ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ DÖRT BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Yasemin IRMAK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2018 Her hakkı saklıdır

(1)

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

YÜKSEK LİSANS TEZİ

DÖRT BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI

Yasemin IRMAK

MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA 2018

(2)

(3)

(4)

ETĠK

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü tez yazım kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez içindeki bütün bilgilerin doğru ve tam olduğunu, bilgilerin üretilmesi aĢamasında bilimsel etiğe uygun davranıldığı, yararlandığım bütün kaynakları atıf yaparak belirttiğimi beyan ederim.

01.06.2018

Yasemin IRMAK

(5)

ÖZET

Yüksek Lisans Tezi

DÖRT BOYUTLU ÖKLĠD UZAYINDA BERTRAND EĞRĠLERĠ VE GEOMETRĠK UYGULAMALARI

Yasemin IRMAK

Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı

DanıĢman: Doç. Dr. Ġsmail GÖK Bu tez 6 bölümden oluĢmaktadır.

Ġlk bölüm giriĢ kısmına ayrılmıĢtır.

Ġkinci bölümde, tezde kullanılan bazı temel tanım ve teoremler verilmiĢtir.

Üçüncü bölümde, ilk olarak boyutlu Öklid uzaylarında klasik anlamda Bertrand eğrisi olmadığı ifade edilmiĢtir. Daha sonra, (1,3)-Bertrand Eğrileri olarak adlandırılan eğriler karakterizasyonları ile birlikte verilmiĢtir.

Dördündü bölümde, 4-boyutlu Öklid uzayında kuaterniyonik Bertrand eğrileri tanımlanmıĢ ve uzaysal kuaterniyonik Bertrand eğrileri ile iliĢkileri incelenmiĢtir. Daha sonra, bitorsiyonu sıfırdan farklı kuaterniyonik Bertrand eğrileri tanımlanmıĢ ve karakterizasyonları verilmiĢtir.

BeĢinci bölümde, 3-boyutlu küre üzerindeki Bertrand eğrilerinin karakterizasyonları verilmiĢ ve örnekler sunulmuĢtur. Ayrıca bu eğriler ile (1,3)-Bertrand eğriler arasındaki iliĢkiler verilmiĢtir.

Son bölüm tartıĢma ve sonuç kısmına ayrılmıĢtır.

Haziran 2018, 72 sayfa

Anahtar Kelimeler: Bertrand eğrileri, (1,3)-Bertrand eğrileri, Öklid uzayı.

(6)

ABSTRACT

Master Thesis

BERTRAND CURVES AND GEOMETRIC APPLICATIONS IN FOUR DIMENSIONAL EUCLIDEAN SPACE

Yasemin IRMAK Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics

Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ġsmail GÖK

This thesis consists of six chapter.

The first chapter is devoted to the introduction.

In the second chapter, some main definitions and theorems which are used in the thesis are given.

In the third chapter, firstly we express that there is no Bertrand curve in a classical manner in Euclidean n space for . Then, curves called (1,3)-Bertrand curves are given together with their characterizations.

In the forth chapter, quaternionic Bertrand curve in 4-dimensional Euclidean space are introduced and some relationships with spatial quaternionic Bertrand curves are examined. Then, quaternionic Bertrand curves with nonzero bitorsion are defined and some characterizations are given.

In the fifth chapter, characterizations of Bertrand curves on 3-dimensional sphere are given and some examples are presented. Furthermore, relationships between these curves and (1,3)-Bertrand curves are given.

The last chapter is devoted to the discussion and conclusion.

June 2018, 72 pages

Keywords: Bertrand curves, (1,3)-Bertrand curves, Euclidean space

(7)

TEġEKKÜR

Bu tez konusunu bana veren ve çalıĢmalarımın her aĢamasında bilgi, öneri ve yardımlarını benden esirgemeyen danıĢman hocam Sayın Doç. Dr. Ġsmail GÖK (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı)’e, yakın ilgileriyle çalıĢmalarımı destekleyen ve fikirleriyle beni yönlendiren saygıdeğer hocalarım Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı)’ya, Sayın Prof. Dr. F. Nejat EKMEKCĠ (Ankara Üniversitesi Matematik Anabilim Dalı)’ye ve tezin kuaterniyonik eğrilerle ilgili bölümüne ve örneklerine katkılarından dolayı Sayın Doç. Dr. Ferdağ KAHRAMAN AKSOYAK (KırĢehir Ahi Evran Üniversitesi Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Anabilim Dalı)’a en içten saygı ve teĢekkürlerimi sunarım.

Ayrıca bu günlere gelmemde büyük pay sahibi olan aileme; baĢta bu süreçte çok ani kaybettiğimiz babama, anneme, teyzeme, eĢime, çocuklarım Emir ve Elif’e en içten Ģükranlarımı sunuyorum.

Yasemin IRMAK Ankara, Haziran 2018

(8)

ĠÇĠNDEKĠLER

TEZ ONAY SAYFASI

ETĠK ... i

ÖZET ... ii

ABSTRACT ... iii

TEġEKKÜR ... iv

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ... vi

1. GĠRĠġ ...1

2. TEMEL KAVRAMLAR ...3

2.1 Temel Tanım ve Teoremler ...3

2.2 Öklid Uzayında Eğriler Teorisi ...8

2.3 Reel Değerli Kuaterniyonlar ve Serret-Frenet Formülleri ...13

3. YÜKSEK BOYUTLU ÖKLĠD UZAYLARINDA NON-DEJENERE BERTRAND EĞRĠLERĠ...16

3.1 4-boyutlu Öklid Uzayında Bertrand Eğrileri ...16

3.2 n-boyutlu Öklid Uzayında GenelleĢtirilmiĢ Non-dejenere Bertrand Eğrileri ...28

4. 4-BOYUTLU ÖKLĠD UZAYINDA KUATERNĠYONĠK BERTRAND EĞRĠLERĠ ...30

4.1 4-boyutlu Öklid Uzayında Bitorsiyonu Sıfır Olan Kuaterniyonik Bertrand Eğrileri ...31

4.2 4-boyutlu Öklid Uzayından Bitorsiyonu Sıfırdan Farklı Olan Kuaterniyonik Bertrand Eğrileri ...41

5. 3-BOYUTLU KÜRE ÜZERĠNDE BERTRAND EĞRĠLERĠ ...49

5.1 Üzerindeki Bertrand Eğrilerinin Özellikleri ...54

5.2 Örnekler ...59

5.3 Üzerinde Yatan Bertrand Eğrileri ile Öklid Uzayındaki (1,3)-Bertrand Eğrileri Arasındaki ĠliĢki ...63

6. TARTIġMA VE SONUÇ...68

KAYNAKÇA ...70

ÖZGEÇMĠġ...72

(9)

ġEKĠLLER DĠZĠNĠ

ġekil 2.1 Eksen Dönmesi ... 7

ġekil 2.2 3-boyutlu Öklid uzayında bir Bertrand eğri çiftinin geometrisi ... 12

ġekil 3.1 Bir (1,3)-Bertrand çiftinin geometrisi ... 18

ġekil 5.1 Euler Spirali ... 60

ġekil 5.2 2-Euler Spirali ... 61

ġekil 5.3 Standart Konikal Helis ... 62

ġekil 5.4 GenelleĢtirilmiĢ Konikal Helis ... 62

(10)

1. GR

Fransz matematikçi Saint-Venant 1845 ylnda 3 boyutlu Öklid uzaynda bir α e§risinin asli normalleri tarafndan üretilen regle yüzey üzerinde, α e§risinin asli normal vektörlerinin ikinci bir e§rinin asli normal vektörleriyle ayn olup olamaya- ca§ sorusunu ortaya atm³tr. Bu soru 1850 ylnda Bertrand tarafndan yaymlanan bir makale ile cevaplanm³tr. Bu sebeple bu özellikteki e§riler o çal³madan sonra Bertrand e§rileri olarak anlmaya ba³lanm³tr. Bertrand, bu özelli§e sahip ikinci bir e§rinin olmas için gerek ve yeter ko³ulu, orijinal e§rinin e§rilik ve burulmas

arasnda lineer(do§rusal) bir ili³ki olmas ³eklinde elde etmi³tir. Ba³ka bir deyi³le, yazar çal³masnda "3-boyutlu Öklid uzaynda e§rilikleri κ ve τ olan bir α e§risinin Bertrand e§risi olmas için gerek ve yeter ³artn λ, µ ∈ R için λκ+µτ = 1 olmasdr."

biçiminde bir karakterizasyon vermi³tir.

