kümesinin en küçük elemanı 0 dır.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ALT KÜME

TANIM: Sadece A kümesinde bulunan elemanlardan yararlanarak kurulan her bir yeni küme A kümesinin bir alt kümesidir.

B kümesi A kümesinin bir alt kümesi ise BA biçi- minde gösterilir. Bazı kaynaklarda BA şeklinde de gösterilir.

B kümesi A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesini kapsar da denir.

B kümesi A kümesinin bir alt kümesi değil ise BA biçiminde gösterilir.

 Boş küme her kümenin alt kümesidir.

 Her küme kendisinin alt kümesidir.

 

A a , 0 , 1 kümesinin tüm alt kümeleri:

 

_

             

boş bir elemanlı iki elemanlı kümenin

küme alt kümeleri alt kümeleri kendisi

, a , 0 , 1 , a , 0 , a , 1 , 0 , 1 , a , 0, 1  

 n elemanlı A kümesinin r elemanlı alt kümeleri- nin sayısı,



^{n r}



elemanlı alt kümelerinin sayısı- na eşittir.

ALT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ

  A dir.

 AA dir.





AB ve BC



 AC dir.





AB ve BA



 AB dir.

    dir.

2.D

KÜMELER 12 MAT 036

4 SORU 3:

    ^{ }

 

A a, b, c, a, d , d

kümesi için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğ- rudur?

I. bA II.

 

d A III.



a, c



A IV.



^{a, d}



^A

V.



^{a, d}

  

^A

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

ÖZALT KÜME

TANIM: A kümesinin kendisi haricindeki alt kümeleri- ne öz alt kümeleri denir.

 Bazı kaynaklarda özalt küme A kümesinin boş küme haricindeki alt kümeleri biçiminde de tanımlana- biliyor ancak biz üniversite sınavlarına hazırlık prog- ramlarında Milli Eğitim Bakanlığının ders kitapla- rında kullanılan tanımlamaları esas olarak kabul ediyoruz.

 ^{s A}

 

^n olmak üzere, A kümesinin alt küme sayısı 2ⁿ, öz alt küme sayısı 2ⁿ dır. 1

EVRENSEL KÜME

TANIM: Tanımlanan bir olayın içerisinde bulunan bütün elemanların oluşturduğu kümeye evrensel kü- me denir.

Örneğin;

Hexagon Şahinkaya'nın 2019-2020 dönemi üniversite sınavına hazırlık öğrencilerinin düşünüldüğü bir olay- da,

 12.sınıf öğrencileri,

 kız öğrenciler,

 erkek öğrenciler, gözlüklü öğrenciler,

 MF öğrencileri,

 TM öğrencileri

gibi alt grupları belirten cümlelerle ilgilenirken Evren- sel kümemiz tüm 2019-2020 dönemi üniversite hazır- lık öğrencileridir.

Evrensel kümeler genellikle E veya U harfi ile gösteri- lir.

3.A

5 SORU 4:

E evrensel kümesinde tanımlanan A kümesi

   

 

A a, b, a, b , c biçiminde veriliyor.

I. cA II.

 

^{c A}

III.



a, b



A

IV. E kümesi en az 4 elemanlıdır.

V. E evrensel kümesi sonlu kümedir.

VI. E evrensel kümesi sonsuz kümedir.

VII.

 

^{a A}

VIII. AE

Yukarıdaki yargılardan kaç tanesi kesinlikle doğ- rudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

KÜMELER ARASI İŞLEMLER VE ÖZELLİKLERİ

BİRLEŞİM İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ

TANIM: A ve B kümelerinden yararlanarak tanımla- nan



^{x : xA veya xB}



kümesine A ve B kümele- rinin birleşim kümesi denir ve AB biçiminde göste- rilir.

 

AB x : xA veya xB

 

A 1, , 2 ve ^B



^{a, , b}



kümeleri için

 

AB b, a, 1, 2,  dır.

BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

 TEK KUVVET ÖZELLİĞİ: Her A kümesi için, AAA özdeşliğine tek kuvvet özelliği denir.

 DEĞİŞME ÖZELLİĞİ: Her A ve B kümesi için, ABBA özdeşliğine değişme özelliği denir.

 BİRLEŞME ÖZELLİĞİ: Her A, B ve C kümesi için,

   

A BC  AB C özdeşliğine birleşme özel- liği denir.

4.D

KÜMELER 12 MAT 036

6 SORU 5:

 

A x : x 1 2, xR

 

B x : x 3 1, xR

kümeleri için AB kümesi aşağıdakilerden han- gisidir?

A)



1, 4



B)



^{1, 4}



^C)



1, 3



D)



^{2, 4}



^E)



^{1, 4}



SORU 6:

 

A x : x43, xZ



²



B x : x 4, xZ

olduğuna göre, AB kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

KESİŞİM İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ

TANIM: A ve B kümelerinden yararlanarak tanımla- nan



x : xA ve xB



kümesine A ve B kümeleri- nin kesişim kümesi denir ve AB biçiminde gösteri- lir.

 

AB x : xA ve xB

 

A 1, , 2 ve B



a, , b



kümeleri için

 

AB  dır.

KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

 TEK KUVVET ÖZELLİĞİ: Her A kümesi için, AAA özdeşliğine tek kuvvet özelliği denir.

 DEĞİŞME ÖZELLİĞİ: Her A ve B kümesi için, ABBA özdeşliğine değişme özelliği denir.

 BİRLEŞME ÖZELLİĞİ: Her A, B ve C kümesi için,

   

A BC  AB C özdeşliğine birleşme özel- liği denir.

5.A 6.A

7 SORU 7:

 

A x : x100, x2k, kZ^

 

B x : x120, x3k, kZ^

olduğuna göre, s A



B



kaçtır?

A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

SORU 8:

 

A x : 20x150, x3k, kZ

 

B x : 10x200, x5k, kZ

olduğuna göre, s A



B



kaçtır?

A) 64 B) 70 C) 74 D) 80 E) 90

SORU 9:

E evrensel kümesinde tanımlı A ve B kümeleri için,

 

s A 3

 

s B 2x 1

 

s AB x2

olduğuna göre, s A



B



en çok kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

DAĞILMA ÖZELLİKLERİ

 KESİŞİM İŞLEMİNİN BİRLEŞİM İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ

E evrensel kümesinde tanımlı her A, B ve C kümesi için,

     

A BC  AB  AC özdeşliğine denir.

 BİRLEŞİM İŞLEMİNİN KESİŞİM İŞLEMİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

E evrensel kümesinde tanımlı her A, B ve C kümesi için,

     

A BC  AB  AC özdeşliğine denir.

SORU 10:

A, B ve C birer küme olmak üzere, I. AB ise AB

II.



AB



C



AC

 

 BC



III. ABA ise BA dir.

IV. ABA ise ABB dir V. ABAC ise BC dir.

önermelerinden kaç tanesi daima doğrudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7.C 8.C 9.B 10.B

KÜMELER 12 MAT 036

8 SORU 11:

A, B ve K birer küme olmak üzere, I.



