Trigonometrik B-Spline Subdomain Galerkin Yöntemi ile Zamana Bağlı Bir Boyutlu Lineer Olmayan Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümleri Buket Ay YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik-Bilgisayar Anabilim Dalı Aralık 2015

Trigonometrik B-Spline Subdomain Galerkin Yöntemi ile Zamana Bağlı Bir Boyutlu Lineer Olmayan

Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümleri

Buket Ay

YÜKSEK LİSANS TEZİ Matematik-Bilgisayar Anabilim Dalı

Aralık 2015

Numerical Solutions of The Time-Dependent One-Dimensional Nonlinear Partial Differential Equations Using Trigonometric B-spline Subdomain Galerkin Method

Buket Ay

MASTER OF SCIENCE THESIS Department of Mathematics-Computer

December 2015

Trigonometrik B-spline Subdomain Galerkin Yöntemi ile Zamana Bağlı Bir Boyutlu Lineer Olmayan

Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümleri

Buket Ay

Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Lisansüstü Yönetmeliği Uyarınca Matematik-Bilgisayar Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalında

YÜKSEK LİSANS TEZİ Olarak Hazırlanmıştır

Danışman: Prof. Dr. İdiris Dağ

Aralık 2015

Matematik - Bilgisayar Anabilim Dalı Yüksek Lisans öğrencisi Buket Ay’ın YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı “Trigonometrik B-spline Subdomain-Galerkin Yöntemi ile Zamana Bağlı Bir Boyutlu Lineer Olmayan Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümleri” başlıklı bu çalışma, jürimizce lisansüstü yönetmeliğin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek oybirliği ile kabul edilmiştir.

Danışman : Prof. Dr. İdiris Dağ

İkinci Danışman : -

Yüksek Lisans Tez Savunma Jürisi:

Üye : Prof. Dr. İdiris Dağ

Üye : Prof. Dr. Bülent SAKA

Üye : Prof. Dr. Ahmet BEKİR

Üye : Doç. Dr. Dursun IRK

Üye : Doç. Dr. Ahmet BOZ

Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu’nun ... tarih ve ... sayılı kararıyla onaylanmıştır.

Prof. Dr. Hürriyet ERŞAHAN

Enstitü Müdürü

ETİK BEYAN

Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kılavuzuna göre, Prof. Dr. İdiris Dağ danışmanlığında hazırlamış olduğum “Trigonometrik B-spline Subdomain Galerkin Yöntemi ile Zamana Bağlı Bir Boyutlu Lineer Olmayan Kısmi Türevli Diferensiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümleri.” başlıklı YÜKSEK LİSANS tezimin özgün bir çalışma olduğunu; tez çalışmamın tüm aşamalarında bilimsel etik ilke ve kurallara uygun davrandığımı; tezimde verdiğim bilgileri, verileri akademik ve bilimsel etik ilke ve kurallara uygun olarak elde ettiğimi; tez çalışmamda yararlandığım eserlerin tümüne atıf yaptığımı ve kaynak gösterdiğimi ve bilgi, belge ve sonuçları bilimsel etik ilke ve kurallara göre sunduğumu beyan ederim. 18/12/2015

Buket Ay

İmza

ÖZET

Kısmi türevli diferensiyel denklemler temel doğa yasalarının matematiksel modellemesinde ve birçok problemin matematiksel analizinde ortaya çıkmaktadır. Bu tür denklemler lineer ve lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler olarak ikiye ayrılmaktadır ve uygulamalarda lineer olmayan kısmi türevli diferansiyel denklemler ile sıkça karşılaşılmaktadır. Bu tür denklemlerin tam çözümleri bulunmadığı ya da çözümlerinin bulunmasının çok zor olduğu durumlarda nümerik yöntemler geliştirilmiş ve geliştirilmeye devam edilmektedir.

Bu tez çalışmasında, zamana bağlı bir boyutlu lineer olmayan kısmi türevli diferensiyel denklemler için nümerik çözüm araştırılmıştır. Birinci bölümde, çalışılan konu ve tezin amacı hakkında bilgi verilmiştir. İkinci bölümde, literatür araştırması yapılmıştır.

Üçüncü bölümde ise tezde çalışılan temel kavramlar tanıtılmıştır.

Sonraki dört bölümde kuadratik B-spline subdomain Galerkin yönteminin ve kuadratik trigonometrik B-spline subdomain Galerkin yönteminin sırasıyla RLW ve Burger denklemlerine uygulaması verilmiştir.

Son olarak “bulgular ve tartışma“ başlığı altında, yapılan çalışmaların karşılaştırılması verilmiş ve “sonuç” bölümünde elde edilen sonuçlar yorumlanmıştır.

Anahtar Kelimeler: Lineer Olmayan Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemler, Regularised

Long Wave (RLW) Denklemi, Burgers Denklemi, Crank-Nicolson, Trigonometrik B-

spline, Subdomain Galerkin.

SUMMARY

Partial differential equations arise in the mathematical models of fundamental laws of nature and the mathematical analysis of problems. These equations are known as linear and nonlinear partial differential equations and nonlinear partial differential equations are come across in applications. Generally, analytical solutions of nonlinear partial differential equations does not exist. In this case, numerical methods have been developed and research is going on developing new methods.

In this thesis, numerical solutions are researched for the time dependent one dimensional RLW and Burgers' equations. In the first chapter, both subject and aim of this thesis are mentioned. In the second chapter, some early studies are considered about the subject. In the third chapter, some definitions about needed in the next chapters are mentioned.

The next four chapters consist of numerical solutions of RLW and Burgers’

equations using quadratic B-spline subdomain Galerkin method and quadratic trigonometric subdomain Galerkin method.

Finally, the results obtained using these methods are compared.

Key Words : Nonlinear Partial Differential Equations, Regularised Long Wave (RLW)

Equation, Burgers’ Equation, Crank-Nicolson, Trigonometric B-spline, Subdomain

Galerkin Method.

TEŞEKKÜR

Yüksek lisans çalışmalarımın her aşamasında rehberlik eden, tüm desteği ve yardımları için değerli danışmanım Prof. Dr. İdiris DAĞ hocama; çalışmalarım boyunca bilgi birikimleri ve destekleriyle teşvik edici olan değerli hocalarım Prof. Dr. Bülent SAKA, Doç. Dr. Dursun IRK ve Öğr. Gör. Melis ZORŞAHİN GÖRGÜLÜ’ ye; eğitim hayatım boyunca manevi ve maddi desteklerini esirgemeyen sevgili annem, babam ve kardeşime ve varlıklarından dolayı mutluluk duyduğum arkadaşlarıma destekleri için teşekkürlerimi sunarım.

Buket Ay

İÇİNDEKİLER DİZİNİ

Sayfa

ÖZET ...vi

SUMMARY ... vii

TEŞEKKÜR ... viii

İÇİNDEKİLER ... ix

ŞEKİLLER DİZİNİ ... xi

ÇİZELGELER DİZİNİ ... xii

1. LİTERATÜR ARAŞTIRMASI ... 1

2. GİRİŞ VE AMAÇ ... 2

3. TEMEL KAVRAMLAR ... 5

3.1. Regularised Long Wave (RLW) Denklemi ... 5

3.1.1. Test problemleri ... 5

3.1.1.1. Solitary dalga hareketi ... 5

3.1.1.2. Ardışık dalgaların oluşumu ... 6

3.1.1.3. Dalga üretimi ... 7

3.2. Burgers Denklemi ... 7

3.2.1. Test problemleri ... 8

3.2.1.1. Şok dalgası yayılımı ... 8

3.2.1.2. İlerleyen dalga yayılımı ... 8

3.3. Sonlu Farklar Yöntemi ... 9

3.3.1. Crank-Nicolson yöntemi ... 9

3.4. Varyasyonel Yöntemler ... 10

3.5. Ağırlıklı Kalan Yöntemleri ... 11

3.5.1. Galerkin yöntemi ... 12

3.5.2. Petrov Galerkin yöntemi ... 12

3.5.3. Subdomain Galerkin yöntemi ... 13

3.6. Sonlu Elemanlar Yöntemi ... 13

x

İÇİNDEKİLER DİZİNİ (devam) Sayfa 3.7. Spline Fonksiyonlar ... 14

3.7.1. B-spline fonksiyonlar ... 15

3.7.1.1. Lineer B-spline fonksiyon ... 16

3.7.1.2. Kuadratik B-spline fonksiyon ... 17

3.7.2. Trigonometrik B-spline fonksiyon ... 18

3.7.2.1. Kuadratik trigonometrik B-spline fonksiyon ... 20

3.8. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözüm Yöntemleri ve Thomas Algoritmaları.... 22

3.8.1. 3-Bant katsayı matrisli cebirsel denklem sistemi ... 23

3.9. Hata Normları ... 24

3.9.1. Ortalama hata normu ... 24

3.9.2. Maksimum hata normu ... 24

4. KUADRATİK TRİGONOMETRİK B-SPLİNE SUBDOMAİN GALERKİN YÖNTEMİ İLE RLW DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ ... 25

