ÜN‹TE V

 ^{ÜN‹TE V}

KÜRE

1. KÜRE a. Tan›m

b. Bir Kürenin Belirli Olmas›

c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN‹N ALANI

3. KÜREN‹N HACM‹

4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla¤›

I. Tan›m

II. Küre Kufla¤›n›n Alan›

b. Küre Tabakas›

I. Tan›m

II. Küre Tabakas›n›n Hacmi c. Küre Kapa¤›

I. Tan›m

II. Küre Kapa¤›n Alan›

ç. Küre Parças›

I. Tan›m

II. Küre Parças›n›n Hacmi d. Küre Kesmesi

I. Tan›m

II. Küre Kesmesinin Hacmi e. Küre Dilimi

I. Tan›m

II. Küre Diliminin Alan›

III. Küre Diliminin Hacmi 5. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖZET

ALIfiTIRMALAR TEST V

* Örnek sorular› dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal›fl›n›z.

* Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar›ndan yararlan›n›z.

* Konular› anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz.

* Her bölümün sonunda verilen al›flt›rma ve de¤erlendirme sorular›n› çözünüz.

* Test sorular› ile kendinizi deneyiniz. Baflar›s›z iseniz, baflar›s›z oldu¤unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz.

Bu üniteyi çal›flt›¤›n›zda;

* Küreye ait tan›mlar› aç›klayabilecek ve bir kürenin belirli olma flartlar›n› belirtebile cek,

* Bir küre ile bir düzlemin ara kesitini çizerek aç›klayabilecek,

* Kürenin alan›n› bulabilecek,

* Kürenin hacmini bulabilecek,

* Küre kapa¤›n› tan›yabilecek ve alan›n› bulabilecek,

* Küre parças›n› tan›yabilecek ve hacmini bulabilecek,

* Küre kesmesini tan›yabilecek ve hacmini bulabilecek,

* Küre dilimini tan›yabilecek, alan ve hacmini bulabilecek,

* Küreye ait çeflitli uygulamalar› yapabilecek ve problemleri çözebilecektir.

* Dik dairesel kesik koninin alan›n› bulabilecek,

* Dairesel kesik koninin hacmini bulabilcek,

* Konilere ait çeflitli uygulamalar› yapabilecek ve problemleri çözebilecektir.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI

☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ?

✍

ÜN‹TE V KÜRE 1. KÜRE

a. Tan›m

Uzayda, sabit bir noktadan eflit uzakl›kta olan noktalar›n birleflim kümesine (geometrik yerine) küre yüzeyi, bu yüzeyle s›n›rlanan cisme küre denir.

(fiekil 5.1) de al›nan 0 sabit noktaya kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras›ndaki sabit uzakl›¤a kürenin yar›çap›, küre yüzeyinde al›nan A ve B gibi farkl› iki noktay› birlefltiren do¤ru parças›na kürenin kirifli , kürenin merkezi olan 0 noktalar›ndan geçen kirifle de, kürenin çap› denir.

Merkezi 0 ve yar›çap› r olan bir küre k›saca (0, r) fleklinde yaz›l›r.

Küre yüzeyi, bir yar›m dairenin çap› üzerindeki ekseni etraf›nda döndürülerek elde edilebilir.

Yar›çap uzunluklar› eflit tüm küreler, birbirine efltir.

b. Bir K ü renin Belirli Olmas›

Bir küre, merkezi ve yar›çap› bilindi¤i taktirde belirli olur.

Bir kürenin belirli olmas› için, küre yüzeyine ait kaç noktan›n bilinmesi gerekti¤ini bulal›m.

1. Bir noktadan, sonsuz say›da küre geçer. Verilen bir K noktas›ndan geçen kürelerin yar›çaplar› r kadar ise, merkezlerinin geometrik yeri, r yar›çapl› K merkezli küre yüzeyi olur.

fiekil 5.1

❂

❂

2. ‹ki noktadan, sonsuz say›da küre geçer. Bu kürelerin merkezlerinin geometrik yeri, bu iki noktay› birlefltiren do¤ru parç›s›n›n orta dikme düzlemidir.

3. Do¤rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say›da küre geçer. Bu kürelerin merkez lerinin geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin düzlemine, merkezinden ç›k›lan dik do¤rudur.

4. Ayn› bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln›z küre geçer. Ayn› bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan eflit uzakl›kta bulunan yaln›z bir nokta vard›r.

O halde, bir kürenin belirlenmesi için, üçü birden ayn› düzlemde olmayan en az dört nokta verilmelidir.

c. Bir K ü re ‹le Bir Düzlemin Ara Kesiti

Teorem: Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir.

‹spat: (fiekil 5.2) de, 0 merkezli r yar›çapl› bir küre, P düzlemiyle kesildi¤inde, [0M] ⊥ [MN] olacak flekilde bir 0MN dik üçgeni çizelim. Bu üçgende |0N| = r, |0M| = d ve |MN| = r₁olsun.

0MN dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

r₁ uzunlu¤u sabit oldu¤una göre, N noktalar› sabit bir M noktas›ndan eflit uzakl›ktaki noktalar kümesidir.