^AB



^{K ise ABK dır.}

II. ABK ise A



B



K dır.

III.



AB







KB ise A



K dır.

IV. ^A



^BK

 

^{ AB}

 

^{ AK dır.}



önermelerinin hangisi veya hangileri daima doğ- rudur?

A) Yalnız II B) II ve III C) I, II ve III D) I, II ve IV E) III ve IV

AYRIK KÜME

TANIM: AB kümesi boş küme ise A ve B kümele- rine ayrık kümeler denir.

TÜMLEYEN (DEĞİL) KAVRAMI

TANIM: E evrensel kümesinde tanımlı A kümesi için, A kümesine ait olmayan ve E kümesine ait olan ele- manların oluşturduğu kümeye A kümesinin tümleyeni (değili) denir. A kümesinin tümleyeni A , A veya ^I A ^t sembollerinden biriyle gösterilir.

 

AI x : xE ve xA biçiminde ifade edilir.

DE MORGAN DEĞİLLEMELERİ

TANIM: E evrensel kümesinde tanımlı A ve B kümele- ri için, AB ve AB kümelerinin tümleyeni olan kümeleri De Morgan bulduğu için aşağıdaki sonuçlara De Morgan değillemeleri denir.





^AB

 

^{ AB}







^AB

 

^{ AB}



11.A

9 FARK İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ

TANIM: E evrensel kümesinde tanımlanan A ve B kümeleri için, A kümesine ait olup B kümesine ait ol- mayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve A \ B



^{A B}



biçiminde gösterilir.

 

A \ B x : xA ve xB olarak ifade edilir.

A \ BAB olarak da elde edilir.

SİMETRİK FARK

TANIM: E evrensel kümesinde tanımlanan A ve B kümeleri için, A \ B kümesi ile B \ A kümesinin birle- şiminden oluşan kümeye A ve B kümelerinin simetrik fark kümesi denir ve A B biçiminde gösterilir.

   

A B  A \ B  B \ A olarak ifade edilir.

SORU 12:

Yandaki şemada A, B ve C kümeleri veril- miştir.

Buna göre,



^{A \ CI}



^{(C \ B)} kümesi aşağıdakiler- den hangisidir?

A)



^{2,7 B)}

 

^{2, 4 C)}

  

^{2 D)}

 

^{4 E)}

 

^

SORU 13:

E evrensel kümesinde tanımlı A ve B kümeleri için,



^ABI



^I

^

^{B \ A}

^

^I

kümesi aşağıdakilerden hangisine özdeştir?

A) E B)  C) B D) A E) AB

12.B 13.A

1

2 4

3

5 6

7 A B

C

KÜMELER 12 MAT 036

10 SORU 14:

E evrensel kümesinde tanımlı A ve B kümeleri için,



^{A B ı}

 

^{ ABı}



kümesi aşağıdakilerden hangisine özdeştir?

A) E B)  C) A D) B E) AB

SORU 15:

Şekildeki taralı bölgeyi gösteren küme aşağıdaki- lerden hangisidir?

A) ^{C \ A}



^BI



^{B) ABCI}

C) A^IBC D) AB^IC E) B \ C



A



SORU 16:

E evrensel kümesinde tanımlanan A ve B kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

 

E x : x 3 3 , xZ

 

A x : x23 , xN

 

B x : x 1 2 , xZ^

olduğuna göre,



^AIB

 

^{ E B I}



^I kümesi kaç elemanlıdır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

SORU 17:

 

A x : 40x240 , x4k , kZ

 

B y : 30y200 , y4m , mZ

olduğuna göre, A \ B kümesi kaç elemanlıdır?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

14.C 15.D 16.E 17.B

A B

C

11 KÜMELER ARASINDAKİ İŞLEMLERLE İLGİLİ Nİ- TEL VE NİCEL SONUÇLAR

E evrensel kümesinde tanımlı A, B ve C kümeleri için,



 

^{AI IA dır.}

  ^I E ve E   dir. ^I

 ^AA

 

^{ve AAE dir.}

 AB ise

ABB ve ABA dır.

 AB ise B^IA^ı dir.

 E \ AA^t

 AB ise ^{A \ B }

 

 AB

 

ise, A \ BA





^{A \ B}



^I



^ABI



^IAIB

 s(A) s(A ) ^I s(E)

 s(AB)s(A) s(B) s(A  B) s(AB)s(A \ B) s(B) s(AB)s(B \ A) s(A)

s(AB)s(B \ A) s(A \ B) s(A  B)

 s(A) s(B) s(C)  x

s(AB) s(A C) s(B C)y s(ABC)z

olmak üzere,

s(ABC)xyz dir.

SORU 18:

E evrensel kümesinde tanımlı A ve B kümeleri için,

   

^I

s A s B 19

 

^I

^{ }

s A s B 21

olduğuna göre, E kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 10 B) 20 C) 22 D) 24 E) 25

SORU 19:

E evrensel kümesinde tanımlı A ve B kümeleri için,

     

s A B s A B s A B

2 4 9

  

 

   

s A s BA 15

olduğuna göre, s B kaçtır?

 

A) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45

18.B 19.C

KÜMELER 12 MAT 036

12 SORU 20:

A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir.

   

s A s B 6

   

s A 2 s A B 3



^{I I}

 ^{ }

s A B 2 s A B

 

s E 30

olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 17 B) 15 C) 13 D) 11 E) 10

SORU 21:

A ve B, boş kümeden farklı iki kümedir.

   

s A  2 s B

   

2 s A B  5 s B A

olduğuna göre, AB kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

A) 16 B) 24 C) 40 D) 56 E) 60

SORU 22:

A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.

 

s AB 16 s(AB)7

olduğuna göre, ^{s A}

 

^{s B}

 

toplamı kaçtır?

A) 9 B) 13 C) 17 D) 20 E) 23

SORU 23:

A ve B birer kümedir.

AB, BA

 

s AB 12

 

s AB 5

olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısının en büyük ve en küçük değerleri toplamı kaçtır?

A) 12 B) 13 C) 15 D) 17 E) 20

20.B 21.E 22.E 23.D

19

MATEMATİK KÜMELER 12 MAT 037

SAYMA YÖNTEMLERİ TOPLAMA YOLUYLA SAYMA

TANIM: Ayrık iki işlemden birincisi m farklı şekilde, ikincisi n farklı şekilde gerçekleşiyor ise bu işlemler- den biri ya da diğeri m + n farklı şekilde gerçekleşir.

Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin eleman sayısı- nı bu yolla bulmaya toplama yoluyla sayma yöntemi denir.

ÇARPMA YOLUYLA SAYMA

TANIM: İki işlemden birincisi m farklı şekilde gerçek- leştikten sonra, ikinci işlem n farklı şekilde gerçekle- şebiliyorsa, birinci ve ikinci işlem ardışık olarak m . n farklı şekilde gerçekleşebilir.