4.1. Yöntemin Oluşturulması ve Uygulanması ... 25

4.2. Test Problemleri ... 27

4.2.1. Tek yalnız dalga hareketi ... 28

4.2.2. Ardışık dalgaların yayılımı ... 31

4.2.3. Dalga üretimi ... 33

5. KUADRATİK B-SPLİNE SUBDOMAİN GALERKİN YÖNTEMİ İLE BURGERS DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ ... 36

5.1. Yöntemin Oluşturulması ve Uygulanması ... 36

5.2. Test Problemleri ... 39

5.2.1. Şok dalgası yayılımı ... 39

5.2.2. İlerleyen dalga yayılımı ... 41

6. KUADRATİK TRİGONOMETRİK B-SPLİNE SUBDOMAİN GALERKİN YÖNTEMİ İLE RLW DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ ... 44

6.1. Yöntemin Oluşturulması ve Uygulanması ... 44

6.2. Test Problemleri ... 47

xi

İÇİNDEKİLER DİZİNİ (devam) Sayfa 6.2.1. Tek yalnız dalga hareketi ... 49

6.2.2. Ardışık dalgaların yayılımı ... 50

6.2.3. Dalga üretimi ... 53

7. KUADRATİK TRİGONOMETRİK B-SPLİNE SUBDOMAİN GALERKİN YÖNTEMİ İLE BURGERS DENKLEMİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ ... 56

7.1. Yöntemin Oluşturulması ve Uygulanması ... 56

7.2. Test Problemleri ... 59

7.2.1. Şok dalgası yayılımı ... 59

7.2.2. İlerleyen dalga yayılımı ... 61

8. BULGULAR VE TARTIŞMA ... 64

9. SONUÇ ... 67

KAYNAKLAR DİZİNİ ... 68

ŞEKİLLER DİZİNİ

Şekil Sayfa

4.1.

... 28

4.2. c=0.03 için solitary dalga hareketi ... 28

4.3. c=0.1 için t=20 zamanında mutlak hata ... 29

4.4. c=0.03 için t=20 zamanında mutlak hata ... 29

4.5. d=2 için dalga profili ... 32

4.6. d=5 için dalga profili ... 32

4.7. Seçilmiş bazı zamanlarda dalga yayılımı (a) t= 20 anında dalga yayılımı, (b) t=50 anında dalga yayılımı, (c) t=150 anında dalga yayılımı, (d) t=170 anında dalga yayılımı ... 34

5.1. v=0.005 ve h=0.005 için çözüm ... 39

5.2. v=0.005 ve h=0.001 için çözüm ... 39

5.3. v=0.005 ve h=0.005 için mutlak hata ... 41

5.4. v=0.005 ve h=0.001 için mutlak hata ... 41

5.5. v=0.01 için çözüm ... 43

5.6. v=0.005 için çözüm ... 43

5.7. v=0.01 için t=0.5 zamanında mutlak hata ... 43

5.8. v=0.005 için t=0.5 zamanında mutlak hata ... 43

6.1. t=0 ve t=20’de c=0.1 için solitary dalga hareketi ... 47

6.2. t=0 ve t=20’de c=0.03 için solitary dalga hareketi ... 47

6.3. c =0.1 için t=20 zamanında mutlak hata ... 48

6.4. c=0.03 için t=20 zamanında mutlak hata ... 48

6.5. t=20 zamanında -80≤x≤120 aralığında mutlak hatalar ... 48

6.6. d=2 için t=0 ve t=250 zamanlarında başlangıç şartı ve undulation ... 51

6.7. d=5 için t=0 ve t=250 zamanlarında başlangıç şartı ve undulation ... 51

6.8. Seçilmiş bazı zamanlarda dalga yayılımı (a) t= 20 anında dalga yayılımı,

(b) t=50 anında dalga yayılımı, (c) t=150 anında dalga yayılımı,

(d) t=170 anında dalga yayılımı ... 54

ŞEKİLLER DİZİNİ (devam)

7.1. v=0.005 ve h=0.005 için çözüm ... 60

7.2. v=0.005 ve h=0.001 için çözüm ... 60

7.3. v=0.005 ve h=0.005 için t=3.1 zamanında mutlak hata ... 60

7.4. v=0.005 ve h=0.001 için t=3.1 zamanında mutlak hata ... 60

7.5. v=0.01 için çözüm ... 62

7.6. v=0.005 için çözüm ... 62

7.7. v=0.01 için t=0.5 zamanında mutlak hata ... 63

7.8. v=0.005 için t=0.5 zamanında mutlak hata ... 63

ÇİZELGELER DİZİNİ

Çizelge Sayfa

4.1. 3c= 0.3, h= 0.125, Δt = 0.1 için hata normları ve korunum sabitleri ... 29

4.2. 3c = 0.09, h= 0.125, Δt = 0.1 için hata normları ve korunum sabitleri ... 30

4.3. 3c= 0.3, h= 0.125, Δt = 0.1 hata normları ve korunum sabitleri karşılaştırması ... 30

4.4. 3c= 0.3, h= 0.125, Δt = 0.1 hata normları ve korunum sabitleri karşılaştırması ... 31

4.5. d= 2, h= 0.24, Δt = 0.1 için korunum sabitleri ... 32

4.6. d= 5, h= 0.125, Δt = 0.1 için korunum sabitleri ... 32

4.7. U

=2, h=0.4, Δt=0.1 için korunum sabitleri ... 35

5.1. Farklı zaman adımlarında hata normları karşılaştırması ... 40

5.2. t= 0.5 anında h= 1/36, v= 0.01 için hata karşılaştırması... 42

5.3. t= 0.5 anında h= 1/36, v= 0.005 için hata karşılaştırması ... 42

6.1. 3c= 0.3, h= 0.125, Δt = 0.1 için hata normları ve korunum sabitleri ... 49

6.2. 3c= 0.09, h= 0.125, Δt = 0.1 için hata normları ve korunum sabitleri ... 49

6.3. 3c= 0.3, h= 0.125, Δt = 0.1 hata normları ve korunum sabitleri karşılaştırması ... 50

6.4. 3c= 0.3, h= 0.125, Δt = 0.1 hata normları ve korunum sabitleri karşılaştırması ... 50

6.5. d= 2, h= 0.24, Δt = 0.1 için korunum sabitleri ... 52

6.6. d= 5, h= 0.125, Δt = 0.1 için korunum sabitleri ... 52

6.7. U

= 2, h= 0.4, Δt = 0.1 için korunum sabitleri ... 55

7.1. Farklı zaman adımlarında hata normları ... 61

7.2. t= 0.5 anında h= 1/36, v= 0.01 için hata karşılaştırması... 63

8.1. c= 0.1 için mutlak hata ve korunum sabitleri ... 64

8.2. c= 0.03 için mutlak hata ve korunum sabitleri ... 64

8.3. d=2 için korunum sabitleri ... 65

8.4. d=5 için korunum sabitleri ... 65

8.5. Korunum sabitleri ... 65

8.6. Hata normları karşılaştırılması ... 66

8.7. v=0.01 için hata normları karşılaştırması ... 66

xv

SİMGELER VE KISALTMALAR DİZİNİ

Simgeler Açıklama

d Durgun su ile derinlik arasındaki eğim ν Kinematik viskozite parametresi W Ağırlık fonksiyonu

Δt Zaman adımı h Konum adımı

Kısaltmalar Açıklama d.d diğer durumlarda

KTDD Kısmi türevli diferensiyel denklemler QBCA1 Kuintik B spline kolokasyon yöntemi QBCM Kuartik B-spline kolokasyon yöntemi QBCM1 Kuartik B-spline kollokasyon yöntemi-1 QBGM Kuadratik B-spline Galerkin yöntemi

QBSGY Kuadratik B-spline subdomain Galerkin yöntemi

QTBSGY Kuadratik trigonometrik B-spline subdomain Galerkin yöntemi

RLW Regularised Long Wave

1. G·IR·I¸S VE AMAÇ

K¬smi türevli diferensiyel denklemler (KTDD), temel do¼ga yasalar¬n¬n formüle edilmesinde; uygulamal¬ matematik, matematiksel …zik ve mühendislik bilimlerinde kar¸s¬la¸s¬lan çok say¬da problemin matematiksel analizinde ortaya ç¬kmaktad¬r. Bu konu modern matematik bilimlerinde, özellikle …zik, geometri ve analizde önemli bir rol oynar. Fizik bilimlerinin kapsam¬nda ço¼gu problem, ba¸slang¬ç ve/veya uygun s¬n¬r ¸sartlar¬ ile diferensiyel denklemler kullan¬larak aç¬klanm¬¸st¬r. Bu problemler genellikle ba¸slang¬ç de¼ger problemleri, s¬n¬r de¼ger problemleri ya da ba¸slang¬ç-s¬n¬r de¼ger problemleri olarak ortaya ç¬kar (Debnath, 2011). K¬smi türevli diferensiyel denklemler, lineer ve lineer olmayan k¬smi türevli diferensiyel denklemler olarak iki k¬s¬ma ayr¬l¬r. Uygulama alanlar¬na ba¼gl¬olarak da çe¸sitleri kendi içlerinde artmaktad¬r.

