BASİT EŞİTSİZLİKLER
Doğal sayılar ve tam sayılar kümesinde ardışıklık kavramı vardır. Yani, ardışık iki tam sayı arasında herhangi bir tam sayı yoktur. Rasyonel sayılar kümesinde durum böyle değildir. Yani herhangi iki rasyonel sayı arasında her zaman bir üçüncü sayı vardır. Dolayısıyla rasyonel sayılar kümesinde ardışıklık kavramından bahsedilemez.
Her rasyonel sayı, sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir ve iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Buna rağmen rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerindeki bütün noktaları dolduramaz. Çünkü sayı doğrusu üzerinde rasyonel olmayan sayılarda vardır.
, 0 min
. ı .
a b Z ve b olmak üzere a biç de b
ifade edilemeyen sayılara irrasyonel sayılar denir Ve Q ile gösterilir
İrrasyonel sayılar kısaca kökten çıkamayan ve virgülden sonrası belli olmayan sayılardır.
2 1, 414213562373095...
3 1, 43205080756887...
2, 71828182845...
3,14159265358979...
e
sayıları birer irrasyonel sayıdır
Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi ile reel sayılar kümesi elde edilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki sayılardan kaç tanesi irrasyonel sayıdır?
3
5 2 1 5
9
0 2 11
27 8
e
ÖRNEK:
2 2 3 2 20
?
x y x y
olduğuna göre x ve y tam sayılarının çarpımı kaçtır
2009 ÖSS:
2 3
. 2 1
.
. 1
. .
.
lg
?
I x bir rasyonel sayıysa x de rasyoneldir
II x bir rasyonel sayıysa x de x
rasyoneldir
III Hem x hem de x rasyonel sayıysa x de rasyoneldir
Yukarıda gerçel sayılarla i ili verilen önermelerden hangileri doğrudur
2010 YGS:
?
1 2 2 2 2
) 2 1 )2 2 1 ) ) )
2 2 1 3 2 3
Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır
A B C D E
Reel sayılarda aralıklar sınırlı ve sınırsız olmak üzere iki tiptir.
1.Açık Aralık:
( , )a b xR a: x b
2.Yarı Açık Aralık
a b,
xR a: x b
3.Kapalı Aralık
a b,
xR a: x b
4.Sonsuz Aralık
,a
xR x: a
EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ
1. Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitsizliğin yönü değişmez.
; x R ve a b olamk üzere a x b x
a x b x
2. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayıyla çarpılır veya bölünür ise eşitsizliğin yönü değişmez.
. .
x R ve a b olmak üzere a x b x
a b x x
3. Eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayıyla çarpılır veya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.
. .
x R ve a b olmak üzere a x b x
a b x x
ÖRNEK:
5 2 4 5 2 2 7
. . 0 . . 0 . . 0
, ?
a b c a b c a b c ise
a b ve c nin işaretlerini bulunuz
ÖRNEK:
2 0
?
) ) 0 ) . 0 ) . 0 ) 0
x y
ise aşağıdakilerden hangisi y x
daima doğrudur
A x o B y C x y D x y E x y
1982 ÖSS 0
?
)0 1 )1 2 ) 2 ) 2 ) 1
a b
a b ve c ise aşağıdakilerden b
hangisi doğrudur
A c B c C c D c E c
1987 ÖSS
2 , 2
2
, , ?
a a
a b ve x y z olduğuna
b b
göre x y z arasındaki sıralama nedir
1981 ÖSS
, , 2 3 , 2
, , ?
a b c R ve a b b c olduğuna göre a b c arasındaki sıralama nedir
2003 ÖSS 0
?
4 2 2 4
) ) 1 ) ) )
3 3 3 3
b a
a b olmak üzere k ise k reel
a
sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir
A B C D E
2010 YGS ,
0
?
) ) ) ) 0 ) 0
x y ve z gerçel sayıları için y
x y z
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur
A x z B x y C z y D x E z
2004 ÖSS , ,
1 , ,
2
?
a b c z ve c asal sayı olmak üzere
a c
ise a b c arasındaki sıralama
c b
nasıldır
2006 ÖSS
2
0 1 ;
, 1
, , ?
x olmak üzere
a x b x c olduğuna göre
x
a b c arasındaki sıralama nedir
4. Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplandığında eşitsizliğin yönü değişmez.
a x b
c y d
ise a c x y b d
5.