Sıralı iki işlemi bu yolla saymaya çarpma yoluyla sayma yöntemi denir.

Bu kavramları dördüncü dersimizde görmüştük.

Bir örnek olay n tane ardışık işlemden sonra gerçek- leşiyorsa bu örnek olaya bütün adını verelim.

Örneğin,

 

A 0,1,2,3 kümesi elemanlarıyla üç basamaklı sayılar yazmak istiyorsak,

 yüzler basamağına rakam yazma bir işlem,

 yüzler ve onlar basamağına rakamlar yazma ardı- şık iki işlem,

 yüzler, onlar ve birler basamağına birer rakam yazma ardışık üç işlem

 bu şekilde örnek olarak elde edilen üç basamaklı bir sayı bütündür.

SAYMANIN TEMEL İLKESİ

TANIM: n tane ardışık işlemden birincisi k farklı ₁ gerçekleşme seçeneğinden birinin seçimi ile, ikincisi k farklı gerçekleşme seçeneğinden birinin seçimi ile 2

ve bu şekilde devam ederek n incisi k gerçekleşme _n seçeneğinden birinin seçimi ile gerçekleştirildikten sonra bir bütün oluşuyorsa bu bütünü gerçekleştirme- nin

1 2 3 n

k .k .k ...k kadar farklı yolu vardır.

SORU 1:

I. " A



0,1, 2,3, 4



kümesi elemanlarıyla üç basa- maklı kaç çift sayı yazılabilir?" sorusunun cevabı x tir.

II. " ^A



0,1, 2,3, 4



kümesi elemanlarıyla üç basa- maklı kaç tek sayı yazılabilir?" sorusunun cevabı y dir.

III. " A



0,1, 2,3, 4



kümesi elemanlarıyla üç basa- maklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir?" so- rusunun cevabı z dir.

Yukarıda verilen soruların doğru bir biçimde ce- vaplanması durumunda



^xyz



toplamı kaç olur?

A) 120 B) 130 C) 136 D) 140 E) 150

1.B

KÜMELER 12 MAT 037

20 PERMÜTASYON

TANIM: r tane ardışık işlemin her birinin farklı gerçek- lenme seçeneklerini kendisine eleman olarak kabul eden tek bir küme düşünelim ve bu küme n elemanlı E kümesi olsun.

Bir bütün oluşurken,

 E kümesinin her bir elemanının her bir ardışık işlem için seçilme şansları aynı,

 E kümesinden herhangi bir ardışık işlem için seçi- len bir eleman örnek bütün oluşturulana kadar bir başka ardışık işlemde kullanılmayacak olsun.

Bu durumda bu r tane ardışık işlemin ardışık olarak gerçekleştirilmesiyle oluşabilecek kaç farklı bütün olu- şabileceğini saymanın temel ilkesi ile bulursak,

   

 

 

 

n farklı n 1 farklı n 2 farklı n r 2 farklı

seçimden biri seçimden biri seçimden biri seçimden biri

r 1. ardışık

1. ardışık 2. ardışık 3. ardışık r. ardışık ...

işlem işlem işlem işlem i

   



   

 

ⁿ r 1 farklı 

seçimden biri

şlem

 



Bu bütün:

           

n. n 1 . n 2 .... n   r2 . n r 1 farklı biçimde oluşturulabilir.

Saymanın temel ilkesinin bu özel durumuna permütasyon denir ve P n,r ile gösterilir.

 

Saymanın çarpım prensibinin permütasyon olabilmesi için,

 n : ardışık işlemlerde kullanılacak E kümesinin r eleman sayısı ardışık görev sayısından büyük veya eşit olmalıdır.

 ardışık işlemlerde kullanılabilecek her bir E kümesi elemanın her bir ardışık işlem için eşit şansı olmalıdır.

 örnek bir bütün oluştururken E kümesinin herhangi bir elemanı bir ardışık işlemde kullanıldıysa o örnek bütün oluşana dek bir başka ardışık işlemde kullanıl- mamalıdır.

koşullarının gerçeklenmesi gerekir.

       

P n,r n. n 1 ... n  r 1 dir.

Örneğin,

 

A 0,1, 2,3, 4 kümesi elemanlarıyla üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir sorusunun cevabı P 5,3 ile

 

açıklanamaz çünkü,

 kümenin elemanı olan "0" yüzler basamağı ardışık işleminde kullanılamaz.

 112 üç basamaklı bir sayıdır ve bu sayı oluşturu- lurken kümenin elemanı "1" iki farklı ardışık işlemde kullanılmıştır.

Örneğin,

 

A 1,2,3, 4,5 kümesi elemanlarıyla üç basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir sorusunun cevabı P 5,3 ile

 

açıklanamaz çünkü,

 her bir elemanın her bir ardışık işlem için eşit şansı var bu güzeeel

 ancak 112 üç basamaklı bir sayıdır ve bu sayı oluşturulurken kümenin elemanı "1" iki farklı ardışık iş- lemde kullanılmıştır.

Örneğin,

 

A 0,1, 2,3, 4 kümesi elemanlarıyla rakamları birbir- lerinden farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir soru- sunun cevabı P 5,3 ile açıklanamaz çünkü,

 

 kümenin elemanı olan "0" yüzler basamağı ardışık işleminde kullanılamaz.

Örneğin,

 

A 1,2,3, 4,5 kümesi elemanlarıyla üç basamaklı rakamları birbirlerinden farklı kaç sayı yazılabilir soru- sunun cevabı P 5,3 ile açıklanabilir çünkü

 

 her bir elemanın her bir ardışık işlem için eşit şansı var bu güzeeel

 örnek bir bütün oluştururken sayının rakamları birbirlerinden farklı olacağından herhangi bir eleman bir ardışık işlemde kullanıldıysa o örnek bütün oluşa- na dek başka bir ardışık işlemde kullanılamaz bu da güzeeel

 

P 5,3 5.4.360

21

 Permütasyon kavramının direk kullanımı için, örnek bütün oluşturulurken, her bir elemanın her bir ardışık işlem için eşit şansı olacak ve herhangi bir ardışık işlemde kullanılan bir eleman, başka bir ardışık işlemde kullanılmayacak

 

A a,b,c, d,e kümesinin üçlü permütasyonlarını yazalım:

 

 

 

 

 

 

a,b,c a,c,b b,a,c b,c,a c,a,b c,b,a



a,b,c



 

 

 

 

 

 

a,b,d a,d,b b,a,d b,d,a d,a,b d,b,a



a,b,d



 

 

 

 

 

 

a,b,e a,e,b b,a,e b,e,a e,a,b e,b,a



a,b,e



 

 

 

 

 

 

a,d,c a,c,d d,a,c d,c,a c,a,d c,d,a



a,d,c



 

 

 

 

 

 

a,e,c a,c,e e,a,c e,c,a c,a,e c,e,a



a,c,e



 

 

 

 

 

 

a,e,d a,d,e e,a,d e,d,a d,a, e d,e,a



a,d,e



 

 

 

 

 

 

d,b,c d,c,b b,d,c b,c,d c, d,b c,b,d



b,c,d



 

 

 

 

 

 

e,b,c e,c,b b,e,c b,c, e c,e,b c,b, e



b,c,e



 

 

 

 

 

 

b,e,d b,d, e e,b,d e,d,b d,b,e d,e,b



b,d, e



 

 

 

 

 

 

d,e,c d,c, e e,d,c e,c,d c,d, e c,e,d



c,d, e



SORU 2:

 " ^A



a,b,c, d,e, f



kümesinin kaç tane üçlü permütasyonu vardır?" sorusunun doğru cevabı x tir.