Yukar¬da bahsedilen alanlardaki olgular¬n matematiksel modellemesinde genellikle lineer olmayan k¬smi türevli diferensiyel denklemlerle kar¸s¬la¸s¬l¬r. Bu tür problemlerin analitik çözümlerini bulmak için genel olarak kabul edilmi¸s bir yöntem olmad¬¼g¬ndan çözümleri için nümerik yöntemlere ihtiyaç duyulur (Debnath, 2011).

Bu yüksek lisans tezinde, zamana ba¼gl¬ baz¬ bir boyutlu lineer olmayan k¬smi türevli diferensiyel denklemler için nümerik çözüm ara¸st¬r¬lacakt¬r. Bahsedilen türdeki denklemler için model problem olarak, Regularised Long Wave (RLW) ve Burgers denklemleri seçilecektir. Çözümleri ara¸st¬r¬rken zaman ayr¬¸st¬rmas¬için Crank-Nicolson yöntemi, konum ayr¬¸st¬rmas¬ için ise kuadratik B-spline fonksiyonlar¬ yard¬m¬yla subdomain Galerkin yöntemi ve kuadratik trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬

yard¬m¬yla subdomain Galerkin yöntemi çal¬¸s¬lacakt¬r. Bu nümerik yöntemler, model problemlere uygulanacak, maliyet ve do¼gruluk bak¬m¬ndan davran¬¸slar¬incelenecek ve kar¸s¬la¸st¬rmalar¬yap¬lacakt¬r. Bu ba¼glamda amaç; trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬

yard¬m¬yla olu¸sturulan algoritmadan, maliyet bak¬m¬ndan hesapl¬, do¼gruluk olarak yeterli sonuçlar elde etmektir.

2. L·ITERATÜR ARA¸STIRMASI

RLW (Regularised Long Wave) denklemi undular bore olay¬n¬ modellemek için Peregrine (1966) taraf¬ndan önerilmi¸stir. Benjamin vd. (1972) bu denklemin daha yayg¬n olarak bilinen lineer olmayan KdV (Korteweg-de Vries) dalga denkleminin çözümüne benzerli¼gini göstermi¸slerdir ve RLW denkleminin KdV denklemine tercih edilebilir oldu¼gunu ileri sürmü¸slerdir. RLW denkleminin sadece özel analitik çözümleri mevcuttur. Genel çözümü olmayan bu denklemin, nümerik yöntemlerle çözümleri ara¸st¬r¬lm¬¸st¬r. Ayr¬ca baz¬ …ziksel olaylar, bulunan yakla¸s¬k çözümler yard¬m¬yla ifade edilmektedir. S¬¼g sularda lineer olmayan enine dalgalar, plazmalarda magnetohydrodynamic dalgalar ve lineer olmayan kristallerde foton paketleri RLW’nin çözümleri ile simüle edilmi¸stir. KTDD’yi çözmek için kullan¬lan nümerik yöntemler RLW’nin çözümlerini bulmak için kullan¬lm¬¸st¬r. Literatürde polinom spline ve B-spline fonksiyonlar¬kullan¬larak RLW denkleminin yakla¸s¬k çözümleri için yap¬lm¬¸s çal¬¸smalar bulunmaktad¬r.

RLW denklemi için solitary dalga yay¬l¬m¬ analitik çözümü var oldu¼gundan çok say¬da nümerik yöntem için test problemi olarak kullan¬lmaktad¬r. Eilbeck ve McGuire (1975, 1977), sonlu farklar yöntemini kullanarak, Jain ve Iskandar (1979) ise farkl¬

formlardaki sonlu farklar yöntemlerini kullanarak denklemin nümerik çözümlerini elde etmi¸slerdir. Alexandar ve Morris (1979) kübik spline Galerkin yöntemiyle denklemin nümerik çözümlerini çal¬¸sm¬¸slard¬r. Gardner ve Gardner (1990), Gardner ve Da¼g (1995), kübik B-spline kullanarak Galerkin yöntemiyle RLW denkleminin nümerik çözümlerini elde etmi¸slerdir. Chang vd. (1991) denkleme korunumlu fark yöntemini uygulam¬¸slar, yöntemin yak¬nsakl¬¼g¬n¬ve kararl¬l¬¼g¬n¬göstermi¸slerdir. Jain vd. (1993), denklemi kübik Spline sonlu farklar yöntemiyle, Gardner vd. (1995) kuadratik B-spline Galerkin yöntemiyle nümerik çözümleri elde etmi¸slerdir. Gardner vd. (1996) lineer

¸sekil fonksiyonlar¬ yard¬m¬yla en küçük kareler yöntemiyle nümerik sonuçlar elde etmi¸slerdir. Gardner vd. (1997) kuintik B-spline kullanarak Petrov-Galerkin yöntemi ile nümerik çözümler bulmu¸slard¬r. Da¼g (2000), kuadratik B-spline yard¬m¬yla en küçük kareler yöntemini denkleme uygulam¬¸st¬r. Bhardwaj ve Shankar (2000), RLW denklemini parçalay¬p kuintik spline kullanarak sonlu farklar yöntemi ile nümerik

çözüm ara¸st¬rm¬¸slar, yerel kesme hatas¬n¬ ve kararl¬l¬¼g¬n¬ göstermi¸slerdir. Da¼g ve Özer (2001), kübik B-spline yard¬m¬yla en küçük kareler yöntemiyle nümerik çözümler elde etmi¸slerdir. Do¼gan (2001, 2002), kuadratik spline kullanarak, Petrov-Galerkin yöntemiyle ve lineer ¸sekil fonksiyonlar¬n¬ kullanarak Galerkin yöntemiyle denklemin nümerik çözümlerini ara¸st¬rm¬¸st¬r. Denklemin nümerik çözümü için Da¼g vd.

(2003), B-spline kollokasyon yöntemiyle; Avilez-Valente ve Seabra-Santos (2004), Petrov-Galerkin sonlu eleman yöntemiyle; Saka vd. (2004), kuadratik B-spline kullanarak Galerkin yöntemiyle; Raslan (2005), e¸sit geni¸slik denklemlerini kullanarak;

Da¼g vd. (2006), kuintik B-spline fonksiyonlar¬n¬ kullanarak Galerkin yöntemiyle;

Kutluay ve Esen (2006), sonlu fark yöntemiyle ara¸st¬rm¬¸slard¬r. Ayr¬ca yak¬n zamanda yap¬lm¬¸s olan çal¬¸smalar olarak da Saka ve Da¼g (2008) kuartik B-spline fonksiyonlar¬

yard¬m¬yla Galerkin yöntemiyle, Mei ve Chen (2012) ekstrapolasyon teknikleri ile Galerkin yöntemini kullanarak çözümler elde etmi¸slerdir.

Burgers denklemi ilk olarak Bateman (1915) taraf¬ndan tan¬mlanm¬¸s ve ayr¬nt¬l¬

bir ¸sekilde çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Burgers (1948), türbülans modellemesi de dahil birçok matema- tiksel modellemede kullanm¬¸st¬r ve yapt¬¼g¬bu çal¬¸smalar dolay¬s¬yla denklem Burgers denklemi olarak bilinmektedir. Difüzyon ve lineer olmayan terim içeren bu denklem, farkl¬alanlarda çok say¬da …ziksel olay¬n modellenmesinde kullan¬lmaktad¬r.

Bu alanlardan baz¬lar¬; ba¼g¬ms¬z türbülans, say¬lar teorisi, gaz dinami¼gi, ¬s¬ iletimi, elastisite, tra…k ak¬¸s¬, magneohyrodynamic dalgalar, ¸sok dalga ve akustik yay¬l¬m¬d¬r.

Ayr¬ca Navier-Stokes denklemi için de basit bir form olarak bilinmektedir. Denklemin genel analitik çözümleri Hopf (1950) ve Cole (1951) taraf¬ndan verilmi¸stir. Bu çözümler yakla¸s¬k yöntemlerin kontrolü için test problemi olarak kullan¬lmaktad¬r. Rubin ve Gravis (1975), nümerik olarak lineerle¸stirdikleri denklemi kübik spline fonksiyonlar¬

kullanarak çözmeye çal¬¸sm¬¸slard¬r. Burgers denkleminin baz¬ çözümleri sonsuz seriler içerir ve küçük viskositeli seri çözümlerinin yava¸s yak¬nsakl¬¼g¬ndan dolay¬ çözümlerin kullan¬m¬ pratik olmaz. Bu durumda yakla¸s¬k çözümlerin belirlenmesine ihtiyaç duyulur. Spline fonksiyonlar kullan¬larak Burgers denklemi için yakla¸s¬k çözümler;

B-spline Galerkin sonlu elemanlar; Özi¸s vd. (2005), Chapani vd. (2012), Ali (1990), Da¼g vd. (2004, 2005a), Davies (1978), Saka ve Da¼g (2009), B-spline en küçük kareler;

Kutluay vd. (2004), kollokasyon; Saka ve Da¼g (2007, 2008), Mittal ve Jain (2012), Ramadan vd. (2005), Da¼g vd. (2005b,2005c), Ali vd. (1992), sonlu farklar; Wu

ve Wu (2004), diferensiyel kuadrature; Korkmaz ve Da¼g (2013), Arora ve Singh (2013) kübik B-spline quasi interpolasyon; Zhu ve Wang (2009), Jiang ve Wang (2010), Taylor-Galerkin ve Taylor-kollokasyon; Da¼g vd. (2011) yöntemleri kullan¬larak verilmi¸stir.

