ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİNAMİK SİSTEMLERİN DÜZGÜN ÜSTEL KARARLILIĞI VE DİNAMİK EŞİTSİZLİKLER. Adnan TUNA DOKTORA TEZİ MATEMATİK

DÜZGÜN ÜSTEL KARARLILIĞI VE DİNAMİK EŞİTSİZLİKLER

Adnan TUNA

DOKTORA TEZİ MATEMATİK

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

NİSAN 2007 ANKARA

DİNAMİK SİSTEMLERİN DÜZGÜN ÜSTEL KARARLILIĞI VE DİNAMİK EŞİTSİZLİKLER adlı bu tezin Doktora tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.

Prof. Dr.Baki İrfan YAŞAR Tez Yöneticisi

Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Doktora tezi olarak kabul edilmiştir.

Başkan : Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR

Üye : Prof. Dr. Baki İrfan YAŞAR

Üye : Prof. Dr. Muhsin MERT

Üye : Doç. Dr. Onur KÖKSOY

Üye : Doç. Dr. Ogün DOĞRU

Tarih : 30/04/2007

Bu tez, Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygundur.

Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada orijinal olmayan her türlü kaynağa eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.

Adnan TUNA

ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİNAMİK SİSTEMLERİN DÜZGÜN ÜSTEL KARARLILIĞI VE DİNAMİK EŞİTSİZLİKLER

(Doktora Tezi)

Adnan TUNA

GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Nisan 2007

ÖZET

Bu tezde, diferensiyel denklemlerle ilgili birçok sonucun fark denklemleri ile eş değer sonuçlara taşınabildiği, bir zaman skalası üzerinde bazı temel özellikler, değişen zamanlı lineer dinamik sistemlerin düzgün üstel kararlılığı ve bazı dinamik eşitsizlikler verilmiştir.

Bilim Kodu : 204.1.138

Anahtar Kelimeler : Zaman Skalası, Dinamik Sistem, Dinamik Eşitsizlikler, Kararlılık

Sayfa Adedi : 50

Tez Yöneticisi : Prof. Dr. Baki İrfan YAŞAR

DYNAMIC INEQUALITIES AND UNIFORM EXPONENTIAL STABILITY OF DYNAMIC SYSTEMS ON TIME SCALES

(Ph. D. Thesis)

Adnan TUNA

GAZI UNIVERSITY

INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY April 2007

ABSTRACT

In this thesis, we consider some results related to differential equations and carry them to equivalent results in difference equations, we also give uniform exponential stability of time varying linear dynamic systems and some dynamic inequalities on time scales.

Science Code : 204.1.138

Key Words : Time Scales, Dynamic System, Dynamic Inequalities, Stability Page Number : 50

Advisor : Prof. Dr. Baki İrfan YAŞAR

TEŞEKKÜR

Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren, kıymetli vakitlerini bana ayıran ve her safhasında bilgisine başvurduğum Sayın Hocam kıymetli insan Prof. Dr. Baki İrfan YAŞAR’a, teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca arkadaşım Muhammet Taği Dastjerdi’ye manevi desteğinden dolayı teşekkürü bir borç bilirim.

İÇİNDEKİLER

Sayfa

ÖZET ... iv

ABSTRACT... v

TEŞEKKÜR... vi

İÇİNDEKİLER ... vii

ÇİZELGELERİN LİSTESİ... viii

ŞEKİLLERİN LİSTESİ ... ix

SİMGELER VE KISALTMALAR... x

1. GİRİŞ ... 1

2. ZAMAN SKALASI ... 2

2.1. Temel Tanımlar ... 2

2.2. Türev ... 4

2.3. rd-Süreklilik ve Özellikleri... 14

2.4. Hilger’in Kompleks Düzlemi ... 20

2.5. Üstel Fonksiyon... 24

3. DİNAMİK EŞİTSİZLİKLER ... 28

4. LİNEER SİSTEMLER VE KARARLILIK... 37

4.1. Regressive Matrisler ve Lineer sistemler ... 37

4.2. Dinamik Sistemlerin Kararlılığı ... 42

KAYNAKLAR ... 49

ÖZGEÇMİŞ ... 50

ÇİZELGELERİN LİSTESİ

Çizelge Sayfa

Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması ... 3 Çizelge 3.1. Zaman skalasına örnekler ... 14

ŞEKİLLERİN LİSTESİ

Şekil Sayfa

Şekil 2.1. Noktaların şematik sınıflandırılması... 3 Şekil 2.2. Hilger’in kompleks düzlemi ... 22 Şekil 2.3. Hilger’in kompleks sayıları ... 23

SİMGELER VE KISALTMALAR

Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.

Simgeler Açıklama

T Zaman skalası

f ∆ Hilger delta türevi

∆f İleri fark operatörü σ İleri sıçrama operatörü

ρ Geri sıçrama operatörü

∅ Boş küme

µ Sıçrama arası fark

Tk Türevi tanımladığımız fonksiyon f^∆∆ Hilger ikinci delta türevi

f^∆σ Hilger birinci delta türevin ileri sıçraması Crd Sağdan yoğun sürekli fonksiyonlar kümesi ξ Silindir dönüşümü

ℜ Regresive

1.GİRİŞ

Bu tezde, diferensiyel denklemlerle ilgili birçok sonucun fark denklemleri ile eş değer sonuçlara taşınabildiği, bir zaman skalası üzerinde bazı temel özellikler, değişen zamanlı perturbe dinamik denklemlerin kararlılığı ve bazı dinamik eşitsizlikler incelenecektir.

Son yıllarda üzerinde birçok çalışmalar yapılan zaman skalası teorisi 1988 tarihinde Stefan Hilger tarafından sürekli ve ayrık analizi birleştirmek amacıyla kurulmuştur.

Zaman skalası üzerinde dinamik denklemlerin çalışılması, diferansiyel denklemlerden ve fark denklemlerinden iki ayrı sonuç elde edilmesini engeller.

Tezin ikinci bölümünde; T zaman skalası, temel tanımlar, önemli özellikleri ve örnekler, f T: → fonksiyonu için Hilger’in delta ve nabla türevi, bu türevlerin önemli özellikleri, integral ve süreklilikle ilgili tanım ve teoremler, Hilger’in kompleks düzlemi, üstel fonksiyon, üstel fonksiyonların özellikleri, birinci mertebeden başlangıç değer problemlerinin çözümü ve dinamik sistemler, zaman skalası üzerinde incelenmiştir.

