ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
TEKĠLLĠK ĠÇEREN REISSNER PLAKLARININ SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜNDE GEÇĠġ ELEMANLARI KULLANILARAK AĞ
SIKLAġTIRMASI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Tuğrul ÇELĠK
MAYIS 2003
Anabilim Dalı : ĠNġAAT MÜHENDĠSLĠĞĠ Programı : YAPI MÜHENDĠSLĠĞĠ
ĠSTANBUL TEKNĠK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
TEKĠLLĠK ĠÇEREN REISSNER PLAKLARININ SONLU ELEMAN ÇÖZÜMÜNDE GEÇĠġ ELEMANLARI KULLANILARAK AĞ
SIKLAġTIRMASI
YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ĠnĢ. Müh. Tuğrul ÇELĠK
(501011090)
MAYIS 2003
Tezin Enstitüye Verildiği Tarih : 2 Mayıs 2003 Tezin Savunulduğu Tarih : 29 Mayıs 2003
Tez DanıĢmanı : Prof.Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG Diğer Jüri Üyeleri Prof.Dr. Hasan ENGĠN (Ġ.T.Ü.)
ÖNSÖZ
Tez çalışmam esnasında her türlü bilgi, tecrübe ve yardımını benden esirgemeyen tez danışmanım Sayın Prof. Dr. Mehmet Hakkı OMURTAG’a teşekkür ederim. Ayrıca, tavsiyelerine başvurduğum Yrd. Doç. Dr. Nihal ERATLI ve Araştırma Görevlisi Murat YILMAZ’a teşekkürü bir borç bilirim.
Bu çalışma, desteğinin her zaman yanımda olduğunu bildiğim babam İnş. Müh. Alizer ÇELİK’e ithaf edilmiştir. Bunun yanında, maddi ve manevi desteğini benden esirgemeyen annem Yeter ÇELİK’e ve kardeşim Elektronik Yüksek Müh. Ümit Serhat ÇELİK’e teşekkür ederim.
ĠÇĠNDEKĠLER
KISALTMALAR v
TABLO LĠSTESĠ vi
ġEKĠL LĠSTESĠ vii
SEMBOL LĠSTESĠ ix
ÖZET xi
SUMMARY xii
1. GĠRĠġ 1
2. REISSNER PLAK TEORĠSĠ 5
2.1. Giriş 5
2.2. Denge Denklemleri 6
2.3. Bünye Bağıntıları 7
2.4. Fonksiyonelin Elde Edilişi 10
2.4.1. Alan denklemleri 10
2.4.2. Varyasyonel işlemler 12
3. DÖRTGEN SONLU ELEMAN 16
3.1. Koordinat Dönüşümleri 16
3.2. Geçiş Elemanları 18
4. SAYISAL ÖRNEKLER 20
4.1. Düzgün Yayılı Yükleme 20
4.1.1. İnce ve çok ince plaklar 21
4.1.1.1. SSSS mesnet koşulu 21
4.1.1.2. CCCC mesnet koşulu 26
4.1.2. Nispeten kalın plaklar 29
4.1.2.1. SSSS mesnet koşulu 29
4.1.2.2. CCCC mesnet koşulu 33
4.1.3 Kalın plaklar 36
4.2. Tekil Yükleme 41
4.2.1. İnce ve çok ince plaklar 43
4.2.1.1. SSSS mesnet koşulu 43
4.2.1.2. CCCC mesnet koşulu 44
4.2.2. Nispeten kalın plaklar 45
4.2.2.1. SSSS mesnet koşulu 45
4.2.2.2. CCCC mesnet koşulu 46
4.2.3. Kalın plaklar 46
4.2.3.2. CCCC mesnet koşulu 47 5. BĠLGĠSAYAR PROGRAMI 48 5.1. Genel Yapı 48 5.2. Stab.for Programı 48 6. SONUÇLAR 52 KAYNAKLAR 55 EKLER 58 ÖZGEÇMĠġ 71
KISALTMALAR
SEM : Sonlu Elemanlar Metodu
CCCC Mesnetli : Dört Kenarından Ankastre Mesnetli SSSS Mesnetli : Dört Kenarından Basit Mesnetli 4DN Eleman : Dört Düğüm Noktalı Eleman 5DN Eleman : Beş Düğüm Noktalı Eleman 6DN Eleman : Altı Düğüm Noktalı Eleman 8DN Eleman : Sekiz Düğüm Noktalı Eleman
TABLO LĠSTESĠ
Sayfa No
Tablo 4.1 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……… 21
Tablo 4.2 8DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……… 23
Tablo 4.3 4DN, 5DN, 6DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……….. 25
Tablo 4.4 4DN ve 8DN elemanlı değişik kalınlıklı SSSS mesnetli plaklarda elemanın doğrulanma tablosu………... 25
Tablo 4.5 4DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulamatablosu……… 26
Tablo 4.6 8DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……... 27
Tablo 4.7 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……… 29
Tablo 4.8 8DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……… 31
Tablo 4.9 4DN, 5DN, 6DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu……….. 32
Tablo 4.10 4DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu…... 33
Tablo 4.11 8DN elemanlı CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 34
Tablo 4.12 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 36
Tablo 4.13 8DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 37
Tablo 4.14 Karma elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 39
Tablo 4.15 4DN ve 8DN elemanlı SSSS mesnetli kalın plakların çökme ve moment karşılaştırma tablosu... 40
Tablo 4.16 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 43
Tablo 4.17 Değişik kalınlıklı SSSS mesnetli plakların çökme doğrulama tablosu... 44
Tablo 4.18 CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 44
Tablo 4.19 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 45
Tablo 4.20 CCCC mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 46
Tablo 4.21 4DN elemanlı SSSS mesnetli plaklarda doğrulama tablosu... 46
ġEKĠL LĠSTESĠ
Sayfa No
ġekil 2.1 Dış kuvvetler, dış momentler, kesit mambran kuvvetler, kesit
kesme kuvvetleri ve kesit momentlerinin pozitif yönleri... 6
ġekil 2.2 Gerilme bileşenleri...………... 7
ġekil 3.1 Bilineer izoparametrik dörtgen eleman...……….. 16
ġekil 3.2 5DN eleman... 19
ġekil 3.3 6DN eleman...………...….. 19
ġekil 3.4 8DN eleman...………... 19
ġekil 4.1 Yayılı yükleme durumu...………... 20
ġekil 4.2 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi... 22
ġekil 4.3 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi... 22
ġekil 4.4 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi... 22
ġekil 4.5 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi…….. 23
ġekil 4.6 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi…... 23
ġekil 4.7 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi……….... 24
ġekil 4.8 Karma elemanlı ağ tipleri………. 24
ġekil 4.9 4DN elemanlı CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi…… 26
ġekil 4.10 4DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi…. 27 ġekil 4.11 4DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi…. 27 ġekil 4.12 8DN elemanlı CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi…… 28
ġekil 4.13 8DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi…. 28 ġekil 4.14 8DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi…. 28 ġekil 4.15 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi…….. 30
ġekil 4.16 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi…... 30
ġekil 4.17 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi……….... 30
ġekil 4.18 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi…….. 31
ġekil 4.19 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi…... 31
ġekil 4.20 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta kesme kuvveti yaklaşım testi……… 32
ġekil 4.21 Karma elemanli ağ tipleri……….… 32
ġekil 4.22 CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi...… 33
ġekil 4.23 CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi...… 34
ġekil 4.24 CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi...… 34
ġekil 4.25 8DN elemanlı CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi…… 35