 A



a,b,c, d,e, f



kümesinin kaç tane üçlü permütasyonununda a elemanı vardır? sorusunun doğru cevabı y dir.

 A



a,b,c, d,e, f



kümesinin kaç tane üçlü permütasyonununda a ve b elemanı vardır? soru sunun doğru cevabı z dir.

 A



a,b,c, d,e, f



kümesinin kaç tane üçlü permütasyonununda a ve b elemanı vardır ancak c elemanı yoktur? sorusunun doğru cevabı t dir.

Yukarıda verilenlere göre,



^{xyzt}



^toplamı

kaç olur?

A) 480 B) 222 C) 216 D) 192 E) 160

2.B

KÜMELER 12 MAT 037

22 FAKTÖRİYEL:

TANIM: Ardışık işlem sayısı ile E kümesinin eleman sayısı aynı olan permütasyon koşullarına uygun say- manın çarpım prensibine faktöriyel denir.

 

P n,n n! biçiminde gösterilir.

       

n!n. n 1 . n 2 ... n   n 1 dir.

 P n,0

 

 1

 0! 1

 : sembolü "tanımlanmıştır ki" biçiminde okunur.

Saymanın çarpım prensibi, permütasyon ve faktö- riyel kavramlarının birbirlerini takip eden özel hal- ler oluşu bize, üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgen kavramlarının birbirlerini takip eden özel halleri oluşunu çağrıştırmaktadır.

 

A a,b,c, d,e kümesinin üçlü permütasyonlarını yazalım:

 

 

 

 

 

 

a,b,c a,c,b b,a,c b,c,a c,a,b c,b,a



a,b,c



 

 

 

 

 

 

a,b,d a,d,b b,a,d b,d,a d,a,b d,b,a



a,b,d



 

 

 

 

 

 

a,b,e a,e,b b,a,e b,e,a e,a,b e,b,a



a,b,e



 

 

 

 

 

 

a,d,c a,c,d d,a,c d,c,a c,a,d c,d,a



a,d,c



 

 

 

 

 

 

a,e,c a,c,e e,a,c e,c,a c,a,e c,e,a



a,c,e



 

 

 

 

 

 

a,e,d a,d,e e,a,d e,d,a d,a, e d,e,a



a,d,e



 

 

 

 

 

 

d,b,c d,c,b b,d,c b,c,d c, d,b c,b,d



b,c,d



 

 

 

 

 

 

e,b,c e,c,b b,e,c b,c, e c,e,b c,b, e



b,c,e



 

 

 

 

 

 

b,e,d b,d, e e,b,d e,d,b d,b,e d,e,b



^{b,d, e}



 

 

 

 

 

 

d,e,c d,c, e e,d,c e,c,d c,d, e c,e,d



^{c,d, e}



 A



a,b,c, d,e



kümesinin üçlü permütasyon sayısı:

 

P 5,3 5.4.360tır.

 ^A



^{a,b,c, d,e}



kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin her birinin oluşturduğu üçlü permütasyon sayısı

 

P 3,3 3!3.2.16 dır.



A



a,b,c, d,e



kümesinin üç elemanlı alt küme sayı- sı:

 

 

 

P 5,3 P 5,3 5.4.3

P 3,3  3!  3.2.110 dur.

23 KOMBİNASYON

TANIM: n elemanlı E kümesi elemanlarından yararla- narak r tane ardışık işlemle permütasyon koşullarını sağlayacak şekilde oluşan her bir bütünde kullanılan elemanların, E kümesinin kaç farklı r elemanlı alt kü- mesinden oluştuğunu gösteren işleme kombinasyon işlemi denir.

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı:

 

ⁿ

C n,r r

   

 

biçiminde gösterilir.

   

 

 

P n,r P n,r C n,r n

r P r,r r !

   

 

dir.

SORU 3:

I. "5 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç değişik biçimde sonuçlanabilir?" sorusunun doğru cevabı 32 dir.

II. "A



0,1,2,3, 4,5



kümesi elemanlarıyla rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?" soru- sunun doğru cevabı 48 dir.

III. "10 kişi arasında, başkan, başkan yardımcısı ve sekreter görev dağılımı kaç farklı şekilde yapılabi- lir?" sorusunun doğru cevabı 720 dir.

IV. "4 kişinin katıldığı bir yarışma sıralama açısından kaç farklı şekilde sonuçlanabilir?" sorusunun doğru cevabı 24 tür.

V. "A



1,2,3, 4,5,a,b



kümesinin 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır?" sorusunun doğru cevabı 42 dir.

Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3.C

KÜMELER 12 MAT 037

24 KOMBİNASYON İŞLEMCİSİ İLE İLGİLİ SAYISAL TESPİTLER

 n

0 1

 

  

ve n n 1

 

  

 n n n 1

r r 1 r 1

      

 

     

 

     

 n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı:

n n n n n

... 2

0 1 2 n

       

    

       

       

dir.

 n elemanlı bir kümenin öz alt küme sayısı: 2ⁿ dir. 1

 n n

r n r

   

  

    

 n n

r p

   

  

   

ise, rp veya p r n dir.

SORU 4:

I. " ^A



^{1,2,3, 4}



^{, B}



^a,b,c



kümeleri veriliyor. A kümesinden iki tane ve B kümesinden bir tane eleman alınarak üç elemanlı kaç küme kurulabi- lir?" sorusunun doğru cevabı 18 dir.

II. "A



1,2,a,b



, B



3, 4,5



kümeleri veriliyor. A ve B kümeleri elemanlarıyla, en az iki elemanı A kü- mesinden alınarak 5 elemanlı kaç küme kurulabi- lir?" sorusunun doğru cevabı 21 dir.

III. "^A



^{1,2,3, 4}



^{, B}



^a,b,c



kümeleri veriliyor. A ve B kümeleri elemanlarıyla, 3 tane elemanı A küme- sinden alınarak kaç küme kurulabilir? sorusunun doğru cevabı 32 dir.