Tezin üçüncü bölümünde değişen zamanlı ( ) ( ) ( ),

x t^∆ = A t x t x t( )₀ = x₀

başlangıç değer probleminin düzgün kararlılık, düzgün üstel kararlılık ve düzgün asimptotik kararlılık tanımları ve bu kararlılık ile ilgili önemli özellikler incelenmiştir. Ayrıca perturbe dinamik denklem sisteminin düzgün üstel kararlılığı ve düzgün asimptotik kararlılığı verilmiştir.

Tezin dördüncü bölümünde dinamik eşitsizlikler, Hölder eşitsizliği, Minkovski eşitsizliği, Cauchy Schwarz eşitsizliği incelenmiştir. Bundan başka iki fonksiyonu içeren ve Hölder eşitsizliğinin yardımıyla elde edilmiş bazı dinamik eşitsizlikler verilmiştir.

2. ZAMAN SKALASI

2.1. Temel Tanımlar

2.1.1. Tanım

Bir zaman skalası, keyfi boş olmayan kapalı bir gerçel sayılar kümesidir.

, , , 0yani gerçel sayılar, tamsayılar, doğal sayılar, [0,1]∪[2,3] ve

[ ]

0 1, ∪ 0

kapalı aralıkları zaman skalasına örnektir. , \ , ve (0,1) aralığındaki sayılar zaman skalası değildir. Bu çalışmada zaman skalası T ile gösterilecektir.

T üzerinde tanımlı bir f fonksiyonu için f^∆ türevi;

i) Eğer T = ise, bu taktirde alışılmış türev f^∆= f ′ biçimindedir.

ii) Eğer T = Z ise, bu taktirde alışılmış olarak bilinen ileri fark operatörü f^∆ = ∆ f

şeklindedir [1,2,3,4,5,6].

2.1.2. Tanım

T bir zaman skalası olsun. t ∈ T için σ

( )

^{t : T} → T ileri sıçrama operatörü;

{

( ) inft = s∈

σ T ^{: s t>}

}

^{ve ρ(t): T} → T geri sıçrama operatörü;

{

( ) supt = s∈

ρ T ^{: s t<}

}

biçiminde tanımlanır. Bu tanımda inf∅ =sup T (eğer T bir maxt ye sahipse, σ (t)=t) ve sup∅= inf T (eğer T bir ^{min t} ye sahipse, ρ(t)=t) olur. µ: T ^→

[

^0,∞

)

fonksiyonu, µ(t) = ( )σ t − ile tanımlanır [3]. t

2.1.3. Tanım

Eğer ( )σ t > ise t sağdan saçılımlı, ( )t ρ t < ise t soldan saçılımlıdır. Hem sağdan t saçılımlı hem soldan saçılımlı noktalara izole nokta denir. Ayrıca, t<sup T ve

σ

( )

^{t =t} ise t sağda yoğun, t>inf T ve ( )ρ t = ise t solda yoğun denir. Hem solda t hem de sağda yoğun olan noktalara yoğundur denir [3].

Noktaların sınıflandırılması Çizelge 2.1 de, noktaların şematik gösterimi ise Şekil 2.1 de gösterilmiştir.

Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması

t sağdan saçılımlı ( )t<σ t

t sağdan yoğun ( )t=σ t

t soldan saçılımlı ( )ρ t < t

t soldan yoğun ( )ρ t = t

t izole ρ( )t < <t σ( )t

t yoğun ρ ( )t = t = σ ( )t

t2 soldan yoğun ve sağdan saçılımlı t1 soldan yoğun ve sağdan yoğun t3 sağdan yoğun ve soldan saçılımlı t4 soldan ve sağdan saçılımlı Şekil 2.1. Noktaların şematik sınıflandırılması

T zaman skalasından türetilmiş bir T^k kümesi; eğer T , soldan saçılımlı bir m maksimumuna sahip ise, T^k = −T m diğer durumlarda T^k =T şeklinde tanımlanır [3].

2.1.1. Not :

f T→R bir fonksiyon olsun. f^σ : T → fonksiyonu her ∀ t∈ T için ( ) ( ( ))

f t^σ = f σ t şeklinde tanımlanır [3].

t2

t1

t3

t4

2.1.1. Örnek

Aşağıdaki üç durumu inceleyelim.

(i) Eğer T = ise, ∃ t ∈ için ^{σ( ) inft =}

{

^{s∈ :s t> =}

}

^{inf ,}

( )

^{t ∞ =t} ve benzer şekilde ^{ρ( ) supt =}

{

^{s∈ :s t< =}

}

^sup

(

^−∞,t

)

^=t olur. Burada ∀t∈ noktası yoğundur. µ fonksiyonu ∀ t ∈ T için, µ(t)≡ 0 dır.

(ii) Eğer T = Z ise, ∃ t ∈ Z için

{ } { }

( ) inft s :s t inf t 1,t 2,t 3,... t 1

σ = ∈Z > = + + + = +

{ } { }

( ) supt s :s t sup t 1,t 2,t 3,... t 1

ρ = ∈Z < = − − − = −

bulunur. Burada ∀ t∈ Z noktası izole noktadır. µ fonksiyonu ∀ t∈ T için, µ(t) ≡ 1 dir.

(iii) Eğer T =

{

^{2 :n n∈}

}

^∪

^{{ }}

^{0 ise,}

(2 )ⁿ 2ⁿ 1 , ( ) 2t t

σ = ⁺ σ = ve (2 ) 2 ¹ , ( )

2

n n t

ρ = ⁻ ρ t =

burada ∀ t∈ T izole noktadır [3].

2.2. Türev

2.2.1. Tanım

f : T→ bir fonksiyon ve t ∈ T^k olsun. ∀ε >0olacak şekilde ∃δ >0 için t nin bir U komşuluğu (yani U = t - ,t +

(

δ δ ∩ T

)

) için,

[ ]

f( (t))- f(s)- f ( t ) σ(t)- sσ ^∆ ≤ εσ(t)- s , ∀ ∈s U

eşitsizliği sağlanırsa, f ( t )^∆ ye f fonksiyonunun delta türevi denir [3].

2.2.1. Örnek

(i) Eğer f : T → fonksiyonu ∀ t ∈ T için f ( t ) = α ise, f ( t ) 0^∆ ≡ dır. Burada α ∈ sabittir. Gerçekten ∀ ε >0 için

[ ]

f( (t))- f(s)- 0 σ(t)- sσ = α − α = ≤ ε σ0 (t)- s , ∀ s∈ T

olması sebebiyle doğrudur.