Buna göre, ara kesit M merkezli ve r yar›çapl› bir çemberdir. Bu çemberle s›n›rlanan düzlemsel bölge de daire olur.

r² = d² + r₁² , r₁² = r² - d² ise, r₁ = r² - d² dir.

fiekil 5.2

d. Bir K ü re ile Düzlemin Birbirine Göre Konumlar›

Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl› konumu vard›r. Kürenin yar›çap›

r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl›¤› d olsun. (fiekil 5. 3). Buna göre;

1. d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir.

2. d = r ise, küre bir T noktas›nda düzleme te¤ettir.

Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad›r. Bu noktaya de¤me noktas›, düzleme de te¤et düzlemi denir.

3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir.

Küre merkezinin düzleme uzakl›¤› d = 0 ise, düzlem kürenin merkezinden geçer.

Bu durumda, küre yüzeyi ile düzlemin ara kesitine, kürenin bir büyük çemberi denir.

Büyük çemberin yar›çap›, kürenin yar›çap›na eflittir.

Teorem: Uzayda, bir do¤ru parças›n›, dik aç› alt›nda gören noktalar›n geometrik yeri, bu do¤ru parçalar›n› çap kabul eden bir küre yüzeyidir.

‹spat : Sabit do¤ru parças› [AB] ve geometrik yere ait bir nokta C olsun (fiekil 5.4).

fiekil 5.3

❂

❂

ABC üçgeni C köflesinde dik ise, bir dik üçgende hipotenüs kenarortay›n yar›s›na eflit olaca¤›ndan,

O halde, C noktas›n›n geometrik yeri, merkezi 0 ve yar›çap›

yüzeyidir.

2. KÜREN‹N ALANI

Teorem: Yar›çap› r olan bir kürenin alan›, A = 4.π.r²dir.

‹spat: Çap› |AF| = 2r olan bir yar›m çember, [AF] çap› etraf›nda döndürülürse, r yar›çapl› bir küre yüzeyi oluflur. Bu yar›m çemberin içine çizilen herhangi bir yar›m düzgün çokgen ABCDEF olsun. Bu düzgün çokgenin iç çemberin yar›çap›n› r₁ ile gösterelim (fiekil 5.5).

fiekil 5.4

fiekil 5.5

0C = AB

2 olur.

AB

2 olan bir küre

ABCDEF düzgün yar›m çokgenin, AF etraf›nda dönmesinden oluflan cismin alan›n› A₁ ile gösterelim. Bu alan [AB], [BC], [CD], [DE], [EF], nin dönmesinden elde edilen alan›n toplam›na eflittir.

Burada, düzgün yar›m çokgenin kenarlar›n›n say›s›n›, sonsuz say›da art›r›l›rsa, yar›m çokgenin çevresi [AF] çapl› yar›m çemberin çevresine, r₁yar›çap› r ye, A₁alan›

da, kürenin A alan›na eriflir.

O halde, kürenin alan›: A = 4.π . r . r = 4.π . r² olur.

Bu teoremle göre afla¤›daki ifadeleri söylebeliriz.

1. Bir kürenin alan›, bir büyük dairesinin alan›n›n 4 kat›na eflittir.

2. ‹ki kürenin alanlar›n›n oran›, yar›çaplar›n›n karelerinin oran›na eflittir.

ÖRNEK 5.1

Yar›çap› 6 cm olan bir kürenin alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Yar›çap› r = 6 cm olan kürenin alan›: A = 4.π . r² ifadesinden, A = 4. π . 6²= 4 . π . 36 = 144 π cm²olur.

3. KÜREN‹N HACM‹

Yar›çap› r olan bir kürenin hacmi, yar›çap›n›n küpü ile π say›s›n›n çarp›m›n›n kat›d›r. Buna göre, r yar›çapl› bir kürenin hacmi,

‹ki kürenin hacimlerinin oran›, yar›çaplar›n›n küplerinin oran›na eflittir.

ÖRNEK 5. 2

Yar›çap› 4 cm olan bir kürenin hacmini bulal›m (π = 3 al›nacakt›r).

ÇÖZÜM

Yar›çap› r = 4 cm olan kürenin hacmi:

Buna göre, A₁ = 2.π.r₁ AB′ + 2πr1 B′C′ +2πr1 C′D′ + 2πr1 D′E′ +2πr1 E′F A₁ = 2. π .r₁ AB′ + B′C′ + C′D′ + D′E′ + E′F

A₁ = 2.π .r₁ . 2r = 4 .π .r₁ . r bulunur.

2r

4

3 V = 4

3 .π .r³ dür.

V = 4

3 . π . r³ ifadesinden, V = 4

3 . 3 . 4³ = 4⁴ = 256 cm³ olur.

4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla¤›

I. Tan›m

Bir küre yüzeyinin, P ve Q gibi iki paralel düzlem aras›nda kalan kürenin parças›na, küre kufla¤› denir(fiekil 5. 6).

Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla¤›n›n tabanlar› ve tabanlar aras›ndaki uzakl›¤a da, küre kufla¤›n›n yüksekli¤i denir (fiekil 5. 7).