IV. "A



a,b



, B



1,2,3, 4



kümeleri veriliyor. A ve B kümeleri elemanlarıyla, en az bir tane elemanı A kümesinden alınarak kaç küme kurulabilir?" soru- sunun doğru cevabı 32 dir.

V. "A



1,2,3, 4,5,6,7



kümesinin 4 elemanlı kaç alt kümesinde 1 veya 2 eleman olarak bulunur?" so- rusunun doğru cevabı 30 dur.

VI. "^A



0,1,2,3, 4,5,6,7



kümesinin kaç alt kümesin- de 2 tane çift rakam eleman olarak bulunur?" so- rusunun doğru cevabı 48 dir.

VII. "^A



a,b,c,1,2,3, 4



kümesinin 4 elemanlı kaç alt kümesinde en az 2 tane harf eleman olarak bulu- nur?" sorusunun doğru cevabı 30 dur.

Yukarıda verilen ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4.C

25 SORU 5:

E evrensel kümesinde tanımlanan A, B ve C kümeleri için,

   

s A s B 10

 

^I

 

^I

s A s B 8

 

^I

s C 2

olduğuna göre, C kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

A) 32 B) 31 C) 30 D) 28 E) 29

SORU 6:

 A kümesinin eleman sayısı A



B kümesinin alt küme sayısına eşittir.

 A – B ve A



B kümeleri denk kümeler olup, B kümesi 13 elemanlıdır.

 A



B kümesinin eleman sayısının alabileceği en küçük değer n, en büyük değer m dir.

Yukarıda verilenlere göre, m+n toplamı kaçtır?

A) 28 B) 29 C) 30 D) 31 E) 32

SORU 7:

 A ve B ayrık olmayan iki kümedir.

 A kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı, 6 elemanlı alt küme sayısına eşittir.

 B kümesinin 14 elemanlı alt küme sayısı, 8 ele- manlı alt küme sayısına eşittir.

 A



B kümesinin eleman sayısı en az n, en fazla m dir.

Yukarıda verilenlere göre, m+n toplamı kaçtır?

A) 48 B) 50 C) 51 D) 52 E) 53

SORU 8:

 A kümesinin en fazla 7 elemanlı alt kümelerinin sayısı, A kümesinin öz alt küme sayısına eşittir.

 B kümesinin en fazla 1 elemanlı alt küme sayısı 18 dir.

A  B kümesi 20 elemanlı olduğuna göre, B–A kümesi kaç elemanlıdır?

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

5.E 6.B 7.C 8.D

KÜMELER 12 MAT 037

26 SORU 9:

A ve B kümelerinin eleman sayılarıyla ilgili

     

s AB s BA s AB

 

s AB 24 eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 9 B) 12 C) 15 D) 16 E) 18

SORU 10:

A kümesi,



1,2,3, 4,5,6,7 kümesinin bir alt kümesi



olmak üzere, ^A



^5,6,7



kümesinin elemanları sade- ce tek sayı içerir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan üç elemanlı kaç tane A kümesi vardır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

SORU 11:

 

s A \ B 3



^{ı ı}



s A B 2



^{ı ı}



s A B 12

olduğuna göre, BA^ı kümesinin eleman sayısı kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 10

SORU 12:



1,2,3



A



1,2,3, 4,5,6,7,8



koşulunu sağlayan kaç farklı 6 elemanlı A kümesi yazılabilir?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

9.D 10.C 11.C 12.B

27 SORU 13:

 

A 1,2,3, 4,5,6,7,8,9,10

kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesin- de üçüncü en küçük eleman 5 tir?

A) 60 B) 48 C) 40 D) 36 E) 30

SORU 14:

Bir A kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin 28 tanesin- de daima 1,2,3 elemanlarının üçü bulunmaktadır.

Buna göre, A kümesi kaç elemanlıdır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

13.E 14.D

34

MATEMATİK KÜMELER 12 MAT 038

KÜME PROBLEMLERİ

İKİ KÜMENİN ESAS OLDUĞU PROBLEMLER TANIM: Everensel kümenin A ve B kümeleri ile birlikte bu kümeler arasındaki işlemlerle elde edilen yeni kü- meleri kapsayacak şekilde tanımlandığı küme prob- lemlerini "iki kümenin esas olduğu problemler" ola- rak tanımlayacağız.

Bir işyerinde çalışanların tamamı evrensel kümenin elemanlarını, bu işyerinde A gazetesini okuyanlar A kümesinin elemanlarını, B gazetesini okuyanlar ise B kümesinin elemanlarını oluştursun.

Aşağıdaki diyagramda, x,y,z ve t bulundukları kapalı bölgelerdeki eleman sayılarını göstermek üzere,

 sadece A gazetesini okuyan x kişi,

 sadece B gazetesini okuyan z kişi,

 A ve B gazetelerini okuyan y kişi,

 A veya B gazetelerini okuyan (x+y+z) kişi,

 en az bir gazete okuyan (x+y+z) kişi,

 en çok bir gazete okuyan (x+z+t) kişi,

 hiç gazete okumayan t kişi

 Küme problemlerini çözerken eğer bir çok değiş- kenin içerisinde boğulup gitmek istemiyorsanız

: sadece sıfır gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

: sadece bir gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

: sadece iki gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

isterseniz hiç değişken kullanmayın ama durumu yukarıda gösterdiğimiz gibi sistematik olarak ayrıştırı- nız. lütfeenn…

SORU 1:

Herkesin en az bir oyun oynadığı 39 kişilik bir sınıfta, 17 kişi tenis, 32 kişi de hentbol oynamaktadır.

Buna göre, bu sınıfta her iki oyunu da oynayan kaç kişi vardır?

A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15

1.C y

x x z

A t

E B



A

E B













35 SORU 2:

Yukarıdaki tabloda her sayı içinde bulunduğu bölgenin eleman sayısını göstermektedir.

 E : Topluluğun kümesi

 F : Futbol oynayanların kümesi

 B : Basketbol oynayanların kümesi

olduğuna göre, topluluk için aşağıdakilerden han- gisi yanlıştır?

A) Oyunlardan en az birini oynayan 15 kişi vardır.

B) Oyunlardan en çok birini oynayan 17 kişi vardır.

C) Oyunlardan en çok ikisini oynayan 5 kişi vardır.

D) Futbol oynamayanların sayısı 13 tür.

E) Basketbol oynamayanların sayısı 11 dir.

SORU 3:

Matematik ve Kimya derslerinden en çok ikisinden bütünlemeye kalan öğrencilerden oluşan bir sınıfta;

 Matematik ve Kimya derslerinden bütünlemeye kalan 12 öğrenci ,

 Matematik veya Kimya derslerinden bütünlemeye kalan 30 öğrenci,

 Matematik dersinden bütünlemeye kalmayan 36 öğrenci,

 Kimya dersinden bütünlemeye kalmayan 40 öğ- renci

vardır.

Bu sınıfta Matematik ve Kimyadan bütünlemeye kalmayan kaç öğrenci vardır?