Buraya kadar, tezde kullan¬lan model problemler için yap¬lan çal¬¸smalar anlat¬ld¬.

Tez içerisinde yer alan di¼ger konularla ilgili yap¬lan çal¬¸smalar, ak¬¸s¬bozmamak amac¬yla bölüm içerisinde aktar¬lm¬¸st¬r.

3. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde; tezde kullan¬lacak olan kavramlardan bahsedildi. ·Ilk olarak lineer olmayan KTDD ve bu denklem türüne ait model denklemler olan RLW ve Burgers denklemlerinin yap¬s¬, ba¸slang¬ç ve s¬n¬r ¸sartlar¬ve test problemleri tan¬t¬ld¬ktan sonra çözüm yöntemleri, tezde kullan¬lan B-spline ve trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬

anlat¬ld¬. Son olarak ise denklem sistemlerini çözmek için kullan¬lan Thomas algoritmas¬

ve yöntemlerin do¼grulu¼gunu ölçmek için kullan¬lan hata normlar¬aç¬kland¬.

3.1. Regularised Long Wave (RLW) Denklemi

Regularised Long Wave (RLW) denklemi, " ve pozitif parametreler olmak üzere;

u_t+ u_x+ "uu_x u_xxt = 0 (3.1) e¸sitli¼giyle gösterilir. Burada x konum koordinat¬, t zaman, u dalga genli¼gini temsil eder.

(3:1) denkleminin ba¸slang¬ç ve s¬n¬r ¸sartlar¬

u (x; 0) = f (x) ; x2 [a; b] ;

u (a; t) = ₁; u (b; t) = ₂; t 2 (0; T ] :

(3.2)

¸seklindedir.

3.1.1. Test problemleri

Test problemleri bölümünde; tezde çal¬¸s¬lm¬¸s olan üç farkl¬çözüm tan¬t¬lacakt¬r.

3.1.1.1. Solitary dalga hareketi

Bu test problemi Peregrine (1966) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Bir [a; b] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬, 3c genli¼gine ve = 1 + "c dalga h¬z¬na sahip olan bir RLW dalgas¬n¬n, k = ¹₂q _"c

(1+"c) olmak üzere analitik çözümü:

U (x; t) = 3c

cosh²(k (x x₀ (1 + "c) t)) (3.3)

¸seklindedir. Bu denklemde t = 0 alarak,

U (x; 0) = 3c

cosh²(k (x x₀)) (3.4)

ba¸slang¬ç ¸sart¬elde edilir. S¬n¬r ¸sartlar¬t 0için

U (a; t) = U (b; t) = 0 (3.5)

olarak kullan¬lacakt¬r. Ayr¬ca, RLW denklemi a¸sa¼g¬da verilmi¸s olan ve s¬ras¬yla kütle, momentum ve enerjiye kar¸s¬l¬k gelen korunum kanunlar¬n¬sa¼glar Olver (1979):

I₁ =

+1Z

1

udx Zb

a

udx h

2

NX1 m=0

(u_m+ u_m+1) ;

I₂ =

+1Z

1

u²+ (u_x)² dx Zb

a

u²+ (u_x)² dx

h 2

NX1 m=0

(u²)_m+ (u_x)²

m+ (u²)_m+1 + (u_x)²

m+1 ;

I₃ =

+1Z

1

(u³ + 3u²) dx Zb

a

(u³+ 3u²) dx

h 2

NX1 m=0

(u³)_m+ 3 (u²)_m+ (u³)_m+1+ 3 (u²)_m+1 :

Korunum kanunlar¬, önerilen yöntemler ile yakla¸s¬k olarak bulunacak ve tam çözümler ile k¬yaslanacakt¬r.

3.1.1.2. Ard¬¸s¬k dalgalar¬n olu¸sumu

RLW denkleminin Peregrine (1979) taraf¬ndan verilen ard¬¸s¬k dalgalar¬n olu¸sumu test probleminde [a; b] tan¬m aral¬¼g¬olmak üzere;

U (x; 0) = 0:5U₀ 1 tanh x x_c

d ; (3.6)

ba¸slang¬ç ¸sart¬ve t 0 için

U (a; t) = U₀; U (b; t) = 0 (3.7) s¬n¬r ¸sartlar¬kullan¬l¬r. Burada ba¸slang¬ç ¸sart¬, durgun su yüzeyinde soldan sa¼ga do¼gru ilerleyen yükseltiyi, d ise durgun su ile derinlik aras¬ndaki e¼gimi ifade etmektedir.

Nümerik yöntemlerin geçerlili¼gi, uygulanan yöntemlerle elde edilen sonuçlar ile a¸sa¼g¬da verilen korunum kanunlar¬n¬n zamana göre de¼gi¸simlerinin teorik sonuçlar¬

kar¸s¬la¸st¬r¬larak incelenecektir.

M₁ = d

dtI₁ = d dt

+1Z

1

udx = U₀+ "

2U₀² = 0:1075;

M₂ = d

dtI₂ = d dt

+1Z

1

u² + (u_x)² dx = U₀²+ 2

3"U₀³ = 0:011;

M₃ = d

dtI₃ = d dt

+1Z

1

(u³+ 3u²) dx = 3U₀²+ (1 + 2") U₀³+ 3

4"U₀⁴ = 0:034113:

3.1.1.3. Dalga üretimi

Kütle ak¬¸s¬, mekanik bir cihaz¬n hareketi gibi serbest yüzeye uygulanan kuvvetler dalgalar¬n olu¸sumunu tetikler. Bu test probleminde, belirli bir derinli¼ge sahip durgun su yüzeyi kenar¬nda suya uygulanan kuvvet ile dalga olu¸sumu incelenecektir. Test probleminde RLW denklemiyle dalga üretebilmek için sol s¬n¬r ¸sart¬a¸sa¼g¬daki gibi al¬n¬r:

U (a; t) = 8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

: U₀t

; 0 t ;

U₀; < t < t₀ ; U₀t0 t

; t₀ t t₀;

0; d. d.

(3.8)

ve sa¼g s¬n¬r ¸sart¬da U (b; t) = 0 olarak seçilir. Bu d¬¸s kuvvet s¬n¬r ¸sart¬, bir uçtaki dalga üreticisi olarak bilinir.

3.2. Burgers Denklemi

kinematik viskozite parametresi, x ve t s¬ras¬yla konum ve zaman de¼gi¸skenleri olmak üzere, Burgers denklemi;

u_t+ uu_x u_xx = 0; (3.9)

e¸sitli¼gi ile gösterilir. Denklemin ba¸slang¬ç ve s¬n¬r ¸sartlar¬a¸sa¼g¬daki gibi tan¬ml¬d¬r:

u(a; t) = ₁; u(b; t) = ₂; t 2 [0; T ] u(x; 0) = f (x); a x b

(3.10)

Burada 1; ₂ ve f (x); hesaplamalar s¬ras¬nda belirlenecektir.

3.2.1. Test problemleri

Burgers denklemi için bu tezde iki test problemi üzerinde çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Bunlar; ¸sok dalgas¬yay¬l¬m¬ve ilerleyen dalga yay¬l¬m¬simülasyonlar¬d¬r.

3.2.1.1. ¸Sok dalgas¬yay¬l¬m¬

Burgers denkleminin ¸sok dalgas¬yay¬l¬m¬çözümü analitik olarak, t0 = exp(₈¹ )olmak üzere;

U (x; t) =

x t

1 +q_t

t0 exp(_{4 t}^x2)

; t 1; 0 x 1 (3.11)

e¸sitli¼giyle tan¬mlanm¬¸st¬r (Da¼g, vd., 2005). Denklemin bu çözümünde, seçilecek olan daha küçük de¼gerlerine göre ¸sok dalgan¬n keskinlik durumu belirlenir. Yöntemler uygulan¬rken t = 1 an¬nda elde edilen ba¸slang¬ç ¸sok dalgas¬n¬n zamanla de¼gi¸simi incelenecektir. Bu test probleminde seçilen s¬n¬r ¸sartlar¬a¸sa¼g¬daki gibidir:

u (a; t) = 0; u (b; t) = 0 t2 (0; T ] : (3.12)

3.2.1.2. ·Ilerleyen Dalga Yay¬l¬m¬

Burgers denkleminin iyi bilinen bir analitik çözümü, = (x t )

olmak üzere;

U (x; t) = + + ( ) exp

1 + exp ; 0 x 1; t 0; (3.13)

formundad¬r. Bu test problemi, h¬z¬na sahip sa¼ga do¼gru ilerleyen dalgay¬ modeller.

Ba¸slang¬ç ¸sart¬, denklemde t yerine 0 yazarak hesaplan¬r ve s¬n¬r ¸sartlar¬t 0için u (a; t) = 1; u (b; t) = 0:2 (3.14) olarak belirlidir.