1888 ylnda C. Bioche, 3-boyutlu Öklid uzaynda Bertrand e§rilerini elde etmek için yeni bir teorem vermi³tir. Daha sonra 1960 ylnda J.F. Burke, Bertrand e§rileri için Bioche teoremi ile ilgili bir karakterizasyon vermi³tir.

1935 ylnda Pears, 3-boyutlu Öklid uzayndaki Bertrand e§rilerini n-boyutlu Rie- mann uzaylarna genellemi³ ve dahas n > 3 için Öklid uzaylarnda tanml Bertrand e§rilerinin dejenere e§riler olmas gerekti§ini ispatlam³tr. Bu çal³malarn devamnda farkl uzaylarda Bertrand e§rileri ile ilgili bir çok çal³ma yaplm³tr (Lai 1967, Görgülü 1986, Ekmekci 2001, Tarhan 2007).

2003 ylnda Matsuda ve Yorozu, 4-boyutlu Öklid uzaynda dejenere Bertrand e§rileri olmad§ndan haraketle bu uzayda yeni bir e§riyi ³u ³ekilde tanmlam³tr. E⁴ Öklid uzaynda α ve β, srasyla, Frenet vektörleri {T, N1, N₂, N₃} ve { ¯T , ¯N₁, ¯N₂, ¯N₃} olan iki e§ri olmak üzere bu e§rilerin (1, 3) normal düzlemleri çak³k yani, Span{N1, N3} = Span{ ¯N₁, ¯N₃} ise bu e§riler (1, 3)-Bertrand e§ri çiftidir. Bu tip e§rilerin karakteri- zasyonu bu tez çal³masnda ispat ile birlikte üçüncü bölümde yer almaktadr. Bu

(11)

çal³madan sonra, bu kirden yola çkarak Cheng ve Lin 2009 ylnda yaynladklar

bir çal³ma ile n-boyutlu Öklid uzaynda daha genel bir Bertrand e§ri tanm vermi³ler ve bu tip e§rileri karakterize etmi³lerdir.

1987 ylnda Bharathi ve Nagaraj, 3 ve 4 boyutlu Öklid uzaylarnda kuaterniyonik e§riler için Serret-Frenet formüllerini tanmlam³lardr. Bu çal³madan sonra kuaterniyonik özel e§rilerle ilgili birçok çal³malar yaplm³tr (Çöken ve Tuna 2004, Gök vd. 2011, Kahraman vd. 2012).

2012 ylnda Lucas ve Ortega-Yagües, 4-boyutlu Öklid uzaynda S³ birim küresi üzerinde Bertrand e§ri çiftlerini tanmlam³ ve bu tip e§rilerle ilgili karakterizasyonlar vermi³lerdir. Dahas çal³malarnda bu tip e§riler ile (1, 3)-Bertrand e§rileri arasnda ili³kiler elde etmi³lerdir.

2013 ylnda Keçilio§lu ve larslan, 4-boyutlu Öklid uzaynda bitorsiyonu sfrdan farkl olan kuaterniyonik e§riler için Bertrand e§ri olma ko³ullarn elde etmi³tir.

Bu tez çal³masnda bu alanda yaplan çal³malarn içinde yer alan karakterizasyonlar genel olarak incelenmi³tir. Dahas Keçilio§lu ve larslan tarafndan tanmlanan kuaterniyonik Bertrand e§rileri hem bitorsiyonu sfr olanlar hem de bitorsiyonu sfrdan farkl olanlar olarak snandrlm³tr. 4-boyutlu uzayda kuaterniyonik Bertrand e§risi ile bununla ili³kili 3-boyutlu uzaydaki e§ri arasnda ili³ki verilmi³tir. E§ri çiftlerinin e§rilikleri arasnda bir ili³ki de elde edilmi³tir. Son olarak yukarda tanmlanan kuaterniyonik Bertrand e§ri snandrmalar ile ilgili örnekler verilmi³tir.

(12)

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu bölümde, tezin devamnda kullanlacak baz tanm ve teoremler verilecektir.

Bir bütünlük olu³turmas amacyla yer verilecek bu temel giri³ bilgileri kaynaklar

ile ifade edilecektir. Dolaysyla bu ksmda yer alan baz temel teoremler ispatsz olarak yer alacaktr.

2.1 Temel Tanm ve Teoremler

Tanm 2.1.1. A bo³tan farkl bir cümle ve V , K cismi üzerinde tanml bir vektör uzay olsun. A³a§daki önermeleri do§rulayan bir

f : A × A → V

fonksiyonu varsa A cümlesine V ile birle³tirilmi³ an uzay denir (Hacsaliho§lu 2000).

(i) ∀P, Q, R ∈ A için f(P, Q) + f(Q, R) = f(P, R).

(ii) ∀P ∈ A ve ∀u ∈ V için f(P, Q) = u olacak ³ekilde bir tek Q ∈ A noktas vardr.

Tanm 2.1.2. V ve W ayn K cismi üzerinde iki vektör uzay ve A : V → W bir dönü³üm olsun. E§er A dönü³ümü için

(i) ∀u, v ∈ V için A(u + v) = A(u) + A(v) (ii) ∀c ∈ K ve ∀u ∈ V için A(cu) = cA(u)

ko³ullar ya da her ikisini de kapsayan

(13)

ko³ulu sa§layanyorsa A dönü³ümüne lineer dönü³üm ad verilir (Sabuncuo§lu 2012).

Tanm 2.1.3. V bir reel vektör uzay olmak üzere f : V × V → K fonksiyonu a³a§da verilen ko³ullar sa§lyorsa f fonksiyonuna V vektör uzay üzerinde bir iç çarpm denir. Üstüne bir iç çarpm tanmlanabilen vektör uzayna da iç çarpm uzay denir (Sabuncuo§lu 2012).

(i) Simetri özeli§i: ∀u, v ∈ V için f(u, v) = f(v, u).

(ii) Bi-lineerlik özeli§i: ∀u, v, w ∈ V ve ∀c1, c₂ ∈ R için

f (c₁u + c₂v, w) = c₁f (u, w) + c₂f (v, w) f (u, c1v + c2w) = c1f (u, v) + c2f (u, w)

(iii) Pozitif tanmllk özeli§i: ∀u ∈ V için f(u, u) ≥ 0. Yani 0 6= u ∈ V için f (u, u) > 0 ve u = 0 ⇔ f(u, u) = 0.

Tanm 2.1.4. Bir reel an uzay A ve A ile birle³en n-boyutlu bir vektör uzay V olsun. V de bir iç çarpm i³lemi x = (x1, . . . , x_n)ve y = (y1, . . . , y_n) olmak üzere

h , i : V × V → R (x, y) → hx, yi =

n

P

i=1

x_iy_i

³eklinde tanmlanrsa A an uzaynda uzaklk ve aç gibi metrik kavramlar tanmlanabilir. Böylece V vektör uzayna EⁿÖklid uzay ve h, i dönü³ümüne de standart Öklid iç çarpm denir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.1.5. P0, P₁, . . . , P_n ∈ Eⁿ için {−−→

P₀P₁,−−→

P₀P₂, . . . ,−−−→

P₀P_n} sistemi Eⁿ Öklid uzaynn bir ortonormal baz ise {P0, P₁, . . . , P_n} sistemine Eⁿ Öklid uzaynda bir Öklid çats denir (Yüce 2017).