ġekil 4.26 8DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi…. 35 ġekil 4.27 8DN elemanlı CCCC mesnetli plakta moment yaklaşım testi…. 35 ġekil 4.28 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi……. 37
ġekil 4.29 4DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi…... 37
ġekil 4.31 8DN elemanlı SSSS mesnetli plakta moment yaklaşım testi.….. 38
ġekil 4.32 Karma elemanli ağ tipleri……….… 38
ġekil 4.33 Tekil yükleme durum ve simetri...……….… 41
ġekil 4.34 4DN elemanlar ile oluşturulmuş ağ tipleri...……….…. 41
ġekil 4.35 Karma elemanlar ile oluşturulmuş ağ tipleri...……….… 42
ġekil 4.36 4DN ve karma elemanli SSSS mesnetli plakta çökme yaklaşım testi……… 43
ġekil 4.37 4DN ve karma elemanli CCCC mesnetli plakta çökme yaklaşım testi……… 45
SEMBOL LĠSTESĠ
, , j
i : Latin indisleri 1, 2, 3 değerlerini alır
, ,
: Grek indisleri 1, 2 değerlerini alır
ij
: Birim şekil değiştirme bileşenleri
ε : Şekil değiştirme vektörü
m
ε : Mambran etkilerden oluşan şekil değiştirme vektörü
f
ε : Eğilme etkilerinden oluşan şekil değiştirme vektörü
s
ε : Kayma etkilerinden oluşan şekil değiştirme vektörü
d : Yer değiştirme ve dönme vektörü
u : Düzlem içi yer değiştirme vektörü
3
u : Düzleme dik yer değiştirme vektörü
Ω : Dönme vektörü
i
u : Yer değiştirme bileşenleri
: Dönme bileşenleri
ij
: Gerilme bileşenleri
ij
: Birim kayma açısı
: Poisson oranı
h : Plak kalınlığı
Q N
P, , : Normal kuvvetler ve düzlem içi kayma kuvveti
H
F , : Kesme Kuvvetleri
T M
K, , : Eğilme momentleri ve burulma momenti
e D : Denge operatörü e f e s e m D D
D , , : Denge alt operatörleri
D : Kısmi türev operatörü / I : Birim matris k f k s k m D D D , , : Kinematik operatörler
σ : Kuvvet ve moment vektörü
m
σ : Mambran kuvvet vektörü
s
σ : Kesme kuvveti vektörü
f
σ : Moment vektörü
C : Elastisite matrisinin tersi, kompliyans matrisi
f : Yük vektörü
q : Kuvvet yük vektörü
m : Moment yük vektörü
Q : Operator
) ( y
, : Dörtgen elemanda yerel koordinat takımı
i i
, : Dörtgen elemanda düğüm noktaları 1 in koordinat değerleri
i i,N : Şekil fonksiyonları J : Jakobyen J : Jakobyen determinantı 1 J : Jakobyenin tersi
TEKĠLLĠK ĠÇEREN REISSNER PLAKLARININ SONLU ELEMAN
ÇÖZÜMÜNDE GEÇĠġ ELEMANLARI KULLANILARAK AĞ
SIKLAġTIRMASI
ÖZET
Bu çalışmada, Reissner Plak Teorisi kullanılarak, levha ve nispeten kalın plaklar için bir fonksiyonel geliştirilmiştir. Alan denklemleri, eğilme etkilerinin yanı sıra, enine kayma gerilmelerinin (13,23) ve orta düzleme dik olan normal gerilmenin (33) etkisi de gözönünde bulundurularak çıkartılmıştır. Fonksiyonel, Gàteaux diferansiyel yaklaşımı uygulanarak, potansiyel operator koşulunun sağlatılması yoluyla elde edilmiştir. Bu sayede, problemin sınır koşulları da kendiliğinden ortaya çıkmıştır. Elde edilen fonksiyonel ile karışık sonlu eleman formülasyonu oluşturulmuştur. Bilineer ve kuadratik şekil fonksiyonları yardımıyla, 4 ve 8 düğüm noktalı izoparametrik dörtgen elemanların yanısıra, geçiş elemanları olan 5 ve 6 düğüm noktalı izoparametrik dörtgen elemanlar geliştirilmiştir. Düğüm noktası serbestlik derecelerine göre iki türlü eleman oluşturulmuştur. Hem levha hem de plak davranışı sergileyen elemanlar için, her bir düğüm noktasında üç yer değiştirme (u1,u2,u3), iki dönme (1,2), üç mambran kuvvet (P,N,Q), iki kesme kuvveti (F,H) ve üç moment (K,M,T) değeri olmak üzere toplam 13 serbestlik derecesi tanımlanmıştır. Sadece plak davranışı sergileyen elemanlar için, her bir düğüm noktasında bir yerdeğiştirme (u3), iki dönme (1,2), iki kesme kuvveti (F,H) ve üç moment
) , ,
(K M T değeri olmak üzere toplam 8 serbestlik derecesi tanımlanmıştır. Eleman rijitlik matrisleri, Gauss Sayısal İntegrasyon Yöntemi kullanılarak hesap edilmiştir. Sonlu eleman formülasyonu için, Fortran programlama dilinde bir program yazılmıştır.
Geçiş elemanları kullanılarak değişik ağ yapıları geliştirilmiştir. Bu ağ yapıları ile, farklı yükleme ve farklı mesnetlenme durumları için sayısal çözümler yapılmıştır. Farklı kalınlıklı plaklar için bulunan çözümler, kesin, analitik ve literatürdeki diğer sonuçlarla karşılaştırılmış, yakınsaklık dereceleri belirlenmiştir. Yapılan karşılaştırmalar, mevcut çalışmanın mühendislik açısından yeterli sonuçlar verdiğini ortaya koymuştur. Çok ince plaklar için de çözümler yapılmış, kayma kilitlenmesi probleminin yaşanmadığı görülmüştür.
MESH GENERATION IN THE FINITE ELEMENT SOLUTION OF REISSNER PLATES WHICH INCLUDE THE SINGULARITY BY USING TRANSITION ELEMENTS
SUMMARY
In this study, a functional was developed for the membrane structures and moderately thick plates. Field equations were derived not only by taking into account the bending effects, but also the shear stresses (13,23) and the normal stress (33) normal to the middle plane. Functional is obtained by applying the Gàteaux differential approach and the potential operator condition. By doing this, boundary conditions of the problem are revealed automatically.
A mixed finite element formulation is obtained with the functional. By the help of bilinear and quadratic shape functions, not only the 4 and 8 nodes isoparametric quadrangle elements were developed, but also the 5 and 6 nodes isoparametric quadrangle transition elements were developed. Two kinds of elements were composed according to the nodes’ degree of freedom. 13 degrees of freedom which were three displacements (u1,u2,u3), two rotations (1,2), three membrane forces (P,N,Q), two shear forces (F,H) and three moments (K,M,T) was defined in every node for the elements which behaved like both membrane structure and plate. 8 degrees of freedom which were transverse displacement (u3), two rotations
) ,
(1 2 , two shear forces (F,H) and three moments (K,M,T) was defined in every node for the elements which behaved like plate. Element stiffness matrices were calculated by using the Gauss Numerical Integration Method. An algorithm was performed for the finite element formulation by using Fortran Programming.
Different mesh configurations were developed by using the transition elements. Numerical solutions were found with these configurations under the different loading conditions and different boundary conditions. Results of the different thick plates were compared with the exact, analytic, and the other numerical solutions in the literature. Convergence sensitivity of the solutions was determined. Comparisons showed that solutions of this study were enough sufficient according to the engineering point of view. There has been no shear locking problem for the very thin plates.