II. Küre Kufla¤›n›n Alan›

(fiekil 5.7) deki küre kufla¤›, AB çember yay›n, [0₁0₂] yüksekli¤i etraf›nda 360°

döndürülmesi ile meydana gelir. Kürenin yar›çap› r, küre kufla¤›n yüksekli¤i h ise, küre kufla¤›n›n alan›: A = 2 . π . r . h d›r.

fiekil 5.6

fiekil 5.7

❂

❂

ÖRNEK 5. 3

Yar›çap› 6 cm olan bir kürede, küre kufla¤›n›n yüksekli¤i 3 cm ise, bu küre kufla¤›n›n alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen küre kufla¤›n›n yüksekli¤i h = 3 cm ve kürenin yar›çap› r = 6 cm dir. Küre kufla¤›n›n alan›:

A = 2. π. r. h ifadesinden, A = 2. π . 6 . 3 = 36 π cm²olur.

b. Küre Tabakas›

I. Tan›m

Küre kufla¤› ile paralel P ve Q düzlemleri aras›nda kalan cisme, küre tabakas› denir (fiekil 5. 8).

Birbirine parelel olan düzlemsel kesitlere, küre tabakas›n›n tabanlar›, tabanlar aras›ndaki uzakl›¤a da, küre tabakas›n›n yüksekli¤i denir.

Küre kufla¤› üstten ve alttan aç›k, küre tabakas› ise kapal›d›r. Küre kufla¤›, küre tabakas›n›n yanal yüzüdür. Yükseklik ise ikisinde de ayn›d›r.

II. Küre Tabakas›n›n Hacmi

(fiekil 5.8) deki küre tabakas›n›n yüksekli¤i |0₁0₂| = h, alt taban›n yar›çap›, |0₂C| = r₂, üst taban›n yar›çap› |0₁D| = r₁ise,

Küre tabakas›n›n hacmi:

fiekil 5.8

V = π.h

6 3r₁² + 3r₂² + h² dir.

❂

❂

ÖRNEK 5.4

Bir küre tabakas›n›n yüksekli¤i 4 cm, alt taban›n yar›çap› 5 cm, üst taban›n yar›çap›

3 cm oldu¤una göre, bu küre tabakas›n›n hacmini bulal›m (π ≈ 3 al›nacakt›r).

ÇÖZÜM

Verilen küre tabakas›n›n yüksekli¤i h = 4 cm, alt taban›n yar›çap› r₂= 5 cm ve üst taban›n yar›çap› r₁= 3 cm dir.

c. Küre Kapa¤›

I. Tan›m

Bir küre yüzeyinin, P düzlemi ile kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa¤› denir(fiekil 5.9).

Küre kapa¤›n›n içi bofltur.

II. Küre Kapa¤›n Alan›

(fiekil 5.9) daki küre kapa¤›, tabanlardan birinin yar›çap› s›f›r olan küre kufla¤› gibidir.

Bu nedenle, r yar›çapl› bir küreden kesilen, h yüksekli¤indeki bir küre kapa¤›n›n alan›:

A = 2π . r . h dir.

Küre taban›n›n hacmi: V = π.h

6 3r₁² + 3r₂² + h² ifadesinde, verilen de¤erler yerine konulursa,

V = 3.4

6 3. 3² +3 .5² + 4² = 12

6 3 . 9 + 3 . 25 + 16 V = 2 27 + 75 + 16 = 2 118 = 236 cm³ olur.

fiekil 5.9

❂

ÖRNEK 5.5

Yar›çap› 8 cm olan bir küre, merkezden 5 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa¤›n›n alan›n› bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› r = 8 cm ve küre kapa¤›n›n yüksekli¤i h = 8 - 5 = 3 cm dir.

Küre kapa¤›n›n alan›: A = 2π . r . h ifadesinden, A = 2π . 8 . 3 = 48 π cm²olur.

ç. Küre Parças›

I. Tan›m

Küre kapa¤› ile, kesit düzlemi aras›nda kalan cisme, küre parças› denir (fiekil 5.10).

Küre parças›n›n içi doludur.

II. Küre Parças›n›n Hacmi

(fiekil 5.10) da, r yar›çapl› bir küreden kesilen, h yüksekli¤indeki küre parças›n›n hacmi:

fiekil 5.10

V = 1

3 π.h² 3r - h d›r.

❂

ÖRNEK 5. 6

Yar›çap› 12 cm olan bir küreden kesilen, 4 cm yüksekli¤indeki küre parças›n›n, hacmini bulal›m (π = 3 al›nacakt›r).

ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› r = 12 cm ve kesilen küre parças›n›n yüksekli¤i h = 4 cm dir.

Küre parças›n›n hacmi:

d. Küre Kesmesi I. Tan›m

Bir AOB daire diliminin, kendisini kesmeyen, [EF] çap› etraf›nda 360° dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir.

(fiekil 5.11) deki küre kesmesinin ABDC yüzü bir küre kufla¤›, di¤er iki yüzü ise, birer koni yüzeyidir. Burada h, küre kufla¤›n›n yüksekli¤i ayn› zamanda küre kesmesinin de yüksekli¤idir.