A) 29 B) 28 C) 24 D) 20 E) 16

SORU 4:

60 kişilik bir sınıfta, İngilizce bilen herkes Fransızca bilmektedir.

Bu sınıfta her iki dili de bilmeyenlerin sayısı, her iki dili de bilenlerin sayısının 4 katı, Fransızca bilenlerin sa- yısının ise 1

4' ü dür.

Buna göre, bu sınıfta her iki dili de bilen kaç kişi vardır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

2.C 3.A 4.C

7 4 5 6

F B

E

KÜMELER 12 MAT 038

36 SORU 5:

Dolma kalemi veya kurşun kalemi olmayan öğrencinin olmadığı bir sınıftaki tüm öğrencilerin %60'ında dol- makalem, %55'inde kurşun kalem vardır.

Bu sınıftaki öğrencilerden 8 tanesinde yalnız kur- şun kalemi olduğuna göre, sınıfta yalnız dolmaka- lemi olan kaç öğrenci vardır?

A) 4 B) 5 C) 9 D) 10 E) 15

SORU 6:

Matematik ve Fizik derslerinden en az birinden kalan- lardan oluşan bir sınıfta, Matematik dersinden kalan öğrencilerin %60’ı Fizik dersinden, Fizik dersinden ka- lan öğrencilerin %40’ı Matematik dersinden geçmiş- lerdir.

Her iki dersten kalanların sayısının 18 olduğu bu sınıfta, kaç öğrenci vardır?

A) 90 B) 80 C) 76 D) 64 E) 57

SORU 7:

Bir spor etkinliğine katılan kişilerin %60'ı basketbol ve futbol, %80'i basketbol ve %70'i futbol oynamaktadır.

Bu grupta basketbol ve futbol oynamayan 4 kişi olduğuna göre, yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır?

A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

5.C 6.E 7.B

37 SORU 8:

Türkçe ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerin bulunduğu bir sınıfta Türkçe bilenlerin 3 katı, İngilizce bilenlerin 5 katı, ve her iki dili bilenlerin 7 katı birbirine eşittir.

Buna göre, bu sınıfta sadece Türkçe bilenlerin sayısı kaç olabilir?

A) 21 B) 45 C) 60 D) 66 E) 105

SORU 9:

Bir sınıfta basketbol veya futbol oynayanlar, bas- ketbol ve futbol oynayanların 5 katıdır. Basketbol oynayanlar, futbol ve basketbol oynayanların 2 ka- tı olduğuna göre, futbol oynayanlar, basketbol ve- ya futbol oynayanların yüzde kaçıdır?

A) 80 B) 70 C) 60 D) 50 E) 40

ÜÇ KÜMENİN ESAS OLDUĞU PROBLEMLER TANIM: Evrensel kümenin A, B ve C kümeleri ile birlikte bu kümeler arasındaki işlemlerle elde edilen yeni kümeleri kapsayacak şekilde tanımlandığı küme problemlerini "üç kümenin esas olduğu problemler"

olarak tanımlayacağız.

Bir işyerinde çalışanların tamamı evrensel kümenin elemanlarını, bu işyerinde A gazetesini okuyanlar A kümesinin elemanlarını, B gazetesini okuyanlar B kü- mesinin elemanlarını ve C gazetesini okuyanlar C kümesinin elemanlarını oluştursun.

Aşağıdaki diyagramda, a, b, c, d, e, f, g ve h bulun- dukları kapalı bölgelerdeki eleman sayılarını göster- mek üzere,

 sadece bir gazete okuyan (e+f+g) kişi,

 sadece iki gazete okuyan (b+c+d) kişi,

 sadece üç gazete okuyan a kişi,

 en az iki gazete okuyan (a+b+c+d) kişi,

 en çok bir gazete okuyan (e+f+g+h) kişi,

 hiç gazete okumayan h kişi

 A gazetesini okuyup, B gazetesini okumayan (e+c) kişi

 B veya C gazetesini okuyup, A gazetesini oku- mayan (d+f+g) kişi

8.C 9.A

a

x e g

A h E

B

C c

b

d

f

KÜMELER 12 MAT 038

38

 Küme problemlerini çözerken eğer bir çok değiş- kenin içerisinde boğulup gitmek istemiyorsanız

: sadece sıfır gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

: sadece bir gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

: sadece iki gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

: sadece üç gazete okuyanları temsil eden değişken olsun

SORU 10:

Matematik, fizik ve kimya derslerinin en az birinden geçen 21 kişilik bir sınıfta matematik dersinden geçen 11, fizik dersinden geçen 13, kimya dersinden geçen 15, her üç dersten de geçen 5 öğrenci vardır.

Bu sınıfta yalnız iki dersten geçen kaç öğrenci vardır?

A) 6 B) 7 C) 8 E) 11 E) 12

SORU 11:

Her biri İngilizce, Almanca ve Fransızca yabancı dille- rinden en az birini bilen öğrencilerin oluşturduğu 25 kişilik bir sınıfta Almanca bilenlerden hiçbiri başka bir yabancı dil bilmemektedir.

Fransızca bilmeyenlerin sayısı 14, İngilizce bilme- yenlerin sayısı 15, İngilizce, Fransızca, Almanca dillerinden yalnız birini bilenlerin sayısı 21 oldu- ğuna göre, bu sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır?

A) 12 B) 10 C) 8 D) 6 E) 4

10.C 11.C A

E B

1

2 1

0

2 2

1 3









39 SORU 12:

40 kişilik bir toplulukta 8 kişi İngilizce, Fransızca ve Almanca dillerinden hiçbirini bilmemektedir.

Bu toplulukta İngilizce bilen 19, Fransızca bilen 12 ve Almanca bilen 16 kişi vardır.

Bu toplulukta İngilizce ve Fransızca bilen 5, İngi- lizce ve Almanca bilen 7, Fransızca ve Almanca bi- len 6 kişi olduğuna göre, kaç kişi her üç dili de bilmektedir?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

SORU 13:

Tiyatro, sinema ve spor severlerden oluşan bir toplu- lukta 10 kişi tiyatro, 5 kişi sinema ve 8 kişi de spor sevmektedir.

Spor sevenler, sinema ve tiyatro sevmemektedir.

Tiyatro ve sinema seven 3 kişi olduğuna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır?

A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12

SORU 14:

27 kişilik bir sınıfta İngilizce bilen herkes Almanca bilmekte fakat Fransızca bilmemektedir. İngilizce bilen 5 kişi bulunmaktadır. İki dil bilenlerin sayısı, hem İngi- lizce hem de Almanca bilenlerin sayısının 2 katıdır.

Yalnız Fransızca bilenlerin sayısı, yalnız Almanca bilenlerin sayısına eşit olduğuna göre, bu sınıfta yalnız Almanca bilen en çok kaç kişi vardır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

12.B 13.A 14.E

KÜMELER 12 MAT 038

40 SORU 15:

En az bir sporun yapıldığı bir okulda voleybol oyna- yanların hepsi basketbol, basketbol oynayanların hepsi de futbol oynamaktadır.