(14)

Tanm 2.1.6. V bir reel iç çarpm uzay olsun.

n : V → R, n(u) =phu, ui

dönü³ümü V üstüne bir norm belirtir. Özel olarak V = Eⁿ biçiminde alnrsa u = (u₁, u₂, . . . u_n) ∈ Eⁿ için standart Öklid iç çarpm kullanlarak

n(u) = kuk = q

u²₁+ u²₂+ · · · + u²_n

e³itli§i verilebilir. kuk saysna u vektörünün normu veya uzunlu§u ad verilir (Sabuncuo§lu 2012).

Tanm 2.1.7. x = (x1, x₂, . . . , x_n) ∈ Eⁿ ve y = (y1, y₂, . . . , y_n) ∈ Eⁿ olmak üzere d : Eⁿ× Eⁿ→ R

(x, y) → d(x, y) = k−xyk =→ r _n

P

i=1

(y_i− x_i)²

olarak tanmlanan d fonksiyonuna EⁿÖklid uzaynda uzaklk fonksiyonu ve d(x, y) reel saysna da x, y ∈ Eⁿ noktalar arasndaki uzaklk denir (Hacsaliho§lu 2000).

Teorem 2.1.1. Eⁿ Öklid uzaynda uzaklk fonksiyonu bir metriktir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.1.8.

d : Eⁿ× Eⁿ→ R

(x, y) → d(x, y) = k−xyk→

biçiminde tanmlanan d fonksiyonuna Eⁿ Öklid uzaynda Öklid metri§i denir (Hacsaliho§lu 2000).

Teorem 2.1.2. 0 ≤ θ ≤ π olmak üzere h, i : Eⁿ× Eⁿ → R fonksiyonu ∀u, v ∈ R için hu, vi = kukkvk cos θ biçiminde tanmlanan bir iç çarpmdr. Dolaysyla u ve v gibi iki vektör arasndaki aç θ olmak üzere

cos θ = hu, vi kukkvk

(15)

Tanm 2.1.9. V bir reel iç çarpm uzay ve S = {α1, α₂, . . . , α_n}, V uzaynda bir vektör cümlesi olsun.

Her 1 ≤ i, j ≤ n için i 6= j olmak üzere hαi, α_ji = 0 ise S cümlesine ortogonal vektör cümlesi denir. E§er

δ_ij = hα_i, α_ji =







1, i = j ise 0, i 6= j ise

sa§lanyorsa S cümlesine bir ortonormal vektör cümlesi denir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.1.10. V bir reel vektör uzay ve S = {α1, α₂, . . . , α_n}, V vektör uzaynda bir vektör cümlesi olsun. c1, c₂, . . . , c_n reel saylar için

n

X

i=1

ciαi = 0

iken her 1 ≤ i ≤ n için ci = 0 oluyorsa S vektör cümlesine lineer ba§msz vektör cümlesi, 1 ≤ i ≤ n için ∃0 6= ci ∈ R oluyorsa S vektör cümlesine lineer ba§ml

vektör cümlesi ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.1.11. V bir vektör uzay ve S = {α1, α₂, . . . , α_n}, V vektör uzaynda bir vektör cümlesi olsun. ∀α ∈ V için

α = c₁α₁+ c₂α₂+ · · · + c_nα_n

olacak biçimde c1, c₂, . . . , c_n reel saylar varsa S cümlesi V vektör uzayn geriyor denir ve V = Span{S} ile gösterilir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.1.12. V bir vektör uzay ve S = {α1, α₂, . . . , α_n}, V vektör uzaynda bir vektör cümlesi olsun.

(i) S cümlesi lineer ba§msz,

(ii) S cümlesi V vektör uzayn geriyor,

(16)

ise S vektör cümlesine V vektör uzay için bir baz (taban) ad verilir. Bazdaki vektör saysna ise o vektör uzaynn boyutu denir (Hacsaliho§lu 2000).

Örnek 2.1.1. Eⁿ Öklid uzay için, e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),. . . , e_n = (0, 0, 0, . . . , 1) olmak üzere

S = {e₁, e₂, . . . , e_n}

vektör cümlesi bir tabandr. Dolaysyla, Eⁿ Öklid uzaynn boyutu n'dir.

ekil 2.1 Eksen dönmesi

Lemma 2.1.1. E² reel vektör uzaynda u ve v iki dik do§rultu olsun. Bu iki do§rultunun kesim noktas O olmak üzere O merkezli pozitif yönlü θ radyanlk dönme altnda {u, v} ortogonal sistemi {u⁰, v⁰} ortogonal sistemine ³ekil 2.1'deki gibi dönü³türülmü³ olsun. Bu durumda

u⁰ = u cos θ + v sin θ v⁰ = −u sin θ + v cos θ veya

u = u⁰cos θ − v⁰sin θ v = u⁰sin θ + v⁰cos θ

(17)

Tanm 2.1.13. E³, 3-boyutlu Öklid uzaynda

∧ : E³× E³ → E³

(x, y) → x ∧ y =

e₁ e₂ e₃ x₁ x₂ x₃ y₁ y₂ y₃

biçiminde tanmlanan x ∧ y vektörüne x ile y vektörlerinin vektörel çarpm (d³ çarpm) ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

2.2 Öklid Uzaynda E§riler Teorisi

Tanm 2.2.1. α : I ⊂ R → Eⁿ, α(t) = (α1(t), α₂(t), . . . , α_n(t)) diferensiyellenebilir fonksiyon olsun. Bu durumda α(I) ⊂ Eⁿalt cümlesine EⁿÖklid uzaynda bir diferensiyellenebilir e§ri denir. Burada I aral§na α e§risinin parametre aral§, t ∈ I de§i³kenine de α e§risinin parametresi ve (I, α) ikilisine de koordinat kom³ulu§u denir. E§er α dönü³ümünün k-nc mertebeden ksmi türevleri mevcut ve sürekli ise α e§risine C^k-snfndan bir e§ri ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.2. Eⁿ'de bir α e§risi (I, α) koordinat kom³ulu§u ile verilsin. α : I → Eⁿ dönü³ümünün koordinat fonksiyonlar α1, α₂, . . . , α_n olmak üzere

α⁰(t) = dα

dt = dα₁ dt ,dα₂

dt , . . . , dα_n dt

vektörüne α e§risinin α(t) noktasndaki hz vektörü denir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.3. α : I → Eⁿ e§risi verilsin. Her t ∈ I için α⁰(t) 6= 0 ise α e§risine regüler (düzenli) e§ri denir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.4. EⁿÖklid uzaynda bir α e§risi (I, α) koordinat kom³ulu§u ile verilsin.

kα⁰k : I → R

t → kα⁰k(t) = kα⁰(t)k

(18)

³eklinde tanml dönü³üme, α e§risinin skalar hz fonksiyonu ve kα⁰(t)k reel saysna da α e§risinin α(t) noktasndaki skalar hz ad verilir. E§er özel olarak kα⁰(s)k = 1 ise e§riye birim hzl e§ri, s ∈ I parametresine de e§rinin yay parametresi denir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.5. α : (a, b) → Eⁿve β : (c, d) → Eⁿdiferensiyellenebilir e§rileri verilsin.

β = α ◦ h ve ∀c < u < d için h⁰(u) > 0 olacak ³ekilde h : (c, d) → (a, b) diferensiyellenebilir fonksiyonu varsa β e§risine α e§risinin yön koruyan bir yeniden parametrizasyonu denir. Benzer ³ekilde, β = α ◦ h ve ∀c < u < d için h⁰(u) < 0 olacak ³ekilde h : (c, d) → (a, b) diferensiyellenebilir fonksiyonu varsa β e§risine α'nn yönünü de§i³tiren bir yeniden parametrizasyonu denir. Bu durumda h fonksiyonuna da srasyla, pozitif ya da negatif parametre de§i³imi (parametre de§i³im fonksiyonu) ad verilir (Yüce 2017).