II. Küre Kesmesinin Hacmi

(fiekil 5.11) deki küre kesmesi, ABDC küre kufla¤› ile, (0, BD) ve (0, AC) koni yüzeylerinin s›n›rlad›¤› cisimdir. Küre kesmesi, tepeleri kürenin merkezinde, tabanlar›

küre kufla¤› üzerinde bulunan, sonsuz say›da konilerin toplam› fleklinde düflünülebilir.

Bu konilerin yükseklikleri, kürenin yar›çap›na eflit ve r kadard›r. Küre kesmesinin yük- sekli¤i h ise, küre kufla¤›n›n alan›, A= 2π . r .h oldu¤undan, küre kesmesinin hacmi,

V = 1

3 π . h² 3r - h ifadesinden, V = 1

3 3 . 4² 3. 12 - 4 = 16 36 - 4 = 16 . 32 = 512 cm² olur.

V = 1

3 A . r = 2π . r . h . r

3 = 2

3 π . r² . h dir.

fiekil 5.11

❂

ÖRNEK 5. 7

Yar›çap› 8 cm olan bir kürede, küre kesmesinin yüksekli¤i 3 cm dir. Bu küre kesmesinin hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Kürenin yar›çap› r = 8 cm ve küre kesmesinin yüksekli¤i h = 3 cm dir.

Küre kesmesinin hacmi:

e. Küre Dilimi I. Tan›m

Kürenin bir [AB] çap›ndan geçen, iki yar›m düzlem aras›nda kalan k›sm›na, küre dilimi denir(fiekil 5. 12).

II. Küre Diliminin Alan›

(fiekil 5.12) deki kürenin yar›çap› r, düzlemler aras›ndaki merkez aç›n›n ölçüsü θ olsun.

Küre diliminin yüzey alan›:

Bu küre dilimi, merkezinden kesilen bir karpuz dilimi gibi düflünülürse, iki yan yüzeyin alan› r yar›çapl› dairenin alan› olur.

Buna göre, küre diliminin tüm alan›:

fiekil 5.12

V = 2

3 π . r². h ifadesinden, V = 2

3 π . 8² . 3 = 2

3π . 64. 3 = 128 π cm³ olur.

Y = 4π . r² . θ

360° eflitli¤inden, Y = π.r². θ 90° dir.

A = π.r². θ

90° + π.r² dir.

❂

III. Küre Diliminin Hacmi

ÖRNEK 5. 8

Yar›çap› 9 cm olan bir kürede, merkez aç›s›n›n ölçüsü 45° dir. Buna göre, küre dil- iminin yüzey alan›n›, tüm alan›n› ve hacmini bulal›m. (π ≈ 3 al›nacakt›r.)

ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› r = 9 cm ve merkez aç›s›n›n ölçüsü θ = 45° dir.

Küre diliminin yüzey alan›:

5. ÇEfi‹TL‹ ÖRNEKLER ÖRNEK 5. 9

Çap› 10 cm olan kürenin alan›n› ve hacmini bulal›m ( π = 3 al›nacakt›r.) ÇÖZÜM

Verilen kürenin çap› 10 cm ise, yar›çap›

Küre diliminin hacmi, V = 4

3 .π.r³ . θ

360° eşitliğinden, V = π. r³. θ

270° olur.

Y = πr²θ

90° ifadesinden, Y = 3 .9². 45

90° = 3 . 81. 45

90 = 1215 cm² dir.

Küre diliminin tüm alan›: A = π r² θ

90 + π . r² ifadesinden, A = 3 . 9² . 45

90 + 3 . 9² = 1215 + 2 43 = 3645 cm² dir.

Küre diliminin hacmi: V = πr³. θ

270 ifadesinden, V = 3 . 9³ . 45

270 = 3 . 729 . 45 270 = 729

2 = 3645 cm³ olur.

r = 10

2 = 5 cm dir.

Kürenin alan›: A = 4.π.r² ifadesinden, A = 4 . 3 . 5² = 12 . 25 = 300 cm² dir.

Kürenin hacmi: V = 4

3 .π. r³ ifadesinden, V = 4

3 . 3 . 5³ = 4 . 125 = 500 cm³ olur.

ÖRNEK 5. 10

Büyük dairelerden birinin alan› 36 π cm²olan kürenin, alan›n› ve hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Küredeki büyük daire, kürenin merkezinden geçen dairedir.

Buna göre, büyük dairenin alan›: A = π. r²oldu¤undan, 36 . π = π.r² eflitli¤inden, r²= 36 ise, r = 6 cm dir.

Kürenin alan›: A = 4π. r² ifadesinden, A = 4. π 6²= 4. 36π = 144 π cm²dir.

ÖRNEK 5. 11

Yar›çap› 5 cm olan bir küre fleklindeki tahta yontularak yüksekli¤i 8 cm olan en büyük hacimli bir silindir yap›l›yor. Bu tahtan›n yontulan k›sm›n›n hacmini bulal›m.

( π ≈ 3 al›nacakt›r.) ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› |O₁B = r₁5 cm ve silindirin taban yar›çap› |O₂B| r₂ olsun.

Karenin içine çizilen, en büyük hacimli silindir (fiekil 5.13) deki gibi olmal›d›r.

