4. LİNEER SİSTEMLER VE KARARLILIK
4.2. Dinamik Sistemlerin Kararlılığı
A ve C bir sabit matris olsun. Eğer C, A ile değişmeli ise, böylece C, eA ile değişmelidir. Özellikle, A bir sabit matris ise, bu taktirde A, eA ile değişmelidir [3].
4.1.8. Teorem (Sabitlerin Değişimi) ℜ
∈
A , T üzerinde n n× tipinde fonksiyon değerli matris, ∈t0 T ve :y T→ n olsun. :f T → n vektör değeli fonksiyonu sağda yoğun noktalarda sürekli olsun.
Bu taktirde
), ( )
(t x f t A
x∆ =− ∗ σ + x(t0)=x0
başlangıç değer probleminin x:T → n biçiminde bir tek çözümü vardır. Bununla birlikte bu tek çözüm
∫
∆+
= Θ ∗ Θ ∗
t
t A
A t t x e t f
e t x
0
. ) ( ) , ( )
, ( )
( 0 0 τ τ τ
biçimindedir [3].
Şimdi Değişen zamanlı lineer dinamik denklem sisteminin kararlılığı ile ilgili tanımlar ve ispatsız teoremleri verilecektir [4].
4.2. Dinamik Sistemlerin Kararlılığı
t bağımsız değişkenine bağlı n×1 tipinde reel değerli fonksiyon matrisin öklit normu,
x( t ) = x ( t )x( t )T
biçiminde tanımlanır. m n× tipinde A matrisinin ingirgenmiş normu
x
A max Ax
=
=
1
şeklinde tanımlanır. m n× tipinde A matrisinin spektral normu
T T
A max x A Axx
=
⎡ ⎤
= ⎢⎣ ⎥⎦
12
1
biçimindedir. Eğer n×1 tipinde bütün x(t) vektörü xTMx≥0 eşitsizliğini sağlanırsa, M simetrik matrisine pozitif yarı tanımlıdır denir. Burada eşitlik hali x=0 olduğunda sağlanır. –M matrisi pozitif yarı tanımlı ise negatif yarı tanımlıdır denir.
Şimdi
), ( ) ( )
(t A t x t
x∆ = x(t0)=x0, t0∈T
değişen zamanlı lineer dinamik denkleminin düzgün karalılık ve düzgün üstel karalılık tanımları verilecektir. Bu iki karalılık durumları Eş. 4.1 dinamik sisteminin çözümünün sınırlılığını içerir [4].
4.2.1. Tanım (Düzgün Kararlılık)
Eğer burada γ >0 sonlu bir sabit olmak üzere her t ve 0 x(t0) değerleri için, Eş. 4.1 denklem sisteminin uygun çözümü
, ) ( )
(t x t0
x ≤γ t≥t0.
şartı sağlanırsa, Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denklemi düzgün kararlıdır denir [4].
4.2.2. Tanım (Düzgün Üstel Kararlılık)
Eğer burada −λ∈ℜ olmak üzere γ,λ>0 sabitleri ve her t ve 0 x(t0) değerleri için, Eş. 4.1 denklem sisteminin uygun çözümü
), , ( ) ( )
(t x t0 e t t0
x ≤γ −λ t ≥t0.
şartı sağlanırsa, Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denklemi düzgün üstel kararlıdır denir [4].
4.2.3. Tanım (Düzgün Asimptotik Kararlılık)
Eğer Eş. 4.1 düzgün kararlı ve burada δ >0 sonlu bir sabit olmak üzere her t ve 0 )
(t0
x değerleri için, Eş. 4.1 denklem sisteminin uygun çözümü
, ) ( )
(t x t0
x ≤δ t ≥t0.
şartı sağlanırsa, Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denklemi düzgün asimptotik kararlıdır denir [4].
4.2.1. Teorem
Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denkleminin düzgün kararlı olması için gerekli ve yeterli şart burada γ olmak üzere
γ
≤
ΦA(t,t0) her t,t0∈T
elde edilir [4].
4.2.2. Teorem
Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denkleminin düzgün üstel kararlı olması için gerekli ve yeterli şart burada −λ∈ℜ olmak üzere γ,λ >0 için
) , ( )
,
(t t0 e t t0
A ≤γ −λ
Φ her t,t0∈T
bulunur [4].
4.2.3. Teorem
α sabiti ve her t∈T için, A(t) ≤α olsun. Bu taktirde Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denkleminin düzgün üstel kararlı olması için yeterli ve gerekli şart burada bir β >0 sabiti ve her t≥σ(τ) olmak üzere her t,τ∈T için
β σ
τ
≤
∆
∫
t ΦA(t, (s)) sşartının sağlanmasıdır [4].
4.2.4. Teorem
Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denkleminin düzgün üstel kararlı olması için gerekli ve yeterli şart düzgün asimptotik kararlı olmasıdır [4].
Şimdi
[
( ) ( )]
( ) )(t A t F t z t
z∆ = + z(t0)= z0 (4.4)
pertube dinamik sistemi göz önüne alınacaktır. Burada A,F∈ℜ( T , nxn) biçimindedir [4].
4.2.5. Teorem
Eş. 4.1 değişen zamanlı lineer dinamik denklemi düzgün kararlı olsun. Eğer 0β ≥ olmak üzere
F( s ) s
∞ τ
∆ ≤ β
∫
şartı sağlanıyorsa, bu taktirde Eş. 4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün kararlıdır [4].