Voleybol oynamayanlar, basketbol oynamayanla- rın 5 katı, basketbol oynamayanlar voleybol oyna- yanların 2 katı olduğuna göre, futbol oynayanlar voleybol oynayanların kaç katıdır?

A) 11 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

SORU 16:

Şahinkaya Dershanesi'nde öğrenci temsilciliğine Ser- han, Oğuzhan ve Hakan adaydır.

Her bir öğrenci bu adaylardan yalnız biri için oy kulla- nabiliyor.

 Serhan'a oy vermeyen 113 kişi,

 Oğuzhan'a oy vermeyen 105 kişi,

 Hakan'a oy vermeyen 88 kişi vardır.

Şahinkaya Dershanesi’nde kaç öğrenci vardır?

A) 127 B) 136 C) 144 D) 151 E) 153

BİR NESNENİN BİRBİRİNDEN AYRIK İKİ ÖZELLİ- ĞİNİN TÜMLEYENLERİ İLE BİRLİKTE İFADE E- DİLDİĞİ KÜME PROBLEMLERİ

TANIM: Bir kişi ya evlidir ya da evli değildir. Aynı kişi ya kadındır ya da erkek. Bu kişi için,

 bekar ve kadın

 evli ve kadın

 bekar ve erkek

 evli ve erkek durumları mevcuttur.

Böyle durumların anlatıldığı küme problemlerine, "bir nesnenin birbirinden ayrık iki özelliğinin tümle- yenleri ile birlikte ifade edildiği küme problemleri"

adını vereceğiz.

Bu problemleri çözerken aşağıda gösterildiği gibi bir örnek tablodan yararlanılabilir.

birinci birinci

özelliğin özellik

tümleyeni ikinci

x y

özellik ikinci

özelliğin z t

tümleyeni

15.A 16.E

41 SORU 17:

İngiliz ve Fransızlardan oluşan bir toplulukta, İngiliz erkeklerinin sayısı, İngiliz kadınlarının sayısının 7 ka- tıdır.

Fransızların sayısı, Fransız kadınların sayısının üç katıdır.

Topluluktaki erkeklerin sayısı, kadınların sayısın- dan 19 fazla olduğuna göre, bu toplulukta en az kaç erkek vardır?

A) 18 B) 21 C) 23 D) 24 E) 27

SORU 18:

40'tan fazla Tıp Fakültesi öğrencisi ile bir grup Mü- hendislik Fakültesi öğrencisi birlikte bir İngilizce sına- vına girmişlerdir.

Mühendislik fakültesi öğrencilerinin %20'si bu sınavda başarısız olurken, tıp fakültesi öğrencilerinin %75'i ba- şarılı olmuştur.

Bu sınavın sonucuna göre, başarısız sayılan öğ- renci sayısı 50 olduğuna göre, başarılı öğrenci sa- yısı en çok kaçtır?

A) 141 B) 159 C) 163 D) 169 E) 189

SORU 19:

Hiç oyun oynamayan öğrencinin bulunmadığı bir sınıf- ta, öğrenciler en fazla 3 oyun oynayabiliyorlar. Yalnız iki oyun oynayanların sayısı 12, en çok iki oyun oyna- yanların sayısı 18, en az iki oyun oynayanların sayısı 22 dir.

Buna göre, sınıf mevcudu kaçtır?

A) 18 B) 20 C) 22 D) 28 E) 30

SORU 20:

En fazla üç oyun oynayabilenlerin oluşturduğu 30 kişilik bir sınıfta en az iki oyun oynayanların sayısı 18, en çok iki oyun oynayanların sayısı 20 ise sa- dece iki oyun oynayanların sayısı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 12 D) 12 E) 14

17.C 18.E 19.D 20.B

50

MATEMATİK MANTIK 12 MAT 039

SEMBOLİK MANTIK

TERİM

TANIM: Bir bilim dalı içerisinde, konuşma dilinden farklı anlamı (özel anlamı) olan sözcüklerden her biri- ne, o bilim dalının bir terimi denir.

TANIMLI TERİM

Bir terimin anlamını belirtmeye terimi tanımlamak denir. Bir terimi tanımlayabilmek için, o bilim dalı içeri- sinde, daha önceden tanımlanmış olan terimlerden yaralanılır.

TANIMSIZ TERİM

Bazı terimleri tanımlayamayız, sezgi yolu ile bu terim- lerin anlamlarını kavrarız. Bu tür terimlere tanımsız te- rimler denir.

 Matematiğin tanımsız terimlerine bazı örnekler: Nokta, doğru, düzlem

ÖNERMELER

TANIM: Matematikte kesin olarak doğru yada yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler gösterilirken (adları verilirken) genellikle p,q,r gibi harf- ler kullanılır.

p : Norveç’in başkenti Ankara’dır.

q : Bir hafta 7 gündür.

 Bir önerme, doğru ya da yanlış, mutlaka bir hü- küm bildirmelidir.

p yanlış bir önermedir.

q doğru bir önermedir.

 Doğru önermeler D ya da 1 ile, yanlış önermeler Y ya da 0 ile gösterilir.

 Bir önerme doğru ise doğruluk değeri 1 (D), yanlış ise doğruluk değeri 0 (Y) dır.

SORU 1:

Aşağıdakilerden hangisi bir önermedir?

A) "Hava yağmurlu olsa!"

B) "Çarşıya çıkalım."

C) "Keşke bizimle gelseydin."

D) "Bugün günlerden cumadır."

E) "Elektriği kim buldu?"

1.D

51 SORU 2:

Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir önerme değil- dir?

A) "En küçük pozitif tamsayı 0'dır."

B) "Türkiye’nin en yüksek dağı Ağrı Dağı'dır."

C) "İki çift sayının çarpımı yine bir çift sayıdır."

D) "Bu akşam tiyatroya gidelim."

E) "6 asal sayıdır."

 verilen bir p önermesinin doğruluk değerleri tablosu:

D Y p

veya 1

0 p

 verilen bir p ile q gibi iki farklı önermenin doğruluk değerleri tablosu:

D D

D Y

Y D

Y Y

p q

veya

1 1

1 0

0 1

0 0

p q

 verilen bir p, q ve r gibi üç farklı önermenin doğruluk değerleri tablosu:

D D D

D D Y

D Y D

D Y Y

Y D D

Y D Y

Y Y D

Y Y Y

p q r

veya

1 1 1 1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0 p q r

 Birbirinden farklı n tane önermenin, 2 tane doğ-ⁿ ruluk (değeri) vardır. Yani Bu n tane önermenin doğruluk değerleri tablosu yapılsa 2 tane doğru-ⁿ luk değeri satırı kullanılır.