Kürenin hacmi: V = 4

3 .π . r³ ifadesinden, V = 1

3 .π . 6³ = 4

3 . π . 216 = 288 π cm³ olur.

fiekil 5.13

Burada, [BD] kürenin çap› oldu¤undan , |BD| = 2.r₁= 2. 5 = 10 cm dir.

[AD] silindirin yüksekli¤i oldu¤undan, |AD| = 8 cm dir.

DAB dik üçgeninde pisagor teoremine göre,

|AB|²= |BD|²- |AD|²ifadesinden,

|AB|²= 10²- 8²= 100 - 64 = 36 ise, |AB| = 6 cm dir.

[AB] silindirin çap› oldu¤undan, silindirin yar›çap› , Buna göre,

Yontulan k›sm›n hacmi = Kürenin hacmi - Silindirin hacmi

ÖRNEK 5. 12

Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl›ktaki kesitinin alan› 50, 24 cm² oldu¤una göre, bu kürenin,

a. Yar›çap›n›, b. Alan›n›,

c. Hacmini bulunuz (π ≈ 3.14 al›nacakt›r).

ÇÖZÜM

a. Küre kesitinin merkezi H, yar›çap› |AH| = r₁, ve |0H| = 3 cm dir. Kürenin merkezi 0, yar›çap› |OA| = r₂olsun (fiekil 5.14).

O₂B = r₂ = 6

2 = 3 cm dir.

Kürenin hacmi: V₁ = 4

3 . π.r₁³ ifadesinden, V₁ = 4

3 .3 .5³ = 4. 125 = 500 cm³ tür.

Silindirin hacmi: V₂ = π. r₂² h ifadesinden, V₂ = 3. 3² . 8 = 27 . 8 = 216 cm³ tür.

Yontulan k›sm›n hacmi: V = V₁ - V₂ oldu¤undan, V = 500 - 216 = 284 cm³ olur.

Önce, kesit dairenin yar›çap›n› bulal›m. Kesit dairenin alan› 50, 24 cm²oldu¤undan,

b.

c.

ÖRNEK 5.13

Yar›çap› 10 cm olan bir kürenin merkezinden 4 cm uzakl›kta bulunan bir düzlemle kesilerek, elde edilen küre parças›n›n hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› r = 10 cm ve küre parças›n›n yüksekli¤i, h = 10 - 4 = 6 cm dir.

fiekil 5.14

50, 24 = 3, 14 . r₁² : r₁² =50, 24

3, 14 = 16 ise, r₁ = 4 cm dir.

0AH dik üçgeninde pisagor teoreemine göre, 0A²= AH² + 0H² ifadesinden,

0A² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25 ise, 0A = r₂ = 5 cm dir.

A = π . r₁² ifadesinden,

Kürenin alan›; A = 4. π . r₂² ifadesinden, A = 4 . 3,14 . 5² = 12, 56 . 25 = 314 cm² dir.

Kürenin hacmi: V = 4

3 . π . r₂³ ifadesinden, V = 4

3 . 3,14 . 5³ = 12,56

3 . 125 = 1570

3 cm³ olur.

Küre parças›n›n hacmi: V = 1

3 . π . h² 3 . r - h ifadesinden, V = 1

3 . π . 6² 3. 10 - 6 = 1

3 36 π 30 - 6 = 12π 24 = 288π cm³ olur.

ÖRNEK 5.14

Yar›çap› 8 cm olan bir kürede, merkez aç›s›n›n ölçüsü 45° olan bir küre dilimi (fiekil 5. 15) de veriliyor. Bu küre diliminin,

a. Yüzey alan›n›, b. Tüm alan›n›, c. Hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› r = 8 cm ve merkez aç›n›n ölçüsü θ = 45° dir.

fiekil 5.15

a . Küre dileminin yüzey alan›: Y = 4.π . r² . θ

360° ifadesinden, Y = 4 .π . 8² . 45

360° = 4 . 64. 45

360° π = 11520

360° π = 32 π cm² dir.

b. Küre diliminin tüm alan›: A = π . r² . θ

90 + πr² ifadesinden, A = π .8² . 45

90 + π .8² = 32π + 64 π = 98 π cm² dir.

c. Küre diliminin hacmi: V = π . r³. θ

270 ifadesinden, V = π . 8³ . 45

270 = π . 512 . 45

270 = 23040

270 π = 256

3 π cm³ olur.

ÖRNEK 5.15

Yar›çap› r birim olan bir kürenin, 0 merkezinden ve kürenin merkezinden

birim uzakl›ktaki H noktas›ndan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küme parças›n›n hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

Verilen kürenin yar›çap› r birim, küre parças›n›n yüksekli¤i

ÖRNEK 5.16

Yar›çap› r ve yüksekli¤i h olan bir dik dairesel silindirle, bu silindire içten te¤et olan bir küre yerlefltiriliyor.Küre ile dik dairesel silindirin,

a. Hacimleri,

b. Alanlar› aras›ndaki ba¤›nt›y› bulal›m.

ÇÖZÜM

(fiekil 5. 17) deki kürenin ve dik dairesel silindirin taban yar›çap› r, silindirin yüksekli¤i h = 2r dir.

fiekil 5.16

r 2

h = r

2 birimdir (fiekil 5.16).