3.3. Sonlu Farklar Yöntemi

Sonlu farklar yönteminin temeli, bir diferensiyel denklemin tan¬m aral¬¼g¬, sonlu say¬da bölünme noktalar¬na ayr¬larak, her bir bölünme noktas¬ndaki türev de¼gerleri yerine, sonlu fark yakla¸s¬mlar¬n¬n yaz¬lmas¬ olarak özetlenebilir. Böylece diferensiyel denklem bir cebirsel denkleme dönü¸sür (Irk, 2007).

Bir k¬smi diferensiyel denklemin sonlu fark yakla¸s¬m¬n¬ olu¸stururken a¸sa¼g¬daki ad¬mlar s¬ras¬yla izlenir (Smith, 1987):

1. Problemin çözüm bölgesi e¸sit veya farkl¬ boyutta geometrik ¸sekiller içerecek

¸sekilde parçalan¬r ve problemin yakla¸s¬k çözümü herbir bölgenin dü¼güm noktalar¬

üzerinden hesaplan¬r.

2. Diferensiyel denklemde görülen türevler yerine Taylor seri aç¬l¬m¬ile bulunan ileri, geri veya merkezi sonlu fark yakla¸s¬mlar¬ndan biri yaz¬l¬r. Böylece ba¸slang¬çta verilen diferensiyel denklemin çözümü problemi, cebirsel denklem sisteminin çözümü problemine indirgenir.

3. Elde edilen fark denkleminde çözüm bölgesi içinde yer almayan hayali dü¼güm noktalar¬n¬yok etmek için problem ile verilen s¬n¬r ¸sartlar¬yerine uygun sonlu fark yakla¸s¬mlar¬yaz¬l¬r. Böylece bilinmeyen say¬s¬ile ayn¬say¬da cebirsel denklemden olu¸san bir denklem sistemi elde edilir. Elde edilen bu cebirsel denklem sistemi direkt veya iteratif yöntemlerden biri yard¬m¬yla kolayca çözülür.

Sonlu farklar yöntemi kolay uygulanabilen bir yöntem olmas¬na ra¼gmen sahip oldu¼gu baz¬ dezavantajlar ¸söyle s¬ralanabilir; düzgün olmayan s¬n¬r

¸sartlar¬n¬n uygulanmas¬ndaki zorluklar, karma¸s¬k bölgelerde geometriksel gösterimin do¼grulu¼gundaki zorluklar ve nümerik çözümdeki türevlerin yanl¬¸s olmas¬.

3.3.1. Crank-Nicolson yöntemi

Crank-Nicolson yöntemi nümerik analizde bir sonlu farklar yöntemidir. John Crank ve Phyllis Nicolson taraf¬ndan bulunan bu yöntem, zamana göre ikinci dereceden ve

kapal¬ bir yöntemdir (Crank ve Nicolson, 1947). Crank ve Nicolson yöntemlerinde, diferensiyel denklemin sonlu fark yöntemiyle say¬sal çözümünü ara¸st¬rmak için

ut ' uⁿ⁺¹ uⁿ

t ;

u = uⁿ⁺¹+ uⁿ

2 ;

u_x = (u_x)ⁿ⁺¹+ (u_x)ⁿ

2 ;

...

(3.15)

e¸sitliklerinin kullan¬lmas¬n¬önermi¸slerdir. (3.15)’ten görüldü¼gü gibi zamana göre türev için ileri sonlu fark yakla¸s¬m¬kullan¬l¬rken, kalan terimlerde ¸simdiki zaman ve bir sonraki zamandaki de¼gerlerin ortalamalar¬al¬nm¬¸st¬r. Zamana göre türev için geri veya merkezi sonlu fark yakla¸s¬mlar¬da kullan¬labilir (Irk, 2007).

3.4. Varyasyonel Yöntemler

Varyasyonel yöntemlerde ise tam çözüm yerine kullan¬lacak nümerik çözüm, diferensiyel denklemin zay¬f formundan, kuadratik fonksiyonelin minimumundan veya a¼g¬rl¬kl¬integral ifadesinden elde edilir. Bu yöntemlere örnek olarak, Rayleigh-Ritz ve a¼g¬rl¬kl¬kalan yöntemleri gösterilebilir. Bu yöntemlerde bir problemin yakla¸s¬k çözümü Pc_j'_j + '₀ ¸seklinde aran¬r. Burada '’ler genellikle polinom olan uygun yakla¸s¬m fonksiyonlar¬ ve cj’ler ise hesaplanacak bilinmeyen parametrelerdir. c_j denklemin a¼g¬rl¬kl¬integral formunu veya zay¬f formunu sa¼glayacak ¸sekilde veya denkleme kar¸s¬l¬k gelen kuadratik fonksiyoneli minimum yapacak ¸sekilde bulunur. P

c_j'_j+ '₀ yakla¸s¬m¬, verilen diferensiyel denklemde do¼grudan yaz¬ld¬¼g¬nda cj parametelerinin bulunmas¬için her zaman gerekli ve yeterli say¬da lineer ba¼g¬ms¬z denklem sistemi elde edilemeyebilir.

Bu nedenle a¼g¬rl¬kl¬integral forma ihtiyaç duyulur.

A¼g¬rl¬kl¬ integral form, P

cj'_j + '₀ yakla¸s¬k çözümünün diferensiyel denklemde yerine yaz¬lmas¬yla elde edilen kalan ile W a¼g¬rl¬k fonksiyonunun çarp¬m¬n¬n seçilmi¸s bölge üzerindeki integralinin ifadesidir. A¼g¬rl¬kl¬ integral formunda uN

yakla¸s¬k çözümündeki '_j yakla¸s¬k fonksiyonlar¬diferensiyel denklemin mertebesi kadar türevlenebilir olmal¬ ve problem ile birlikte verilen tüm s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glamal¬d¬r.

Çünkü a¼g¬rl¬kl¬ integral form problemin hiçbir s¬n¬r ¸sart¬n¬ içermez. A¼g¬rl¬kl¬ integral formunda W a¼g¬rl¬k fonksiyonunun lineer ba¼g¬ms¬z N farkl¬ seçimi için c1; c₂; :::; c_N bilinmeyenlerinden olu¸san N tane cebirsel denklem elde edilir. Bu denklemlerin cj

parametreleri kolayca elde edilir (Karakoç, 2011).

Zay¬f form ise denklemdeki diferensiyelin ba¼g¬ml¬ de¼gi¸sken ile a¼g¬rl¬k fonksiyonu aras¬nda payla¸st¬r¬ld¬¼g¬ve ayn¬zamanda verilen problemin do¼gal s¬n¬r ¸sartlar¬n¬içeren a¼g¬rl¬kl¬ integral ifadesidir. Verilen her denklemin a¼g¬rl¬kl¬ ifadesi elde edilebilirken, zay¬f formu elde edilemeyebilir. Varyasyonel yöntemler W a¼g¬rl¬k fonksiyonu ve '_j yakla¸s¬m fonksiyonlar¬n¬n seçimi bak¬m¬ndan birbirinden farkl¬d¬rlar. Varyasyonel yöntemlerde yakla¸s¬k çözüm bulunurken verilen denkleme kar¸s¬l¬k gelen zay¬f form kullan¬l¬r. Her denklemin zay¬f formu olu¸sturulamayabilece¼gi için s¬n¬rl¬say¬da denkleme uygulanabilirler (Karakoç, 2011).

3.5. A¼g¬rl¬kl¬Kalan Yöntemleri

S¬n¬r de¼ger ya da ba¸slang¬ç de¼ger probleminin analitik çözümüne yak¬n olan fonksiyon formunda çözümler elde etmek için yap¬lan analitik i¸slemleri sa¼glayan yakla¸s¬k metodlar a¼g¬rl¬kl¬ kalan yöntemi olarak bilinir. Bu yakla¸s¬m¬ temel alan yöntemlere ise a¼g¬rl¬kl¬kalan yöntemleri denir. Her denklemin a¼g¬rl¬kl¬integral formu olu¸sturulabilece¼gi için varyasyonel yöntemlerden daha geni¸s bir aral¬ktaki problemlere uygulanabilirler. A¼g¬rl¬kl¬ kalan yöntemleri her denklemin a¼g¬rl¬kl¬ integral formunu olu¸sturmakta kullan¬labilir. A¼g¬rl¬kl¬integral form problemin s¬n¬r ¸sartlar¬ndan hiçbirini içermedi¼ginden, a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬yakla¸s¬k çözümün hem do¼gal hem de s¬n¬r ¸sartlar¬n¬

sa¼glayacak ¸sekilde seçilmelidir. Bu yöntemleri ifade etmek için bölgesinde

A(U ) = f (3.16)

operatör denklemi ele al¬ns¬n. Burada A lineer veya lineer olmayan bir operatör, U ba¼g¬ml¬de¼gi¸sken ve f ba¼g¬ms¬z de¼gi¸skenin bir fonksiyonu olarak tan¬mlan¬r. Buradaki u çözümüne, bir yakla¸s¬m olarak

u_N = XN

j=1

c_j'_j + '₀ (3.17)

kullan¬l¬r ve (3:16) denkleminde (3:17) ile verilen uN yakla¸s¬k çözüm yerine yaz¬ld¬¼g¬nda fN = A(UN) fonksiyonu elde edilir ki bu fonksiyon genelde f ’ye e¸sit de¼gildir. A(UN)ile

f fonksiyonu aras¬ndaki fark¬na R = A(uN) f = A(PN

j=1c_j'_j+'₀) f 6= 0 yakla¸s¬m¬n kalan¬ (rezidüsü) denir. Burada R kalan fonksiyonu, hem cj parametrelerine hem de konuma ba¼gl¬d¬r. A¼g¬rl¬kl¬kalan yöntemlerinde cj parametreleri