Tanm 2.2.6. α e§risi (I, α) koordinat kom³ulu§u ile verilsin. Bu durumda, ψ = {α⁰, α⁰⁰, . . . , α^(r)} sistemi lineer ba§msz ve ∀α^(k), k > r için, α^(k) ∈ Span{ψ}

olmak üzere, ψ sisteminden elde edilen {V1, V₂, . . . , V_r} ortonormal sistemine, α e§risinin Serret-Frenet r-ayakl alan ve m ∈ α için {V1(m), V₂(m), . . . , V_r(m)}'ye m noktasndaki Serret-Frenet r-ayakls denir. Herbir Vi, 1 ≤ i ≤ r vektörüne ise Serret-Frenet vektörü ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.7. α ⊂ Eⁿ e§risi (I, α) koordinat kom³ulu§u ile verilsin. s ∈ I parametresine kar³lk gelen α(s) noktasndaki Frenet r-ayakls {V1(s), V₂(s), . . . , V_r(s)}

olsun. Buna göre,

k_i : I → R, 1 ≤ i < r,

s → k_i(s) = hV_i⁰(s), V_i+1(s)i

biçiminde tanml ki fonksiyonuna α e§risinin i-yinci e§rilik fonksiyonu ve s ∈ I için ki(s) reel saysna da α(s) noktasnda α e§risinin i-yinci e§rili§i ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

(19)

Teorem 2.2.1. α : I → Eⁿ, s 7→ α(s) birim hzl bir e§ri olsun. α e§risinin s ∈ I noktasnda Frenet vektörleri {V1(s), V2(s), . . . , Vn(s)} biçiminde verilsin. E§er α e§risinin e§rilikleri k1, k₂, . . . , k_n−1 ise

(i) V1⁰(s) = k₁(s)V₂(s)

(ii) Vi⁰(s) = −k_i−1(s)V_i−1(s) + k_i(s)V_i+1(s), 1 ≤ i < n (iii) Vn⁰(s) = −k_n−1(s)V_n−1(s)

e³itlikleri gerçeklenir. Bu formüllere Serret-Frenet formülleri ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.8. α : I → E³, s 7→ α(s) birim hzl bir e§ri olsun.

T = α⁰(s)

vektör alanna α e§risi boyunca te§et vektör alan, N = α⁰⁰(s)

kα⁰⁰(s)k

vektör alanna α e§risi boyunca asli normal vektör alan ve B = T ∧ N

vektör alanna α e§risi boyunca binormal vektör alan ad verilir.

∀s ∈ Iiçin κ(s) = kT⁰(s)k³eklinde tanml fonksiyona α e§risinin e§rilik fonksiyonu ve κ(s) ∈ R saysna da α e§risinin α(s) noktasndaki e§rili§i denir.

∀s ∈ I için τ(s) = kB⁰(s)k ³eklinde tanml fonksiyona α e§risinin burulma fonksiyonu ve τ(s) ∈ R saysna da α e§risinin α(s) noktasndaki burulmas

denir.

Bu durumda {T, N, B} Frenet çats için a³a§daki Serret-Frenet formülleri gerçek- lenir (Hacsaliho§lu 2000).

d ds





 T N B







=







0 κ 0

−κ 0 τ

0 −τ 0











 T N B







(20)

Tanm 2.2.9. E³ Öklid uzaynda bir e§ri α ve bu e§rinin Frenet çats {T, N, B}

olsun. s ∈ I için,

Span{T (s), N(s)} düzlemine α e§risinin α(s) noktasndaki oskülatör düzlemi, Span{T (s), B(s)} düzlemine α e§risinin α(s) noktasndaki rektiyan düzlemi, Span{N(s), B(s)} düzlemine α e§risinin α(s) noktasndaki normal düzlemi, denir (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.10. α : I → E⁴, s 7→ α(s) birim hzl bir e§ri olsun ve α e§risinin Frenet vektörleri {T, N1, N₂, N₃} ile verilsin.

T = α⁰(s)

vektör alanna α e§risi boyunca te§et vektör alan,

N₁ = α⁰⁰(s) kα⁰⁰(s)k

vektör alanna α e§risi boyunca asli normal vektör alan (birinci normal vek- tör alan), N2 ve N3 vektör alanlarna da srasyla birinci binormal ve ikinci binormal vektör alanlar denir.

Bu durumda {T, N1, N₂, N₃} Frenet çats için a³a§daki Serret-Frenet formülleri gerçeklenir.

d ds





 T N₁ N2

N₃







=







0 k1 0 0

−k₁ 0 k₂ 0

0 −k2 0 k3

0 0 −k₃ 0











 T N₁ N2

N₃





 (Hacsaliho§lu 2000).

Tanm 2.2.11. α : I → Eⁿ ve α^∗ : I → Eⁿ diferensiyellenebilir iki e§ri olmak üzere bu e§rilerin Frenet çatlar sras ile {T, N1, N₂, . . . , N_n−1}ve {T^∗, N₁^∗, N₂^∗, . . . , N_n−1^∗ } olsun. ∀s ∈ I için α e§risinin N1(s) asli normal vektörü ile α^∗ e§risinin N1^∗(s) asli normal vektörü lineer ba§ml ise (α, α^∗)ikilisine bir Bertrand e§ri çifti, α e§risine de bir Bertrand e§ri ad verilir (Hacsaliho§lu 2000).

(21)

ekil 2.2 3-boyutlu Öklid uzaynda bir Bertrand e§ri çiftinin geometrisi

Teorem 2.2.2. E³, 3-boyutlu Öklid uzaynda α ve α^∗ e§rileri (I, α) ve (I, α^∗)koordinat kom³ulu§u ile verilsin. α e§risinin α(s) noktas ile α^∗ e§risinin α^∗(s)noktalar

arasndaki uzaklk sabittir (Hacsaliho§lu 2000).

Teorem 2.2.3. E³, 3-boyutlu Öklid uzaynda (α, α^∗) bir Bertrand e§ri çifti olsun.

λ sabit bir reel say olmak üzere

α^∗(s) = α(s) + λN (s) (2.1)

yazlr (Hacsaliho§lu 2000).

Teorem 2.2.4. E³, 3-boyutlu Öklid uzaynda (α, α^∗)Bertrand e§ri çiftinin kar³lkl

noktalarndaki birim te§et vektörleri arasndaki aç sabittir (Hacsaliho§lu 2000).

Teorem 2.2.5. E³, 3-boyutlu Öklid uzaynda (α, α^∗) Bertrand e§ri çiftinin birim te§et vektörleri arasndaki aç θ olmak üzere Frenet vektörleri arasnda





 T^∗ N^∗ B^∗







=







cos θ 0 − sin θ

0 1 0

sin θ 0 cos θ











 T N B





 ba§nts vardr (Hacsaliho§lu 2000).

(22)

Teorem 2.2.6. E³, 3-boyutlu Öklid uzaynda (α, α^∗) bir Bertrand e§ri çifti olsun.

α e§risinin e§rilikleri κ ve τ olmak üzere bunlar arasnda

λκ + µτ = 1, µ = −λ cot θ ba§nts vardr (Hacsaliho§lu 2000).

2.3 Reel De§erli Kuaterniyonlar ve Serret-Frenet Formülleri

Bu bölümde 1833 ylnda Hamilton tarafndan tanmlanan reel kuaterniyon cebiri hakknda temel bilgiler verilecektir. Ayrca Bharathi ve Nagaraj tarafndan 3 ve 4 boyutlu Öklid uzaylarnda kuaterniyonik e§riler için elde edilen Serret-Frenet for- mülleri ispatsz olarak yer alacaktr. Bu bölümle ilgili ayn zamanda (Karada§ 1992) çal³masna da baklabilir.