(ii) Eğer, f : T → fonksiyonu ∀ t ∈ T için f ( t ) t= ise f ( t ) 1^∆ ≡ dir. Gerçekten

∀ε >0 için

[ ] [ ]

f( (t))- f(s)- 1 σ(t)- sσ = σ(t)- s - σ(t)- s = ≤ ε σ0 (t)- s ∀ s∈ T

olması sebebiyle doğrudur [3].

2.2.1. Teorem

f : T → bir fonksiyon ve t∈ T^k olsun. Bu durumda,

(i) Eğer f , t noktasında türevlenebilir ise, f fonksiyonu t noktasında süreklidir.

(ii) Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası sağdan saçılımlı ise, f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve

∆ f(σ(t)) - f(t) f (t) =

σ(t) - t

sağlanır.

(iii) Eğer t noktası sağdan yoğunsa, f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve

∆

s t

f(t) - f(s) f (t) = lim

t - s

→

sağlanır.

(iv) Eğer f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise;

f ( ( t ))σ = f ( t )+ µ( t ) f ( t )^∆

elde edilir [3].

İspat

(i) f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ve ε∈ (0,1) olsun.

* ∆

ε = ε 1+ f (t) + 2µ(t)⎡⎣ ⎤⎦⁻

1, ε^∗∈(0,1)

olarak tanımlansın.

[ ]

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

f σ t − f s − f t^∆ σ t −s ≤ε σ^∗ t − s

olacak şekilde t noktasının bir U komşuluğu vardır. Böylece

∀ s U∈ ∩ −(t ε^*,t+ε^*) için

|f(t) - f(s)|=|{f(σ(t)) - f(s) - f (t) [σ(t) - s]} - {f(σ(t)) - f(t) - µ(t)f (t)} + (t - s)f (t)| ^{∆ ∆ ∆}

* σ(t) - s * ( )t t s f (t)∆

ε ε µ

≤ + + −

( ) ( )

* t t s + t f (t)∆

ε µ µ

≤ + − +

1 2 ( )

* f (t)∆ t

ε ^⎡ µ ^⎤

< ⎣ + + ⎦

ε

=

elde edilir. Bu f fonksiyonunun t noktasında sürekli olduğu sonucunu verir.

(ii) f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktasında sağdan saçılımlı olsun.

Süreklilik tanımından;

f(σ(t)) - f(s) f(σ(t)) - f(t) f(σ(t)) - f(t)

= =

σ(t) - s σ(t) - t µ(t)

→ s t

lim

yazılır. ε >0 için

f(σ(t)) - f(s) f(σ(t)) - f(t)

- ε

σ(t) - s µ(t) ≤

olur. ∀ s U∈ olacak şekilde t noktasının bir U komşuluğu vardır. ∀ s U∈ için f(σ(t)) - f(t)

[f(σ(t)) - f(s)] - [σ(t) - s] ε | σ(t) - s |

µ(t) ≤

elde edilir. Böylece;

∆ f(σ(t)) - f(t) f (t) =

µ(t)

yazılır.

(iii) f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ve t noktasında sağda yoğun olsun.

Bu taktirde ε > 0 için ∀ ∈s U olacak şekilde t noktasının bir U komşuluğu vardır.

Böylece

[f(σ(t)) - f(s)] - f (t) [σ(t) - s] ∆ ≤ε σ(t) - s |

yazılabilir. ( )σ t = olduğundan, t

( )

[f(t) - f(s)] - f (t) t - s∆ ≤ε t - s , ∀ ∈s U

f(t) - f(s) ∆

- f (t) ε

t - s ≤

elde edilir. Böylece aranan s U∈ , s t≠ için

∆

s t

f(t) - f(s) f (t) = lim

t - s

→

olur.

(iv) Eğer σ( )t = , bu taktirde ( ) 0t µ t = ve

f ( ( t ))σ = f ( t )+ µ( t ) f ( t )^∆

yazılır. Diğer taraftan eğer ( )σ t > ise; (ii) nin yardımıyla t f ( ( t )) f ( t )

f ( ( t )) f ( t ) ( t ) f ( t ) ( t ) f ( t ) ( t )

σ − ∆

σ = + µ = + µ

µ

elde edilir [3].

2.2.2. Teorem

f ,g : T→ fonksiyonlar ve t∈T noktasında türevlenebilir olsun. Bu taktirde; ^k

(i) f +g :T → toplam fonksiyonu da t noktasında türevlenebilir ve

( f +g ) ( t )^∆ = f ( t ) g ( t )^∆ + ^∆

(ii) Her sabit α için, α f :T→R fonksiyonu da türevlenebilir ve

( f ) ( t )α ^∆ = αf ( t )^∆

(iii) fg : T→ fonksiyonu da türevlenebilir ve

( fg ) ( t )^∆ = f ( t )g( t ) f ( ( t ))g ( t )^∆ + σ ^∆ = f ( t )g ( t ) f ( t )g( ( t ))^∆ + ^∆ σ

(iv) Eğer f ( t ) f ( ( t ))σ ≠ 0 ise,

1 fonksiyonu da türevlenebilir ve f

∆ ∆

1 f (t)

(t) = -

f f(t)f(σ(t))

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

(v) Eğer g( t )g( ( t ))σ ≠ 0 ise, f

g fonksiyonu da türevlenebilir ve

∆ ∆ ∆

f f (t)g(t) - f(t).g (t) (t) =

g g(t)g(σ(t))

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

elde edilir [3].

İspat

f ve g fonksiyonlarının t∈T noktasında delta türevlenebilir olsun. ^k

(i) ε > 0 olsun. Böylece burada t noktasının U₁ ve U₂ komşulukları için,

∆ ε

f(σ(t)) - f(s) - f (t)(σ(t) - s) σ(t) - s

≤ 2 , s U∈ ₁

∆ ε

g(σ(t)) - g(s) - g (t)(σ(t) - s) σ(t) - s

≤ 2 s U∈ ₂ yazılabilir. U U= ₁∩U₂ olsun. ∀ ∈s U için

∆ ∆

(f + g)(σ(t)) - (f + g)(s) - [f (t)+ g (t)](σ(t) - s)

=(f(σ(t)) - f(s) - f (t)(σ(t) - s)+ g(σ(t)) - g(s) - g (t)(σ(t) - s) ^{∆ ∆}

∆ ∆

(f(σ(t)) - f(s) - f (t).(σ(t) - s)|+| g(σ(t)) - g(s) - g (t)(σ(t) - s)

≤

ε ε

σ(t) - s + σ(t) - s

2 2

≤

σ(t) - s

= ε

(iii) ε (0,1)∈ olsun.