Z

W_i(x)R(x; c_j)dx = 0(i = 1; 2; :::; N ) (3.19) a¼g¬rl¬kl¬kalan integralindeki R kalan¬s¬f¬r olacak ¸sekilde seçilir. Burada bir boyutlu bir bölge ve W_i⁰ ler ise a¼g¬rl¬kl¬kalan fonksiyonlar¬d¬r. (3:19) integralinin hesaplanmas¬

ile elde edilen denklemlerin çözülmesi için seçilen Wi a¼g¬rl¬kl¬ kalan fonksiyonlar kümesinin lineer ba¼g¬ms¬z olmas¬ gerekir. A¼g¬rl¬kl¬ kalan yöntemlerinden baz¬lar¬

Galerkin, Petrov-Galerkin, kollokasyon ve Subdomain Galerkin yöntemleridir (Karakoç, 2011).

3.5.1. Galerkin yöntemi

Bu yöntemde Wi a¼g¬rl¬k fonksiyonu '_i yakla¸s¬m fonksiyonlar¬yla ayn¬ seçilir.

Galerkin yakla¸s¬m¬n¬n cebirsel denklemleri XN

j=1

A_ijc_j = F_i (3.20)

¸seklinde olup burada Aij ve Fi a¸sa¼g¬daki gibidir:

Aij = Z

'_iA('_j)dx; (3.21)

Fi = Z

[f A('₀)]dx: (3.22)

3.5.2. Petrov-Galerkin yöntemi

W_i 6= 'i al¬n¬rsa bu yöntem a¼g¬rl¬kl¬kalan yöntemlerinden Petrov-Galerkin yöntemi olarak bilinir. A lineer bir operatör olmak üzere bölgesinde (3:19) yakla¸s¬m¬,

XN j=1

[ Z

'_iA('_j)dx]c_j = Z

[f A('₀)]dx (3.23)

veya

XN j=1

A_ijc_j = F_i (3.24)

¸seklinde basit bir formda yaz¬labilir. Bu yöntemde elde edilen [Aij] katsay¬lar matrisi simetrik de¼gildir. Yani, Aij =R

W_iA('_j)dx6= A^ji dir.

3.5.3. Subdomain Galerkin yöntemi Bu yöntemde Wi a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬

W_i = 8<

:

1 ; x_i x x_i+1

0 ; d:d:

(3.25)

i = 0; 1; :::; N ¸seklinde seçilir. Alt aral¬klar¬n say¬s¬ ci parametrelerinin say¬s¬na e¸sit olacak ¸sekilde belirlenmelidir. Wi a¼g¬rl¬k fonksiyonlar¬(3:19) denkleminde yaz¬l¬rsa

Z

R(xⁱ; c_i) dx = 0 (i = 0; 1; :::; N ) (3.26)

elde edilir. Bu denklem sisteminin çözülmesiyle ci parametreleri elde edilir.

3.6. Sonlu Elemanlar Yöntemi

Varyasyonel yöntemler bir problemin yakla¸s¬k çözümünün bulunmas¬nda oldukça kolay ve etkili yöntemlerdir. Ancak bu yöntemlerde yakla¸s¬m fonksiyonlar¬n¬n olu¸sturulmas¬ i¸sleminin zor olmas¬ yöntemlerin etkinli¼gini azaltmaktad¬r. Çünkü yakla¸s¬m fonksiyonlar¬sürekli, tam, lineer ba¼g¬ms¬z ve ayn¬zamanda problemin temel s¬n¬r ¸sartlar¬n¬ sa¼glamal¬d¬r. Ayr¬ca yakla¸s¬m fonksiyonlar¬n¬ üretecek sistematik bir algoritma bulunmamaktad¬r. E¼ger problemin çözüm bölgesi karma¸s¬k ise yakla¸s¬m fonksiyonlar¬n¬belirleme i¸slemi oldukça zor hatta bazen imkans¬z olmaktad¬r.

Varyasyonel yöntemlerin bu dezavantajlar¬n¬ ortadan kald¬rmak için son zamanlarda sonlu elemanlar yöntemi daha s¬kl¬kla kullan¬l¬r hale gelmi¸stir.

Sonlu elemanlar yöntemi; yap¬ mühendisli¼gi ve mekani¼gi, ak¬¸skanlar mekani¼gi, donanma mimarl¬¼g¬, dinamik ve ¬s¬iletim problemleri gibi farkl¬alanlardaki problemlere kolayl¬kla uygulanabilmektedir. Bu yöntemin di¼ger yöntemlere göre avantajlar¬

a¸sa¼g¬daki gibi s¬ralanabilir:

1. Düzensiz ¸sekilli yap¬lar¬ ve di¼ger yöntemlerle modellenemeyen farkl¬ karma¸s¬k bölgeleri oldukça kolay bir ¸sekilde modelleyebilmesi,

2. Eleman denklemleri ayr¬ ayr¬ olu¸sturuldu¼gundan farkl¬ malzemelerden olu¸san yap¬lar¬modelleyebilmesi,

3. Çok farkl¬ s¬n¬r ¸sartlar¬ ile birlikte kullan¬labilmesi. S¬n¬r ¸sartlar¬n¬n de¼gi¸smesi durumunda sonlu eleman modelinin de¼gi¸smemesi,

4. Gerekti¼ginde eleman büyüklüklerinin de¼gi¸stirilebilmesi,

5. Sonlu eleman modelinin istenildi¼gi zaman kolayca de¼gi¸stirilebilmesi, 6. Bilgisayar programlama mant¬¼g¬na uygun olmas¬.

Bu avantajlar¬n¬n yan¬s¬ra sonlu elemanlar yönteminin de dezavantajlar¬ vard¬r.

Bunlardan baz¬lar¬; çözüm bölgesinin alt bölgelere ayr¬lmas¬ i¸sleminin belirli bir tecrübeyi gerektirmesi, süreklilik ¸sartlar¬n¬n alt bölgelere uygulanmas¬nda birtak¬m zorluklarla kar¸s¬la¸s¬lmas¬ ve bilgisayar program¬nda veri giri¸si s¬ras¬nda hatalar yap¬lmas¬d¬r.

3.7. Spline Fonksiyonlar

Problem çözümlerinde s¬kl¬kla kullan¬lan yöntemler aras¬nda yer alan interpolasyon yöntemleri …zik, kimya, biyoloji, mühendislik ve matematik gibi çe¸sitli bilim dallar¬nda yayg¬n olarak kullan¬lmaktad¬r. Bu yakla¸s¬mlar aras¬nda polinom yakla¸s¬m¬ önemli bir yere sahiptir. Fakat polinom yakla¸s¬m¬ ile her zaman istenilen hassasiyette sonuç elde edilemeyebilir. Yüksek dereceden polinomlarla interpolasyon sürecinde i¸slemlerin art¬¸s¬ sonucu gerçek anlamda karars¬z algoritmalarla kar¸s¬la¸s¬l¬r. Yani birçok durumda bölünme noktalar¬n¬n say¬s¬n¬n artmas¬ yak¬nsaman¬n artmas¬ yerine

¬raksamas¬ anlam¬na gelebilir. Ayr¬ca istenilen fonksiyon seçilen aral¬¼g¬n de¼gi¸sik k¬s¬mlar¬nda de¼gi¸sik özelliklere sahip ise örne¼gin, bölgenin bir k¬sm¬nda h¬zl¬ di¼ger k¬sm¬nda yava¸s de¼gi¸siyorsa, fonksiyona tek bir e¼gri ile yakla¸smak uygun sonuçlara götürmeyebilir. Bu amaç için kullan¬lan Newton ve Lagrange interpolasyonlar¬n¬n derecesi nokta say¬s¬ artt¬kça artaca¼g¬ndan, bu tür polinomlarla yap¬lacak i¸slemler zorla¸s¬r. Bu gibi durumlarda art arda gelen iki veri aras¬nda birinci, ikinci veya üçüncü dereceden fonksiyonlarla yakla¸s¬m¬n yap¬ld¬¼g¬ spline interpolasyon yöntemi önerilmektedir. Spline interpolasyonu veri noktalar¬n¬ çe¸sitli aral¬klara bölerek her

bir aral¬kta daha dü¸sük dereceden polinomlarla yakla¸sma esas¬na dayan¬r. Verilere kolayca adapte olabilen yeteri kadar esnekli¼ge sahip, bilinmeyen fonksiyonlar¬n yakla¸s¬k çözümünde kullan¬lan spline fonksiyonlar ve uygulamalar¬ son zamanlarda oldukça yayg¬n olarak kullan¬lmaktad¬r. Spline fonksiyonlar parçal¬fonksiyonlar s¬n¬f¬ndan olup bu fonksiyonlar polinomlar¬n süreklilik özelliklerini ta¸s¬yan dizili¸sleri ile olu¸smaktad¬r (Karakoç, 2011).