Tanm 2.3.1. Bir reel kuaterniyon, sral dört saynn 1 ,~e1, ~e2, ~e3 gibi dört birime e³lik etmesiyle tanmlanabilir. Burada, birinci birim 1 bir reel saydr, di§er üç birim ise

e²₁ = e²₂ = e²₃ = −1 (2.2)

e₁∧ e₂ = e₃, e₂∧ e₃ = e₁, e₃∧ e₁ = e₂ (2.3) e₂∧ e₁ = −e₃, e₃∧ e₂ = −e₁, e₁∧ e₃ = −e₂ (2.4) özeliklerine sahiptir. Böylece reel kuaterniyonlarn cümlesi

K = {q = a₀+ a₁e₁+ a₂e₂+ a₃e₃| a_i ∈ R}

ile verilir. Bir reel kuaterniyon q = Sq+ Vqbiçiminde ifade edilebilir, burada Sq = a0

ve Vq= a₁e₁+ a₂e₂+ a₃e₃ srasyla q kuaterniyonunun skalar ve vektörel ksm olarak adlandrlr (Hacsaliho§lu 1983).

(23)

Tanm 2.3.2. q = Sq + V_q ve p = Sp + V_p iki reel kuaterniyon olsun. q ile p kuaterniyonlarnn çarpm

q × p = S_qS_p− hV_q, V_pi + S_qV_p+ S_pV_q+ V_q∧ V_p

biçiminde tanmlanr. Özel olarak q ve p reel kuaterniyonlarnn skalar ksmlar 0 ise

q × p = −hV_q, V_pi + V_q∧ V_p biçimindedir (Hacsaliho§lu 1983).

Tanm 2.3.3. q = Sq+ V_q bir reel kuaterniyon olmak üzere ¯q = Cq = Sq− V_q reel kuaterniyonuna q kuaterniyonunun e³leni§i denir (Hacsaliho§lu 1983).

Tanm 2.3.4.

h : K × K → R

(p, q) 7→ h(p, q) = 1

2[p × ¯q + q × ¯p]

biçiminde tanml dönü³üm simetrik, reel de§erli, non-dejenere ve bilineer formdur.

Bu durumda bir q reel kuaterniyonunun normu N_q= kqk² = q × ¯q = ¯q × q biçiminde tanmlanr (Bharati ve Nagaraj 1987, Tuna 2002).

Teorem 2.3.1. 3-boyutlu Öklid uzay uzaysal kuaterniyonlarn cümlesi olan K0 = {q ∈ K | q + ¯q = 0} ile e³lensin. I = [0, 1], reel eksende birim aralk olsun.

α : I ⊂ R → K, s 7→ α(s) =

3

X

i=1

α_i(s)e_i

sfrdan farkl {k, r} e§riliklerine ve {t, n, b} Frenet çatsna sahip birim hzl bir e§ri olsun. Bu durumda α e§risinin Frenet formülleri

d ds





 t n b







=







0 κ 0

−κ 0 r

0 −r 0











 t n b







(24)

biçiminde tanmlanr, burada k e§rinin asli e§rili§i, r ise e§rinin burulmasdr (Bharati ve Nagaraj 1987).

Teorem 2.3.2. 4-boyutlu Öklid uzay birim kuaterniyonlarn uzay ile tanmlanabilir. I = [0, 1] birim aralk olmak üzere

β : I ⊂ R → K

s 7→ β(s) =

4

X

i=1

α_i(s)e_i, 1 ≤ i ≤ 4, e₄ = 1

e§risi E⁴ Öklid uzaynda {K, k, r −K} e§riliklerine ve {T, N, B1, B₂}Frenet çatsna sahip düzgün bir e§ri olsun. Bu durumda β e§risinin Frenet formülleri

d ds





 T N B₁ B₂







=







0 K 0 0

−K 0 k 0

0 −k 0 (r − K)

0 0 −(r − K) 0











 T N B₁ B₂







biçiminde verilir, burada K e§rinin asli e§rili§i, k burulmas ve (r−K) ise bitorsiyon- udur. Ayrca k ve r, srasyla, β e§risi ile ili³kili α e§risinin asli e§rili§i ve burulmasdr (Bharati ve Nagaraj 1987).

(25)

3. YÜKSEK BOYUTLU ÖKLD UZAYLARINDA NON-DEJENERE BERTRAND ERLER

Tezin bu bölümünde n > 3 boyutlu Öklid uzaylarnda non-dejenere e§riler ile ilgili Bertrand e§ri tanmlarn ve karakterizasyonlarn verece§iz. Ancak 3.3 alt bölümü 3.2 alt bölümüne benzer ³ekilde ifade edilebilece§inden teoremler ispatsz olarak verilecektir.

3.1 4-boyutlu Öklid Uzaynda Bertrand E§rileri

Bu kesimde Matsuda ve Yorozu tarafndan yaplan Bertrand e§ri tanmn ve bu tanmla ilgili teoremleri ispatlar ile birlikte verece§iz. Öncelikle bu tip bir Bertrand e§ri tanmnn ortaya çkarlmasnn sebebi olan Teorem 3.1.1 a³a§da ispat ile birlikte yer alacaktr.

Teorem 3.1.1. n-boyutlu (n ≥ 4) bir Öklid uzaynda non-dejenere bir e§rinin kendisinden ba³ka Bertrand e§ri çifti yoktur (Matsuda ve Yorozu 2003).

spat. n = 4 alarak ispat yapalm. n > 4 için ispat benzer ³ekilde yaplabilir. E⁴ Öklid uzaynda bir c = c(s) : I → E⁴ birim hzl e§risi verilsin. c e§risinin Frenet çats {T, N1, N₂, N₃} olmak üzere Frenet denklemleri

d ds





 T N₁ N₂ N₃













0 k₁ 0 0

−k₁ 0 k₂ 0 0 −k₂ 0 k₃

0 0 −k₃ 0











 T N₁ N₂ N₃







(3.1)

biçimindedir. ¯c e§risinin, c e§risinin kendisinden farkl bir Bertrand çifti oldu§unu varsayalm. ¯c e§risinin Frenet çatsn { ¯T , ¯N₁, ¯N₂, ¯N₃} ile gösterelim. O halde

¯

c(¯s) = ¯c(ϕ(s)) = c(s) + α(s)N₁(s) (3.2)

(26)

yazlabilir. Buradan s parametresine göre türev alnarak d¯c(¯s)

ds d¯s

ds = c⁰(s) + α⁰(s)N₁(s) + αN₁⁰(s) ve (3.1) denklemi yardmyla

T (ϕ(s))ϕ¯ ⁰(s) = (1 − k₁(s)α(s))T (s) + α⁰(s)N₁(s) + α(s)k₂(s)N₂(s) (3.3) bulunur. E³itli§in her iki taraf ¯N₁(ϕ(s))ile iç çarpm yaplarak ve N1(s)ile ¯N₁(ϕ(s)) lineer ba§ml oldu§undan ¯N₁(ϕ(s)) = ±N₁(s) alnarak

h ¯T (ϕ(s))ϕ⁰(s), ¯N₁(ϕ(s))i

| {z }

=0

= (1 − k₁(s)α(s)) hT (s), ¯N₁(ϕ(s))i

| {z }

=0

+α⁰(s) hN₁(s), ¯N₁(ϕ(s))i

| {z }

=1

+α(s)k₂(s) hN₂(s), ¯N₁(ϕ(s))i

| {z }

=0

elde edilir. O halde ∀s ∈ I için α⁰(s) = 0 olup α(s) sabit bir fonksiyon olarak elde edilir. (3.3) denklemi α(s) = sbt. alnp yeniden düzenlenirse

T (ϕ(s)) =¯ 1 − k1(s)α(s)

ϕ⁰(s) T (s) + α(s)k2(s)

ϕ⁰(s) N₂(s) (3.4) bulunur. k ¯T (ϕ(s))k = 1 oldu§undan

1 − k₁(s)α(s)

ϕ⁰(s) = cos θ(s), α(s)k₂(s)

ϕ⁰(s) = sin θ(s) (3.5) e³itlikleri yardmyla (3.4) denklemi

T (ϕ(s)) = cos θ(s)T (s) + sin θ(s)N¯ ₂(s) (3.6)

³eklinde yeniden düzenlenebilir. Ayrca (3.5) denkleminden açktr ki

ϕ⁰(s) =p

(1 − k₁(s)α(s))²+ (α(s)k₂(s))² (3.7) olur. (3.6) denkleminin s parametresine göre türev alnp (3.1) denklemi kullanlarak

k¯₁(s) ¯N₁(ϕ(s))ϕ⁰(s) = − θ⁰(s) sin θ(s)T (s) + (cos θ(s)k₁(s) − sin θ(s)k₂(s))N₁(s) + θ⁰(s) cos θ(s)N₂(s) + sin θ(s)k₃(s)N₃(s) (3.8) e³itli§ine ula³lr. ¯N₁ k N₁ oldu§undan dolay e³itli§in sa§ tarafnda T , N2 ve N3

(27)

olmaldr. E§ri non-dejenere oldu§undan dolay k2(s) 6= 0 ve k3(s) 6= 0'dr. O halde sin θ(s) = 0ve dolaysyla α(s) = 0 olur.