1. GĠRĠġ
Plaklar, düzlemlerine dik olarak yüklenen ve bunun sonucunda ortalama yüzeylerinde eğilme oluşan taşıyıcı yapı elemanlarıdır. Yapı elemanı olarak geniş bir yelpazede kullanılması, bir çok araştırmacının plaklar üzerinde çalışması yapmasına neden olmuştur.
Klasik plak teorisinin temeli ilk olarak Lagrange tarafından 1811 de atılmıştır (Timoshenko ve Krieger, 1959). Lagrange, klasik plak denklemini çıkarmıştır. Daha sonra Poisson, bir kenar için üç sınır şartını ortaya koymak gerekliliğini belirtmiştir. Ancak, problem, klasik plak denklemiyle, sadece iki sınır şartının uygulanmasıyla çözülebilmekteydi. Bu sorun, denklemin çıkarılması esnasında, göz önünde bulundurulan kolaylaştırıcı etkenler yüzünden ortaya çıkmaktaydı. Fakat daha sonra, Kirchhoff, bu üç sınır şartını ikiye indirerek çözüme ulaşmıştır. Bunu, kenar burulma momentini, ona eşdeğer kesme kuvveti ile ifade etmesi yoluyla yapmıştır.
Klasik plak teorisi, plakların çözümünde çokca kullanılmıştır. Fakat, plak davranışını tam olarak ifade edememiştir. İnce plaklar için uygun çözümler vermesine rağmen; plak kalınlığı arttıkça sonuçlar gerçekle bağdaşmaz. Bu neden, araştırmacıları, daha kesin bir teoriyi ortaya koymaya itmiştir.
Love, orta kalınlıktaki plaklar için bir teori geliştirmiştir (Love, 1944). Fakat, kalın denebilen plaklar için kesin bir teori Reissner (1945) ve Mindlin (1951) tarafından ortaya konulmuştur. Kalınlık doğrultusundaki kayma gerilmeleri ile düzleme dik normal gerilme etkilerinin göz önünde bulundurulması sonucu bir teori ortaya konmuştur. Kayma gerilmelerinin kullanılması, üç sınır şartını ikiye indirme mecburiyetini ortadan kaldırmıştır. Reissner, bu teoriyi kullanarak, dikdörtgen kesitli çubukların burulma problemini çözmüştür. Mindlin ise plakların titreşimi problemini çözmüştür. Reissner-Mindlin teorisi kullanılarak bir çok çalışma yapılmıştır (Salerno ve Goldberg, 1960, Speare ve Kemp, 1977, Voyiadjis ve Pecquet, 1987). Lim ve diğ. (1988) yüksek mertebeden kayma-deformasyon teorisi geliştirerek, doğrusal ve doğrusal olmayan eğilme problemini çözmüşlerdir. Nyman ve Gustafsson (2000) ortotrop plakların burkulma problemini kayma etkilerini hesaba katarak çözmüşlerdir. Aghdam ve diğ. (1996) Reissner teorisi ile ankastre mesnetli plakların
çözümünü elde etmişlerdir. Bhashyam ve Gallagher (1984) kayma etkilerini içeren bir enerji fonksiyoneli geliştirerek plakların eğilme problemini çözmüşlerdir. Yuan ve diğ. (1998) geliştirilmiş kayma etkilerini hesaba katarak plak problemini çözmüşlerdir.
Plak problemi belirli sınır şartları altında analitik olarak çözülebilmektedir. Fakat değişen sınır koşulları altında analitik çözümler, yerini, sayısal yöntemlere bırakmaktadır. Analitik çözümün bu anlamda kullanışlı olmayışı ve sayısal yöntemlerin bilgisayar destekli uygulanabilirliği, araştırmacıları bu alanda çalışmaya itmiştir. Yuan ve diğ. (1998), Aghdam ve diğ. (1996), Kantorovich yöntemini kullanarak Reissner plakları için çözümler bulmuşlardır. Sonlu farklar yönteminin plak uygulaması Cheung ve Li (1991) tarafından yapılmıştır.
Bir çok mühendislik probleminde olduğu gibi, plak probleminin de çözümünde en çok başvurulan yöntem Sonlu Eleman Yöntemidir. Sonlu eleman Yöntemi temelini değişim yöntemlerinden almaktadır (Washizu, 1968). Sonlu eleman yöntemi ile, problem, birbiriyle sınır şartları aracılığıyla bağlı olan bir çok alt bölgeye ayrılabilir. Serbestlik dereceleri belli olan her bir bölgenin davranışı ifade edildikten sonra, bir denklem takımı oluşturulur ve her bölgenin serbestliği bulunur. Bölgenin serbestlikleri iki türdür.
1) Yer değiştirme türü büyüklükler 2) Karışık büyüklükler
Yer değiştirme türü büyüklükler, plak probleminde çökme ve dönmeleri ifade etmektedir. Karışık büyüklükler ise çökme ve dönmelerin ötesinde, kuvvet ve moment büyüklükleri de ifade etmektedir. Karışık büyüklükler kullanılarak oluşturulan bir formülasyonun faydası, kuvvet ve moment türünden olan büyüklükleri serbestlik derecesi olarak içermesinden gelmektedir. Bu yolla, ek bir işleme gerek duymadan, bu büyüklükler doğrudan bilinmeyen olarak sisteme katılabilirler. Ayrıca, yer değiştirme türü büyüklüklerle bulunan çözümlere nispeten, daha doğru çözümler yapılabilmektedir. Bunun yanında, kayma etkilerini hesaba katan bir teoride ortaya çıkabilecek kayma kilitlenmesi problemi, karışık sonlu elemanlar ile hiç bir ek önlem almadan ortadan kalkmaktadır (Aköz ve diğ., 1991). Reissner-Mindlin Plaklarının çözümünde, yer değiştirme türünden serbestlik
Miller (1988) yer değiştirme türü büyüklükleri kullanarak ortotrop plaklara da uygulanabilecek bir sonlu eleman formülasyonu ortaya koymuştur. Bathe ve Dvorkin (1985), Hinton ve Huang (1986), Bergan ve Wang (1984) dört düğüm noktalı lineer şekil fonksiyonlarına sahip dörtgen eleman; Crisfield (1984), Kim ve Choi (1992) dokuz düğüm noktalı kuadratik şekil fonksiyonlarına sahip dörtgen eleman geliştirmiştir. Verwoerd ve Kok (1990) altı düğüm noktalı dörtgen sonlu eleman geliştirmiş, Gauss integrasyon noktalarını indirgeme suretiyle kayma kilitlenmesi problemini aşmıştır. Subramanian (1999), C1 sürekli şekil fonksiyonları kullanarak, düzlem içi ve düzlem dışı etkileri gözönünde bulunduran dörtgen eleman geliştirmiştir. Aynı etkileri hesaba katan başka bir çalışma Voyiadjis ve Pecquet (1987) tarafından yapılmıştır. Zienkiewicz ve Lefebvre (1988) üçgen sonlu eleman geliştirmiştir. Bisegna ve diğ. (2001) bilinner dörtgen sonlu eleman ile Mindlin plaklarının titreşim problemini çözmüştür.
Karışık sonlu eleman formülasyonunda üç yöntemden bahsedilebilir. Bunlar; 1) Hellinger-Reissner,
2) Hu-Washizu,
3) Gàteaux Diferansiyeli
olarak sınıflandırılır. Hellinger-Reissner prensibine dayalı olarak, Reissner plaklarının çözümüne ilişkin Reddy (1993) ve Luo (1982) örnek gösterilebilir. Gàteaux diferansiyeli kullanılarak oluşturulan sonlu eleman formülasyonu diğer yöntemlere nispeten çok daha üstündür (Omurtag ve Aköz, 1994). Gàteaux diferansiyeli kullanılarak, kabukların çözümünde kayma etkilerini de göz önünde bulunduran bir formülasyon Omurtag ve Aköz (1993a) tarafından ortaya konmuştur. Farklı konular üzerine Gàteaux diferansiyeli yaklaşımı kullanılarak yapılmış çalışmalar da vardır (Omurtag ve Aköz, 1993b, Omurtag ve Aköz, 1995, Omurtag ve Kadıoğlu, 1998, Omurtag ve diğ., 1997)
Bu çalışmanın amacı, Mindlin-Reissner teorisini kullanarak, düzlem ve düzlem dışı etkileri içeren bir fonksiyonel elde etmektir. Bu fonksiyonel, Omurtag ve Aköz (1993a) tarafından geliştirilen kabuk fonksiyonelinin özel bir halidir. Kabuk için geliştirilen fonksiyonelde, eğrilik yarıçapının sonsuz alınması suretiyle, plak fonksiyoneline ulaşılabilmektedir. Fonksiyonel, Gàteaux diferansiyeli yaklaşımı kullanılarak elde edilecektir. Elde edilmiş fonksiyonelle karışık sonlu eleman
formülasyonu oluşturulacak, Fortran programlama dili kullanılarak bir bilgisayar programı hazırlanacaktır. Sonlu eleman formülasyonu 4 düğüm noktalı izoparametrik dörtgen elemanın yanında, 5, 6 ve 8 düğüm noktalı geçiş elemanlarını da içerecektir. Bu sayede, değişik mesnet koşulları ve değişik yükleme halleri altında plak davranışı irdelenecektir. Farklı elemanlar ile oluşturulmuş ağ yapıları ile karşılaştırmalar yapılacaktır.
2. REISSNER PLAK TEORĠSĠ
2.1 GĠRĠġ
Kalınlığı, diğer iki boyutu yanında küçük olan taşıyıcı elemanlara plak denir. Plak kalınlığının orta noktalarının yeri bir düzlemdir. Taşıdığı yükler bu düzleme dik olarak etkir (Timoshenko ve Krieger, 1956). Başlıca plak teorileri şunlardır:
1) Kirchhoff Plak Teorisi: İnce plak teorisidir. Plak çökmesi, kalınlığına göre çok küçük olan plaklar Kirchhoff Plağı olarak adlandırılırlar. Kirchhoff Plak Teorisi’nde yapılan varsayımalar şunlardır.
i) Şekil değiştirmeden önce düzlem kalan kesit, şekil değiştirmeden sonra da düzlem kalır.
ii) Orta düzleme dik bir doğru üzerinde bulunan noktalar, şekil değiştirmeden sonra da, şekil değiştirmiş orta düzleme dik kalırlar.
iii) Kayma şekil değiştirmeleri ihmal edilir.
2) Kármán Plak Teorisi: Plak çökmesi, kalınlık mertebesinde büyük olan plaklar için kullanılır ve büyük şekil değiştirmeler hesaplanır. Alan denklemleri doğrusal olmayan terimler içerir.
3) Reissner Plak Teorisi: Kayma şekil değiştirmeleri hesaba katılma durumundadır. Nispeten kalın plaklar için uygun olan bir teoridir. Burada yapılan varsayımlar şunlardır.
i) Malzeme doğrusal elastiktir. ii) Plak homojen ve izotroptur. iii) Hooke kanunları geçerlidir.
iv) Kayma gerilmeleri hesaba katılacaktır.
v) Şekil değiştirmeden önce düzlem kalan kesit, şekil değiştirmeden sonra da düzlem kalır.
X1 X3 X2 P Q F Q H N q1 q2 q3
vi) Orta düzleme dik bir doğru üzerinde bulunan noktalar, şekil değiştirmeden sonra, şekil değiştirmiş orta düzleme dik kalmazlar.
Kirchhoff Plak Teorisinde, enine kayma gerilmelerinin (13,23) şekil değiştirmeler
üzerindeki etkisi ihmal edilir. Bu yüzden plak için üç olan sınır şartları (eğilme momenti, burulma moment ve kesme kuvveti) ikiye iner (Girkmann, 1991). Sınırda, burulma momenti, eşdeğerce statik kesme kuvvetine dönüştürülür. Reissner Plak Teorisinde, böyle bir indirgemeye gerek kalmaz.
2.2 DENGE DENKLEMLERĠ
Şekil 2.1 Dış Kuvvetler, Dış Momentler, Kesit Mambran Kuvvetleri, Kesit Kesme Kuvvetleri ve Kesit Momentlerinin Pozitif Yönleri
i
X doğrultularında, kuvvet ve moment denge denklemleri yazıldığında,
0 0 0 2 1 , 2 , 1 2 , 1 , 3 2 , 1 , m H T M m F T K f H F (2.1)
sonuçlarına ulaşılır. Levha problemi için denge denklemleri,
0 0 2 1 , 2 , 1 1 , 2 , f Q N f P Q (2.2) şeklinde bulunur. X1 X3 X2 T K M T my mx
2.3 BÜNYE BAĞINTILARI X1 33 22 12 13 21 23 31 32 11 X2 X3
Şekil 2.2 Gerilme Bileşenleri Üç boyutlu elastisite teorisinde doğrusal kinematik bağıntı,
) ( , , 2 1 i j j i ij u u (i=1,2,3 j=1,2,3) (2.3) ) , ( ) , ( ) 2 , 1 ( ) , ( ) , ( ) , , ( 2 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 x x u x x u x x zΩ x x u x x x uα α α (2.4)
şeklinde yazılır. Yukarıdaki ifade, Reissner Plak Teorisi’ne göre, eğilme etkilerini,
) ( 2 1,2 2,1 2,1 1,2 2 , 2 2 , 2 1 , 1 1 , 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 12 22 11 12 22 11 z u u z u z u u u u u f (2.5) ve kayma etkilerini, 2 , 3 2 1 , 3 1 2 , 3 3 , 2 1 , 3 3 , 1 23 13 23 13 2 2 u u u u u u s (2.6)
içerecek şekilde elde edilir . u(xi)
u1(xi),u2(xi),u3(xj)
(i 1,2,3; j 1,2) plak ortamındaki bir noktanın yer değiştirme bileşenleridir. Bu yer değiştirmeleri, plak kalınlığı yanında küçük varsayılır. Hooke yasalarına göre, gerilmeler ile şekil değiştirmeler arasındaki bağıntılar, 13 2 3 3 2 23 13 1 3 3 1 13 12 1 2 2 1 12 33 11 22 2 2 22 33 22 11 1 11 1 1 1 )] ( [ 1 )] ( [ 1 G x u x u G x u x u G x u x u E x u E x u (2.7)
şeklinde yazılır. Kesit tesirleri, gerilmeler cinsinden,
2 / 2 / 23 2 / 2 / 13 2 / 2 / 12 2 / 2 / 22 2 / 2 / 11 h h h h h h h h h h dz H dz F zdz T zdz M zdz K (2.8)şeklinde ifade edilir. Gerilmeler ile kesit tesirleri arasındaki bağıntılar,
] 2 3 1 2 3 2 [ 4 3 ] 2 1 [ 2 3 ] 2 1 [ 2 3 12 12 12 3 3 33 2 23 2 13 3 12 3 22 3 11 h z h z f h z h H h z h F z h T z h M z h K (2.9)
denklemleri ile elde edilir (Panc, 1975). (2.9) denklemlerinin elde edilişleri, Ek 1 de gösterilmiştir. Burada, (K,M,T) kesit momentleri; (F,H) kesit kesme kuvvetleri,
h plak kalınlığıdır.
Kesitin bileşke yer değiştimesi ve bileşke dönmeleri, u3,1,2 şeklinde gösterilir. Bileşke yer değiştirme ve bileşke dönme büyüklüklerinin iç kuvvetlerle yaptığı işin, kesitin yer değiştirmeleriyle gerilmelerinin yaptığı işe eşit olması gerekir. Bu prensibe dayanarak, (2.8) denklemleri kullanılarak,
2 / 2 / 23 3 3 2 / 2 / 13 3 3 2 / 2 / 12 2 2 2 / 2 / 12 1 2 2 / 2 / 22 2 1 2 / 2 / 11 1 h h h h h h h h h h h h Hu dz u Fu dz u T dz u T dz u M dz u K dz u (2.10)sonuçlarına ulaşılır. (2.9) ifadeleri (2.10) denklemlerinde yerine koyulursa,
2 / 2 / 2 2 3 3 2 / 2 / 2 3 2 2 / 2 / 1 3 1 ] 1 [ 2 3 12 12 h h h z h h h h dz u h u zdz u h zdz u h (2.11)sonuçları bulunur. Fonksiyonel hesabında kullanılacak olan bünye bağıntılarının çıkarılışı, Ek-2 de gösterilmiştir. Buna göre bünye bağıntıları,
0 5 6 0 5 6 0 12 0 ] 10 [ 12 0 ] 10 [ 12 2 , 3 2 1 , 3 1 3 1 , 2 2 , 1 3 2 3 2 , 2 3 2 3 1 , 1 H Gh u F Gh u T Gh f h K M Eh f h M K Eh (2.12)
şeklindedir (Panc, 1975). Levha problemi için bünye bağıntıları,
0 ) 1 ( 2 0 ] [ Eh 1 0 ] [ Eh 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 u u Q Eh u P N u N P (2.13)
2.4 FONKSĠYONELĠN ELDE EDĠLĠġĠ 2.4.1 ALAN DENKLEMLERĠ Serbest değişkenleri T j α ) (u u3 Ω
d (α j 1,2) ve σ olan Reissner plağının alan denklemleri operatör gösterimde,
0 C σ ε 0 f σ De (2.14)
şeklinde ifade edilir. Burada,
T f s m ε ε ε ε (2.15) olup,
T f T s T m z z z u u u u u u ) ( ) ( ) ( ) ( 1 , 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 2 , 3 2 1 , 3 1 1 , 2 2 , 1 2 , 2 1 , 1 ε ε ε (2.16)şeklinde ifade edilir. Türev operatörleri,
e f e s e m e D I D D D 2 2 0 0 0 0 0 (2.17) 1 2 2 1 D D 0 D 0 D e m D , α Dα (...) (2.18a)
D1 D2
e s D , e m e f D D , 1 0 0 1 2 2 I (2.18b) k f k s k m k D I D D D 0 0 0 0 0 2 2 (2.19) şeklinde olup, e D ile k 1 0 0 1 ) ( ) ( ) ( 2 2 I D D D D D D T e f k f T e s k s T e m k m (2.20) j k f f k m m j k s s zD Ω ε u D ε Ω u D ε 3 (2.21)
şeklindedir. Mambran kuvvetler, kesme kuvvetler ve momentlere ait operatör form,
] [σm σs σ f σ (2.22) olup, T f T s T m T M K H F Q N P σ σ σ (2.23)
şeklinde ifade edilir. Kompliyans matrisi,
f s m C C C C 0 0 0 0 0 0 (2.24) olup, 1 0 0 1 1 ) 1 ( 2 0 0 0 1 0 1 12 ) 1 ( 2 0 0 0 1 0 1 1 3 Gh Eh Eh s f m C C C (2.25)
şeklinde ifade edilir. f yük vektörünü ifade etmektedir. Yük vektörünün açık gösterimi, 2 1 3 2 1 m m f f f T T m q m q f (2.26) şeklindedir. 2.4.2 VARYASYONEL ĠġLEMLER
Denge denklemleri ve bünye bağıntıları operatör yapıda,
f
Ly (2.27)
şeklinde ifade edilir. Eğer (2.29) ifadesi potansiyel bir operatör ise:
[ * ), ; (y y y L d ][dL(y;y*),y] (2.28)
özdeşliği sağlanmalıdır. Burada dL(y;y) ile dL(y;y*), operatörün y ve * y
doğrultusundaki Gáteaux türevidir ve tanımı,
0 ) ( ) ; ( y y L y y L τ d , (2.29)
olup burada bir skalerdir (Oden ve Reddy, 1976). O halde (2.29) a göre (2.28) yazılırsa, ] , ) [( -] , ) [( ] , ) [( -] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , ) [-( ] , ) [-( ] , ) [-( , ) ; ( * T * T * T * * * * * T * 3 T * T f f f s s s m m m f T f s T s m T m j T s j f e f s e s m e m d σ σ C σ σ C σ σ C σ ε σ ε σ ε Ω σ Ω σ D u σ D u σ D y y y L * (2.30) ] , ) [( -] , ) [( ] , ) [( -] , ) [( ] , ) [( ] , ) [( ] , ) [( ] , ) [-( ] , ) [-( ] , ) [-( , ) ; ( T * T * T * T * T * T * T * T * 3 T * T * f f f s s s m m m f f s s m m j s j f e f s e s m e m d σ σ C σ σ C σ σ C σ ε σ ε σ ε Ω σ Ω σ D u σ D u σ D y y y L * (2.31)
olur. (Dkd) ε bağıntısını gözönünde bulundurarak (2.30) ifadesine Green-Gauss teoremi uygulanırsa,
* * 3 * * * 3 * * T * T * T * * 3 * * * * * , , , , -, , -] , ) [( -] , ) [( ] , ) [( )] ( , [ -)] ( , [ -)] ( , [ -] , [ ] , [ ] , [ ] , [ , ) ; ( f j s m α j f s α m f f f s s s m m m f e f T j s e s T m e m T α j T s f T f s T s m T m d σ Ω σ u σ u Ω σ u σ u σ σ σ C σ σ C σ σ C σ D Ω σ D u σ D u Ω σ ε σ ε σ ε σ y y y L * (2.32)
sonucuna ulaşılır. Bu ifade düzenlenirse,
* * 3 * * * 3 * , , , , -, , , ) , ( , ) , ( f j s m α j f s α m d d σ Ω σ u σ u Ω σ u σ u σ y y y L y y y L * * (2.33)
ifadesi elde edilir. Burada , dinamik ve geometrik sınır koşullarının
toplamını göstermektedir. Türev kaydırma işleminden sonra ortaya çıkan sınır koşulları, * * 3 * * * 3 * , , , , , , f j s m α j f s α m SK σ Ω σ u σ u Ω σ u σ u σ (2.34)
olur. Potansiyel operatör koşulunun sağlatılabilmesi için sınır koşulları,
SK Q dan, * * 3 * * * 3 * , , , , , , f j s m α j f s α m Q σ Ω σ u σ u Ω σ u σ u σ (2.35)
olmalıdır. (2.35) de kapalı olarak gösterilen ifadenin açık gösterimi,
σ f j ε f j f j σ s ε s s σ m ε m α m α ε j f σ j f j f ε s σ s s ε α m σ α m α m σ Ω σ Ω σ Ω σ u σ u σ u σ u σ u σ u Ω σ Ω σ Ω σ u σ u σ u σ u σ u σ u σ ˆ , , , ˆ , , , ˆ , , , ˆ , , , ˆ , , , ˆ , , , * 3 3 * 3 * * 3 3 * 3 * (2.36)
şeklinde olur. Böylelikle, (2.36) ifadesi, operatörün bulunması esnasında kullanılacak hale gelmiştir. Fonksiyonele sınır koşullarının katkısı,
σ f j ε f j σ s ε s σ m ε m α ε j f σ j f ε s σ s ε α m σ α m σ Ω σ Ω σ u σ u σ u σ u Ω σ Ω σ u σ u σ u σ u σ y y y B ˆ , , ˆ , , ˆ , , ˆ , , ˆ , , ˆ , , ), ˆ , ( 3 3 3 3 (2.37)
şeklinde olur. Problemin sınır koşulları,
0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 0 ˆ 3 3 f f s s m m j j α α σ σ σ σ σ σ Ω Ω u u u u (2.38)
şeklinde gösterilir. Potansiyellik koşulunu sağlayan operatör,
f Ly
Q (2.39)
şeklinde ifade edilir. (2.39) daki operatör ve (2.37) deki sınır şartları kullanılarak,
1 0 1 0 ] ), ˆ , ( [ ] ), , ( [ ) ( s ds s ds I y Q y f y B y y y (2.40)formülü ile aranılan fonksiyonel bulunur. (2.40) formülü uygulanırsa,
Q T 2 1 T 2 1 T 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T 2 1 3 T 2 1 T 2 1 ] , [ ] , ) [( -] , ) [( -] , ) [( -] , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , ) [( ] , ) [( ] , ) [( ) ( d f σ σ C σ σ C σ σ C σ ε σ ε σ ε Ω σ Ω σ D u σ D u σ D y T f f f s s s m m m f T f s T s m T m j T s j f e f s e s α m e m I (2.41)
sonucuna ulaşılır. (2.41) de, Q, potansiyel operatör koşulundan gelen sınır koşulları
olup, bunların fonksiyonele katkısı,
ε j f ε s ε α m σ s σ m α σ f j ε f j ε s ε m α σ j f σ s σ α m Q I Ω σ u σ u σ σ u σ u σ Ω σ Ω σ u σ u Ω σ u σ u σ y ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ] , , , , , , [ ) ( 3 3 3 3 2 1 (2.42) şeklindedir. (2.41) ifadesindeki
[( ) , ], [( ) , ], 21[ , ]
3 T 2 1 T 2 1 f T f s e s α m e mσ u D σ u ε σ D terimlere Q T 2 1 T 2 1 T 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T 2 1 2 1 2 1 ] , [ ] , ) [( -] , ) [( -] , ) [( )] ( , [ ] , [ ] , [ ] , [ ] , ) [( ] , [ ] , [ ) ( I T f f f s s s m m m f e f T j s T s m T m j T s j f e f s T s m T m I d f σ σ C σ σ C σ σ C σ D Ω σ ε σ ε Ω σ Ω σ D ε σ ε σ y (2.43)
sonucuna ulaşılır. (2.43) de gerekli düzenlemeler yapılırsa,
Q T 2 1 T 2 1 T 2 1 2 1 T 2 1 ] , [ ] , ) [( -] , ) [( -] , ) [( ] , [ ] , ) [( ] , [ ] , [ ) ( I T f f f s s s m m m j T s T j f e f s T s m T m I d f σ σ C σ σ C σ σ C Ω σ Ω σ D σ ε σ ε y (2.44)
sonucuna ulaşılır. Burada I, türev kaydırma işleminden dolayı ortaya çıkan sınır koşullarını ifade etmektedir. Fonksiyonelin tüm sınır koşulları birarada gösterilmek istenirse,
) ( 2 1 ) ( 3 2 1 ) ( 2 1 3 3 3 3 2 1 , , , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ] , , , , , , [ ) ( σ ε j f σ ε s σ ε α m ε j f ε s ε α m σ s σ m α σ f j ε f j ε s ε m α σ j f σ s σ α m I Q I Ω σ u σ u σ Ω σ u σ u σ σ u σ u σ Ω σ Ω σ u σ u Ω σ u σ u σ y (2.45)sonucuna ulaşılır. (2.45) ifadesinde gerekli düzenlemeler yapılırsa,
σ σ s σ m α σ f j j f ε j f s α m s m α I Q I σ u σ u σ Ω Ω σ Ω σ u σ u σ σ u σ u y ˆ , ˆ , ˆ , , ˆ , ˆ , ˆ , , , ) ( 3 3 3 (2.46)
sonucu bulunur. Fonksiyonelin son hali,
σ f f j s m α ε j f s α α m T f f f s s s m m m j T s T j f e f s T s m T m I ) ˆ ( , ˆ , ˆ , ˆ , ) ˆ ( , ) ˆ ( , -] , [ ] , ) [( -] , ) [( -] , ) [( ] , [ ] , ) [( ] , [ ] , [ ) ( 3 3 3 T 2 1 T 2 1 T 2 1 2 1 T σ σ Ω σ u σ u Ω σ u u σ u u σ d f σ σ C σ σ C σ σ C Ω σ Ω σ D σ ε σ ε y (2.47)3. DÖRTGEN SONLU ELEMAN
Bu çalışmada, bilineer ve kuadratik şekil fonksiyonlarına dayalı olarak izoparametrik plak elemanları geliştirilmiştir. 4 düğüm noktalı elemanların (4DN) yanı sıra, 5, 6 ve 8 düğüm noktalı geçiş elemanları (5DN, 6DN, 8DN) kullanılmıştır.
3.1 KOORDĠNAT DÖNÜġÜMLERĠ
Şekil 3.1 Bilineer İzoparametrik dörtgen eleman Bilineer şekil fonksiyonları, ( , ) 14(1 )(1 )
i
i
şeklinde ifade edilir. İzoparametrik sonlu eleman formülasyonu,
n i x i i x n i i i n i i i n i i i K K K K w w 1 , , 1 1 1 (3.1)biçiminde tanımlanır (Reddy, 1993). Burada n, düğüm noktası sayısını göstermektedir. (,) koordinat takımı ve (x,y) doğal koordinat takımı arasındaki dönüşümler, (x1,y1) 1 (x2,y2) (x4,y4) (x3,y3) y x x h (x3,y3) (x1,y1) (x2,y2) (x4,y4) 4 x h x = x (x,y) h = h (x,y) x = x (x , h ) y= y(x , h )
d y d y dy d x d x dx (3.2)
biçiminde yazılır. Bunlar, matris yapıda,
d d y y x x dy dx J (3.3)
şeklinde yazılır. Burada, koordinat dönüşümü, jakobyen J ile yapılır. Determinant,
J
J det (3.4)
dir. Diferansiyel alan eleman ise,
d d dxdy
dA J (3.5)
şeklinde ifade edilir. Benzer şekilde,
dy dx y x y x dy dx d d 1 J (3.6)
ifade edilir. (3.3) ve (3.6) denklemlerini eşitleyerek,
x y y x x y y x J J J J 1 1 1 1 (3.7)
ifadeleri elde edilir. N j(x,y), (x,y) koordinat takımında; Nˆ j(,),(,) tanımlı şekil fonksiyonlarıdır. N j(x,y), Nˆj(,) şekil fonksiyonlarından,
) , ( ˆ ) , ( ˆ ,..., 2 , 1 , )) , ( ), , ( ( ˆ ) , ( 1 1 j n j j j n j j j j N y y N x x n j y x y x N y x N (3.8)şeklinde elde edilir. Nj(x,y) nin türevleri, zincir kuralına göre,
y N y N y N x N x N x N j j j j j j ˆ ˆ ˆ ˆ (3.9)
şeklinde ifade edilir. (3.7) ifadeleri kullanılarak şekil fonksiyonlarının türevleri,
n k k k n k j k k j j n k k k n k j k k j j N x N N x N y N N y N N y N x N 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ) , ( 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ) , ( 1 J J (3.10) şeklinde bulunur. 3.2 GEÇĠġ ELEMANLARIŞekil 3.2, Şekil 3.3, Şekil 3.4 de 5DN, 6DN, 8DN elemanlar için şekil fonksiyonları verilmiştir (Bathe, 1982). 5DN ve 6DN elemanlarda, hem bilineer hem de kuadratik şekil fonksiyonları mevcuttur. 8DN elemanlar ise sadece kuadratik şekil fonksiyonlarını içermektedir.
Hem levha hem de plak davranışı sergileyen elemanlar için, her bir düğüm noktasında üç yer değiştirme (u1,u2,u3), iki dönme (1,2), üç mambran kuvvet
) , ,
(P N Q , iki kesme kuvveti (F,H) ve üç moment (K,M,T) değeri olmak üzere toplam 13 serbestlik derecesi tanımlanmıştır. Sadece plak davranışı sergileyen elemanlar için, her bir düğüm noktasında bir yerdeğiştirme (u3), iki dönme
) ,
(1 2 , iki kesme kuvveti (F,H) ve üç moment (K,M,T) değeri olmak üzere toplam 8 serbestlik derecesi tanımlanmıştır.
1 3 2 4 x 5 6 h 1 3 2 4 x h 5 [D1, D2] ( , ) 41( )(1 )(1 ) i i i [D3, D4] ( , ) 41(1 )(1 ) i i [D5] ( , ) (1 )(1 2) 2 1 i Şekil 3.2 5DN Eleman [D1] ( , ) 41(1 )(1 )( 1) i i i i [D2] ( , ) 41( )(1 )(1 ) i i i [D3] ( , ) 41( )(1 )(1 ) i i i [D4] ( , ) 41(1 )(1 ) i i [D5] (,) 12(1 )(12) i [D6] (,) 12(1 )(12) i Şekil 3.3 6DN Eleman [D1, D2, D3, D4] ) 1 )( 1 )( 1 ( ) , ( 41 i i i i [D6, D8] (i 0) ) 1 )( 1 ( ) , ( 21 2 i [D5, D7](i 0) ) 1 )( 1 ( ) , ( 2 2 1 i Şekil 3.4 8DN Eleman 1 3 2 4 x 5 6 7 8 h
4. SAYISAL ÖRNEKLER
Levha davranışı gözönünde bulundurulmadan, orta düzleme dik yükleme altında çalışan plaklar için sayısal uygulamalar yapılacaktır. Bu sebeple elemanların her bir düğüm noktasında 8 serbestlik derecesi mevcuttur. Bunlar, yerdeğiştirme (u3), iki dönme (1,2), iki kesme kuvveti (F,H) ve üç moment (K,M,T) değerleridir. Yükleme halleri düzgün yayılı ve tekil yükleme olarak iki başlık altında; mesnet koşulları dört kenarından basit mesnetlenmiş (SSSS) ve dört kenarından ankastre mesnetlenmiş (CCCC) olarak iki başlık altında irdelenecektir. Tüm çözümler, simetri koşulları göz önünde bulundurularak dörttebir plak için yapılacaktır. Plaklar, h kalınlığın, 2a açıklığına oranına bakılarak iki ayrı sınıfta incelenecektir. Bu da, 1. İnce Plaklar ( / 2h a 0.05)
2. Kalın Plaklar ( / 2h a 0.05)
biçiminde yapılacaktır (Eratlı. 1995). Ağ yapıları, 4 düğüm noktalı (4DN), 5 düğüm noktalı (5DN), 6 düğüm noktalı (6DN) ve 8 düğüm noktalı (8DN) elemanlar kullanılarak oluşturulacaktır. Tüm çözümlerde Poisson oranı 0 .3 alınacaktır.
4.1 DÜZGÜN YAYILI YÜKLEME
Şekil 4.1 Yayılı yükleme Durumu
Şekil 4.1 de hesaplara teşkil eden yayılı yükleme durumu gösterilmiştir.
2a x
y 2 a
q
4.1.1 ĠNCE VE ÇOK ĠNCE PLAKLAR 4.1.1.1 SSSS MESNET KOġULU
Başlangıç olarak çok ince plaklar ( / 2h a 0 .0 0 5) ele alınacak ve nispeten kalın plaklar için geliştirilmiş olan plak elemanlarında kayma kilitlenmesi (shear locking) olmadığı gösterilecektir. Plak orta nokta çökmesi, plak orta nokta momenti ve plak kenar orta noktasındaki kesme kuvveti değerleri kesin çözümle (Timoshenko ve Krieger, 1959) karşılaştırılacaktır.
i) 4DN Elemanlar: Tek sayıda (1, 9, 25, 49 ve 121) ve çift sayıda (4, 16, 36, 64 ve 144) 4DN plak elemanlar kullanılarak bulunan çözümler Tablo 4.1, Şekil 4.2, Şekil 4.3 ve Şekil 4.4 de gösterilmiştir. Ağ yapısı, eşit aralıklı bölünme yapılarak kurulmuştur. 4DN elemanlarla kurulmuş eşit aralıklı ağ örneği Ek-4 de gösterilmiştir.
Tablo 4.1 4DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plaklarda Doğrulama Tablosu [w(x 0,y 0),M y(x 0,y 0),Qy(x 0,y a)], [(h/2a 0.005 ), (υ 0.3)] Kare Plak Kesin T.N. n B.Ç. Hata (%) Ç.N. n B.Ç. Hata (%) 4 3 ) 2 ( a q Eh w 0.044300 1 10 0.116700 -163.4 4 36 0.045850 3.5 9 78 0.047330 6.8 16 136 0.044970 1.5 25 210 0.045340 2.4 36 300 0.044650 0.8 49 406 0.044850 1.2 64 528 0.044530 0.5 121 990 0.044560 0.6 144 1176 0.044440 0.3 2 ) 2 ( 1 a q M 0.047900 1 10 0.125000 -161.0 4 36 0.045850 -4.3 9 78 0.052875 10.4 16 136 0.047250 -1.4 25 210 0.049600 3.6 36 300 0.047575 -0.7 49 406 0.048725 1.7 64 528 0.047700 -0.4 121 990 0.048225 0.7 144 1176 0.047800 -0.2 ) 2 ( 1 a q Q 0.338000 1 10 0.375000 11.0 4 36 0.324800 -3.9 9 78 0.349800 3.5 16 136 0.326250 -3.5 25 210 0.346350 2.5 36 300 0.331050 -2.1 49 406 0.342300 1.3 64 528 0.334150 -1.1 121 990 0.339150 0.3 144 1176 0.336400 -0.5
B.Ç: Bu Çalışma T.N.: Tek Sayılı Sonlu Eleman Ağı n: Bilinmeyen Sayısı Ç.N.: Çift Sayılı Sonlu Eleman Ağı
Şekil 4.2 4DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plakta Çökme [w(x 0,y 0)] Yaklaşım Testi [(h/ 2a 0 .0 0 5), (υ 0.3)]
Şekil 4.3 4DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plakta Moment [My(x 0,y 0)] Yaklaşım
Testi [(h/2a 0.005 ), (υ 0.3)]
Şekil 4.4 4DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plakta Kesme Kuvveti [Qy(x 0,y a)] Yaklaşım Testi [(h/2a 0.005 ), (υ 0.3)]
ii) 8DN Elemanlar: Tek sayıda (1, 9 ve 25) ve çift sayıda (4, 16 ve 36) 8DN plak elemanlar kullanılarak bulunan çözümler Tablo 4.2, Şekil 4.5, Şekil 4.6 ve Şekil 4.7
0 ,0 0 0 ,0 2 0 ,0 4 0 ,0 6 0 ,0 8 0 ,1 0 0 ,1 2 0 ,1 4 0 5 0 1 0 0 1 5 0 E le m a n S a yısı wm a x Eh 3 /q (2 a ) 4 T ek E lem an Ç ift E lem an K es in 0 ,0 0 0 ,0 2 0 ,0 4 0 ,0 6 0 ,0 8 0 ,1 0 0 ,1 2 0 ,1 4 -1 0 1 0 3 0 5 0 7 0 9 0 1 1 0 1 3 0 1 5 0 E lem an S ayıs ı M m a x /q (2 a ) 2 T ek E lem an Ç ift E lem an K es in 0 ,3 2 0 ,3 3 0 ,3 4 0 ,3 5 0 ,3 6 0 ,3 7 0 ,3 8 0 5 0 1 0 0 1 5 0 E le m a n S a yısı Q m a x /q (2 a ) T ek E lem an Ç ift E lem an K es in
de gösterilmiştir. Ağ yapısı, eşit aralıklı bölünme yapılarak kurulmuştur. 8DN elemanlarla kurulmuş eşit aralıklı ağ örneği Ek 4 de gösterilmiştir.