Spline fonksiyonlar¬n sahip oldu¼gu özellikler:

1. Düzgün (smooth) fonksiyonlard¬r.

2. Uygun bazlara sahip olan sonlu boyutlu lineer uzaylard¬r.

3. Bu fonksiyonlar¬n türevleri ve integralleri de yine spline fonksiyonlard¬r.

4. Elde ya da bilgisayarda yap¬lan hesaplamalarda kolayl¬k sa¼glar.

5. Bu fonksiyonlar kullan¬ld¬¼g¬nda elde edilen matrisler, determinant özellikleri aç¬s¬ndan kolay hesaplanabilir.

6. Dü¸sük dereceli spline fonksiyonlar oldukça esnektirler ve polinomlardaki gibi keskin sal¬n¬mlar yapmazlar.

7. Spline fonksiyonlar kullan¬larak sadece fonksiyona de¼gil ayn¬ zamanda bu fonksiyonun türevlerine de iyi yakla¸s¬mlar yap¬labilir.

8. Spline fonksiyonlar kullan¬ld¬¼g¬nda yak¬nsakl¬k ve kararl¬l¬¼g¬n incelenmesi daha kolay olur.

3.7.1. B-spline fonksiyonlar

Spline fonksiyonlar kullan¬larak hesaplamalar yap¬ld¬¼g¬nda lineer veya lineer olmayan sistemler elde edilir. Bu sistemler baz¬ durumlarda parametrelerin hesaplanmas¬mümkün olmayacak ¸sekilde iyi ¸sartl¬olmayan durumda olabilir. Ayr¬ca bir di¼ger zorluk olarak spline yakla¸s¬mlar¬ elde etme sürecinde say¬sal karars¬zl¬klarla kar¸s¬la¸s¬labilir. Bu durumlar "B-spline " olarak adland¬r¬lan farkl¬bir spline fonksiyon s¬n¬f¬ile a¸s¬labilir. Bu fonksiyonlara B-spline ad¬n¬n verilmesinin sebebi, bütün spline fonksiyonlar kümesi için bir taban (basis ) olu¸sturmas¬d¬r.

B-spline fonksiyonlar da yine spline fonksiyonlard¬r. Ancak polinom derecesi, düzgünlük ve çözüm bölgesinin parçalanmas¬na göre, B-spline fonksiyonlar, minimal deste¼ge sahip fonksiyonlard¬r. Belirli derece ve düzgünlükteki her spline fonksiyon ayn¬derece ve düzgünlükteki B-spline fonksiyonlar¬n bir lineer kombinasyonu ile temsil edilebilir (de Boor, 1978). Bu sebeple de B-spline fonksiyonlar, spline fonksiyonlar için bir taban olu¸stururlar. Ayn¬zamanda bir B-spline fonksiyonu Bezier e¼grilerinin de bir genelle¸stirmesidir. B-spline terimi ilk olarak "basis spline" kelimesinin k¬saltmas¬olarak (Schoenberg, 1946) taraf¬ndan kullan¬lm¬¸st¬r.

B-spline fonksiyonlar¬n de Boor (1978) taraf¬ndan verilen ve literatürdeki yayg¬n kullan¬lan türetme yöntemi a¸sa¼g¬daki gibidir:

S¬f¬r¬nc¬dereceden B-spline fonksiyonu, B_m⁰ =

8<

:

1 ; x_m x < x_m+1 0 ; d. d.

(3.27)

¸seklinde tan¬mlan¬r. Bu tan¬ma göre B_m⁰(x_m) = 1 ve B_m⁰(x_m+1) = 0 d¬r. S¬f¬r¬nc¬

dereceden B-spline ad¬m fonksiyonu kullan¬larak daha yüksek dereceden B-spline fonksiyonlar k = 1; 2; ::: ve m = 0; 1; 2; ::: olmak üzere ard¬¸s¬k olarak

B_m^k(x) = x x_m

x_m+k x_mB_m^{k 1}(x) + x_m+k+1 x

x_m+k+1 x_m+1B_m+1^{k 1}(x) (3.28) formülüyle hesaplan¬r. B-spline fonksiyonlar¬n, [x0; x_N] aral¬¼g¬nda tan¬ml¬fonksiyonlar için bir taban oldu¼gu Prenter (1975) taraf¬ndan ifade edilmi¸stir. Verilen tan¬mdan da görüldü¼gü gibi B-spline fonksiyonlar, e¸sit uzunluklu alt aral¬klar üzerinde tan¬mlanabilece¼gi gibi çözüm bölgesi üzerinde e¸sit da¼g¬t¬lmam¬¸s noktalar üzerinde de tan¬mlanabilir. B-spline fonksiyonlar¬n, geometrik olarak de¼gi¸sen uzunlu¼ga sahip alt aral¬klar üzerindeki tan¬mlamalar¬için (Da¼g, 1994) referans¬incelenebilir.

3.7.1.1. Lineer B-spline fonksiyonlar

Bir [a; b] aral¬¼g¬n¬n düzgün bir parçalan¬¸s¬ a = x0 < x₁ < < x_{N 1} < x_N = b olsun. h = xm+1 x_m olmak üzere xm dü¼güm noktalar¬nda Lm(x) lineer B-spline fonksiyonlar m = 0(1)N noktalar¬için;

L_m(x) = 1 h

8>

>>

<

>>

>:

(x_m+1 x) 2(x_m x) ; [x_{m 1}; x_m) (x_m+1 x) ; [x_m; x_m+1)

0 ; d. d.

(3.29)

¸seklinde tan¬mlan¬r. fL⁰(x); L₁(x); ; L_N(x)g kümesi a x b aral¬¼g¬nda tan¬ml¬

fonksiyonlar için bir baz olu¸sturur. Lineer B-spline fonksiyon ve türevi [xm 1; x_m+1] aral¬¼g¬d¬¸s¬nda s¬f¬rd¬r. Her bir Lm B-spline fonksiyonu [xm 1; x_m+1] aral¬¼g¬nda ard¬¸s¬k iki eleman¬örtmekte ve dolay¬s¬yla her bir [xm; x_m+1] sonlu eleman Lm; L_m+1 gibi iki lineer B-spline fonksiyonu taraf¬ndan örtülmektedir. Bir [xm; x_m+1] aral¬¼g¬

h = x x_m;0 1 (3.30)

lokal koordinat dönü¸sümü yard¬m¬yla [0; 1] aral¬¼g¬na dönü¸sür. Böylece lineer B-spline fonksiyonlar [0; 1] aral¬¼g¬nda cinsinden

L_m = 1

L_m+1 =

(3.31)

olarak elde edilir.

3.7.1.2. Kuadratik B-spline fonksiyonlar

[a; b] aral¬¼g¬n¬n düzgün bir parçalan¬¸s¬ a = x0 < x₁ < < x_{N 1} < x_N = b olsun. h = xm+1 x_m olmak üzere xm dü¼güm noktalar¬nda Qm(x)kuadratik B-spline fonksiyonlar m = 1(1)N noktalar¬için;

Q_m(x) = 1 h²

8>

>>

>>

><

>>

>>

>>

:

(x_m+2 x)² 3(x_m+1 x)²+3(x_m x)² ; [x_{m 1}; x_m) (x_m+2 x)² 3(x_m+1 x)² ; [x_m; x_m+1)

(x_m+2 x)² ; [x_m+1; x_m+2)

0 ; d. d.

(3.32)

¸seklinde tan¬ml¬d¬r. Burada fQ ¹(x); Q₀(x); ; Q_N(x)g kümesi a x b aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ fonksiyonlar için bir baz olu¸sturur. Kuadratik B-spline Qm(x) fonksiyonu ve türevleri [xm 1; x_m+2] aral¬¼g¬ d¬¸s¬nda s¬f¬rd¬r. Her bir Qm(x) kuadratik B-spline fonksiyo-nu bu aral¬kta ard¬¸s¬k üç eleman¬örtmeli ve dolay¬s¬yla her bir [xm; x_m+1]sonlu eleman Qm 1; Q_m; Q_m+1 gibi üç kuadratik B-spline fonksiyon taraf¬ndan örtülmektedir.