Sonuçta ¯c(ϕ(s)) = c(s) olur ki bu bir çeli³kidir. Buna göre 4-boyutlu Öklid uzaynda bir e§rinin Bertrand çifti sadece kendisidir. Ba³ka bir deyi³le kendisinden farkl Bertrand çifti yoktur.

Matsuda ve Yorozu 4-boyutlu Öklid uzaynda non-dejenere e§riler için yeni bir Bertrand e§ri türetme metodu öne sürmü³ ve bu e§rileri (1, 3)-Bertrand e§rileri olarak adlandrm³tr.

Tanm 3.1.1. E⁴ Öklid uzaynda c = c(s) ve ¯c = ¯c(ϕ(s)) = ¯c(¯s) birim hzl e§rileri ele alalm, burada ϕ : s 7→ ϕ(s) = ¯s biçiminde düzgün bir dönü³ümdür. c ve ¯c e§rilerinin Frenet elemanlar, sras ile, {T, N1, N₂, N₃, k₁, k₂, k₃}ve { ¯T , ¯N₁, ¯N₂, ¯N₃, ¯k₁, ¯k₂, ¯k₃} ile verilsin. d¯s/ds 6= 0 olmak üzere, e§er c e§risinin N1 ve N3 Frenet vektörleri tarafndan gerilen düzlem ile ¯c e§risinin ¯N₁ ve ¯N₃ Frenet vektörleri tarafndan gerilen düzlem kar³lkl noktalarda çak³yorsa, yani ³ekil 3.1'de görüldü§ü üzere

span{N1(s), N₃(s)} =span{ ¯N₁(¯s), ¯N₃(¯s)}

oluyorsa c ve ¯c e§rileri (1, 3)-Bertrand e§ri çifti olarak adlandrlr (Matsuda ve Yorozu 2003).

ekil 3.1 Bir (1, 3)-Bertrand çiftinin geometrisi

(28)

Teorem 3.1.2. c : I → E⁴ e§risi e§rilik fonksiyonlar k1, k₂, k₃ ve Frenet vektör- leri T, N1, N2, N3 olan bir Frenet e§risi olsun. c e§risinin bir (1, 3)-Bertrand e§risi olmas için gerek ve yeter ³art α, β, γ, δ uygun reel sabitleri için a³a§daki ³artlarn sa§lanmasdr.

(i) αk2(s) − βk₃(s) 6= 0,

(ii) αk1(s) + γ(αk₂(s) − βk₃(s)) = 1, (iii) γk1(s) − k₂(s) = δk₃(s),

(iv) (γ²− 1)k₁(s)k₂(s) + γ(k₁²(s) + k₂²(s) + k₃²(s)) 6= 0,

(Matsuda ve Yorozu 2003).

spat. (⇒:) c e§risi s yay parametreli bir (1, 3)-Bertrand e§risi olmak üzere bu e§rinin (1, 3)-Bertrand çifti

¯

c(¯s) = ¯c(ϕ(s)) = c(s) + α(s)N₁(s) + β(s)N₃(s) (3.9) biçiminde yazlr. Bu denklemin s parametresine göre türevi alnarak

d¯c(¯s) d¯s

d¯s

ds = c⁰(s) + α⁰(s)N₁(s) + α(s)N₁⁰(s) + β⁰(s)N₃(s) + β(s)N₃⁰(s) bulunur. Buradan (3.1) denklemi kullanlarak

T (¯¯ s)ϕ⁰(s) = T (s) + α⁰(s)N₁(s) + α(s){−k₁(s)T (s) + k₂(s)N₂(s)}

+β⁰(s)N₃(s) − β(s)k₃(s)N₂(s) (3.10) e³itli§i elde edilir. Di§er yandan span{N1(s), N₃(s)} =span{ ¯N₁(¯s), ¯N₃(¯s)}oldu§undan dolay N1 ile ¯N₁ arasndaki aç θ olmak üzere

N¯1(ϕ(s)) = cos θ(s)N1(s) + sin θ(s)N3(s) (3.11) N¯₃(ϕ(s)) = − sin θ(s)N₁(s) + cos θ(s)N₃(s) (3.12)

(29)

yazlabilir. O halde (3.10) denkleminin her iki taraf ¯N₁(ϕ(s)) ve ¯N₃(ϕ(s)) ile iç çarplrsa, son iki e³itlik kullanlarak

hϕ⁰(s) ¯T (ϕ(s)), ¯N₁(ϕ(s))i = α⁰(s) cos θ(s) + β⁰(s) sin θ(s) = 0 hϕ⁰(s) ¯T (ϕ(s)), ¯N₃(ϕ(s))i = −α⁰(s) sin θ(s) + β⁰(s) cos θ(s) = 0

e³itlikleri elde edilir. Bu e³itlikler ortak çözülerek α⁰(s) = 0 ve β⁰(s) = 0 bulunur.

O halde α(s) = α = (sbt.) ve β(s) = β = (sbt.) yazlabilir. Buradan (3.9) denklemi

¯

c(¯s) = c(s) + αN1(s) + βN3(s) biçiminde (3.10) denklemi de

ϕ⁰(s) ¯T (ϕ(s)) = (1 − αk₁(s))T (s) + (αk₂(s) − βk₃(s))N₂(s) (3.13) biçiminde yeniden düzenlenebilir, burada

(ϕ⁰(s))² = (1 − αk₁(s))²+ (αk₂(s) − βk₃(s))² 6= 0 (3.14) sa§lanr ve

T (ϕ(s)) =¯ 1 − αk₁(s)

ϕ⁰(s) T (s) + αk₂(s) − βk₃(s) ϕ⁰(s) N₂(s) elde edilir. Bu denklem, 1 − αk₁(s)

ϕ⁰(s) = cos ζ(s) ve αk₂(s) − βk₃(s)

ϕ⁰(s) = sin ζ(s) alnarak

T (ϕ(s)) = cos ζ(s)T (s) + sin ζ(s)N¯ ₂(s) (3.15) biçiminde yeniden yazlabilir. Buradan da s parametresine göre türev alnp Frenet denklemleri kullanlarak

¯k1(ϕ(s)) ¯N1(ϕ(s))ϕ⁰(s) = d cos(ζ(s))

ds T (s) + {k1(s) cos(ζ(s)) − k2(s) sin(ζ(s))}N1(s) +d sin(ζ(s))

ds N₂(s) + k₃(s) sin(ζ(s))N₃(s)

(3.16) elde edilir. Buna göre, ¯N₁(ϕ(s)) vektörü N1(s)ile N3(s)vektörlerinin lineer kombinasyonu ³eklinde yazld§ndan

d cos(ζ(s))

ds ≡ 0, d sin(ζ(s))

ds ≡ 0

(30)

olur ki buradan ζ⁰(s) = 0elde edilir. O halde ζ(s) sabit bir fonksiyon olup ζ(s) = ζ0

yazlabilir. Bu durumda (3.15) denklemi

T (ϕ(s)) = cos ζ¯ ₀T (s) + sin ζ₀N₂(s) (3.17) biçiminde yeniden düzenlenebilir. Dolaysyla