* ∆ -1

ε = ε 1+| f(t)|+| g(σ(t))|+ g (t)|⎡⎣ ⎤⎦

tanımlansın. Böylece ε^*∈(0,1) ve burada t noktasının U₁ ve U₂ komşulukları için

∆ *

f(σ(t) - f(s) - f (t)(σ(t) - s) ≤ε σ(t) - s , s U∈ ₁

∆ *

g(σ(t) - g(s) - g (t)(σ(t) - s) ≤ε σ(t) - s , s U∈ ₂

yazılabilir. Teorem 2.2.1. (i) den dolayı s U∀ ∈ ₃ için f ( t ) f ( s )− ≤ ε^*

şeklindedir. U U= ₁∩U₂∩U₃ olsun. s U∈ için

( )

( fg )( ( t )) ( fg )( s )σ − −⎡⎣f ( t )g( ( t )) f ( t )g ( t )^∆ σ + ^∆ ⎤⎦ σ( t ) s−

( )

f ( ( t )) f ( s ) f ( t ) ( t ) s g( ( t ))^∆

⎡ σ − − σ − ⎤ σ

⎣ ⎦

g( ( t )) g( s ) g ( t )( ( t ) s ) f ( t )^∆

⎡ ⎤

+⎣ σ − − σ − ⎦

[ ]

g( ( t )) g( s ) g ( t )( ( t ) s ) f ( s ) f ( t )^∆

⎡ ⎤

+⎣ σ − − σ − ⎦ −

[ ]

( t ) s )g ( t ) f ( s ) f ( t )^∆

+σ − −

* *

( t ) s g( ( t )) ( t ) s f ( t )

≤ ε σ − σ + ε σ −

* * ( t ) s * ( t ) s g ( t )^∆ +ε ε σ − + ε σ −

* ( t ) s g( ( t ))⎡ f ( t ) * g ( t )^∆ ⎤

= ε σ − ⎣ σ + + ε + ⎦

* ( t ) s⎡ f ( t ) g( ( t )) g ( t )^∆ ⎤

= ε σ − ⎣1+ + σ + ⎦

( t ) s

= ε σ − .

elde edilir.

(v) 1

( ) ( )

f t f t

g g

∆ ∆

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1

( ) ( ) ( )

( ( ))

f t t f t

g g σ t

∆

⎛ ⎞ ∆

= ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠

( ) 1

( ) ( )

( ) ( ( )) ( ( ))

f t g t f t

g t g t g t

∆ ∆

= − +

σ σ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) f t g t f t g t

g t g σ t

∆ − ∆

=

elde edilir. İspat tamamlanır [3].

2.2.2. Tanım

:

f T→ fonksiyonu olsun. Eğer f^∆ fonksiyonu T^k2 =(T^{k k}) üzerinde türevlenebilir ise, f fonksiyonunun ikinci türevi f^∆∆ =(f^{∆ ∆}) :T^k2 → şeklinde tanımlanır. n. mertebeden türev f^∆n :T^kn → biçimindedir. Sonuç olarak,

2( )t ( ( ))t

σ =σ σ ve ρ²( )t =ρ ρ( ( ))t yazılabilir. Genelleştirilirse ∀ n∈ ₀ için

n( )

t t nh

σ = + ve ρⁿ( )t = −t nh olur. Ayrıca ρ⁰( t )= σ⁰( t ) t= , f^∆0 = f , ve

k0 =

T T dır [3].

2.2.2. Örnek

Genelde, hem f fonksiyonu hem de g fonksiyonu iki kere türevlenebilir olsa bile, fg fonksiyonu iki kere türevlenemez.

( )fg ^∆ = f g^∆ + f g^{σ ∆}

yazılabilir. ikinci türevi alınırsa (( ) )fg ^{∆ ∆} =(f g^∆ + f g^{σ ∆ ∆})

f g^∆∆ f g^{∆σ ∆} f g^{σ∆ ∆} f^σσg^∆∆

= + + +

( )

f g^∆∆ f^∆σ f^σ∆ g^∆ f g^{σσ ∆∆}

= + + +

elde edilir. Burada f^∆σ = f^∆σ biçimindedir [3].

2.2.3. Örnek

h> 0 ve ^{T=h =}

{

^{hk k: ∈}

}

olsun. Bu durumda t∈T için,

{ }

( ) inft s :s t

σ = ∈T > ^=inf

{

^{t nh n+ : ∈}

}

^{= +t h}

olur. Benzer şekilde ( )ρ t = − biçimindedir. ∀t h t∈T noktası izole noktadır ve

∀t∈T için ( )µ t =σ( )t − = + − = dir. Böylece bu örnekte t t h t h µ sabittir.

:

f T→ fonksiyon için ∀t∈T için

( ( )) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f t f t f t h f t

f t t h

σ µ

∆ − + −

= =

yazılabilir. Buradan ( ( )) ( )

( ) ( )

f t f t

f t

t σ

µ

∆ ∆

∆∆ −

=

( ) ( )

f t h f t

h

∆ + − ∆

=

( 2 ) ( ) ( ) ( )

f t h f t h f t h f t

h h

h

+ − + − + −

=

2

( 2 ) ( ) ( ) ( )

f t h f t h f t h f t

h

+ − + − + +

=

2

( 2 ) 2 ( ) ( )

f t h f t h f t

h

+ − + +

=

elde edilir. f^∆n( )t türevi benzer olarak yapılabilir. Diğer bir yaklaşım olarak;

∀ n∈ ₀ için σⁿ( )t = +t nh ve ρⁿ( )t = −t nh dır. Şimdi _h ( I )

∆ = h1 σ − operatörü tanımlansın. Burada I , birim operatördür. Binom teoremi

( )

n k n k n

k

n! a b ( a b )

k ! n k !

−

=

= +

∑

−

0

biçimindedir. ∆ operatörünün n yinci kuvvetini elde etmek için, binom teoreminin _h operatör versiyonu kullanılırsa

( )

n n n k n k

h n n

k

( I ) n! ( I )

h h k ! n k !

−

=

∆ = σ − = σ −

∑

−

0

1 1

elde edilir. Bu elde edilen operatöre uygulanırsa

( )

n n

n k n

k

f ( t ) n! ( ) f ( t kh )

h k ! n k !