SORU 3:

I. İstanbul, İç Anadolu Bölgesi’nde bir şehirdir.

II. İki rasyonel sayının çarpımı her zaman bir rasyo- nel sayıya eşittir.

III. Kitapçıdan aldığım kitap çok güzel.

IV. İki basamaklı en büyük pozitif tamsayı 99 değildir.

V. Bir hafta yedi gündür.

Yukarıdaki önermelerden kaç tanesinin doğruluk değeri 1 (D) 'dir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

SORU 4:

3 önermenin doğruluk değeri için kaç değişik durum oluşur?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

2.D 3.B 4.E

MANTIK 12 MAT 039

52 DENK (EŞ DEĞER) ÖNERMELER

TANIM: Doğruluk değeri aynı olan iki önermeye denk (eş değer) önermeler denir.

p ve q denk (eş değer) önermeler ise, bu durum pq ile gösterilir.

SORU 5:

I. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

II. İnsanlar 4 ayaklıdır.

III. Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.

IV. Bugün hava güzel mi?

Yukarıda verilen önermelerden hangileri birbirine denk (eşdeğer) olan iki önermedir?

A) II – IV B) I – IV C) I – III D) I – II E) III – IV

SORU 6:

p : "4’ten küçük 3 tane doğal sayı vardır."

q : " 3 8  5 7 " r : "Elma bir sebzedir."

Yukarıda verilen önermeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) p 1 B) pq C) p r D) q r E) pq r

BİR ÖNERMENİN DEĞİLİ (OLUMSUZU)

TANIM: Verilen bir önermenin hükmünün (doğruluk değerinin) değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye, bu önermenin değili (olumsuzu) denir.

Bir p önermesinin değili, p , p ya da ^I  sembol-p lerinden birisi ile gösterilir.

 Herhangi bir önermenin değilinin doğruluk değerini belirlemek için, o önermenin doğruluk değerini bilmek yeterlidir. Çünkü p önermesi doğru ise p önermesi ^I yanlış veya p önermesi yanlış ise p önermesi doğru-^I dur.

 p: "Papatya bir çiçektir."

p : "Papatya bir çiçek değildir." I

SORU 7:

p : "Çift sayılar 2 ile tam bölünür."

önermesinin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisidir?

A) p : "Tek sayılar 2 ile tam bölünür." ^I B) p : "Tek sayılar 2 ile tam bölünmez." ^I C) p : "Tek sayılar 3 ile tam bölünür." ^I D) p : "Çift sayılar 2 ile tam bölünmez." ^I E) p : "Çift sayılar 1 ile tam bölünür." ^I

5.C 6.C 7.D

53 BİLEŞİK ve BASİT ÖNERMELER

BİLEŞİK ÖNERMELER

TANIM: İki veya daha çok önermenin "ve", "veya",

"ise", "ancak ve ancak" gibi mantıksal bağlaçlarla bir- birlerine bağlanmasıyla oluşan önermelere bileşik önermeler denir.

BİLEŞİK ÖNERMENİN BİLEŞENLERİ

TANIM: Mantıksal bağlaçlarla birbirlerine bağlanan önermelere bileşik önermenin bileşenleri denir.

BASİT ÖNERMELER

TANIM: Bileşik olmayan önermelere de basit önerme- ler denir.

MANTIKSAL BAĞLAÇLAR

TANIM: Önermeleri birbirlerine bağlayan "ve", "veya",

"ise", "ancak ve ancak" gibi terimlere mantıksal bağ- laçlar denir.

 Bir bileşik önermenin doğruluk değeri kendisini oluştu- ran basit önermelerin doğruluk değerleri tarafından (kullanılan mantıksal bağlaçların anlamlarıyla birlikte) belirlenir.

"VEYA" MANTIKSAL BAĞLACI İLE KURULAN BİLEŞİK ÖNERMELER

TANIM: p ve q iki basit önerme olmak üzere, bu basit önermelerin "veya" mantıksal bağlacı ile bağlanması ile meydana gelen önermelere p veya q önermeleri denir ve pq şeklinde gösterilir.

 "veya" mantıksal bağlacı "en az biri" anlamına geldi- ğinden,

pq bileşik önermesi, bileşenlerinden en az birisi doğru iken doğru, bileşenlerinin her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

 pq önermesinin doğruluk tablosu:

p q p q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0



"VEYA" MANTIKSAL BAĞLACI İLE KURULAN BİLEŞİK ÖNERMELERİN ÖZELLİKLERİ

p,q ve r üç önerme olmak üzere;

 tek kuvvet özelliği:

ppp

 değişme özelliği:

pqq p

 birleşme özelliği:

   

p q r  pq  r

 şirin sonuçlar:

 p 1 1 

 p0p

MANTIK 12 MAT 039

54

"VE" MANTIKSAL BAĞLACI İLE KURULAN BİLE- ŞİK ÖNERMELER

TANIM: p ve q iki basit önerme olmak üzere, bu basit önermelerin "ve" mantıksal bağlacı ile bağlanması ile meydana gelen önermelere p ve q önermeleri denir ve

pq şeklinde gösterilir.

 "ve" mantıksal bağlacı "her ikisi de" anlamına geldi- ğinden,

pq bileşik önermesi, bileşenlerinden her ikisi de doğru iken doğru, bileşenlerinin en az biri yanlış iken yanlıştır.

 pq önermesinin doğruluk tablosu:

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0



"VE" MANTIKSAL BAĞLACI İLE KURULAN BİLE- ŞİK ÖNERMELERİN ÖZELLİKLERİ

p, q ve r üç önerme olmak üzere;

 tek kuvvet özelliği:

ppp

 değişme özelliği:

pqq p

 birleşme özelliği:

   

p q r  pq  r

 şirin sonuçlar:

 p 1 p 

 p00

"VEYA" ve "VE" MANTIKSAL BAĞLAÇLARININ BİRBİRLERİ ÜZERİNE DAĞILMA ÖZELLİKLERİ

p, q ve r basit önermeler olmak üzere;

 "ve" bağlacınınn "veya" bağlacı üzerine soldan dağıl- ma özelliği:

     

p q r  pq  pr

 "ve" bağlacının "veya" bağlacı üzerine sağdan dağıl- ma özelliği:



q r



p



q p

 

 rp



 "veya" bağlacının "ve" bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği:

     

p q r  pq  pr

 "veya" bağlacının "ve" bağlacı üzerine sağdan dağıl- ma özelliği:



^{q r}



^p



^{q p}

 

^{ rp}



DE MORGAN KURALLARI

Her p ve q önermesi için geçerli olan





^pq



^IpIqI





^pq



^IpIqI

eşitliklerine De Morgan kuralları denir.

Önermeler üzerinde yapılan işlemler, kümeler üzerinde yapılan işlemlerle paralel olarak yorum- lanabilir.



^pq



^IpIqI



^AB



^IAIBI



^pq



^IpIqI



^AB



^IAIBI

ppI 1 AA^IE ppI0 ^AAI

 