2 1 2 1
2 2
0 0
0 0
0 0
n n
n n
n n
n N olmak üzere
a b ise a b
a b ise a b
a b ise a b
ÖRNEK:
, 1 3 3 10
2 3
?
x y Z x ve y
olduğuna göre x y toplamının alabileceği değer aralığını bulunuz
ÖRNEK:
3 4 5 1
?
x ve y gerçel sayılar olmak
üzere x ve y
olduğuna göre x y nin alabileceği en büyük değer kaçtır
ÖRNEK:
3 1 2 1
?
x ve x y
olduğuna göre y nin en geniş değer aralığını bulunuz
ÖRNEK:
2 2
.
2 5 3 4
? x ve y gerçel sayılardır
x ve y olduğuna göre
x y ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alır
ÖRNEK:
2 2
5 3
1 3
?
x ve y birer tam sayı olmak üzere x ve y olduğuna göre x y toplamı kaç farklı değer alabilir
ÖRNEK:
4 2 2 6 2 sin
?
x için x x ifade in
alabileceği en büyük ve en küçük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır
ÖRNEK:
.
5 9 4 3
sin ?
a ve b reel sayılardır
a b olduğuna göre a b
ifade in en küçük tam sayı değeri kaçtır
ÖRNEK:
, . .
1 1 1 1
10
?
)33 )32 )31 )30 )29
x y ve z gerçek sayılardır x y z olduğuna göre x in
x y z
alabileceği değer aşağıdakilerden hangisi olabilir
A B C D E
ÖRNEK:
3 1 5 4 2 1
. . sin
?
x ve y eşitsizlikleri
veriliyor Buna göre x y ifade in alabileceği en küçük ve en büyük tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır
ÖRNEK:
, .
4 1
3 2
1 5 . .
?
a b ve c birer reel sayıdır a
b
c olduğuna göre a b c çarpımı hangi aralıktadır
ÖRNEK:
, .
2 7
3 6
4 5
. sin
a b ve c birer reel sayıdır a
b c
olduğuna göre a b ifade in c
alabileceği en büyük tam sayı değeri en küçük tam sayı değerinden kaç fazladır
ÖRNEK:
2 3
3 1
2 2 sin
? a
b olduğuna göre a b ifade in değer aralığını bulunuz
ÖRNEK:
1 5 ;
2 3 5
? x y z olmak üzere
toplamının alabileceği tam sayı
x y z
değerleri toplamı kaçtır
ÖRNEK:
, , .
1
1 1 1
? x y z R dır
x y z olduğuna göre
toplamının en küçük tam sayı değeri x y z
kaçtır
6)
;
1 1 1
.
a ve b aynı işaretli olmak üzere ise a x b dir
a x b
7)
1 1 1
.
a ve b ters işaretli sayılar olmak üzere ise a x b dir
a x b
ÖRNEK:
1 2 1
2 3 4 tan
var ?
eşitsizliğini sağlayan kaç e x
x tam sayısı dır
ÖRNEK:
3 2 5
4 1 2
? eşitsizliğini sağlayan x
x tam sayılarının toplamı kaçtır
ÖRNEK:
2 6
3 12 . sin
? x
y ise x y ifade in en büyük x y
tam sayı değeri kaçtır
8)
2
1 ;
0 1 .
0 1 .
n
n R olmak üzere
a ise a a dır
a a ise a dir
ÖRNEK:
2 1 2
1 1
3 3
?
x x
ise x in en küçük tam sayı değeri kaçtır
ÖRNEK:
1 1
4 125
25 8
?
x x
ise x in en küçük tam sayı değeri kaçtır
2006 ÖSS
7
2 1 1
4 16
?
m
m eşitsizliğini sağlayan en küçük m tam sayısı kaçtır
1985 ÖYS
2 .
?
)0 1 )1 2 ) 0
) 2 ) 0
a a ve a b b ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur
A b B b C b
D b E b
ÖRNEK: Bir ürünün alış fiyatı a ve satış fiyatı b dir. 3a- b=200 olduğuna göre bu ürünün satışından zarar edilmemesi için a en az kaç olmalıdır?
1989 ÖSS: Bir köyden kasabaya iki ayrı yoldan gidilebilmektedir.
1. Yol 3a km
2. Yol (a+8) km olarak ölçülmüştür. İkinci yol daha kısa olduğuna göre a için ne söylenebilir?
ÖRNEK:
3 4 8
5 3
?
x x
eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz
2008 ÖSS:
5 10 2
? Bir x tam sayısı için
x olduğuna göre x in en
küçük değeri kaçtır
ÖRNEK:
5 4 2 1
3 4 2
?
x x x
eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz
ÖRNEK:
3 2 3 5
?
x x x eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır
ÖRNEK:
2 1 .
1
03 1 0 min
?
x x
x eşitsizlik siste in çözüm aralığını bulunuz
2008 ÖSS:
4 6
3 1 5
?
x x
eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır
