Bertrand eğrilerinin lorentz uzaylarına uygulaması

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BERTRAND EĞRİLERİNİN LORENTZ UZAYLARINA

UYGULAMASI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Aslı BAYKAL

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Doç. Dr. Murat TOSUN

Temmuz 2007

T.C.

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BERTRAND EĞRİLERİNİN LORENTZ UZAYLARINA

UYGULAMASI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Aslı BAYKAL

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Bu tez 25/07/2007 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği ile kabul edilmiştir.

Doç. Dr. Murat TOSUN Doç.Dr. İbrahim OKUR Yrd.Doç.Dr.İbrahim ÖZGÜR

Jüri Başkanı Üye Üye

TEŞEKKÜR

Öncelikle bu tezi hazırlamamda en büyük paya sahip danışmanım Doç. Dr. Murat TOSUN’a, çalışmalarım sırasında benden hiçbir zaman yardımlarını esirgemediği için en içten teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.

Tezimi hazırlarken bana her konuda destek olan aileme de teşekkürlerimi sunarım.

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER ... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... v

ÖZET... vi

SUMMARY... vii

BÖLÜM 1. ÖKLİD UZAYINDA TEMEL KAVRAMLAR... 1

1.1. Afin Uzay... 1

1.2. Öklid Uzayı………... 1

1.3 Uzaklık…………... 2

1.4. Öklid Metriği………... 2

BÖLÜM 2. LORENTZ UZAYINDA TEMEL KAVRAMLAR 4 2.1. Simetrik Bilineer Form... 4

2.2. Simetrik Bilineer Formun İndeksi... 5

2.3. n-Boyutlu Lorentz Uzayı……... 6

2.4. L³.de Vektörel Çarpım... 8

2.5. Metrik Tensör……….………... 9

2.6. Yarı Riemann Manifoldu... 10

2.7. Lorentz Manifoldu... 10

2.8. Lorentz Antimanifoldu……... 10

BÖLÜM 3. Eⁿ, n-BOYUTLU ÖKLİD UAZYINDA BERTAND EĞRİLERİ 11 3.1. Bertrand Eğri Çifti……… 12

3.2. Manhiem’ın Teoremi….………….………. 17

3.3. Eğilim Ekseni……….………..……… 19

3.4. Birinci. Harmonik Eğrilik………. 19

3.5. i. Merteneden Harmonik Eğrilik………... 20

BÖLÜM 4. Lⁿ LORENTZ UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİ 4.1. Lorentz Uzayında Bertrand Eğri Çifti………... 33

4.2. Schell’in Teoremi………. 40

4.3. Manhiem’in Teoremi……… 40

KAYNAKLAR……….. 45

ÖZGEÇMİŞ……….……….. 46

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

R : Reel sayılar cümlesi

V : Vektör uzayı

〉

〈, : İç çarpım

〉L

〈, : Lorentz anlamında iç çarpım Lⁿ : n boyutlu Lorentz Uzayı

, : Norm

∧L : L³ te Lorentz anlamında vektörel çarpım

M : Lorentz Alt Manifoldu

)

χ(M : M üzerinde vektör alanlar cümlesi (M,〈,〉) : Lorentz Manifoldu

Hİ : M nin i. Mertebeden harmonik eğrilikleri fonksiyonu (I,α) : Koordinat Komşuluğu

S^P : Oskülatör p-küresi

∀ : Her

M : C Manifoldu ^∞

J : İnsclusion dönüşümü

[ ]

^f

V : Vektör alanı yönünde türev

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

R : Reel sayılar cümlesi

V : Vektör uzayı

〉

〈, : İç çarpım

〉L

〈, : Lorentz anlamında iç çarpım Lⁿ : n boyutlu Lorentz Uzayı

, : Norm

∧L : L³ te Lorentz anlamında vektörel çarpım

M : Lorentz Alt Manifoldu

)

χ(M : M üzerinde vektör alanlar cümlesi (M,〈,〉) : Lorentz Manifoldu

Hİ : M nin i. Mertebeden harmonik eğrilikleri fonksiyonu (I,α) : Koordinat Komşuluğu

S^P : Oskülatör p-küresi

∀ : Her

M : C Manifoldu ^∞

J : İnsclusion dönüşümü

[ ]

^f

V : Vektör alanı yönünde türev

BÖLÜM 1.ÖKLİD UZAYINDA TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 1.1. (Afin Uzay)

Boş olmayan bir cümle A ve bir K cismi üstünde bir vektör uzayı V olsun. Aşağıdaki önermeleri doğrulayan bir

V AxA

f : →

fonksiyonu varsa A ya V ile birleştirilmiş bir afin uzay denir.

(A1). ∀P,Q,R∈A için f (P,Q) + f (Q,R) = f (P,R)

(A2). ∀P∈A ve ∀α∈V için f (P,Q) = α olacak biçimde bir tek Q∈ noktası A vardır

[ ]

2 .

Tanım 1.2. (Öklid uzayı)

Bir reel afin uzay A ve Aile birleşen vektör uzayı da V olsun. V de bir iç çarpım işlemi olarak

R

VxV →

〉

〈, :

∑

= ⎩⎨⎧

=

= =

〉

〈

→ ⁿ

i n

i

i y y y

x x

y x x y

x

1 1

1

) ,..., (

) ,..., , (

) , (

tanımlanırsa. A’ya bir Öklid Uzayı adı verilir. Eğer A=Rⁿ ve V= Rⁿ alınırsa A=Rⁿ Öklid Uzayı, Standart Öklid Uzayı olarak isimlendirilir.

Tanım 1.3. (Uzaklık)

IR xE

E

d : ^{n n} →

∑

=

→ = −

=

→ ⁿ

i

i

i x

y xy

y x d y x

1

)2

( )

, ( )

, (

olarak tanımlanan d fonksiyonuna Eⁿ Öklid Uzayında uzaklık fonksiyonu ve d(x,y) reel sayısına da x,y∈Eⁿ noktaları arasındaki uzaklık denir.

Teorem 1.1.

En de uzaklık fonksiyonu bir metriktir

[ ]

2 . Tanım 1.4. (Öklid Metriği)

IR xE

E

d : ^{n n} →

= →

→ d x y xy

y

x, ) ( , )

(

biçiminde tanımlanan d fonksiyonuna Eⁿ de Öklid Metriği denir.

Tanım 1.5. (Açı)

E n

z y

x ∈

∀ , , için xyz^∧ açısının ölçüsü

→

→

→

→ 〉

= 〈

yz xy

yz cos θ xy ,

dan hesaplanan θ reel sayısıdır.

Tanım 1.6. (Öklid Çatısı)

En de sıralı bir

{

P₀,P₁,P₂,...,P_n

}

nokta n+1-lisine IRⁿ de karşılık gelen

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ ^{→ → →}

Pn

P P

P P

P_{0 1}, _{0 2},..., ₀ vektör n-lisi IRⁿ için bir ortonormal baz ise

{

P₀,P₁,P₂,...,P_n

}

sistemine Eⁿ in bir dik çatısı veya Öklid Çatısı adı verilir.

Tanım 1.7.

R

I ⊆ bir açık aralık olmak üzere, α :I⎯⎯→Eⁿ,

diferansiyellenebilen fonksiyona Eⁿ de bir eğri adı verilir. Burada I ⊆ aralığına α eğrisinin R parametre aralığı t∈I değişkenine de α eğrisinin parametresi denir.

BÖLÜM 2. LORENTZ UZAYINDA TEMEL KAVRAMLAR

Tanım 2.1.

V, bir reel vektör uzayı olsun.∀ ,a b∈Rve ∀ X, Y, Z∈ V için

< :,> VxV →R

dönüşümü aşağıdaki özelliklere sahipse V vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer formdur denir

[ ]

^{6 .}

1) < X,Y >=<Y,X >

2) <aX ±bY,Z >=a< X,Z >±b<Y,Z >

< X,aY ±bZ >=a< X,Y >±b< X,Z >

Tanım 2.2.

<,>, V bir reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olsun.

i) Eğer ∀v∈V,v≠0 için 〈 vv, 〉 0〉 oluyorsa <,> simetrik bilineer formuna, pozitif definit denir.

ii) Eğer ∀v∈V,v≠0 için 〈 vv, 〉 0〈 oluyorsa <,> simetrik bilineer formuna, negatif definit denir.

iii) Eğer ∀v∈V,v≠0 için 〈 vv, 〉 ≥0 oluyorsa <,> simetrik bilineer formuna, pozitif semi- definit denir.

iv) Eğer ∀v∈V,v≠0 için 〈 vv, 〉 ≤0 oluyorsa <,> simetrik bilineer formuna, negatif semi- definit denir.

v) ∀w∈V için 〈 v,v 〉 = 0 iken v = 0 oluyorsa <,> ya nondejenere simetrik bilineer form denir

[ ]

^{6 .}

Tanım 2.3.

V, bir reel vektör uzayı ve < :,>VxV →IR simetrik bilineer form olsun.

>

<, W:WxW →IR

negatif definit olacak şekilde en büyük boyutlu W alt uzayının boyutuna 〉〈, simetrik bilineer formun indeksi denir

[ ]

6 .

Tanım 2.4.

IRⁿ üzerinde Xr =(x₁,x₂,...,x_n)

ve Yr=(y₁,y₂,...,y_n)

olmak üzere

IR xIR

IR^{n n}

L →

>

<, :

1

, 1

) ,

(X Y →< X Y > _L =−x y + ⁿ _{i i}

i

y

∑

x

=2

şeklinde tanımlanan, simetrik, bilineer, nondejenere metrik tensörüne IRⁿ üzerinde Lorentz Metriği denir

[ ]

6 .

Bundan sonraki gösterimlerde aksi belirtilmedikçe <,> sembolü <,> _L anlamında kullanılacaktır.

Tanım 2.5.

Rn üzerinde Lorentz Metiriğinin tanımlanmasıyla meydana gelen

{

IRⁿ,<,>

}

ikilisine n- boyutlu Lorentz Uzayı denir ve Lⁿ ile gösterilir.

Tanım 2.6.

n

n L

x x x

Xr =( ₁, ₂,..., )∈

olsun.

<Xr Xr

, > <0 ise Xr

e time-like vektör,

<Xr Xr

, > >0 ise Xr

e space-like vektör

<Xr Xr

, > =0 ise Xr

e null veya light-like vektör

<Xr Xr

, > ≤ 0 ise Xr

e nonspace-like vektör denir

[ ]

6 . Tanım 2.7.

n,

L n-boyutlu Lorentz uzayı ve P∈ olsun. P noktasındaki bütün light-like (null) Lⁿ vektörlerinin cümlesine light-like koni (null koni) denir.

Tanım 2.8.

n,

L n-boyutlu Lorentz uzayı ve Xr Yr∈Lⁿ

, olsun.

<Xr Yr , > = 0

ise Xr ve Yr

vektörleri Lorentz anlamında diktirler denir

[ ]

^{6 .}

Tanım 2.9.

Ln

Xr ∈

için Xr

vektörünün normu diye;

1 , >

<

= X X

L

Xr r r

olarak tanımlanan . L reel gerçel sayısına denir

[ ]

6 .

Aksi belirtilmedikçe . sembolü . L yerine kullanılacaktır.

Teorem 2.1.

Ln

Xr ∈

olmak üzere;

i) 0Xr >

dır.

ii) Xr Xr

⇔

> 0 bir null vektördür.

iii) Xr

bir time-like vektör ise Xr =−< Xr Xr >

2 ,

iv) Xr

bir space-like vektör ise Xr =< Xr Xr >

2 ,

dır

[ ]

6 . Teorem 2.2.

L , n-boyutlu Lorentz uzayında iki time-like vektör n Xr , Yr

olsun.

Eğer Xr , Yr

vektörleri aynı time konide ise

ϕ ch Y X Y

Xr r r r

. , >=−

<

olacak şekilde Xr veYr

arasında hiperbolik açı diye adlandırılan bir tek ϕ ≥0 sayısı vardır

[ ]

^1.

Tanım 2.10 (Vektörel Çarpım)

) , , (x₁ x₂ x₃ Xr =

, Yr=(y₁,y₂,y₃)∈L³

olmak üzere,

3 3

:L3xL L

L →

∧

(

( )

) ,

(Xr Yr → Xr ∧ LYr = − x₂y₃ −x₃y₂

, x₃y₁−x₁y₃ , x₁y₂ −x₂y₁

)

şeklinde tanımlı ∧ L operatörüne L de Lorentz anlamında vektörel çarpım denir. Bu tanımı ³ matris formunda;

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ −

=

∧

1 1

1

det y x

e Y

X _L

r r

r

2 2 2

y x er

3 3 3

y x er

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

şeklinde ifade edebiliriz

[ ]

6 .

Bundan sonra aksi belirtilmedikçe ∧ _L yerine ∧ ifadesini kullanacağız.

Teorem 2.3.

3 3

:L3xL →L

∧ olmak üzere ∀Xr,Yr,Zr∈L³

için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir.

1) )Xr Yr,Zr det(Xr,Yr,Zr

>=

∧

< ,

2) (Xr ∧Yr)∧Zr =<Yr,Zr > Xr−< Xr,Zr >Yr 3) 0< Xr,Xr ∧Y >=

, 4) 0<Yr,Xr ∧Yr>=

Teorem 2.4.

Her U,V ∈ olmak üzere aşağıdaki ifadeler geçerlidir. L³

1) U space-like ve V time-like vektör ise U ∧V space-like 2) U space-like ve V null vektör olmak üzere

a) <U,V >=0 ise U ∧V null vektör,

b) <U,V >≠0 ise U ∧V space-like vektördür.

Tanım 2.11.

M, bir C manifold ve M üzerinde vektör alanlarının cümlesi ^∞ χ(M) ve reel değerli fonksiyonların halkası da C^∞(M,R) olmak üzere,

x M ) ( : ,> χ

< χ(M)→C^∞(M,R)

dönüşümü

1)2-lineer 2)Simetrik

3)∀X ∈χ(M) için < X,Y >=0⇒Y =0 dır. Özellikleri sağlanıyorsa;

<,> dönüşümüne M üzerinde metrik tensör denir.

Tanım 2.12.

M bir C manifold ve <,> de M üzerinde sabit indeksli metrik tensör olmak üzere (M,<,>) ^∞ ikilisine bir Yarı-Riemann Manifoldu denir

[ ]

^{6 .}

Tanım 2.13.

(M,<,>) bir Yarı-Riemann manifoldu olsun. Eğer boy M ≥2 ve indeks M =1 ise (M,<,>) ikilisine bir Lorentz Manifoldu denir

[ ]

6 .

Bundan sonra Lorentz manifoldu M ile göstereceğiz.

Tanım 2.14.

M M

J: → inclusion dönüşümü olmak üzere, J^∗(<,>),M üzerinde metrik tensör ise M ye M nin Lorentz Antimanifoldu denir

[ ]

6 .

Tanım 2.15.

Ln

α ⊂ Lorentz Uzayında bir eğri olsun. αeğrisinin hız vektörü α^' olmak üzere,

i) <α^',α^' ><0 ise, α(s) time-like eğri, ii) 0<α^',α^' >> ise, α(s) space-like eğri,

iii)<α^',α^' >=0 ise, α(s) null eğri olarak adlandırılır

[ ]

6 .

Bu tanıma göre α^' =+1 iseα eğrisi birim hızlı time-like eğri olacaktır. Aksi belirtilmedikçe eğriyi birim hızlı time-like eğri olarak alacağız.

BÖLÜM 3. Eⁿ, n BOYUTLU ÖKLİD UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİ

Tanım 3.1.

E de M, N eğrileri, sırasıyla (I,α ) ve (I,β ) koordinat komşulukları ile verilsin. n ∀s∈Iiçin M

s)∈

α( , β(s)∈N noktalarında M ve N nin

{

V₁(s),V₂(s),...,V_r(s)

}

ve

{

V1^∗(s^),V2^∗(s^),...,V_r^∗(s⁾

}

Frenet r- ayaklıları verildiğinde

{

V1⁽s^),V2^∗(s⁾

}

lineer bağımlı ise (M,N) eğri çiftine bir Bertrand eğri çifti adı verilir

[ ]

2 .

Tanım 3.2.

E de yay uzunluklu bir eğri M ve bu eğrinin Frenet r- ayaklı alanı n

{

^V₁^(s),V₂^(s),...,V_r^(s)

}

olsun. Bu taktirde

k V i j r

ds

dV ⁿ

i j ij

i , ; , 1,2,....,

1

=

=

∑

=

(3.1)

olmak üzere

,V (s) ds

k_ij = dVⁱ _j (3.2)

Şeklinde tanımlanan fonksiyonlara M eğrisinin yüksek mertebeden eğrilikleri adı verilir

[ ]

^{3 .}

Teorem 3.1.

M, Eⁿ de (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilmiş bir eğri olsun. M eğrisinin α (s) noktasındaki Frenet r- ayaklı alanı

{

V₁(s),V₂(s),...,V_r(s)

}

olmak üzere

i) V₁^'(s)=k₁₂(s)V₂(s)

ii) V_i^'(s)=k_i(i−1)V_(i−1) +k_i(i+1)(s)V_r+1(s) (3.3) iii) V_r^'(s)=ε_r−2ε_r−1k_r(r−1)(s)V_r−1(s)

dir

[ ]

3 . Teorem 3.2.

Eⁿ de (M, N) Bertrand eğri çifti verilsin. M ve N sırasıyla, (I,α) ve (I,β) koordinat komşuluğu ile verilmek üzere ∀s∈I için

d(α(s),β(s))=sabit

dir

[ ]

3 . İspat:

(şekil 3.1)

şekil I den dolayı

α(s) β(s)

V2(s) V2*(s)

β(s)=α(s)+λV₂(s) (3.4)

yazılabilir. M ve N eğrilerinin α (s) ve β(s) noktalarındaki Frenet r- ayaklıları, sırasıyla

{

V₁(s),V₂(s),...,V_r(s)

}

ve

{

V1^∗(s^),V2^∗(s^),...,V_r^∗(s⁾

}

dir. Böylece M nin yay parametresi s, N nin yay parametresi s^* olmak üzere

V1 ⁽s⁾

[

^{1 (}s⁾k21⁽s⁾

]

V1⁽s^{) (}s⁾V2⁽s^{) (}s⁾k23⁽s⁾V3⁽s⁾ ds

ds^{∗ ∗} = −λ +λ′ +λ

dir. O halde,

V₁^∗(s),V₂(s) =0

olduğundan

λ(s)=sabit

I s∈

∀ olur. Ayrıca

d(α(s),β(s))= β(s)−α(s) = λV₂(s) =.λ , ∀s∈I = sabit

olur.

Teorem 3.3.

M ve N sırasıyla, (I,α) ve (I,β) koordinat komşulukları ile verilmiş Bertrand eğrileri olmak üzere bu eğrilerin vektör alanları arasındaki açının ölçümü sabittir,

[ ]

3 .

İspat:

M ve N’ nın Frenet r- ayaklı alanları sırasıyla

{

V₁(s),V₂(s),...,V_r(s)

}

ve

{

V1^∗(s^),V2^∗(s^),...,V_r^∗(s⁾

}

olsunlar. Bertand eğri çifti tanımı gereğince V₁^∗ ⊥V₂dir. Böylece V₁^∗∈Sp

{

V₁,V₂,...,V_n

}

dir. O halde

∑

=≠

∗ = ⁿ

şş aşVi

V

) 2 ( 1

1 ; V₁^∗,V₁ =a₁

dir. Buradan

( )

) 2 ( 1 1

ds a dV dsV

da ds

dV _i

ş i n

şi

ş +

=

∑

=≠

∗

(3.5)

yazılabilir. Eğer Tanım 3.2 ve teorem (3.1) göz önüne alınırsa, sırasıyla

∑

=

∗ = ⁿ

j kşjVj

ds dV

1

1 (3.6) ve

^{∗ ∗}

∗

= _{12 2}

1 k V

ds

dV (3.7)

yazılabilir. Bu takdirde

ds dV₁^∗

// V ₂^∗ ve

ds dV₁^∗

// V₂ (3.8)

elde edilir. Teorem 3.1 ve (3.5) denklemi göz önüne alınırsa

( ( _{12 2}) ₃( _{32 2 34 4}) ... _{( 1) ( 1)})

) 2 ( 1

1 − −

=≠

∗

+ +

− +

+

=

∑

^{n i ş n n n n}

şi

şV a k V a k V k V a k V

ds da ds

dV

= ¹V₁ +(a₁k₁₂ +a₃k₃₂)V₂ +...

ds da

bulunur. (3.7) ve (3.8) denklemleri ele alınırsa

¹ =0 ds da

bulunur. Bu ifade eder ki a₁ =sabittir. Eğer V₁ ve V arasındaki açının ölçüsü ₁^∗ θ ise

¹ ₁

1 1

1 1

1 . . 1

cos , a a

V V

V

V = =

= _∗

∗

θ , (sabit)

tir. Şimdi )α(s ve β(s) nın sırasıyla eğrilik fonksiyonları k₁₂, k₂₃ ve k₁₂^∗, k₂₃^∗ arasındaki bağıntıyı bulalım. (3.4) denklemi göz önüne alınırsa

∑

=

∗ = + + + +

= ⁿ

j

j jx k V

ds k V d

ds k ds ds d ds d

3 2 2

22 1

21) ( )

1

( λ λ λ λ

β β

yazılabilir.

=0 ds dλ

ve k₂₂ =0

olduğundan

₁ (1 ₂₁) ₁ k₂₃V₃ ds

V ds ds k

V^∗ = ds_∗ +λ + _∗ λ

olur.

V₁^∗ =a₁V₁ +a₃V₃ +...+a_nV_n

olduğu göz önüne alınırsa = + _∗

ds k ds

a₁ (1 λ ₂₁) (3.9)

= _∗ ds k ds

a₃ λ ₂₃ (3.10)

elde edilir. Bu son iki denklem oranlanırsa

3 1 23

1 21

a a k

k = +

λ

λ (3.11)

bulunur. (3.9) ve (3.10) denklemlerinde λ yerine -λ yazılırsa, )β(s^∗ için aşağıdaki bağıntılar elde edilir.

ds k ds a

− ∗

=(1 ₂₁)

1 λ (3.12)

ds k ds a

− ∗

= ₂₃

3 λ (3.13)

Eğer (3.12) ve (3.13) denklemeleri oranlanırsa

3 1 23

1 21

a a k

k =

−

− ^∗

λ

λ (3.14)

bulunur. Böylece (3.11) ve (3.13) bağıntıları iki eğrinin Bertrand eğrisi olması için gerek ve yeter şartlardır.

Teorem 3.4. (Manhiem’ın Teoremi)

M ve N, Eⁿ de iki Bertrand eğri çifti olsunlar.P ve P noktaları (M,N) nin karşılıklı iki ^∗ noktası olmak üzere A ve ₀ A bu noktaların eğrilik merkezi ise ₀^∗

_∗

∗

∗

∗

÷

o o

o o

PA A P PA

A

P

oranı sabittir

[ ]

^{4 .}

İspat:

Eğer (3.9) ve (3.12) denklemleri göz önüne alınırsa

(

1+λk21

) (

1−λk21^∗

)

=a1² (sabit) (3.15)

dir. g ve g eğrilik yarıçapları olmak üzere aşağıdaki bağıntılar yazılabilir. ^∗

1 ,

1 , 1

12 12

12

12 PA g k

k k g k

A

P − + = =

= +

−

= +

−

=

∗

o o

λ λ λ

^{∗ ∗} = ^∗ = _∗

12

1 g k A

P _o ve _∗

∗

∗

∗

∗ +

= +

= +

=

12 12

12

1 1 k k g k

PA_o λ λ

Böylece çift oran

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗ +

⋅ +

−

=

⋅

=

÷

12 12 12

12 12 12

1 1 1

1

k k k

k k k A

P PA PA

A P PA

A P PA

A P

λ λ

o o

o o

o o

o o

^{∗ ÷ ∗} _∗^{∗ =}

(

^{− k}₁₂ ⁺¹

)

^⋅

(

^k₁₂^{∗ +1}

)

PA A P PA

A

P λ λ

o o

o o

dir.

k₁₂ =−k₂₁ ve k₁₂^∗ =−k₂₁^∗

olduğundan

^{∗ ÷ ∗} _∗^{∗ =}

(

1⁺ k21

) (

1⁻ k21^∗

)

PA A P PA

A

P λ λ

o o

o

o

yazılır. Bu son denklemle birlikte (3.15) denklemi göz önüne alınırsa

a₁²

PA A P PA

A

P ÷ _∗ =

∗

∗

∗

o m o

o

o (sabit)

bulunur. Bu yüzden yukarıda bahsedilen çift oran süreklidir.

Tanım 3.3.

M Eⁿ de bir eğri ve bu eğrinin birim teğet vektör alanı V1 olsun. x∈x(Eⁿ)bir sabit birim vektör alanı olmak üzere p∈M için

V₁,x _p=cosϕ=sbt, ϕ ≠π₂

ise M eğrisine Eⁿ de bir eğilim çizgisi, ϕ açısına M nin eğilim açısı ve Sp

{ }

x uzayına da M nin eğilim ekseni denir

[ ]

2 .

Tanım 3.4

M⊂ Eⁿ eğrisi (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilsin. ∀s∈Iiçin α(s)∈M noktasında M nin 1. ve 2. eğrilikleri k₁(s) ve k₂(s)

olmak üzere

) (

) ) (

( ,

:

2 1

s k

s s k

H IR

I

H ⎯⎯→ =

şeklinde tanımlanan fonksiyona M nin s noktasındaki 1. harmonik eğriliği denir

[ ]

2 . Tanım 3.5.

M, Eⁿ de (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilmiş bir eğri ve bu eğrinin birim teğet vektör alanı V1 olmak üzere

H_i:I ⎯⎯→IR ,

{ [ ] }

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

≤

≤ +

=

=

+ + +

−

− 1 , 1 2

1 ,

) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2 1

1 2 1

n k i

k H H

V k i k H

i i i

i i i

i

şeklinde tanımlı Hi fonksiyonuna M nin i. mertebeden Harmonik eğriliği denir

[ ]

^{2 .}

Teorem 3.5.

Eⁿ de M ve N, sırasıyla (I,α ) ve (I,β) koordinat komşulukları ile verilen Bertrand eğri çiftleri olsunlar. Öyle λ, μ sabitleri için

μ

(

k23 +k23^∗

) (

+λ k12 +k12^∗

)

=⁰

dır. Burada k₁₂, k₂₃ ve k₁₂^∗ , k₂₃^∗ sırasıyla α ve β nın eğrilikleridir

[ ]

3 . İspat:

(3.11) ve (3.14) denklemlerinde

.λ=μ

3 1

a

a

olduğu göz önüne alınarak

μk₂₃ − kλ ₂₁ =1

(3.16) μk₂₃ + kλ ₁₂ =1

ve

1−λk₂₁^∗ =−μk₂₃^∗

(3.17) −μk₂₃^∗ −λk₁₂^∗ =1

son iki denklemden aşağıdaki lineer bağıntı bulunur.

μ

(

k23 +k23^∗

) (

+λ k12 +k12^∗

)

=⁰ Teorem 3.6

M, E de (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilen bir eğri ve bu eğri için ⁿ k₂₃ ≠0, 0k₃₄ = olsun. M nin bir Bertrand eşleniği vardır.

λk₁₂+ kμ₂₃=1

dir. Buradaλ, sabitlerdir μ

[ ]

^{4 .}

İspat:

( )

⇒ :Kabul edelim ki M nin Bertrand eşleniği N olsun. Öyle ki N eğrisi (I,β) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu takdirde bir λ sabiti vardır. Öyle ki

β(s)=α

( )

s +λV₂

( )

s

dir. Her iki tarafın da diferansiyeli alınırsa

V₁

(

k₂₁V₁ k₂₃ V₃

)

ds

dβ = +λ + +

(3.18)

yazılabilir. Böylece

(

1 k₂₁

)

V₁ k₂₃V₃ ds

ds ds

dβ _⋅ ^∗ _{= +}λ ₊λ

∗

₁

[ (

1 k₂₁

)

V₁ k₂₃V₃

]

ds

V^∗ = ds_∗ ⋅ +λ +λ

bulunur.

V₁,V₁^∗ =a₁, V₃,V₁^∗ =a₃

olduğundan

₁, ₁

(

1 ₂₁

)

a₁ ds k ds V

V ^∗ = +λ _∗ =

₃, _{1 23} a₃ ds k ds V

V ^∗ =λ _∗ =

elde edilir. Hipotezden dolayı k₂₃ ≠0 olduğundan

3 1 23

1 21

a a k

k = +

λ λ

_{23 21} 1

3

1 ⋅ ⋅k − k =

a

a λ λ

μk₂₃ + kλ ₁₂ =1

elde edilir.

( )

⇐ : Şimdi kabul edelim ki k₃₄ = 0 ve λ, μ sabitleri için

λk₁₂+ kμ ₂₃=1

olsun.

β(s)=α(s)+λV₂(s)

yazılabildiğini biliyoruz. Böylece (3.18) denkleminden

² V₁

(

k₂₁V₁ k₂₃V₃

)

ds dV ds

d ds

dβ = α +λ = +λ +

(

1 k₂₁

)

V₁ k₂₃V₃

(

1 k₁₂

)

V₁ k₂₃V₃ ds

dβ _{= +}λ ₊λ _{= −}λ ₊λ

dir.

1−λk₁₂ =μk₂₃

den dolayı,

k₂₃V₁ k₂₃V₃ k₂₃

(

V₁ V₃

)

ds

dβ μ λ μ λ

+

= +

=

(

_{1 3}

)

2 2 23

23

1 V V

k

V k μ λ

μ

λ + ^{⋅ +}

=

∗

olur. Eğer

=℘

+ ²

2

1 λ

μ

olarak seçilirse

V₁^∗ =m℘(μV₁ +λV₃)

ve

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

℘

∗ =

ds dV ds

dV ds

dV_{1 m} μ ₁ λ ₃

olur. Burada

¹ k₁₂V₂ ds

dV = ve ³ k₃₂V₂ k₃₄V₄ ds

dV = +

yerlerine yazılırsa

^{1 1}

[

^k₁₂^V₂

(

^k₃₂^V₂ ^k₃₄^V₄

) ]

ds ds ds dV ds

dV^∗ = _∗^∗ ⋅ ^∗ =_m℘μ +λ +

elde edilir. Eğer 0k₃₄ = olduğu göz önüne alınırsa

_{12 2}

(

k₁₂ k₃₂

)

V₂ ds

V ds

k^{∗ ∗} =m _∗ ⋅℘⋅ μ +λ (3.19) bulunur. Diğer taraftan,

_∗ = ⋅ _∗ ds

ds ds d ds

dβ β

^∗ = ⋅ _∗ ds

ds ds V dβ

1

23

1 k ds ds d

ds ℘

=

∗ = β

elde edilir. (3.19) denkleminden dolayı

²

(

_{12 32}

)

₂

23 12 2

1

1 k k V

k k

V^∗ =m _∗ ⋅ ⋅℘ ⋅ μ +λ

( )

2 23

12

2 32 12

2 V

k k

k

V k ⋅

⋅

℘

= _∗+

∗ μ λ

m

yazılır. Bu yüzden V₂ ve V₂^∗ lineer bağımlıdır. Bu ise ispatı tamamlar.

Teorem 3.7.

M, Eⁿ de (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilen bir eğri olsun. Eğer M eğrisi, birden fazla eğim eğriliğine sahipse, bu eğriliğin 1. harmonik eğriliği olan H₁ sabittir

[ ]

4 .

İspat:

Kabul edelim ki M eğrisinin Bertrand eşlenikleri N ve N^* olsun. Sırasıyla N ve N^* (I,α^∗) ve (I,α^** ) koordinat komşuluğu ile verilsin ve bu eğrilerin birinci ve ikinci eğrilikleri sırasıyla k12, k23 ve k12* , k23* ve k12* *, k23* * olsunlar.

α nın bir Bertrand eşleniği α^* olduğundan teorem 3.6 den dolayı λ ve μ gibi iki sabit vardır.

Öyle ki

1 1

23 12

23 12

=

−

−

= +

∗

∗ k

k k k

μ λ

μ

λ (3.20)

dir. α nın bir diğer eşleniği α^** olduğundan aynı şekilde u, v sabitleri vardır. Öyle ki

1 1

23 12

23 12

=

−

−

= +

∗

∗ vk

uk vk

uk (3.21)

dir. (3.20) ve (3.21) denklemlerinden

u v k v

μ λ

μ

−

= −

12 (sabit)

u k v

μ λ

μ λ

−

= −

23 (sabit)

elde edilir. Bu nedenle,

23 12

1 k

H = k (sabit )

olur. Bu ispatı tamamlar.

Teorem 3.6.

M, Eⁿ de (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilen bir eğri ve bu eğri için k₂₃ ≠0, 0k₃₄ = olsun. M’nin bir Bertrand eşleniği vardır.

λk₁₂+ kμ ₂₃=1

dir. Buradaλ, sabitlerdir μ

[ ]

4 . İspat:

( )

⇒ :Kabul edelim ki M nin Bertrand eşleniği N olsun. Öyle ki N eğrisi (I,β) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu takdirde bir λ sabiti vardır. Öyle ki

β(s)=α

( )

s +λV₂

( )

s

dir. Her iki tarafın diferansiyeli alınırsa

V₁

(

k₂₁V₁ k₂₃ V₃

)

ds

dβ = +λ + +

(3.22)

yazılabilir. Böylece

(

1 k₂₁

)

V₁ k₂₃V₃ ds

ds ds

dβ λ λ

+ +

=

⋅ ^∗

∗

₁

[ (

1 k₂₁

)

V₁ k₂₃V₃

]

ds

V^∗ = ds_∗ ⋅ +λ +λ

bulunur.

V₁,V₁^∗ =a₁, V₃,V₁^∗ =a₃

olduğundan

₁, ₁

(

1 ₂₁

)

a₁ ds k ds V

V ^∗ = +λ _∗ =

₃, _{1 23} a₃ ds k ds V

V ^∗ =λ _∗ =

elde edilir. Hipotezden dolayı k₂₃ ≠0 olduğundan

3 1 23

1 21

a a k

k = +

λ λ

_{23 21} 1

3

1 ⋅ ⋅k − k =

a

a λ λ

μk₂₃ + kλ ₁₂ =1

elde edilir.

( )

⇐ : şimdi kabul edelim ki k₃₄ = 0 ve λ , μ sabitleri için

λk₁₂+ kμ ₂₃=1

olsun.

β(s)=α(s)+λV₂(s)

yazılabildiğini biliyoruz. Böylece (3.22) denkleminden

² V₁

(

k₂₁V₁ k₂₃V₃

)

ds dV ds

d ds

dβ = α +λ = +λ +

(

1 k₂₁

)

V₁ k₂₃V₃

(

1 k₁₂

)

V₁ k₂₃V₃ ds

dβ _{= +}λ ₊λ _{= −}λ ₊λ

dir.

1−λk₁₂ =μk₂₃

den dolayı,

k₂₃V₁ k₂₃V₃ k₂₃

(

V₁ V₃

)

ds

dβ ₌μ ₊λ ₌ μ ₊λ

(

_{1 3}

)

2 2 23

23

1 V V

k

V k μ λ

μ

λ + ^{⋅ +}

∗ =

oluşur. Eğer,

=℘ + ²

2

1 λ

μ

olarak seçilirse

V₁^∗ =m℘(μV₁ +λV₃) ve

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

℘

=

∗

ds dV ds

dV ds

dV_{1 m} μ ₁ λ ₃

olur. Burada

¹ k₁₂V₂ ds

dV = ve ³ k₃₂V₂ k₃₄V₄ ds

dV = +

yerlerine yazılırsa

^{1 1}

[

k₁₂V₂

(

k₃₂V₂ k₃₄V₄

) ]

ds ds ds dV ds

dV^∗ = _∗^∗ ⋅ ^∗ =_m℘μ +λ +

elde edilir. Eğer 0k₃₄ = olduğu göz önüne alınırsa

_{12 2}

(

k₁₂ k₃₂

)

V₂ ds

V ds

k^{∗ ∗} =m _∗ ⋅℘⋅ μ +λ (3.23)

bulunur. Diğer taraftan,

_∗ = ⋅ _∗ ds

ds ds d ds

dβ β

^∗ = ⋅ _∗ ds

ds ds V dβ

1

23

1 k ds d ds

ds ℘

=

∗ = β

elde edilir. (3.23) denkleminden dolayı

²

(

_{12 32}

)

₂

12 23 2

1

1 k k V

k k

V^∗ =m _∗ ⋅ ⋅℘ ⋅ μ +λ

( )

2 23

12

2 32 12

2 V

k k

k

V k ⋅

⋅

℘

= _∗+

∗ μ λ

m

yazılır. Bu yüzden V₂ ve V lineer bağımlıdır. Bu ise ispatı tamamlar. ₂^∗

Teorem 3.8.

Eⁿ de (M, N) sırasıyla (I,α ) ve (I,β) koordinat komşulukları ile verilen Bertrand eğri çiftleri, V1 ile V1* arasındaki açı θ ve M eğrisinin birinci harmonik eğriliği H1 olsun. Eğer k34=0 ve H1=tanθ ise M genel bir helistir

[ ]

3 .

İspat:

{

^α,α∗

}

Bertrand çifti olmak üzere θ açısının sabit olduğunu V₁^∗ =a₁V₁ +a₃V₃ ve θ

1 =cos

a olduğunu biliyoruz. O halde V1* bir birim vektör alanı, a₃ =sinθ olur.

Böylece

3 1

1 cos V sin V

V^∗ = θ + θ

dir. Aynı zamanda

H₁ =tanθ

ya da

θ θ cos sin

23 12 = k k

k₁₂ cosθ =−k₃₂sinθ (3.24)

dir. Kabul edelim ki V1*=X olsun. Bu takdirde

ds dV ds

dV ds

dX _{1 3}

sin

cosθ + θ

=

cos

(

k₁₂V₂

)

sin

(

k₃₂V₂ k₃₄V₄

)

ds

dX = θ + θ +

34 =0

k kullanılarak

cos k₁₂V₂ sin k₃₂V₂ ds

dX = θ + θ

yazılabilir. (3.24) denkleminden

=cos k₁₂V₂ −sin k₃₂V₂ =0 ds

dX θ θ

elde edilir. Böylece X=sabit ve

X,V₁ = V₁^∗,V₁ =cosθ

sabittir ayrıca Sp

{ }

V1^∗ bir eğim eksenidir. Bu ifade eder ki α bir genel helistir.

BÖLÜM 4. Lⁿ LORENTZ UZAYINDA BERTRAND EĞRİLERİ

Tanım 4.1.

ILⁿ, n-boyutlu Lorentz uzayında M ve N iki time like eğrisi sırasıyla (I,α ) ve (I,β) koordinat komşuluğu ile verilsin. M ve N nin Frenet r- ayaklı alanları sırasıyla

{

V₁(s),V₂(s),...,V_r(s)

}

ve

{

V1^∗(s^),V2^∗(s^),...,V_r^∗(s⁾

}

olsun. Eğer

{

^V₂^(s),V₂^∗(s)

}

lineer bağımlı ise (M,N) Bertrand eğri çifti olarak adlandırılır.

Tanım 4.2.

L de, (I,α ) koordinat komşuluğu ile verilmiş bir eğri M olsun. Bu eğrinin frenet vektör n

alanı

{

V₁(s),V₂(s),...,V_r(s)

}

olsun.

( ) ( ) ( )

,

1

s V s ds k

s

dV ^r

j

j ij

i

∑

=

= 1≤ ,i j≤r (4.1)

olmak üzere

( ) ( ) ( )

V s ds

s s dV

k_ij =ε_j−1 ⁱ , _j (4.2)

ile tanımlanan fonksiyonlara M nin yüksek mertebeden eğrilikleri adı verilir. Açıktır ki

k_ij

( )

s =−k_ji

( )

s

( )

^i〈j