Tablo 4.2 8DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plaklarda Doğrulama Tablosu [w(x 0,y 0),M y(x 0,y 0),Qy(x 0,y a)], [(h/2a 0.005 ), (υ 0.3)]
Kare plak Kesin T.N. n B.Ç. Hata
(%) Ç.N. n B.Ç. Hata (%) 4 3 ) 2 ( a q Eh w 0.044300 1 28 0.044250 -0.1 4 104 0.044917 1.4 9 228 0.044625 0.7 16 400 0.044500 0.5 25 620 0.044458 0.4 36 888 0.044417 0.3 2 ) 2 ( 1 a q M 0.047900 1 28 0.039645 -17.2 4 104 0.047531 -0.8 9 228 0.047509 -0.8 16 400 0.047777 -0.3 25 620 0.047778 -0.3 36 888 0.047831 -0.1 ) 2 ( 1 a q Q 0.338000 1 28 0.354606 4.9 4 104 0.325638 -3.7 9 228 0.337983 -0.1 16 400 0.333578 -1.3 25 620 0.336594 -0.4 36 888 0.336004 -0.6
B.Ç: Bu Çalışma T.N.: Tek Sayılı Sonlu Eleman Ağı n: Bilinmeyen Sayısı Ç.N.: Çift Sayılı Sonlu Eleman Ağı
Şekil 4.5 8DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plakta Çökme [w(x 0,y 0)] Yaklaşım
Testi [(h/2a 0.005 ), (υ 0.3)]
Şekil 4.6 8DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plakta Moment [My(x 0,y 0)] Yaklaşım
Testi [(h/2a 0.005 ), (υ 0.3)] 0 ,0 4 4 0 0 ,0 4 4 2 0 ,0 4 4 4 0 ,0 4 4 6 0 ,0 4 4 8 0 ,0 4 5 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 E le m a n S a yısı w max * E h 3 /q (2 a ) 4 T e k E le m a n Ç ift E le m a n K e s in 0 0 ,0 1 0 ,0 2 0 ,0 3 0 ,0 4 0 ,0 5 0 ,0 6 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0 E le m a n S a yıs ı M m a x /q (2 a ) 2 T ek E lem an Ç ift elem an K es in
Şekil 4.7 8DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plakta Kesme Kuvveti [Qy(x 0,y b)] Yaklaşım Testi [(h/2a 0.005 ),(υ 0.3)]
iii) Karma Elemanlar: Ağ yapısı 4DN, 5DN ve 6DN elemanlarla hazırlanmıştır. Mesnetli noktalar, 5DN ve 6DN elemanlar sayesinde sıklaştırılmıştır. Üç tip için çözüm araştırılmıştır. Çözümler Tablo 4.3 de gösterilmiştir.
Tip-1 Tip-2
Tip-3
Şekil 4.8 Karma Elemanlı Ağ Tipleri
a a x y a a y x a a y x 0 ,3 2 0 0 ,3 2 5 0 ,3 3 0 0 ,3 3 5 0 ,3 4 0 0 ,3 4 5 0 ,3 5 0 0 ,3 5 5 0 ,3 6 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 E le m a n S a yısı Q m a x /q (2 a ) T ek E lem an Ç ift elem an K es in
Tablo 4.3 4DN, 5DN, 6DN Elemanlı SSSS Mesnetli Plaklarda Doğrulama Tablosu [w(x 0,y 0),M y(x 0,y 0),Qy(x 0,y a)], [(h/2a 0.005 ),(υ 0.3)]
Kare Plak Kesin TİP n B.Ç. Hata
(%) 4 3 ) 2 ( a q Eh w 0.04430 1 532 0.044250 -0.1 2 300 0.044150 -0.3 3 132 0.043775 -1.2 2 ) 2 ( 1 a q M 0.04790 1 532 0.047564 -0.7 2 300 0.047330 -1.2 3 132 0.046772 -2.4 ) 2 ( 1 a q Q 0.33800 1 532 0.347793 2.9 2 300 0.354345 4.9 3 132 0.375242 11.0
B.Ç: Bu Çalışma n: Bilinmeyen Sayısı
Sadece 8DN elemanlar ve karma elemanlarla yapılan çözümlerin, kesin çözüme, daha az bilinmeyen kullanarak daha hızlı yakınsandığı görülmektedir. Değişik kalınlıklı ince plakların doğrulanması Tablo 4.4 de gösterilmiştir. Karşılaştırma, 13×13 lük 4DN elemanlar ve 6×6 lık 8DN elemanlar kullanılarak yapılmıştır.
Tablo 4.4 4DN ve 8DN Elemanlı Değişik Kalınlıklı SSSS Mesnetli Plaklarda Elemanın Doğrulanma Tablosu
[w(x 0,y 0),M y(x 0,y 0),Qy(x 0,y a)],(υ 0.3) Kare Plak 4 3 ) 2 ( a q Eh w 2 ) 2 ( 1 a q M
h/2a B.Ç.-1 B.Ç.-2 Kesin Hata(%) (%) B.Ç.-1 B.Ç.-2 Kesin Hata(%) (%) 0.005 0.044440 0.044417 0.0443 0.3 0.04780 0.047831 0,0479 0.21 0.01 0.044456 0.044467 0.4 0.04780 0.047831 0.21 0.02 0.044524 0.044507 0.5 0.04780 0.047831 0.21 0.03 0.044647 0.044631 0.8 0.04780 0.047831 0.21 0.04 0.044800 0.044800 1.1 0.04780 0.047831 0.21 ) 2 ( 1 a q Q
h/2a B.Ç.-1 B.Ç.-2 Kesin Hata(%) 0.005 0.3364 0.3360 0.3380 0.47 0.01 0.3364 0.3360 0.47 0.02 0.3364 0.3360 0.47 0.03 0.3364 0.3360 0.47 0.04 0.3364 0.3360 0.47
(B.Ç.-1) 13×13 lük 4DN Elemanlar Kullanılan Bu Çalışma (B.Ç.-2) 6×6 lık 8DN Elemanlar Kullanılan Bu Çalışma