Şimdi perturbe dinamik sisteminin düzgün üstel kararlılığı ile ilgili teorem verilecektir [11].
4.2.6. Teorem
Eş. 4.1 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün üstel kararlı olsun. Eğer burada
≥0
şartı sağlanıyorsa Eş. 4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün üstel karalıdır.
İspat
Eş. 4.4 pertube dinamik denklem sisteminin çözümü
∫
Φ ∆biçimindedir. Burada ΦA(t,t0), Eş. 4.1 lineer denklem sisteminin temel matrisidir.
Eş. 4.1 denklem sisteminin düzgün üstel kararlılık tanımından, burada −λ∈ℜ olmak üzere γ,λ >0 sabitleri ve t≥τolmak üzere her t,τ∈T için
Φ yazılabilir. Eş. 4.6 eşitliğinin her iki tarafının normu alınırsa,
∫
∆∫
∆elde edilir.
)
yazılır. Gronwall’s eşitsizliği [5] de bir eşitsizlik ve Eş. 4.5 kabulü göz önüne alınırsa,
elde edilir. Bu taktirde ),
şeklinde yazılır. Böylece Eş. 4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün üstel kararlıdır.
4.2.7. Teorem
Eş. 4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün üstel kararlı olsun. Bu taktirde Eş.
4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün asimptotik kararlıdır denir.
İspat
Eş. 4.4 perturbe dinamik denklem sisteminin düzgün üstel kararlı olmasından dolayı, burada −λ∈ℜ olmak üzere γ,λ>0 sabitleri ve t≥τ olmak üzere her t,τ∈T için
) , ( )
,
(t τ γe λ tτ
A ≤ −
Φ yazılabilir. Buradan açık olarak düzgün kararlıdır. Böylece Eş.
4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün kararlıdır. Şimdi, verilmiş bir δ >0 için yeteri kadar büyük pozitif T∈T sayısı seçilebilir. Buradan t0 + T∈T ve
e ( t−λ 0+T ,t )0 < δ.
) , ( )
(t z0 e t t0
z ≤γ −λ t ≥ . t0
Böylece her t , 0 z ve 0 t ≥t0 +Tiçin
0 0
0 , )
(t T t z
e +
≤γ −λ
0 , δ z
≤ t≥t0 +T.
Bu taktirde Eş. 4.4 perturbe dinamik denklem sistemi düzgün asimptotik kararlıdır.
KAYNAKLAR
1. Agarwal, R., Bohner, M., O'Regan, D., Peterson A., “Dynamic equations on time scales: a survey”, J. Comput. Appl. Math., 141:1-26 (2002).
2. Bohner, M., Peterson, A., “Advances in Dynamic Equations on Time Scales”, Birkhäuser, Boston, 1-78 (2003).
3. Bohner, M., Peterson, A., “Dynamic Equations on Time Scales”, Birkhäuser, Boston, 1-78 (2001).
4. DaCunha, J.J., “Stability for time varying linear dynamic systems on time scales”, J. Comput. Appl. Math., 176:381-410 (2005).
5. Gard, T., Hoffaker, J., “Asymptotic behavior of natural growth on time scales”, Dynam. Systems Appl., 12:131-147 (2003).
6. Hilger, S., “Analysis on measure chains- a unified approach to continuous and discrete calculus”, Results Math.,18:18-56 (1990).
7. Hilger, S.,”Ein Maβkettenkalkül mit Anwendung auf zentrumsmannigfaltigkeiten”
Ph.D. thesis, Universität Würzburg, 3-28 (1988).
8. Mitrinovič, D. S., Pečarrič, J. E., Fink, A. M., “Inequalities for Functions and their integrals and derivatives”, Kluwer Academic Publishers, Drodrecht, 8-32 (1993).
9. Ostrowski, A. M., “Über die Absolutabweichung einer diffentiebaren Funktion von İhrem Integralmitelwert”, Comment. Math. Helv., 10:226-227 (1938).
10. Pachpatte, B. G., “A note on Ostrowski like inequalities”, J. Ineq. Pure and Appl. Math., 6(4):4 (2005).
11. Tuna, A., Yaşar, B. I., “Some Results On Stability For Perturbed Linear Dynamıc Systems On Time Scales”, Journal of Concrete and Applicable Mathematics, 5(4): 337-346 (2007).
12. Tuna, A., Yaşar, B. I., “A Note On Integral Inequalities On Time Scales”, Intenational Journal of Pure and Applied Mathematics, 34(2): 261-267 (2007).
13. Yaşar, B. I.,Tuna, A., “Some Results Related Integral Inequalities On Time Scales”, Intenational Mathematical Forum, 2 (24):1157-1161 (2007).
ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler
Soyadı, adı : TUNA, Adnan Uyruğu : T.C.
Doğum tarihi ve yeri : 15.08.1975 Adana Medeni hali : Bekar
Telefon : 0 (506) 402 67 20 e-mail : adnantuna@gazi.edu.tr
Eğitim Derece Eğitim Birimi Mezuniyet tarihi Yüksek lisans Niğde Üniversitesi /Matematik Bölümü 2001
Lisans Niğde Üniversitesi /Matematik Bölümü 1998 Lise Adana Teknik Lisesi 1993
İş Deneyimi
Yıl Yer Görev
1998-2001 Niğde Üniversitesi Araştırma Görevlisi 2001- Gazi Üniversitesi Araştırma Görevlisi Yabancı Dil
İngilizce
Hobiler
Futbol, Bilgisayar teknolojileri, Elektronik