∆ −

=

= − +

∑

−

0

1 1

bulunur [3].

Aşağıda Çizelge 3.1 de zaman skalasına örnekler verilmiştir. Burada farklı zaman skalası alındığında, bu zaman skalasına karşılık ( )µ t grainniness fonksiyonu, ( )σ t ileri fark operatörü ve ( )ρ t geri fark operatörü hesaplanmıştır.

Çizelge 3.1. Zaman skalasına örnekler

T µ( )t ( )σ t ( )ρ t

0 t t 1 t+1 t-1

h h t+h t-h

q (q-1)t qt ^t

q

2 t 2t

2 t

2

0 2 t+ 1 ( t +1)² ( t−1)²

2.3. rd Süreklilik ve Özellikleri

2.3.1. Tanım :

f T→ bir fonkisyon olsun. Eğer T üzerinde sağdan yoğun olan bütün noktalarda sağdan limitleri ve soldan yoğun olan noktalarda soldan limitleri varsa, f fonksiyonuna düzenli fonksiyon denir [3].

2.3.2. Tanım :

f T→ bir fonksiyon olsun. Eğer T üzerinde sağdan yoğun noktalarda sürekli ve T üzerinde soldan yoğun noktalarda soldan limitleri olan fonksiyona rd sürekli fonksiyon denir. f :T→ rd sürekli fonksiyonların kümesi

( ) ( , )

rd rd rd

C =C T =C T R

biçiminde gösterilir. :f T→ türevlenebilir ve türevleri rd sürekli olan fonksiyonların kümesi

1 1 ( ) 1 ( , )

rd rd rd

C =C T =C T R

şeklinde gösterilir [3].

Aşağıdaki teorem, rd sürekli ve düzenli fonksiyonları içeren bazı sonuçları içermektedir.

2.3.1. Teorem :

f T→ bir fonksiyon olsun. Bu taktirde

(i) Eğer f fonksiyonu sürekli ise, f fonksiyonu rd süreklidir.

(ii) Eger f fonksiyonu rd sürekli ise, f fonksiyonu düzenlidir.

(iii) σ sıçrama operatörü rd süreklidir.

(iv) Eğer f fonksiyonu düzenli veya rd sürekli ise, f^σ fonksiyonu da düzenli veya rd süreklidir.

2.3.3. Tanım :

f T→ sürekli fonksiyonu olsun. D⊂ T ve ^k T \ D bölgesi sayılabilir ve T nin ^k sağdan saçılımlı elemanlarını içermesin ve herbir t D∈ noktasında f fonksiyonu türevlenebilir ise, bu taktirde f fonksiyonu D türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilirdir denir [3].

2.3.2. Teorem

Kompakt aralıkta her düzenli fonksiyon sınırlıdır [3].

2.3.3. Teorem (Ortalama Değer Teoremi)

f ve g fonksiyonları T üzerinde tanımlanan reel değerli fonksiyonlar olsunlar. Her ikisi D türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilir olsun. O zaman ∀ ∈t D için

f ( t )^∆ ≤g ( t )^∆

sağlanırsa, r s≤ olmak üzere her r,s ∈T için

f ( s ) f ( r )− ≤g( s ) g( r )−

sağlanır [3].

2.3.4. Teorem (Ön anti türevin varlığı)

f fonksiyonu düzenli olsun. Bu taktirde ∀ ∈t D için D türevlenebilir bölgesiyle ön türevlenebilir ve

F ( t )^∆ = f ( t )

olacak biçiminde bir F fonksiyonu vardır [3].

2.3.4. Tanım :

f T→ düzenli bir fonksiyon ve f fonksiyonunun ön anti türevi F olsun. f fonksiyonun belirsiz integrali

f ( t ) t F( t ) C∆ = +

∫

şeklinde tanımlanır. Burada C keyfi bir sabittir. Cauchy integrali ∀ r,s∈ T için

s

r

f ( t ) t∆ = f ( s ) F( r )−

∫

şeklinde tanımlanır. Eğer ∀ t ∈ T için ^k F ( t )^∆ = f ( t )

şartı sağlanırsa, F:T→ fonksiyonuna, :f T→ fonksiyonunun anti türevi olarak tanımlanır [3].

2.3.1. Örnek

Eğer T= Z ve a sabit olmak üzere a 1≠ olsun.

1 at

a

⎛ ⎞∆

⎜ − ⎟

⎝ ⎠ = ∆ 1 at

a

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠ =

1

1

t t

a a

a

− −

− = a^t

olduğundan

1

t

t a

a t C

∆ = a +

∫

−

elde edilir. Burada C keyfi bir sabittir [3].

2.3.5. Teorem (Anti Türevin Varlığı)

Her rd sürekli fonksiyonun bir anti türevi vardır. Özellikle eğer t₀∈T ise; böylece

f fonksiyonunun anti türevi F fonksiyonu her t∈T için

t

t

F( t ) :=

∫

f ( )τ ∆τ

0

şeklinde tanımlanır [3].

2.3.6. Teorem

f ∈Crd ve t∈T ise; böylece ^k

( )^t ( ) ( ) ( )

t f ∆ = t f t

∫

^{σ τ τ µ}

elde edilir [3].

2.3.7. Teorem

Eğer f ( t )^∆ ≥ 0 ise, böylece f fonksiyonu azalan değildir [3].

2.3.8. Teorem

Eğer a,b,c∈T , α∈ ve f ,g C∈ _rd ise, bu taktirde

(i)

∫

_a^b

[

^{f t( )+g t( )}

]

^{∆ =t}

∫

_a^{b f t t( )∆ +}

∫

_a^{bg t t( )∆ ;}

(ii) ^b( )( ) ^b ( )

a α f t t∆ =α a f t t∆

∫ ∫

^;

(iii) ^b ( ) ^a ( )

a f t t∆ = − b f t t∆

∫ ∫

^;

(iv) ^b ( ) ^c ( ) ^b ( )

a f t t∆ = a f t t∆ + c f t t∆

∫ ∫ ∫

^;

(v) ^b ( ( )) ( ) ( )( ) ( )( ) ^b ( ) ( )

a f σ t g t t^∆ ∆ = fg b − fg a − a f t g t t^∆ ∆

∫ ∫

^;

(vi) ^b ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ^b ( ) ( ( ))

a f t g t t^∆ ∆ = fg b − fg a − a f t g^∆ σ t ∆t

∫ ∫

^;

(vii) ^a ( ) 0

a f t t∆ =

∫

^;

(viii) Eğer [ a,b ) üzerinde f ( t ) ≤g( t ) ise, böylece

( ) ( )

b b

a f t t∆ ≤ a g t t∆

∫ ∫

^;

(ix) Eğer bütün a t b≤ < için f ( t )≥ 0 ise, böylece

( ) 0

b

a f t t∆ ≥

∫

elde edilir [3].

