Aksiyomatik Kümeler Kuramı (MAT )

Aksiyomatik Kümeler

Kuramı (MAT )

David Pierce

 Nisan 

Problem . Cantor normal biçimlerini bulun.

(a) 1 + ω + ω²+ ω + 1 (b) ω²+ ω + 1 + ω + ω²

(c) (ω + 1) · (ω + 2)

(d) (ω^ω·2+ ω^ω+3·2 + ω¹⁶·3 + ω + 4) · 6 (e) (ω⁴+ ω³·2 + ω² ·3 + ω + 4) · ω⁵ (f) (ω⁵+ 28) · ω^ω

Çözüm.

(a) ω²+ ω + 1 (b) ω²·2

(c) ω²+ ω · 2 + 1

(d) ω^ω·2·6 + ω^ω+3·2 + ω¹⁶·3 + ω + 4 (e) ω⁹

(f) ω^ω

Problem . Aşağıdaki ordinal eşitliği doğru ise kanıtlayın, değilse bir karşıt örnek verin.

α ·(β + γ) = α · β + α · γ

Çözüm. i) α · (β + 0) = α · β = α · β + 0 = α · β + α · 0.

ii) Bir γ için

α ·(β + γ) = α · β + α · γ olsun. O zaman

α ·(β + γ^′) = α · (β + γ)^′

= α · (β + γ) + α

= (α · β + α · γ) + α

= α · β + (α · γ + α)

= α · β + α · γ^′.

iii) δ limit olsun ve γ < δ ise

α ·(β + γ) = α · β + α · γ olsun. α > 0 varsayılabilir. O zaman

α ·(β + δ) = α · sup

ξ<δ

(β + ξ) [tanım]

= sup

ξ<δ

α ·(β + ξ)

[ξ 7→ α · ξ normal]

= sup

ξ<δ

(α · β + α · ξ) [hipotez]

= α · β + sup

ξ<δ

(α · ξ) [ξ 7→ α · β + ξ normal]

= α · β + α · δ. [tanım]

Problem . Aşağıdaki ordinal eşitliği doğru ise kanıtlayın, değilse bir karşıt örnek verin.

(α + β) · γ = α · γ + β · γ Çözüm. (1 + 1) · ω = 2 · ω = ω

1 · ω + 1 · ω = ω + ω = ω · 2 > ω

Problem . Aşağıdaki kanıt nerede yanlıştır? Anlatın.

I. İlk olarak

0^′ = 1 ()

= 1 + 0. ()

II. Şimdi

β^′ = 1 + β ()

olsun. O zaman

β^′+ 1 = (1 + β) + 1 ()

= 1 + (β + 1) ()

= 1 + β^′. ()

III. Son olarak γ limit olsun, ve α < γ durumunda

α^′ = 1 + α ()

olsun. O zaman

γ^′ = sup

ξ<γ

(ξ^′) ()

= sup

ξ<γ

(1 + ξ) ()

= 1 + γ. ()

Sonuç olarak her α için

α^′ = 1 + α. ()

Çözüm. Satır () yanlıştır, çünkü ξ 7→ ξ^′ işlemi normal değil- dir, ama sup_ξ<γ(ξ^′) = γ.