Küre parças›n›n hacmi: V = 1

3 . π . h². 3r -h ifadesinden, V = 1

3 .π . r 2

2. 3r - r

2 = π . r² 12 6r - r

2 ; V = πr²

12 . 5r

2 = 5 πr³

24 birimküp olur.

a. Dik dairesel silindirin hacmi:

V₁= πr². h ifadesinden, V₁= π. r². (2r) = 2. π . r³ tür.

b. Dik dairesel silindirin alan›, A₁= 2.π. r (r + h) ifadesinden,

A₁= 2.π . r (r + 2r) = 2.π. r (3r) = 6. π. r²dir.

Kürenin alan›, A₂= 4. π. r² dir.

Küre ile dairesel silindirin alanlar› aras›ndaki ba¤›nt›y› yazarsak,

O halde, küre ile dairesel dik silindirin hacimlerini ve alanlar›n› oranlad›¤›m›zda birbirine eflit,

fiekil 5.17

Kürenin hacmi: V₂ = 4

3 . π. r³ tür.

Küre ile dairesel silindirin hacimleri aras›ndaki ba¤›nt›y› yazarsak, V1

V2

= 2. π.r³ 43 . π.r³

= 2 . 3 4 = 3

2 olur.

A1

A₂ = 6.π.r² 4.π.r² = 6

4 = 3

2 olur.

3

2 oluyor.

ÖRNEK 5.17

Bir kürede, küre merkezinden 6 cm uzakl›kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesit dairesinin alan› 64 π cm²dir. Buna göre, kürenin hacmini bulal›m.

ÇÖZÜM

(fiekil 5. 18) deki kesit dairesinin yar›çap› |HB| = r₁, Kürenin yar›çap› |OB| = r₂olsun.

Buna göre, kesit dairenin alan›

0HB dik üçgeninde pisagor teoremine ve |0H| = 6 cm oldu¤una göre,

fiekil 5.18

A = π. r₁² olduğundan , 64π = π r₁² ; r₁² = 64 ise, r1 = 8 cm dir.

Böylece, HB = r₁ = 8 cm olur.

fiimdi de kürenin yar›çap›n› bulal›m.

0B² = 0H² + HB² ifadesinden, 0B² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ;

0B² = r₂² = 100 ise, r₂ = 10 cm dir.

Kürenin hacmi: V = 4

3 .π. r₂³ ifadesinden, V = 4

3 .π . 10³ = 4000

3 π cm³ olur.

ÖRNEK 5.18

Yar›çap› 5 cm olan bir kürenin hacmini, bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan küpün hacmine oran›n› bulal›m (π = 3 al›nacakt›r.)

ÇÖZÜM

Yar›çap› 5 cm olan kürenin hacmi: V₁ = 4

3 .π .r³ ifadesinden, V₁ = 4

3 . 3 . 5³ = 4 . 125 = 500 cm³ tür.

Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 5 cm olan küpün hacmi: V₂ = a³ ifadesinden,

Kürenin hacmini küpün hacmine oranlarsak, V₁

V₂ = 500

125 = 4 olur.

V2 = 5³ = 125 cm³ tür.



Uzayda sabit bir noktadan, eflit uzakl›kta olan noktalar›n birleflim kümesine küre yüzeyi, bu yüzeyi ile s›n›rlanan cisme küre denir. Sabit noktaya, kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi aras›ndaki sabit uzakl›¤a kürenin yar›çap›, denir. Küre yüzeyinde al›nan farkl› iki noktay› birlefltiren do¤ru parças›na kürenin kirifli, kürenin merkezinden geçen kirifle de, kürenin çap› denir.

Merkezi 0 ve yar›çap› r olan bir küre k›saca (0, r) fleklinde yaz›l›r.

Bir küre, merkezi ve yar›çap› bilindi¤i taktirde, belirli olur.

Bir kürenin belirli olmas› için, küre yüzeyine ait, kaç noktan›n bilinmesi gerekti¤ini bulal›m.

1. Bir noktadan, sonsuz say›da küre geçer.

2. ‹ki noktadan, sonsuz say›da küre geçer.

3. Do¤rusal olmayan üç noktadan, sonsuz say›da küre geçer.

4. Ayn› bir düzlem içinde bulunmayan dört noktadan, yaln›z bir küre geçer.

Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle ara kesiti de bir dairedir.

Bir küre ile düzlemin birbirine göre, üç farkl› konumu vard›r. Yar›çap› r ve kürenin merkezinin düzleme olan uzakl›¤› d olsun.

1. d < r ise, küre ile düzlemin ara kesiti bir dairedir.

2. d = r ise, küre bir noktada, düzleme te¤ettir.

Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktad›r.

3. d > r ise, düzlem küreyi kesmez. Ara kesit bofl kümedir.

Kürenin merkezinden geçen düzlemin ara kesitine, kürenin büyük çemberi denir.

Uzayda bir do¤ru parças›n›, dik aç› alt›nda gören noktalar›n geometrik yeri, bu do¤ru parçalar›n› çap kabul eden, bir küre yüzeyidir.

Yar›çap› r olan bir kürenin alan›: A = 4.π . r²dir.

Yar›çap› r olan bir kürenin hacmi:

Bir küre yüzeyinin, paralel iki düzlem aras›nda kalan kürenin parças›na, küre kufla¤› denir. Birbirine paralel düzlemsel kesit çemberlerine, küre kufla¤›n tabanlar› ve tabanlar aras›ndaki uzakl›¤a da, küre kufla¤›n›n yüksekli¤i denir.

V = 4

3 .π .r³ dür.

Kürenin yar›çap› r, küre kufla¤›n›n yüksekli¤i h ise, küre kufla¤›n›n alan›;

A = 2. π . r . h d›r.

Küre kufla¤› ile iki paralel düzlemler aras›nda kalan cisme, küre tabakas› denir.

Küre kufla¤›, üstten ve alttan aç›k, küre tabakas› ise kapal›d›r.

Küre tabakas›n›n yüksekli¤i h, alt taban yar›çap› r₂, üst taban yar›çap› r₁ise, küre tabakas›n›n hacmi:

Bir küre yüzeyinin, bir düzlemle kesilmesinden elde edilen parçalardan her birine, küre kapa¤› denir.

r yar›çapl› bir küreden kesilen h yüksekli¤indeki bir küre kapa¤›n›n alan›:

A = 2π . r . h d›r.

Küre kapa¤› ile, kesit düzlemi aras›nda kalan cisme, küre parças› denir. Küre parças›n›n içi doludur.

r yar›çapl› bir küreden kesilen, h yüksekli¤indeki küre parças›n›n hacmi:

Bir daire diliminin, kendisini kesmeyen bir çap› etraf›nda, 360° dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir.

Kürenin yar›çap› r ve küre kesmesinin yüksekli¤i h ise, küre kesmesinin hacmi:

Kürenin bir çap›ndan geçen, iki yar›m düzlem aras›nda kalan k›sm›na, küre dilimi d e n i r. Kürenin yar›çap› r, düzlemler aras›ndaki merkez aç›n›n ölçüsü θ olsun.

Küre diliminin yüzey alan›:

V = π. h

6 3r₁² + 3r₂² + h² dir.

V = 1

3 . π.h² 3r - h d›r.

V = 2

3 . π .r².h d›r.

Y = π . r². θ 90° dir.

Küre diliminin hacmi: V = π.r³. θ

270° dir.

Küre diliminin tüm alan›: A = π . r². θ

90° + π.r² dir.

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›da yar›çap› verilen kürelerin, alan ve hacimlerini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

a. 12 cm b. 8 cm

2. Büyük dairenin alan› 78,5 cm² olan kürenin, yar›çap›n› ve hacmini bulunuz (π = 3.14 al›nacakt›r).

3. Yar›çap› 13 cm olan bir kürenin, merkezinden 12 cm uzakl›kta, bir düzlemle kesiliyor. Kesiti olan dairenin alan›n› bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

4. Yar›çap› 4 cm olan bir dairenin herhangi bir çap› etraf›nda 180° dönmesiyle oluflan cismin, alan›n› ve hacmini bulunuz.

5. Çap› 8 cm olan kurflun bir küre, eritilerek çap› 2 cm olan kurflun küreler yap›l›yor.

Eritme esnas›nda fire söz konusu olmad›¤›na göre, kaç tane küre yap›labilece¤ini bulunuz.

6. Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 10 cm olan küpün içine, maksimum hacimli kürenin, alan›n›

ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

7. Yar›çap› 8 cm olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen küre kapa¤›n›n alan›n› ve küre parças›n›n hacmini bulunuz.

8. Yar›çaplar› 4 cm ve 5 cm olan iki kürenin, alanlar› ve hacimleri oran›n› bulunuz.

9 . Yar›çap› 10 cm olan bir küreden, merkez aç›s›n›n ölçüsü 30° olan bir dilim kesiliyor.

Bu dilimin, tüm alan›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

1 0 . Yar›çap› 5 cm olan küre içine (fiekil 5.19) daki gibi, bir dik dairesel koni çizilmifltir.

Küre merkezinin, dik dairesel koninin taban›na uzakl›¤› 4 cm oldu¤una göre, dik dairesel koninin ve kürenin hacimleri fark›n› bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

c. 2 3 cm

fiekil 5.19

11 . Yar›çap› 15 cm olan bir küre, merkezinden 12 cm uzakl›ktaki bir düzlemle kesiliyor.

Oluflan küre kapa¤›n›n alan›n› ve küre parças›n›n hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

12. Taban yar›çap› 5 cm ve ana do¤rusu 13 cm olan bir koninin içine, taban›na ve yan yüzüne te¤et olarak çizilen bir kürenin hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

13. Taban yar›çap› 6 cm olan bir dik dairesel silindir içinde bir miktar su vard›r. Suyun içine, yar›çap› 3cm bir çelik bilye at›l›rsa suyun yüksekli¤inin kaç cm yükselebile ce¤ini bulunuz.