U (x; t)analitik çözümüne bir uN(x; t)yakla¸s¬m¬kuadratik B-spline fonksiyonlar¬n¬n birle¸simiyle,

U (x; t) u_N(x; t) = XN i= 1

Q_i(x) _i(t) (3.33)

olarak yap¬l¬r. Burada i(t) ile belirlenecek olan zamana ba¼gl¬bilinmeyen parametreler temsil edilir. [xm; x_m+1]eleman¬üzerindeki uN(x_m; t)yakla¸s¬k çözümü a¸sa¼g¬daki gibidir:

u_N(x_m;t) = Q_{m 1}(x) _{m 1}(t) + Q_m(x) _m(t) + Q_{m+1 m+1}(t): (3.34)

Bir [xm; x_m+1] aral¬¼g¬

h = x x_m; 0 1 (3.35)

lokal koordinat dönü¸sümü yard¬m¬yla [0; 1] aral¬¼g¬na dönü¸sür. Böylece kuadratik B-spline fonksiyonlar [0; 1] aral¬¼g¬nda cinsinden,

Q_{m 1} = _h¹2(x_m+1 x_m h )² = _h¹2h²(1 )² = (1 )²

Q_m = _h¹2((x_m+2 x_m h )² 3(x_m+1 x_m h )²)

= _h¹2((2h h )² 3(h h )²)

= _h¹2h²((2 )² 3(1 )²) = 1 + 2 2 ²

Q_m+1 = _h¹2((x_m+3 x_m h )² 3(x_m+2 x_m h )²+3(x_m+1 x_m h )²)

= _h¹2h²((3 )² 3(2 )²+ 3(1 )²) = ²

(3.36)

¸seklinde bulunur. (3:34) kuadratik B-spline fonksiyonlar¬ kullan¬larak xm dü¼güm noktas¬nda uN yakla¸s¬k çözümü ve x’e göre birinci mertebeden türevi, m eleman parametreleri cinsinden a¸sa¼g¬daki gibi yaz¬labilir:

u_N(x_m; t) = u_m = _{m 1} + _m u⁰_m = _h²( _{m 1}+ _m):

(3.37)

3.8.2. Trigonometrik B-spline fonksiyonlar

Trigonometrik spline fonksiyonlar ilk olarak Schoenberg (1964) taraf¬ndan çal¬¸s¬lm¬¸st¬r. Schoenberg bu çal¬¸smas¬nda trigonometrik spline fonksiyonlar¬, parçal¬

trigonometrik polinomlar yard¬m¬yla;

a₀+ Xn

i=1

(a_kcos(kx) + b_ksin(kx)) (3.38)

¸seklinde tan¬mlam¬¸st¬r. Ayn¬ zamanda her trigonometrik spline fonksiyonun, trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬n bir lineer kombinasyonu olarak yaz¬labilece¼gini de göstermi¸stir. Bu konuda bir özet olarak Schumaker (2007) kitab¬ incelenebilir.

Lyche ve Winther (1977) trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬tan¬mlamak için bölümü¸s farklar¬ kullanm¬¸slard¬r. Di¼ger yandan trigonometrik B-spline fonksiyonlar için genel bir yineleme ba¼g¬nt¬s¬ olu¸sturmu¸slar ve bu fonksiyonlar¬n türevlenebilirli¼gini göstermi¸slerdir. Walz (1997) tek mertebeli trigonometrik B-spline fonksiyonlar, e¸sit aral¬kl¬ sabit bir bölge üzerinde convex-hull özelli¼gini sa¼glad¬¼g¬n¬ göstermi¸stir.

Koch (1988) çok de¼gi¸skenli polinomlar¬ kullanarak çok de¼gi¸skenli trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬ tan¬mlam¬¸st¬r. Trigonometrik spline fonksiyonlar ve e¼grilerle ilgili Goodman ve Lee (1984) ve Koch vd. (1995) çal¬¸smalar¬ da incelenebilir.

Kuadratik trigonometrik spline fonksiyonlar ile ilgili Han (2003) ve Nikolis (2004) çal¬¸smalar yapm¬¸st¬r. Hamid vd. (2010) ikinci mertebeden lineer iki noktal¬

s¬n¬rde¼ger problemini kübik trigonometrik B-spline kullarak çözümünü elde etmi¸slerdir ve hiperbolik problemin yakla¸s¬k çözümü kübik trigonometrik B-spline fonksiyonlar yard¬m¬yla çözümü Abbas vd. (2014) taraf¬ndan yap¬lm¬¸st¬r.

S_m;t ile trigonometrik spline uzaylar¬temsil edilsin. h = ^{b a}_N ve xi = x₀+ ih olmak üzere a = x0 < x₁ < < x_{N 1} < x_N = b, [a; b] tan¬m aral¬¼g¬n¬n düzgün bir parçalanmas¬ olsun. Birinci dereceden trigonometrik B-spline T_m¹ a¸sa¼g¬daki e¸sitlik ile verilir:

T_m¹(x) = 8<

:

1 ; x_m x < x_m+1 0 ; d. d.

(3.39)

Bu e¸sitlik kullan¬larak T_m^k daha yüksek mertebeden trigonometrik B-spline fonksiyonlar;

T_m^k(x) = sin(^{x x}₂^m)

sin(^xm+k₂^{1 xm})T_m^{k 1}(x) + sin(^xm+k₂ ^x)

sin(^xm+k₂^xm+1)T_m+1^{k 1}(x); k = 2; 3; 4; ::: (3.40) yineleme formülüyle tan¬mlan¬r. Burada dikkat edilmesi gereken durum; n: dereceden trigonometrik B-spline formülünü olu¸stururken k = n + 1 olarak al¬nmas¬gerekti¼gidir (Walz, 1997). Trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬birçok yönüyle polinomsal B-spline fonksiyonlara benzer. Örne¼gin; T_m^k B-spline fonksiyonlar¬, B-spline fonksiyonlarda

oldu¼gu gibi [xm; x_m+k] gibi sonlu bir aral¬kta tan¬ml¬d¬r ve bu aral¬k içerisinde pozitif de¼gerler al¬r. Ayr¬ca, T_m^{k N}_m=1 lineer ba¼g¬ms¬zd¬r ve Sm;t trigonometrik spline fonksiyonlar¬için bir taban olu¸sturur. Böylece, her s 2 S^m;t eleman¬için

s(x) = Xn m=1

c_mT_m^k(x); c_m 2 R; m = 1; 2; :::; N (3.41)

ifadesi yaln¬z bir ¸sekilde yaz¬labilir.

3.8.2.1.Kuadratik trigonometrik B-spline

Kuadratik trigonometrik fonksiyonlar¬tan¬mlamak için a = x0 < x₁ < < x_{N 1} <

x_N = b [a; b] tan¬m aral¬¼g¬n¬n düzgün bir parçalan¬¸s¬, h = ^{b a}_N ve xi = x₀+ ih olmak üzere, (3:38) ifadesinde k = 3 yaz¬l¬rsa;

T_m³(x) =

sin x x_m 2 sin x_m+2 x_m

2

T_m²(x) +

sin x_m+3 x 2 sin x_m+3 x_m+1

2

T_m+1² (x) (3.42)

elde edilir. (3:37) yard¬m¬yla T_m²(x) ve T_m+1² (x)a¸sa¼g¬daki gibi bulunur:

T_m²(x) = 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

:

sin x x_m 2

!

sin 0

@h 2

1 A

; x2 [xm; x_m+1)

sin

x_m+2 x 2

!

sinh 2

; x2 [xm+1; x_m+2)

0 : d. d.

(3.43)

T_m+1² (x) = 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>:

sin x x_m+1 2

!

sin(h) ; x2 [xm+1; x_m+2)

sin x_m+3 x 2

!

sin(h) ; x2 [xm+2; x_m+3)

0 ; d. d.

(3.44)

T_m³(x)ifadesine dönüldü¼günde;

T_m³(x) = 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

<

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>:

sin x x_m 2

!

sin(h)

sin x x_m 2

!

sin 0

@h 2

1 A

; x2 [xm; x_m+1)

sin x x_m 2

!

sin(h)

sin x_m+2 x 2

!

sin 0

@h 2

1 A

+

sin x_m+3 x 2

!

sin(h)

sin x x_m+1 2

!

sin 0

@h 2

1 A

; x2 [xm+1; x_m+2)

sin

x_m+3 x 2

!

sin(h)

sin

x_m+3 x 2

!

sin 0

@h 2

1 A

; x2 [xm+2; x_m+3)

0 ; d. d.

(3.45) (3:45)ifadesine ula¸s¬l¬r. Bu ifade, verilen ayr¬k noktalar ve [a; b] aral¬¼g¬n¬n d¬¸s¬nda kalan x ₁; x_{N +1} hayali noktalar¬ ele al¬narak ve aral¬k indisleri düzenlendi¼ginde kuadratik trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬, T_m³(x)2 C¹[a; b], m = 1; :::; N olmak üzere;

T_m³(x) = 8>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

><

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

>>

:

sin² x x_{m 1}

2 ; x2 [x^{m 1}; x_m)

sin x x_{m 1}

2 ) sin x_m+1 x

2 + sin(x_m+2 x

2 ) sin(x x_m

2 ) ; x2 [x^m; xm+1)

sin² x_m+2 x

2 ; x2 [x^m+1; x_m+2)

0 ; d. d.

(3.46) parçal¬fonksiyonu ile tan¬mlan¬r. Burada = sin(h=2) sin(h)¹ dir.

U (x; t) fonksiyonuna bir uN(x; t) yakla¸s¬m¬ kuadratik trigonometrik B-spline fonksiyonlar¬n¬n birle¸simiyle,

U (x; t) u_N(x; t) = XN m= 1

T_m³(x) _m(t) (3.47)