2.3.9. Teorem

a,b∈T ve f ∈C_rd olsun.

(i) Eğer T = ise, böylece

( ) ( )

b b

a f t t∆ = a f t dt

∫ ∫

burada sağdaki integral Riemann integralidir.

(ii) Eğer [ a,b ] sadece izole noktaları içeriyorsa, bu taktirde

[ )

[ )

t Î a,b b

a

t Î b,a

µ(t)f(t) a < b

f(t)∆t = 0 a = b

- µ(t)f(t) a > b

⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎩

∑

∫ ∑

(iii) Eğer ^{T=h =}

{

^{hk k: ∈}

}

^,h>0 ise, böylece

a-1 h a k=h b

a a-1

h a k=h

f(kh)h a < b

f(t)∆t = 0 a = b

- f(kh)h a > b

⎧⎪

⎪⎪⎨

⎪⎪

⎪⎩

∑

∫

∑

(iv) Eğer T= ise, böylece

b-1 b t=a

b-1 a

t=a

f(t) a < b

f(t)∆t = 0 a = b

- f(t) a > b

⎧⎪

⎨⎪

⎩

∫ ∑

∑

elde edilir [3].

2.3.5. Tanım

Eğer a∈T , sup = ∞T ise ve f fonksiyonu [ a, )∞ üzerinde rd sürekli ise, genelleştirilmiş integrali

( ) : lim ^b ( )

a^∞ f t t b a f t t

∆ = →∞ ∆

∫ ∫

ile tanımlanır. Eğer limit varsa genelleştirilmiş integral yakınsaktır, limit yoksa genelleştirilmiş integrali ıraksaktır [3].

2.4. Hilger’in Kompleks Düzlemi

2.4.1. Tanım : 2

f T× → bir fonksiyon olsun. Birinci dereceden dinamik denklem

( , , )

y^∆ = f t y y^σ (2.1)

şeklinde tanımlanır. Eğer f₁ ve f₂ fonksiyonları için

1 2

( , , ) ( ) ( )

f t y y^σ = f t y+ f t veya f t y y( , , ^σ)= f t y₁( ) ^σ + f t₂( )

şeklinde tanımlanırsa, bu taktirde Eş. 2.1 dinamik denklemine lineer denklem denir.

Eğer :y T→ fonksiyonu Eş. 2.1 in çözümü ise, bu taktirde her t∈T için ^k

( ) ( , ( ), ( ( ))) y t^∆ = f t y t yσ t denklemini sağlar [3].

Şimdi Hilger kompleks düzleminin tanımı verilecektir.

2.4.2. Tanım

h> 0 için Hilger kompleks sayılarını, Hilger reel ekseni, Hilger alternatif ekseni ve Hilger sanal ekseni sırasıyla

1 1

: : , : :

h z z h z h z ve z

h h

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ∈ ≠ − ⎬ =⎨ ∈ ∈ > − ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

1 1

: : , : :

h h h h

A z z ve z z z ve z

h h

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

=⎨ ∈ ∈ < − ⎬ =⎨ ∈ ∈ > − ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭,

biçiminde tanımlanır. h = 0 için, C = C,_{0 0}= , I = i , A =_{0 0} ∅ dir [3].

Şekil 2.2. Hilger’in kompleks düzlemi 2.4.3. Tanım

h> 0 ve z∈ _h olsun. z nin Hilger reel parçası, 1 1 Re ( )_h zh

z h

= + − ve z nin

Hilger sanal parçası, ( 1)

Im ( )_h Arg zh

z h

= + şeklinde tanımlanır. Arg(z), z nin esas

argümenti (yani,− <π Arg z( )≤ ) olarak tanımlanır. π Re ( z ) ve _h Im ( z ) sırasıyla _h 1 Re ( )_h z

− <h < ∞ ve Im ( )_h z

h h

π π

− < ≤ biçiminde tanımlanır [3].

2.4.4. Tanım

h w h

π π

− < ≤ olsun. Hilger’in sanal sayısı

i

w^,

iwh 1 w e

i

⁼ h^{− (2.2)}

z C∈ için,h

i

Im_h^∈I_h ^dir.

1

−h R^h

Ah

Ih

0

Şekil 2.3. Hilger’in kompleks sayıları 2.4.1. Teorem

Eğer w

h h

π π

− < ≤ ise, böylece

2 2

2

4 sin 2 w wh

i

⁼h ^(2.3)

elde edilir [3].

2.4.2. Teorem

Eğer C üzerinde _h ⊕ işlemi z⊕ = + +w z w zwh şeklinde tanımlanırsa, bu taktirde

( , )C_h ⊕ Abel grubudur [3].

2.4.1. Not

C üzerindeki h ⊕ işleminin birleşme özelliği vardır [3].

2.4.3. Teorem

z∈ h için z⁼Re_h z^⊕

i

Im z_h biçimindedir [3].

2.4.5. Tanım

h 0> için ξ_h: _h → _h silindir dönüşümü

( ) 1 og(1 )

h z L zh

ξ =h +

şeklinde tanımlanır. Burada Log asal logaritma fonksiyonudur. h 0= için ξ₀( )z = z olur [3].

2.4.2. Not

h 0> olduğu zaman, z∈ _h için ( )ξ_h z silindir dönüşümünün tersi

1 1

( ) ( ^zh 1)

h z e

ξ ⁻ =h − biçimindedir [3].

2.5. Üstel Fonksiyon

2.5.1. Tanım

Her t∈T için :^k p T→ fonksiyonu

1+µ( ) ( ) 0t p t ≠ (2.4)

şartını sağlıyorsa p:T→ fonksiyonuna regresivedir denir. Bütün regresive ve rd sürekli fonksiyonların cümlesi

( ) ( , ) ℜ = ℜ T = ℜ T

şeklinde gösterilir [3].

2.5.1. Not

ℜ, ⊕ işlemine göre abel gruptur. ,p q∈ℜ olmak üzere ∀t∈T için ^k

(p q t⊕ )( )= p t( )+q t( )+µ( ) ( ) ( )t p t q t

şeklindedir. Bu gruba regresive grup denir [3].