1 − αk₁(s)

ϕ⁰(s) = cos ζ0, αk₂(s) − βk₃(s)

ϕ⁰(s) = sin ζ0

yazlr. Buradan,

ϕ⁰(s) cos ζ₀ = 1 − αk₁(s) (3.18) ve

ϕ⁰(s) sin ζ₀ = αk₂(s) − βk₃(s) (3.19) olup

(1 − αk₁(s)) sin ζ₀ = (αk₂(s) − βk₃(s)) cos ζ₀ (3.20) bulunur. E§er sin ζ0 = 0 ise cos ζ0 = ±1 olur. Buradan (3.17) denklemi

T (ϕ(s)) = ±T (s)¯

biçiminde ifade edilebilir. O halde s parametresine göre türev alnarak kolayca görülebilir ki ¯N₁(ϕ(s)) = ±N₁(s) sa§lanr. Bu ise Teorem 3.1.1 ile çeli³ir. Bundan dolay sin ζ0 6= 0 olmaldr. Buna göre (3.19) denkleminden αk2(s) − βk3(s) 6= 0 olmaldr ki bu da (i) ko³ulunu do§rular.

sin ζ₀ 6= 0 oldu§undan (3.20) denklemi kullanlarak αk₁(s) + {cos ζ0

sin ζ₀}(αk₂(s) − βk₃(s)) = 1 bulunur. γ = cos ζ₀

sin ζ₀ ∈ R alnrsa yukardaki e³itlik

αk₁(s) + γ(αk₂(s) − βk₃(s)) = 1 olarak ifade edilebilir ki bu da (ii) ko³ulunu gerçekler.

(3.17) denkleminden s parametresine göre türev alnp (3.1) denklemi kullanlarak

(31)

e³itli§ine ve buradan da

(ϕ⁰(s)¯k₁(ϕ(s)))² = (k₁(s) cos ζ₀− k₂(s) sin ζ₀)²+ (k₃(s) sin ζ₀)²

e³itli§ine ula³lr. (3.18) ve (3.19) denklemlerinden cos ζ0 ve sin ζ0 e³itlikleri yukardaki denklemde yerine yazlp (ii) ko³uluna göre ifade düzenlenirse

(ϕ⁰(s)¯k₁(ϕ(s)))² = (αk₂(s) − βk₃(s))²{( 1 − αk₁(s)

αk₂(s) − βk₃(s)k₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²}

= (αk₂(s) − βk₃(s))²{(γk₁(s) − k₂(s))² + (k₃(s))²} (3.21) elde edilir. (3.14) denklemi ve (ii) ko³ulu birlikte kullanlarak

(ϕ⁰(s))² = (γ²+ 1)(αk₂(s) − βk₃(s))² ve bu e³itli§in (3.21) denkleminde yerine yazlmasyla

(ϕ⁰(s)¯k₁(ϕ(s)))² = 1

γ²+ 1{(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²} (3.22) denklemine ula³lr. (3.18) ve (3.19) denklemleri ile (ii) ko³ulu birlikte göz önüne alnrsa

N¯1(ϕ(s)) = cos η(s)N1(s) + sin η(s)N3(s) (3.23) yazlabilir, burada

cos η(s) = (αk₂(s) − βk₃(s))(γk₁(s) − k₂(s))

¯k₁(ϕ(s))(ϕ⁰(s))² (3.24) ve

sin η(s) = (αk₂(s) − βk₃(s))k₃(s)

¯k₁(ϕ(s))(ϕ⁰(s))² (3.25) biçimindedir.

(3.23) denkleminin s parametresine göre türevi alnp (3.1) denklemi kullanlrsa

ϕ⁰(s)(−¯k₁(¯s) ¯T (¯s) + ¯k₂(¯s) ¯N₂(¯s)) = d cos η(s)

ds N₁(s) +d sin η(s) ds N₃(s)

−k₁(s) cos η(s)T (s)

+(k₂(s) cos η(s) − k₃(s) sin η(s))N₂(s)

(32)

elde edilir. Bu e³itlikte sol taraf T (s) ve N2(s)'nin lineer kombinasyonu biçiminde yazlabilece§i için

d cos η(s)

ds = 0, d sin η(s) ds = 0

bulunur. Bu durumda η(s) = η0 sabit bir fonksiyondur. O halde δ = cos η₀

sin η₀ sabittir.

(3.24) ve (3.25) denklemlerinden δ = cos η₀

sin η0

= γk₁(s) − k₂(s) k3(s)

dir, yani γk1(s) − k₂(s) = δk₃(s) olup (iii) ko³ulu gerçeklenir.

Dahas η(s) sabit fonksiyon oldu§undan

ϕ⁰(s)(−¯k₁(¯s) ¯T (¯s) + ¯k₂(¯s) ¯N₂(¯s)) = −k₁(s) cos η₀T (s)

+(k₂(s) cos η₀ − k₃(s) sin η₀)N₂(s) olur. Bu denklem ve (3.13) denklemi birlikte kullanlarak

ϕ⁰(s)¯k₂(¯s) ¯N₂(¯s) = ϕ⁰(s)¯k₁(¯s) ¯T (¯s) − k₁(s) cos η₀T (s) +(k₂(s) cos η₀− k₃(s) sin η₀)N₂(s)

= (ϕ⁰(s))⁻¹ ¯k₁(ϕ(s))−1

{A(s)T (s) + B(s)N₂(s), } olup, burada

A(s) = {ϕ⁰(s)¯k₁(ϕ(s))}²(1 − αk₁(s)) − k₁(s)(αk₂(s) − βk₃(s))(γk₁(s) − k₂(s)) ve

B(s) = {ϕ⁰(s)¯k₁(ϕ(s))}²(αk₂(s) − βk₃(s)) + (αk₂(s) − βk₃(s))(γk₁(s) − k₂(s))k₂(s)

−(αk₂(s) − βk₃(s))(k₃(s))²

biçimindedir. (3.22) denklemi ve (ii) ko³ulu ile birlikte göz önüne alnarak A(s) ve B(s) ifadeleri

A(s) = −(γ²+ 1)⁻¹(αk2(s) − βk3(s))

×(γ²− 1)k₁(s)k₂(s) + γ{(k₁(s))²− (k₂(s))² − (k₃(s))²} ve

B(s) = γ(γ²+ 1)⁻¹(αk2(s) − βk3(s))

(33)

biçiminde yeniden düzenlenebilir. Buradan ∀s ∈ I için ϕ⁰(s)¯k₂(ϕ(s)) ¯N₂(ϕ(s)) 6= 0 oldu§undan

(γ²− 1)k1(s)k2(s) + γ{(k1(s))²− (k2(s))²− (k3(s))²} 6= 0 sa§lanr ki bu da (iv) ko³ulunu kantlar.

(⇐:) Varsayalm ki c : I → E⁴ e§risi e§rilikleri k1, k2, k3 olan bir C^∞ Frenet e§risi olsun. Ayrca c e§risi α, β, γ ve δ sabitleri için (i), (ii), (iii) ve (iv) ³artlarn sa§lasn.