14. Bir kürenin merkezinden 3 cm uzakl›ktaki kesitinin çevresi 24 cm oldu¤una göre, bu kürenin alan›n› ve hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

15. Yar›çap› 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor.

Kesit dairesini taban kabul eden ve tepe noktas› küre üzerinde bulunan, en büyük hacimli dik dairesel koninin hacmini bulunuz (π ≈ 3 al›nacakt›r).

✎

fiekil 5.20

DE⁄ERLEND‹RME SORULARI 1. Bir kürenin alan›, bir büyük dairesinin alan›n›n kaç kat›d›r?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

2. Hacmi, alan›na say›ca eflit olan kürenin, en büyük dairesinin alan› kaç π birim karedir?

A) 3 B) 6 C)9 D) 12

3. Alan› 36 π cm²olan bir kürenin hacmi kaç π cm³tür?

A) 36 B) 54 C) 68 D) 72

4. (fiekil 5 . 20) deki yar›çap› 4 cm olan bir yar›m dairesi, [AB] çap› etraf›nda 360°

döndürüldü¤ünde, oluflan cismin hacmi kaç cm³dür? (π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 64 B) 82 C) 128 D) 256

5. ‹ki kürenin alanlar› oran› 9 ise, hacimlerinin oran› kaçt›r?

A) 18 B) 21 C) 24 D) 27

6. Yar›çap› 2 cm olan küre fleklindeki bir cismin, yüzeyini boyamak için bir tüp boya k u l l a n › l › y o r. Yar›çap› 6 cm olan, ayn› cinsten küreyi boyamak için kaç tüp kullan›l›r?

A) 8 B) 9

C) 10 D) 12

7 . Yar›çap› 9 cm olan kurflun bir küre eritilerek, Yar›çap› 3 cm olan küreler elde ediliyor.

Kaç tane küre elde edilir?

A) 9 B) 27 C)54 D) 81

8. Yar›çap› 4 cm olan bir kürenin alan›n›n, hacmine oran› kaçt›r?

9. (fiekil 5.21) deki küre, merkezinden 2 cm uzakl›ktaki bir düzlemle kesilirse, elde edilen dairenin alan› 5π cm²dir. Bu kürenin hacmi kaç π cm³dür?

A) 1

4 B) 12 C) 23 D) 3

4

A) 36 B) 54 C) 72 D) 108

10. Taban çap›, yüksekli¤ine eflit olan bir silindirin içine en büyük hacimli, bir küre y e r l e fl t i r i l i y o r. Silindirin hacmi 48 cm³ ise, kürenin hacmi kaç cm³ t ü r ? (π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 28 B) 32 C) 36 D) 40

11. Yar›çap›, 3 cm olan bir kürede, merkez aç›s›n›n ölçüsü 30° olan bir küre diliminin hacmi, kaç π cm³tür?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

fiekil 5.21

12. Yar›çap› 6 cm olan bir küre, merkezinden ve merkezden 3 cm uzakl›ktaki bir noktadan geçen, paralel iki düzlemle kesiliyor. Meydana gelen küre parças›n›n hacmi, kaç π cm³tür?

A) 18 B) 24 C) 36 D) 45

13. Alan› 100 π cm² olan bir küre, merkezden 3 cm uzakl›kta olan bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesit dairesinin çevresi, kaç π cm dir?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10

14. Bir kürenin hacmi Küre yüzeyinde, en büyük yar›çapl› dairenin alan›, kaç, π cm² dir?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8

15. Yar›çap› 5 cm olan bir küre, merkezinden 3 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor.

K e s i t dairesini taban kabul eden, küre içinde en büyük koninin hacmi kaç cm³tür?

(π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 32 B) 64 C) 96 D) 128

16. Yar›çap› 5 cm olan bir küre, merkezinden ve küre yüzeyinden 2 cm uzakl›kta iki paralel düzlemle kesiliyor. Bu iki düzlem aras›nda kalan küre kufla¤›n›n alan› kaç π cm²dir?

A) 24 B) 26 C) 30 D) 32

32

3 π cm³ dür.

1 7 . Kürenin yar›çap› 15 cm ve küre merkezinden 9 cm uzakl›kta bir düzlemle kesiliyor.

Elde edilen ara kesit dairesinin alan›, kaç cm²dir? (π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 144 B)1216 C) 368 D) 432

18. (fiekil 5.22) de, yar›çap› 6 cm olan dairenin v e r i l m i fl t i r. Bu dairenin [0A]

kenar› etraf›nda 360° döndürülmesi ile meydana gelen cismin hacmi, kaç cm³tür?

(π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 432 B) 688 C) 864 D) 1096

19. Bir küre parças›n›n yüksekli¤i 8 cm ve hacmi 256 cm³tür. Bu parçan›n kesilmifl oldu¤u kürenin yar›çap›, kaç cm dir? (π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6

1 4 ü

fiekil 5.22

20. (fiekil 5.23) de, yar›çap› 6 cm olan bir küre, paralel iki düzlemle çap›, üç eflit k›sma ayr›lm›flt›r. Elde edilen küre parças›n›n hacm›, kaç cm³tür? (π ≈ 3 al›nacakt›r).

A) 224 B) 238 C) 242 D) 256

fiekil 5.23