2.5.2. Not

Eğer ,p q∈ℜ ise, bu taktirde Өp ve pӨq fonksiyonları her t∈T için ^k

(Өp) ( )

( ) 1 ( ) ( ) t p t

t p t

= µ +

(pӨq)(t) = (pӨ(Өq))(t) (2.5)

biçiminde tanımlanır [3].

2.5.2. Tanım

Eğer p∈ℜ ise, böylece üstel fonksiyon ,s t∈T için

( , ) exp ( )( ( ))

t p

s

e t s = ^⎛⎜ ξ_{µ τ} pτ ∆τ^⎞⎟

⎝

∫

⎠ ^(2.6)

şeklinde tanımlanır [3].

2.5.1. Lemma

Eğer p∈ℜ ise, böylece ∀ , ,τ s t∈T için

( , ) ( , ) ( , )

p p p

e tτ e τ s =e t s

yarı grup özelliği sağlanır [3].

2.5.3. Tanım

Eğer p∈ℜ ise, böylece

( ) ( ) ( )

y t^∆ = p t y t (2.7)

birinci dereceden dinamik denklem regresivedir denir [3].

2.5.1. Teorem

Eş. 2.7 denklemi regresive ve t₀∈T olsun. Bu taktirde e_p(., )t üstel fonksiyonu ₀

( ) ( ) ( )

y t^∆ = p t y t , y t( ) 1₀ = (2.8)

başlangıç değer probleminin çözümüdür [3].

2.5.2. Teorem

Eğer Eş. 2.7 regresive ise, bu taktirde Eş. 2.8 başlangıç değer probleminin tek çözümü e_p(., )t biçimindedir [3]. ₀

İspat

y , Eş. 5.8 denkleminin çözümü olsun. Teorem 2.2.4. (v) den

0 0

0 0 0

( ) ( , ) ( ) ( , ) (., ) ( ) ( , ) ( ( ), )

p p

p p p

y t e t t y t e t t

y t

e t e t t e σ t t

∆ ∆ ∆

⎛ ⎞ −

⎜ ⎟ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 0

0 0

( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ( ), )

p p

p p

p t y t e t t y t p t e t t e t t e σ t t

= −

= 0

Böylece

0

0 0 0

( )

( ) 1

( , ) ( , ) 1 1

p p

y t y t

e t t ≡ e t t = =

ve y e= _p(., )t₀ olur [3].

2.5.3. Teorem

Eğer p q, ∈ℜ ise, böylece (i) e t s₀( , ) 1≡ ve ( , ) 1e t t_p ≡ ;

(ii) ( ( ), ) (1e_p σ t s = +µ( ) ( )) ( , )t p t e t s_p ;

(iii) ¹ ( , )

p

e t s =e_○p( , )t s ;

(iv) ( , ) ¹ ( , )

p

p

e t s e

e s t

= = _○p( , )s t ;

(v) ( , ) ( , )e t s e s r_{p p} =e t r_p( , );

(vi) ( , ) ( , )e t s e t s_{p q} =e_p⊕q( , )t s ;

(vii) ( , ) ( , )

p

p q

e t s

e t s =e _○q( , )t s ;

(viii)

0 0

1 ( )

(., ) (., )

p p

p t

e t e t

⎛ ⎞∆

⎜ ⎟ = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^σ

eşitlikleri vardır [3].

3. DİNAMİK EŞİTSİZLİKLER

Bu bölümde Gronwall, Hölder, Minkovski ve Cauchy Schwarz eşitsizliği incelenmiştir [3]. Bundan başka iki fonksiyonu içeren ve Hölder eşitsizliğinin yardımıyla elde edilmiş bazı dinamik eşitsizlikler verilmiştir [12,13].

3.1. Teorem

Crd

f

y, ∈ ve p∈ℜ⁺ olsun. Bu taktirde her t∈T için

) ( ) ( ) ( )

(t p t y t f t

y^∆ ≤ +

eşitsizliği sağlanırsa

∫

^∆

+

≤ ^t

t p

p t t e t f

e t y t y

0

) ( )) ( , ( )

, ( ) ( )

( _{0 0} σ τ τ τ her t∈T

elde edilir [3].

3.2. Teorem (Bernoulli eşitsizliği) ℜ

α∈ olmak üzere α∈R olsun. Bu taktirde )

( 1 ) ,

(t s t s

e_α ≥ +α − her t ≥ s.

eşitsizliği geçerlidir [3].

3.3. Teorem (Gronwall eşitsizliği)

Crd

f

y, ∈ ve p∈ℜ⁺ olmak üzere p≥0 olsun. Bu taktirde

∫

^∆

+

≤

∆ t

t

p y t f t y

0

) ( ) ( ) ( )

( τ τ τ her t∈T

eşitsizliği sağlanırsa her t∈T için

∫

^∆

+

≤ ^t

t

p t f p

e t f t y

0

) ( ) ( )) ( , ( )

( )

( σ τ τ τ τ

bulunur [3].

3.1. Sonuç

Crd

f

y, ∈ ve p∈ℜ⁺ olmak üzere p≥0 olsun. Bu taktirde her t∈T için

∫

^∆

≤ ^t

t

p y t y

0

) ( ) ( )

( τ τ τ eşitsizliği sağlanırsa

0 ) (t ≤

y dır [3].

3.2. Sonuç

Crd

y∈ ve p∈ℜ⁺ olmak üzere p≥0 olsun. Bu taktirde her t∈T için

∫

^∆

+

≤

∆ t

t

p y t

y

0

) ( ) ( )

( α τ τ τ eşitsizliği sağlanırsa

) , ( )

(t e t t₀ y ≤α _p

elde edilir [3].

3.3. Sonuç

Crd

y∈ ve γ >0 olmak üzere α,β,γ ∈R olsun. Bu taktirde her t∈T için

∫

^∆

+

− +

≤ ^t

t

y t

t t

y

0

) ( )

( )

( α β ₀ γ τ τ eşitsizliği sağlanırsa

γ β γ

α β⎟⎟⎠ _γ −

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

≤ ( , )

)

(t e t t₀

y

bulunur [3].