Bir düzgün ¯c e§risi

¯

c(s) = c(s) + αN₁(s) + βN₃(s) (3.26) biçiminde tanmlansn. Burada s, c e§risinin yay parametresidir. (3.26) e³itli§inden s parametresine göre türevi alnp (3.1) denklemi kullanlrsa

d¯c(s)

ds = (1 − αk₁(s))T (s) + (αk₂(s) − βk₃(s))N₂(s) elde edilir. Buradan da (ii) ko³ulu kullanlrsa

d¯c(s)

ds = (αk₂(s) − βk₃(s))(γT (s) + N₂(s)) (3.27) bulunur. (i) ko³ulu sa§land§ndan ¯c e§risi regüler bir e§ridir. Bu durumda

¯

s = ϕ(s) =

s

Z

0

d¯c(t) dt

dt (∀s ∈ I)

biçiminde tanml regüler bir ϕ : I → ¯I dönü³ümü mevcuttur. Burada ¯s, ¯c e§risinin yay parametresidir. Bu durumda

ϕ⁰(s) = εp

γ²+ 1(αk₂(s) − βk₃(s)) > 0 (3.28) elde edilir. Burada αk2(s) − βk₃(s) > 0 ise ε = 1 ve αk2(s) − βk₃(s) < 0 ise ε = −1'dir. Dolaysyla ¯c e§risi

¯

c(¯s) = ¯c(ϕ(s)) = c(s) + αN₁(s) + βN₃(s)

biçiminde yeniden yazlabilir. Bu ifadenin s parametresine göre türevi alnarak

ϕ⁰(s)d¯c(¯s) d¯s

s=ϕ(s)¯

= (αk₂(s) − βk₃(s))(γT (s) + N₂(s)) (3.29)

(34)

bulunur. Bu durumda ∀¯s ∈ ¯I için ¯c boyunca ¯T (¯s) = d¯c(¯s)/d¯s biçiminde bir birim T¯ vektör alan tanmlanabilir. (3.28) ve (3.29) denklemlerinden

T (ϕ(s)) = ε(γ¯ ²+ 1)^−1/2{γT (s) + N₂(s)} (3.30) e³itli§ine ula³lr. Bu denklemin s parametresine göre türevi alnp (3.1) denklemi kullanlrsa

ϕ⁰(s)d ¯T (¯s) d¯s

¯s=ϕ(s)

= ε(γ²+ 1)^−1/2{(γk₁(s) − k₂(s))N₁(s) + k₃(s)N₃(s)}

ve buradan da

d ¯T (¯s)

¯ s

¯s=ϕ(s)

= p(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))² ϕ⁰(s)pγ²+ 1

elde edilir. Her s ∈ I için k3(s) > 0 oldu§undan dolay

k¯₁(ϕ(s)) =

d ¯T (¯s) d¯s

¯s=ϕ(s)

> 0 (3.31)

bulunur. Bu durumda her s ∈ I için ¯c e§risi boyunca N¯₁(¯s) = ¯N₁(ϕ(s))

= 1

k¯₁(ϕ(s)) d ¯T (¯s)

d¯s ¯s=ϕ(s)

= 1

εp(γk1(s) − k2(s))²+ (k3(s))²{(γk₁(s) − k₂(s))N₁(s) + k₃(s)N₃(s)}

biçiminde bir ¯N₁ vektör alan tanmlanabilir. Dolaysyla

N¯1(ϕ(s)) = cos ξ(s)N1(s) + sin ξ(s)N3(s) (3.32) yazlabilir, burada

cos ξ(s) = γk₁(s) − k₂(s)

εp(γk1(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))² (3.33) ve

sin ξ(s) = k₃(s)

εp(γk1(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))² > 0 (3.34)

(35)

biçimindedir ve ξ fonksiyonu I üzerinde bir C^∞-fonksiyondur. (3.32) denkleminin s parametresine göre türevi alnp Frenet denklemleri kullanlrsa

ϕ⁰(s)d ¯N1(¯s) d¯s

¯s=ϕ(s)

= −k₁(s) cos ξ(s) T (s) + d cos ξ(s) ds N₁(s) +{k₂(s) cos ξ(s) − k₃(s) sin ξ(s)} N₂(s) +d sin ξ(s)

ds N3(s)

bulunur. (iii) ko³ulundaki e³itli§in s parametresine göre türevi alnrsa

(γk⁰₁(s) − k⁰₂(s))k₃(s) − (γk₁(s) − k₂(s))k⁰₃(s) ≡ 0 (3.35) elde edilir. (3.33) ve (3.34) denklemlerinin s parametresine göre türevleri alnp (3.35) denkleminde kullanlrsa

d cos ξ(s)

ds ≡ 0, d sin ξ(s) ds ≡ 0

oldu§u açktr. Bu durumda ξ sabit bir fonksiyon olup ξ = ξ0 alnabilir. O halde γk₁(s) − k₂(s)

εp(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))² = cos ξ₀ (3.36) ve

k3(s)

εp(γk1(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))² = sin ξ₀ > 0 (3.37) yazlr. (3.32) denkleminden

N¯1(ϕ(s)) = cos ξ0N1(s) + sin ξ0N3(s) (3.38) sa§lanr. Dolaysyla, (3.30) ve (3.31) denklemlerinden

k¯₁(ϕ(s)) ¯T (ϕ(s)) = (γk₁(s) − k₂(s))² + (k₃(s))²

εϕ⁰(s)(γ²+ 1)p(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²(γT (s) + N₂(s)) elde edilir. Ayrca (3.36)-(3.38) denklemlerinden her s ∈ I için

d ¯N₁(¯s) d¯s

_¯_s=ϕ(s)

= −k₁(s)(γk₁(s) − k₂(s))

εϕ⁰(s)p(γk1(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²T (s) + k₂(s)(γk₁(s) − k₂(s)) − (k₃(s))²

εϕ⁰(s)p(γk1(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²N2(s) elde edilir. Yukardaki e³itlikler kullanlarak

d ¯N₁(¯s) d¯s

¯s=ϕ(s)

+ ¯k₁(ϕ(s)) ¯T (ϕ(s)) = P (s)

R(s)T (s) + Q(s) R(s)N₂(s)

(36)

bulunur. Burada

P (s) = −γ{(k₁(s))² − (k₂(s))²− (k₃(s))²} + (γ²− 1)k₁(s)k₂(s) Q(s) = γγ{(k1(s))²− (k₂(s))²− (k₃(s))²} + (γ²− 1)k₁(s)k₂(s)

R(s) = ε(γ²+ 1)ϕ⁰(s)p

(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))² 6= 0

biçimindedir. (iii) ko³ulundan her s ∈ I için P (s) 6= 0 oldu§u görülür. O halde

¯k₂(ϕ(s)) =

d ¯N₁(¯s) d¯s

s=ϕ(s)¯

+ ¯k₁(ϕ(s)) ¯T (ϕ(s))

= |γ{(k₁(s))²− (k₂(s))²− (k₃(s))²} + (γ²− 1)k₁(s)k₂(s)|

ϕ⁰(s)pγ²+ 1p(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²

> 0

olup her s ∈ I için ¯c e§risi boyunca N¯2(¯s) = ¯N2(ϕ(s))

= 1

¯k2(ϕ(s))

d ¯N1(¯s) d¯s

s=ϕ(s)¯

+ ¯k₁(ϕ(s)) ¯T (ϕ(s))

! , yani,

N¯₂(ϕ(s)) = 1

εpγ²+ 1(−T (s) + γN₂(s)) (3.39) biçiminde bir ¯N₂ birim vektör alan tanmlanabilir. Dolaysyla her s ∈ I için ¯c e§risi boyunca

N¯3(¯s) = ¯N3(ϕ(s))

= 1

εp(γk₁(s) − k₂(s))²+ (k₃(s))²{−k₃(s)N₁(s) + (γk₁(s) − k₂(s))N₃(s)}, yani,

N¯₃(ϕ(s)) = − sin ξ₀N₁(s) + cos ξ₀N₃(s) (3.40) biçiminde bir ¯N₃ birim vektör alan tanmlanabilir. (3.30), (3.38)-(3.40) denklemlerinden

detT (ϕ(s)), ¯¯ N1(ϕ(s)), ¯N2(ϕ(s)), ¯N3(ϕ(s)) = det T (s), N1(s), N2(s), N3(s) = 1 bulunur. Ayrca her s ∈ I ve i, j = 1, 2, 3 için