3.4. Teorem (Hölder eşitsizliği)

∈ b

a, T olsun. f,g:

[ ]

a,b →R sağda yoğun noktalarda sürekli fonksiyonları için

b b p p b q q

a a a

f ( t )g( t ) t ⎧ f ( t ) t⎫ ⎧ g( t ) t⎫

∆ ≤⎨ ∆ ⎬ ⎨ ∆ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∫ ∫ ∫

1 1

elde edilir. Burada p>1 ve q= p p−1 dır [3].

Hölder eşitsizliğinde özel olarak p= q=2 alınırsa Cauchy-Schwarz eşitsizliği elde edilir.

3.5. Teorem

∈ b

a, T olsun. ^f,g:

[ ]

^{a,b →R} sağda yoğun noktalarda sürekli fonksiyonları için

b b b

a a a

f ( t )g( t ) t ⎧ f ( t ) t⎫ ⎧ g( t ) t⎫

∆ ≤ ⎨ ∆ ⎬ ⎨ ∆ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

∫ ∫

²

∫

²

elde edilir [3].

Şimdi iki fonksiyonu içeren bazı dinamik eşitsizler verilecektir [12].

3.6. Teorem :

, g

f T → sağda yoğun noktalarda rd sürekli ve türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. Ayrıca :f^∆,g^∆ T^k → fonksiyonları sınırlı olsunlar. Böylece her t∈T için

{ }

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − − + ∆

− +

≤

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆ + ∆

− −

∫

∫ ∫

∞

∆

∞

∆ b

a b

a

b

a

y y a

b a b x g x f f

x a g b

y y g x f y y f x a g x b

g x f

) ( ) (

) ( )

( )

) ( ( 2

1

) ( ) ( )

( ) ) ( ( 2 ) 1 ( ) (

2

2 σ

bulunur.

İspat

Her x,y∈T için

∫

^∆

=

− ^∆

y

x

f y f x

f( ) ( ) (τ) τ (3.1)

∫

^∆

=

− ^∆

y

x

g y g x

g( ) ( ) (τ) τ (3.2)

yazılabilir. Eş. 3.1 ve Eş. 3.2 eşitsizliklerinin her iki tarafını sırasıyla g(x) ve f(x) ile çarpılır ve toplanırsa

[

+

]

= τ ∆τ + τ ∆τ

−

∫

^∆

∫

^{x ∆}

y x

y

g x f f

x g y g x f y f x g x g x

f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 (3.3)

elde edilir. Eş. 3.3 eşitsizliğinin her iki tarafını T üzerinde y e göre integrali alınırsa

. )

( ) ( )

( ) ) (

( 2

1

) ( ) ( )

( ) ) ( ( 2 ) 1 ( ) (

y g

x f f

x a g

b

y y g x f y y f x a g x b

g x f

b

a

x

y x

y

b

a

b

a

⎪⎭∆

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∆ + ∆

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆ + ∆

− −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∆

∆ τ τ τ τ

(3.4)

bulunur. Eş. 3.4 eşitliğinden ve mutlak değer özelliğinden

{ }

{ }

{ }

⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − − + ∆

− +

=

∆

−

− +

=

∆

− +

− −

≤

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆ + ∆

− −

∫

∫

∫

∫ ∫

∞

∆

∞

∆

∞

∆

∞

∆

∞

∆

∞

∆

b

a b

a b

a

b

a

b

a

y y a

b a b x g x f f

x a g b

y y x g

x f f

x a g b

y y x g x f y x f x a g

b

y y g x f y y f x a g x b

g x f

) ( ) (

) ( )

( )

) ( ( 2

1

) ( )

) ( ( 2

1

) ( )

) ( ( 2

1

) ( ) ( )

( ) ) ( ( 2 ) 1 ( ) (

2

2 σ

elde edilir. Böylece ispat tamamlanır.

3.4. Sonuç

Eğer T = alınırsa, [10] de Teorem 2.1 ile aynı olduğu açıktır.

3.1. Not

Teorem 3.9 de g(t)=1 alınırsa, böylece g^∆(t)=0 dır. Bu taktirde

. ) ( ) (

) ) (

( 2

1

) ) ( ( ) 1 (

2

2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − − + ∆

≤ −

− ∆

−

∫

∫

∞

∆ b

a b

a

y y a

b a b x a f

b

y y a f x b

f

σ

bulunur.

3.5. Sonuç

Eğer T = alınırsa, çok iyi bilinen

b

a

x a b

f ( x ) f ( t ) t ( b a ) f .

( b a ) ( b a )

∆

∞

⎡ ⎛ − + ⎞ ⎤

⎢ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎥

⎢ ⎥

− ∆ ≤ − +

⎢ ⎥

− −

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫

2

2

1 1 2

4

Ostowkski eşitsizliği tekrar elde edilir [9].

3.7. Teorem :

, g

f T → sağda yoğun noktalarda rd sürekli ve türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. Ayrıca :f^∆,g^∆ T^k → fonksiyonları sınırlı olsunlar. Böylece her

∈

x T için

[

^{2 ( )}

]

^{( ) .}

) (

) (

2 ) ) (

( 2

1

) ( ) 1 (

) ( ) ( )

( ) ) ( ( ) 1 ( ) (

3 3 2 2

2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − − − + + + − − ∆

≤ −

− ∆

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆ + ∆

− −

∫

∫

∫ ∫

∞

∆

∞

∆ b

a b

a b

a

b

a

y y y y x a

b a b x a b x g a f

b

y y g y a f y b

y g x f y y f x a g x b

g x f

σ σ bulunur.

İspat

Hipotezden Eş. 3.1 ve Eş. 3.2 eşitlikleri sağlanır. Eş. 3.1 ve Eş. 3.2 eşitliklerinin sağ ve sol kısımları çarpılırsa

[ ]

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∆

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∆

= +

+

−

∫

^{∆ τ τ}

∫

^{x ∆ τ τ}

y x

y

g f

y g y f y g x f y f x g x g x

f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.5)

elde edilir. Eş. 3.5 eşitsizliğinin her iki tarafını T üzerinde y e göre integrali alınırsa

. . ) ( )

) ( (

1

) ( ) ) ( ( ) 1 ( ) ( )

( ) ) ( ( ) 1 ( ) (

y g

a f b

y y g y a f y b

y g x f y y f x a g x b

g x f

b

a

x

y x

y

b

a b

a

b

a

⎪⎭∆

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∆

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ∆

= −

− ∆

⎥+

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆ + ∆

− −

∫ ∫ ∫

∫

∫ ∫

∆

∆ τ τ τ τ

(3.6)

bulunur. Eş. 3.6 eşitliğinden ve mutlak değer özelliğinden